точка Лагранжа

Точки равновесия вблизи двух вращающихся тел

Точки Лагранжа в системе Солнце–Земля (не в масштабе). Этот вид с севера, так что орбита Земли направлена ​​против часовой стрелки.

Контурный график эффективного потенциала, обусловленного гравитацией и центробежной силой системы двух тел во вращающейся системе отсчета. Стрелки указывают нисходящие градиенты потенциала вокруг пяти точек Лагранжа, к ним ( красные ) и от них ( синие ). Противореча интуиции, точки L ₄ и L ₅ являются высшими точками потенциала. В самих точках эти силы уравновешены.

Пример космического корабля в точке L2 Солнце-Земля
  WMAP-файл  ·   Земля

В небесной механике точки Лагранжа ( / l ə ˈ ɡ r ɑː n dʒ / ; также точки Лагранжа или точки либрации ) являются точками равновесия для объектов малой массы, находящихся под гравитационным воздействием двух массивных орбитальных тел. Математически это включает решение ограниченной задачи трех тел . ^[1]

Обычно два массивных тела оказывают неуравновешенную гравитационную силу в точке, изменяя орбиту всего, что находится в этой точке. В точках Лагранжа гравитационные силы двух больших тел и центробежная сила уравновешивают друг друга. ^[2] Это может сделать точки Лагранжа отличным местом для спутников, поскольку коррекции орбиты , а следовательно, и требования к топливу, необходимые для поддержания желаемой орбиты, сведены к минимуму.

Для любой комбинации двух орбитальных тел существует пять точек Лагранжа, L ₁ - L ₅ , все в орбитальной плоскости двух больших тел. Существует пять точек Лагранжа для системы Солнце-Земля и пять различных точек Лагранжа для системы Земля-Луна. L ₁ , L ₂ и L ₃ находятся на линии, проходящей через центры двух больших тел, в то время как L ₄ и L ₅ каждая действует как третья вершина равностороннего треугольника, образованного центрами двух больших тел.

Когда отношение масс двух тел достаточно велико, точки L ₄ и L ₅ являются стабильными точками, что означает, что объекты могут вращаться вокруг них и что они имеют тенденцию притягивать объекты к себе. У нескольких планет есть троянские астероиды вблизи их точек L ₄ и L ₅ по отношению к Солнцу; у Юпитера более миллиона таких троянцев.

Некоторые точки Лагранжа используются для исследования космоса. Две важные точки Лагранжа в системе Солнце-Земля — это L ₁ , между Солнцем и Землей, и L ₂ , на той же линии на противоположной стороне Земли; обе находятся далеко за пределами орбиты Луны. В настоящее время искусственный спутник , называемый Deep Space Climate Observatory (DSCOVR), находится в точке L ₁ для изучения солнечного ветра, идущего к Земле от Солнца, и для мониторинга климата Земли, делая снимки и отправляя их обратно. ^[3] Космический телескоп Джеймса Уэбба , мощная инфракрасная космическая обсерватория, находится в точке L ₂ . ^[4] Это позволяет большому солнцезащитному экрану спутника защищать телескоп от света и тепла Солнца, Земли и Луны. Точки Лагранжа L ₁ и L ₂ расположены примерно в 1 500 000 км (930 000 миль) от Земли.

Более ранний телескоп Gaia Европейского космического агентства и его недавно запущенный Euclid также занимают орбиты вокруг L ₂ . Gaia сохраняет более узкую орбиту Лиссажу вокруг L ₂ , в то время как Euclid следует гало-орбите, похожей на JWST. Каждая из космических обсерваторий выигрывает от того, что находится достаточно далеко от тени Земли, чтобы использовать солнечные панели для питания, не нуждается в большом количестве энергии или топлива для удержания на месте, не подвержена магнитосферным эффектам Земли и имеет прямую линию видимости с Землей для передачи данных.

История

Три коллинеарные точки Лагранжа (L ₁ , L ₂ , L ₃ ) были открыты швейцарским математиком Леонардом Эйлером около 1750 года, за десятилетие до того, как итальянец по происхождению Жозеф-Луи Лагранж открыл оставшиеся две. ^{[5] [6]}

В 1772 году Лагранж опубликовал «Очерк о задаче трех тел ». В первой главе он рассмотрел общую задачу трех тел. Исходя из этого, во второй главе он продемонстрировал два специальных решения с постоянным шаблоном , коллинеарное и равностороннее, для любых трех масс с круговыми орбитами . ^[7]

Точки Лагранжа

Пять точек Лагранжа обозначены и определены следующим образом:

Л1точка

Точка L ₁ лежит на линии, образованной двумя большими массами M ₁ и M ₂ . Это точка, где гравитационное притяжение M 2 и M 1 объединяются, чтобы создать равновесие. Объект, который вращается вокруг Солнца ближе _, чем Земля _, обычно имеет более короткий орбитальный период, чем Земля, но это игнорирует эффект гравитационного притяжения Земли. Если объект находится прямо между Землей и Солнцем, то гравитация Земли противодействует части притяжения Солнца к объекту, увеличивая орбитальный период объекта. Чем ближе к Земле объект, тем больше этот эффект. В точке L ₁ орбитальный период объекта становится точно равным орбитальному периоду Земли. L ₁ находится примерно в 1,5 миллиона километров, или 0,01 а.е. , от Земли в направлении Солнца. ^[1]

Л2точка

Точка L ₂ лежит на линии, проходящей через две большие массы за пределами меньшей из двух. Здесь объединенные гравитационные силы двух больших масс уравновешивают центробежную силу, действующую на тело в точке L ₂ . На противоположной стороне Земли от Солнца орбитальный период объекта обычно больше земного. Дополнительное притяжение земной гравитации уменьшает орбитальный период объекта, и в точке L ₂ этот орбитальный период становится равным земному. Как и L ₁ , L ₂ находится на расстоянии около 1,5 миллиона километров или 0,01 а. е. от Земли (от Солнца). Примером космического аппарата, предназначенного для работы вблизи линии Земля-Солнце L _2, является космический телескоп Джеймса Уэбба . ^[8] Более ранние примеры включают зонд Wilkinson Microwave Anisotropy Probe и его преемника Planck .

Л3точка

Точка L ₃ лежит на линии, определяемой двумя большими массами, за пределами большей из двух. В системе Солнце–Земля точка L ₃ находится на противоположной стороне Солнца, немного за пределами орбиты Земли и немного дальше от центра Солнца, чем Земля. Такое расположение происходит потому, что Солнце также подвержено влиянию гравитации Земли и поэтому вращается вокруг барицентра двух тел , который находится глубоко внутри тела Солнца. Объект на расстоянии Земли от Солнца имел бы орбитальный период в один год, если учитывать только гравитацию Солнца. Но объект на противоположной стороне Солнца от Земли и непосредственно на одной линии с ними обоими «чувствует» гравитацию Земли, немного добавляющуюся к гравитации Солнца, и поэтому должен вращаться немного дальше от барицентра Земли и Солнца, чтобы иметь одинаковый период в 1 год. Именно в точке L3 _{совокупное} притяжение Земли и Солнца заставляет объект вращаться по орбите с тем же периодом, что и Земля, фактически вращаясь вокруг массы Земля+Солнце с барицентром Земля-Солнце в одном из фокусов его орбиты.

Л4и Л5точки

Гравитационные ускорения в точке L ₄

Точки L ₄ и L ₅ лежат в третьих вершинах двух равносторонних треугольников в плоскости орбиты, общим основанием которых является линия между центрами двух масс, так что точка лежит на 60° впереди (L ₄ ) или позади (L ₅ ) меньшей массы относительно ее орбиты вокруг большей массы.

Стабильность

Треугольные точки (L ₄ и L ₅ ) являются устойчивыми равновесиями при условии, что отношение ⁠М ₁/М ₂⁠ больше 24,96. ^{[примечание 1]} Это касается системы Солнце–Земля, системы Солнце–Юпитер и, в меньшей степени, системы Земля–Луна. Когда тело в этих точках возмущено, оно удаляется от точки, но фактор, противоположный тому, который увеличивается или уменьшается возмущением (гравитация или скорость, вызванная угловым моментом), также увеличится или уменьшится, изгибая путь объекта в устойчивую, фасовидную орбиту вокруг точки (как видно во вращающейся системе отсчета). ^[9]

Точки L ₁ , L ₂ и L ₃ являются положениями неустойчивого равновесия . Любой объект, вращающийся в точках L ₁ , L ₂ или L _3, будет стремиться сойти с орбиты; поэтому там редко можно найти естественные объекты, и космические аппараты, населяющие эти области, должны использовать небольшое, но критическое количество удержания на орбите, чтобы сохранять свое положение.

Естественные объекты в точках Лагранжа

Из-за естественной стабильности L ₄ и L ₅ , обычно природные объекты находятся на орбите в этих точках Лагранжа планетных систем. Объекты, которые населяют эти точки, в общем называются « троянцами » или «троянскими астероидами». Название происходит от названий, которые были даны астероидам, обнаруженным на орбите вокруг точек Солнца и Юпитера L ₄ и L ₅ , которые были взяты у мифологических персонажей, появляющихся в « Илиаде » Гомера , эпической поэме, действие которой происходит во время Троянской войны . Астероиды в точке L ₄ , впереди Юпитера, названы в честь греческих персонажей в « Илиаде» и называются « греческим лагерем ». Астероиды в точке L ₅ названы в честь троянских персонажей и называются « троянским лагерем ». Оба лагеря считаются типами троянских тел.

Поскольку Солнце и Юпитер являются двумя самыми массивными объектами в Солнечной системе, известно больше троянов Солнце–Юпитер, чем для любой другой пары тел. Однако в точках Лагранжа других орбитальных систем известно меньшее количество объектов:

• _{Точки L 4} и L ₅ системы Солнце–Земля содержат межпланетную пыль и по крайней мере два астероида, 2010 TK 7 и 2020 XL 5. ^{[10] [11] [12]}
• _{Точки L 4} и L ₅ системы Земля-Луна содержат скопления межпланетной пыли , известные как облака Кордылевского . ^{[13] [14]} Устойчивость в этих особых точках значительно осложняется влиянием гравитации Солнца. ^[15]
• Точки Солнце- Нептун L ₄ и L ₅ содержат несколько десятков известных объектов, троянских астероидов Нептуна . ^[16]
• На Марсе есть четыре принятых трояна : 5261 Eureka , 1999 UJ 7 , 1998 VF 31 и 2007 NS 2 .
• Спутник Сатурна Тефия имеет два меньших спутника Сатурна в своих точках L ₄ и L ₅ , Телесто и Калипсо . Другой спутник Сатурна, Диона, также имеет две соорбитали Лагранжа, Елена в своей точке L ₄ и Полидевк в L _5. Спутники блуждают азимутально вокруг точек Лагранжа, причем Полидевк описывает самые большие отклонения, удаляясь на 32° от точки L ₅ Сатурна-Дионы .
• Одна из версий гипотезы гигантского удара предполагает, что объект под названием Тейя образовался в точке L ₄ или L ₅ системы Солнце-Земля и врезался в Землю после того, как ее орбита дестабилизировалась, образовав Луну. ^[17]
• В двойных звездах вершина полости Роша расположена в точке L ₁ ; если одна из звезд расширяется за пределы своей полости Роша, то она теряет вещество в пользу своей звезды-компаньона , что известно как переполнение полости Роша . ^[18]

Объекты, которые находятся на подковообразных орбитах, иногда ошибочно описываются как троянцы, но не занимают точки Лагранжа. Известные объекты на подковообразных орбитах включают 3753 Cruithne с Землей и спутники Сатурна Эпиметей и Янус .

Физические и математические данные

Визуализация связи между точками Лагранжа (красная) планеты (синяя), вращающейся вокруг звезды (желтая) против часовой стрелки, и эффективным потенциалом в плоскости, содержащей орбиту (серая резиновая модель с фиолетовыми контурами равного потенциала). ^[19]
Щелкните для анимации.

Точки Лагранжа являются решениями с постоянным шаблоном ограниченной задачи трех тел . Например, если два массивных тела вращаются вокруг общего барицентра , то в пространстве существует пять положений, в которых третье тело сравнительно незначительной массы может быть размещено так, чтобы сохранить свое положение относительно двух массивных тел. Это происходит потому, что объединенные силы тяготения двух массивных тел обеспечивают точную центростремительную силу, необходимую для поддержания кругового движения , соответствующего их орбитальному движению.

С другой стороны, если смотреть во вращающейся системе отсчета , которая соответствует угловой скорости двух совместно вращающихся тел, в точках Лагранжа объединенные гравитационные поля двух массивных тел уравновешивают центробежную псевдосилу , позволяя меньшему третьему телу оставаться неподвижным (в этой системе) относительно первых двух.

Л1

Расположение L ₁ является решением следующего уравнения, гравитация обеспечивает центростремительную силу: где r — расстояние точки L ₁ от меньшего объекта, R — расстояние между двумя основными объектами, а M ₁ и M ₂ — массы большого и малого объекта соответственно. Величина в скобках справа — это расстояние L ₁ от центра масс. Решение для r — единственный действительный корень следующей функции пятой степени $${\displaystyle {\frac {M_{1}}{(R-r)^{2}}}-{\frac {M_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}R-r\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$

$${\displaystyle x^{5}+(\mu -3)x^{4}+(3-2\mu )x^{3}-(\mu )x^{2}+(2\mu )x-\mu =0}$$где — массовая доля M ₂ , а — нормализованное расстояние. Если масса меньшего объекта ( M ₂ ) намного меньше массы большего объекта ( M ₁ ), то L ₁ и L ₂ находятся примерно на равных расстояниях r от меньшего объекта, равных радиусу сферы Хилла , определяемому по формуле: $${\displaystyle \mu ={\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}}$$ $${\displaystyle x={\frac {r}{R}}}$$ $${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{3}}}}$$

Мы также можем записать это как: Поскольку приливное воздействие тела пропорционально его массе, деленной на куб расстояния, это означает, что приливное воздействие меньшего тела в точке L ₁ или в точке L ₂ примерно в три раза больше, чем у этого тела. Мы также можем записать: где ρ ₁ и ρ ₂ — средние плотности двух тел, а d ₁ и d ₂ — их диаметры. Отношение диаметра к расстоянию дает угол, образуемый телом, показывая, что при наблюдении из этих двух точек Лагранжа видимые размеры двух тел будут схожи, особенно если плотность меньшего тела примерно в три раза больше плотности большего, как в случае Земли и Солнца. $${\displaystyle {\frac {M_{2}}{r^{3}}}\approx 3{\frac {M_{1}}{R^{3}}}}$$ $${\displaystyle \rho _{2}\left({\frac {d_{2}}{r}}\right)^{3}\approx 3\rho _{1}\left({\frac {d_{1}}{R}}\right)^{3}}$$

Это расстояние можно описать как такое, что орбитальный период , соответствующий круговой орбите с этим расстоянием как радиусом вокруг M ₂ в отсутствие M ₁ , равен периоду M ₂ вокруг M ₁ , деленному на √ 3 ≈ 1,73: $${\displaystyle T_{s,M_{2}}(r)={\frac {T_{M_{2},M_{1}}(R)}{\sqrt {3}}}.}$$

Л2

Точка Лагранжа L ₂ для системы Солнце – Земля

Расположение L ₂ является решением следующего уравнения, гравитация обеспечивает центростремительную силу: с параметрами, определенными как для случая L _1. Соответствующее уравнение пятой степени имеет вид $${\displaystyle {\frac {M_{1}}{(R+r)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}R+r\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$ $${\displaystyle x^{5}+x^{4}(3-\mu )+x^{3}(3-2\mu )-x^{2}(\mu )-x(2\mu )-\mu =0}$$

Опять же, если масса меньшего объекта ( M ₂ ) намного меньше массы большего объекта ( M ₁ ), то L ₂ приблизительно равен радиусу сферы Хилла , определяемому по формуле: $${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{3}}}}$$

Те же замечания о приливном влиянии и кажущемся размере применимы и для точки L _1. Например, угловой радиус Солнца, если смотреть из L _2, равен arcsin( ⁠695,5 × 10 ³/151,1 × 10 ⁶⁠ ) ​​≈ 0,264°, тогда как для Земли это arcsin( ⁠6371/1,5 × 10 ⁶⁠ ) ​​≈ 0,242°. Глядя на солнце из L _2, можно увидеть кольцеобразное затмение . Космическому кораблю, такому как Gaia , необходимо следовать по орбите Лиссажу или гало-орбите вокруг L _2, чтобы его солнечные панели получили полное солнце.

Л3

Местоположение L ₃ является решением следующего уравнения, гравитация обеспечивает центростремительную силу: с параметрами M ₁ , M ₂ и R, определенными как для случаев L ₁ и L ₂ , и r определяется таким образом, что расстояние L ₃ от центра большего объекта равно R  −  r . Если масса меньшего объекта ( M ₂ ) намного меньше массы большего объекта ( M ₁ ), то: ^[20] $${\displaystyle {\frac {M_{1}}{\left(R-r\right)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{\left(2R-r\right)^{2}}}=\left({\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}R+R-r\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$

$${\displaystyle r\approx R{\tfrac {7}{12}}\mu .}$$

Таким образом, расстояние от L ₃ до большего объекта меньше, чем расстояние между двумя объектами (хотя расстояние между L ₃ и барицентром больше, чем расстояние между меньшим объектом и барицентром).

Л4и Л5

Причина, по которой эти точки находятся в равновесии, заключается в том, что в точках L ₄ и L ₅ расстояния до двух масс равны. Соответственно, гравитационные силы от двух массивных тел находятся в том же отношении, что и массы двух тел, и поэтому результирующая сила действует через барицентр системы. Кроме того, геометрия треугольника гарантирует, что результирующее ускорение находится в том же отношении к расстоянию от барицентра, что и для двух массивных тел. Барицентр является как центром масс , так и центром вращения системы из трех тел, эта результирующая сила в точности такая, которая требуется для удержания меньшего тела в точке Лагранжа в орбитальном равновесии с двумя другими большими телами системы (действительно, третье тело должно иметь пренебрежимо малую массу). Общая треугольная конфигурация была открыта Лагранжем, работающим над задачей трех тел .

Радиальное ускорение

Радиальное ускорение a объекта на орбите в точке вдоль линии, проходящей через оба тела, определяется по формуле: где r — расстояние от большого тела M ₁ , R — расстояние между двумя основными объектами, а sgn( x ) — знаковая функция x . Члены этой функции представляют соответственно: силу от M ₁ ; силу от M ₂ ; и центростремительную силу. Точки L ₃ , L ₁ , L _{2 находятся там, где ускорение равно нулю — см} . диаграмму справа. Положительное ускорение — это ускорение по направлению к правой части диаграммы, а отрицательное — по направлению к левой; поэтому ускорение имеет противоположные знаки на противоположных сторонах гравитационных колодцев. $${\displaystyle a=-{\frac {GM_{1}}{r^{2}}}\operatorname {sgn}(r)+{\frac {GM_{2}}{(R-r)^{2}}}\operatorname {sgn}(R-r)+{\frac {G{\bigl (}(M_{1}+M_{2})r-M_{2}R{\bigr )}}{R^{3}}}}$$

Чистое радиальное ускорение точки, вращающейся вдоль линии Земля-Луна

Стабильность

STL 3D-модель потенциала Роша двух вращающихся тел, представленная наполовину как поверхность, наполовину как сетка

Хотя точки L ₁ , L ₂ и L ₃ номинально нестабильны, существуют квазистабильные периодические орбиты, называемые гало-орбитами вокруг этих точек в системе из трех тел. Полная динамическая система из n тел , такая как Солнечная система, не содержит этих периодических орбит, но содержит квазипериодические (т. е. ограниченные, но не точно повторяющиеся) орбиты, следующие траекториям кривой Лиссажу . Эти квазипериодические орбиты Лиссажу использовались большинством космических миссий с точкой Лагранжа до сих пор. Хотя они не являются идеально стабильными, скромные усилия по поддержанию станции удерживают космический корабль на желаемой орбите Лиссажу в течение длительного времени.

Для миссий Солнце–Земля-L ₁ предпочтительнее, чтобы космический аппарат находился на орбите Лиссажу с большой амплитудой (100 000–200 000 км или 62 000–124 000 миль) вокруг L ₁ , чем оставался в L ₁ , поскольку линия между Солнцем и Землей увеличила солнечные помехи для связи Земля–космический аппарат. Аналогично, орбита Лиссажу с большой амплитудой вокруг L ₂ удерживает зонд вне тени Земли и, следовательно, обеспечивает непрерывное освещение его солнечных панелей.

Точки L4 и L5 стабильны при условии, что масса первичного тела (например, Земли) составляет по крайней мере 25 ^{[примечание 1]} масс вторичного тела (например, Луны), ^{[21] [22]} Земля более чем в 81 раз больше массы Луны (Луна составляет 1,23% массы Земли ^[23] ). Хотя точки L4 _и L5 _{находятся} на вершине «холма», как на графике контура эффективного потенциала выше, они, тем не менее, стабильны. Причиной стабильности является эффект второго порядка: когда тело удаляется от точного положения Лагранжа, ускорение Кориолиса (которое зависит от скорости орбитального объекта и не может быть смоделировано как контурная карта) ^[22] искривляет траекторию в путь вокруг (а не от) точки. ^{[22] [24]} Поскольку источником устойчивости является сила Кориолиса, получающиеся орбиты могут быть устойчивыми, но, как правило, не плоскими, а «трехмерными»: они лежат на искривленной поверхности, пересекающей плоскость эклиптики. Почковидные орбиты, обычно показываемые вложенными вокруг L ₄ и L _5, являются проекциями орбит на плоскость (например, эклиптику), а не полными трехмерными орбитами.

Ценности Солнечной системы

Точки Лагранжа на оси Солнце–планета соответствуют масштабу (нажмите для более четких точек).

В этой таблице перечислены примеры значений L ₁ , L ₂ и L ₃ в пределах Солнечной системы. Расчеты предполагают, что два тела вращаются по идеальной окружности с разделением, равным большой полуоси, и поблизости нет других тел. Расстояния измеряются от центра масс большего тела (но см. барицентр, особенно в случае Луны и Юпитера), причем L ₃ показывает отрицательное направление. Процентные столбцы показывают расстояние от орбиты по сравнению с большой полуосью. Например, для Луны L ₁ равно326 400  км от центра Земли, что составляет 84,9% расстояния от Земли до Луны или 15,1% «перед» (по направлению к Земле) Луной; L ₂ расположена448 900  км от центра Земли, что составляет 116,8% расстояния от Земли до Луны или 16,8% за пределами Луны; а L ₃ находится−381 700  км от центра Земли, что составляет 99,3% расстояния от Земли до Луны или 0,7084% внутрь (по направлению к Земле) «отрицательного» положения Луны.

Применение в космических полетах

Солнце–Земля

Спутник ACE на орбите вокруг Солнца–Земли L ₁

Космический телескоп Gaia (желтый) и James Webb ( синий ) вращаются вокруг системы Солнце–Земля L ₂

Солнце–Земля L ₁ подходит для проведения наблюдений за системой Солнце–Земля. Объекты здесь никогда не затеняются Землей или Луной и, если наблюдают за Землей, всегда видят освещенное солнцем полушарие. Первой миссией этого типа была миссия International Sun Earth Explorer 3 (ISEE-3) 1978 года, которая использовалась в качестве межпланетного монитора раннего предупреждения о штормах для солнечных возмущений. ^[25] С июня 2015 года DSCOVR вращается вокруг точки L _1. С другой стороны, он также полезен для космических солнечных телескопов , поскольку обеспечивает непрерывный вид на Солнце и любую космическую погоду (включая солнечный ветер и выбросы корональной массы ), достигающую L ₁ за час до Земли. Солнечные и гелиосферные миссии, в настоящее время расположенные вокруг L _1, включают Solar and Heliospheric Observatory , Wind , Aditya-L1 Mission и Advanced Composition Explorer . Планируемые миссии включают зонд межзвездного картирования и ускорения (IMAP) и NEO Surveyor .

Солнце–Земля L ₂ является хорошим местом для космических обсерваторий. Поскольку объект около L ₂ будет сохранять одинаковое относительное положение по отношению к Солнцу и Земле, экранирование и калибровка намного проще. Однако он немного за пределами досягаемости земной тени ^[26] , поэтому солнечное излучение не полностью блокируется в L ₂ . Космические аппараты обычно вращаются вокруг L ₂ , избегая частичных затмений Солнца, чтобы поддерживать постоянную температуру. Из мест около L ₂ Солнце, Земля и Луна находятся относительно близко друг к другу на небе; это означает, что большой солнцезащитный козырек с телескопом на темной стороне может позволить телескопу пассивно охлаждаться примерно до 50 К — это особенно полезно для инфракрасной астрономии и наблюдений за космическим микроволновым фоном . Космический телескоп Джеймса Уэбба был размещен на гало-орбите около L ₂ 24 января 2022 года.

Солнце–Земля L ₁ и L ₂ являются седловыми точками и экспоненциально нестабильны с постоянной времени около 23 дней. Спутники в этих точках будут блуждать в течение нескольких месяцев, если не будут сделаны корректировки курса. ^[9]

Солнце–Земля L ₃ было популярным местом для размещения « Контр-Земли » в бульварной научной фантастике и комиксах , несмотря на то, что существование планетарного тела в этом месте считалось невозможным, как только орбитальная механика и возмущения планет на орбитах друг друга стали поняты, задолго до космической эры; влияние тела размером с Землю на другие планеты не осталось бы незамеченным, как и тот факт, что фокусы орбитального эллипса Земли не оказались бы в ожидаемых местах из-за массы контр-Земли. Солнце–Земля L ₃ , однако, является слабой седловой точкой и экспоненциально нестабильна с постоянной времени примерно 150 лет. ^[9] Более того, он не мог бы содержать естественный объект, большой или маленький, в течение очень долгого времени, поскольку гравитационные силы других планет сильнее, чем у Земли (например, Венера приближается к  этой L3 _{на расстояние 0,3} а.е. каждые 20 месяцев). ^{[ необходима цитата ]}

Космический аппарат, вращающийся около системы Солнце–Земля L _3, сможет внимательно следить за эволюцией активных областей солнечных пятен до того, как они повернутся в геоэффективное положение, так что Центр прогнозирования космической погоды NOAA мог бы выдать семидневное раннее предупреждение . Более того, спутник около системы Солнце–Земля L ₃ будет предоставлять очень важные наблюдения не только для прогнозов по Земле, но и для поддержки дальнего космоса (прогнозы по Марсу и для пилотируемых миссий к околоземным астероидам ). В 2010 году были изучены траектории перехода космических аппаратов к системе Солнце–Земля L ₃ и рассмотрены несколько проектов. ^[27]

Земля–Луна

Земля–Луна L ₁ обеспечивает сравнительно легкий доступ к лунным и земным орбитам с минимальным изменением скорости, и это имеет преимущество для размещения обитаемой космической станции, предназначенной для транспортировки грузов и персонала на Луну и обратно. Миссия SMART-1 ^[28] прошла через точку Лагранжа L _{1 11 ноября 2004 года и вошла в область, находящуюся под влиянием} гравитации Луны .

Земля–Луна L ₂ использовалась для спутника связи , покрывающего обратную сторону Луны, например, Цюэцяо , запущенного в 2018 году ^[29] , и была бы «идеальным местом» для топливного склада как части предлагаемой архитектуры космического транспорта на основе склада. ^[30]

Земля-Луна L ₄ и L ₅ являются местоположениями пылевых облаков Кордылевского . ^{[31] Название} общества L5 происходит от точек Лагранжа L ₄ и L ₅ в системе Земля-Луна, предложенных в качестве местоположений их огромных вращающихся космических сред обитания. Оба положения также предложены для спутников связи, покрывающих Луну, подобно тому, как спутники связи на геосинхронной орбите покрывают Землю. ^{[32] [33]}

Солнце–Венера

Ученые из Фонда B612 ^[34] планировали использовать точку L ₃ Венеры для размещения запланированного телескопа Sentinel , который должен был оглянуться на орбиту Земли и составить каталог околоземных астероидов . ^[35]

Солнце–Марс

В 2017 году на конференции NASA обсуждалась идея размещения магнитного дипольного щита в точке L ₁ Солнце-Марс для использования в качестве искусственной магнитосферы для Марса. ^[36] Идея заключается в том, что это защитит атмосферу планеты от солнечной радиации и солнечных ветров.

Смотрите также

• Астрономический портал
• Космический портал

• Коорбитальная конфигурация
• Задача трех тел Эйлера
• Gegenschein
• Межпланетная транспортная сеть
• розетка Клемперера
• Л ₅ Общество
• Колонизация точки Лагранжа
• Лагранжева механика
• Список объектов в точках Лагранжа
• Лунный космический лифт
• эффект Оберта

Пояснительные записки

1. На самом деле ⁠25 + 3 √ 69/2⁠ ≈24.959 935 7944 (последовательность A230242 в OEIS )

Ссылки

1. Cornish, Neil J. (1998). "Точки Лагранжа" (PDF) . WMAP Education and Outreach. Архивировано из оригинала (PDF) 7 сентября 2015 г. Получено 15 декабря 2015 г.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Очки Лагранжа». Мир физики Эрика Вайсштейна .
3. "DSCOVR: In-Depth". NASA Solar System Exploration . NASA . Получено 27.10.2021 .
4. "About Orbit". NASA . Получено 2022-01-01 .
5. Koon, Wang Sang; Lo, Martin W .; Marsden, Jerrold E .; Ross, Shane D. (2006). Dynamical Systems, the Three-Body Problem, and Space Mission Design. стр. 9. Архивировано из оригинала 2008-05-27 . Получено 2008-06-09 .(16 МБ)
6. Эйлер, Леонард (1765). De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium (PDF) .
7. Лагранж, Жозеф-Луи (1867–92). «Том 6, Глава II: Очерк проблемы трех корпусов». Ouvres de Lagrange (на французском языке). Готье-Виллар. стр. 229–334.
8. "L2 Orbit". Space Telescope Science Institute. Архивировано из оригинала 3 февраля 2014 года . Получено 28 августа 2016 года .
9. "Точки Лагранжа" (PDF) . NASA. 1998., Нил Дж. Корниш, при участии Джереми Гудмена
10. Чой, Чарльз К. (27 июля 2011 г.). «Первый астероид-компаньон Земли наконец-то обнаружен». Space.com .
11. "NASA - Миссия NASA Wise обнаружила первый троянский астероид, разделяющий орбиту Земли". www.nasa.gov .
12. Хуэй, Ман-То; Вигерт, Пол А.; Толен , Дэвид Дж .; Фёринг, Дора (ноябрь 2021 г.). «Второй земной троянец 2020 XL5». The Astrophysical Journal Letters . 922 (2): L25. arXiv : 2111.05058 . Bibcode : 2021ApJ...922L..25H. doi : 10.3847/2041-8213/ac37bf . S2CID  243860678.
13. Slíz-Balogh, Judit; Barta, András; Horváth, Gábor (2018). «Небесная механика и поляризационная оптика пылевого облака Кордылевского в точке Лагранжа L5 Земля-Луна — Часть I. Трехмерное небесно-механическое моделирование образования пылевого облака». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 480 (4): 5550–5559. arXiv : 1910.07466 . Bibcode : 2018MNRAS.480.5550S. doi : 10.1093/mnras/sty2049 .
14. Slíz-Balogh, Judit; Barta, András; Horváth, Gábor (2019). «Небесная механика и поляризационная оптика пылевого облака Кордылевского в точке Лагранжа L5 Земля-Луна. Часть II. Поляриметрическое наблюдение с получением изображений: новые доказательства существования пылевого облака Кордылевского». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 482 (1): 762–770. arXiv : 1910.07471 . Bibcode : 2019MNRAS.482..762S. doi : 10.1093/mnras/sty2630 .
15. Фрейтас, Роберт; Вальдес, Франциско (1980). «Поиск природных или искусственных объектов, расположенных в точках либрации Земля–Луна». Icarus . 42 (3): 442–447. Bibcode :1980Icar...42..442F. doi :10.1016/0019-1035(80)90106-2.
16. "Список троянцев Нептуна". Minor Planet Center. Архивировано из оригинала 2011-07-25 . Получено 2010-10-27 .
17. Белбруно, Эдвард ; Готт III, Дж. Ричард (2005). «Откуда взялась Луна?». The Astronomical Journal . 129 (3): 1724–1745. arXiv : astro-ph/0405372 . Bibcode : 2005AJ....129.1724B. doi : 10.1086/427539. S2CID  12983980.
18. Sepinsky, Jeremy F.; Willems, Bart; Kalogera, Vicky (май 2007 г.). «Эквипотенциальные поверхности и точки Лагранжа в несинхронных, эксцентричных двойных и планетных системах». The Astrophysical Journal . 660 (2): 1624–1635. arXiv : astro-ph/0612508 . Bibcode :2007ApJ...660.1624S. doi :10.1086/513736. S2CID  15519581.
19. Seidov, Zakir F. (1 марта 2004 г.). «Проблема Роша: некоторая аналитика». The Astrophysical Journal . 603 (1): 283–284. arXiv : astro-ph/0311272 . Bibcode : 2004ApJ...603..283S. doi : 10.1086/381315. S2CID  16724058.
20. «Уиднолл, Лекция L18 — Исследование окрестностей: ограниченная задача трех тел» (PDF) .
21. Фицпатрик, Ричард. «Устойчивость точек Лагранжа». Ньютоновская динамика . Техасский университет.
22. Гринспен, Томас (7 января 2014 г.). "Устойчивость точек Лагранжа, L4 и L5" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 18 апреля 2018 г. . Получено 28 февраля 2018 г. .
23. Питьева, Елена В .; Стэндиш, Э. Майлз (2009-04-01). «Предложения по массам трех крупнейших астероидов, отношению масс Луны и Земли и астрономической единице». Небесная механика и динамическая астрономия . 103 (4): 365–372. Bibcode : 2009CeMDA.103..365P. doi : 10.1007/s10569-009-9203-8. S2CID  121374703.
24. Cacolici, Gianna Nicole и др., «Устойчивость точек Лагранжа: космический телескоп Джеймса Уэбба», Университет Аризоны. Получено 17 сентября 2018 г.
25. "ISEE-3/ICE". Исследование Солнечной системы . NASA. Архивировано из оригинала 20 июля 2015 г. Получено 8 августа 2015 г.
26. Угловой размер Солнца на расстоянии 1 а.е. + 1,5 миллиона километров: 31,6′, угловой размер Земли на расстоянии 1,5 миллиона километров: 29,3′
27. Тантардини, Марко; Фантино, Елена; Жэнь, Юань; Пергола, Пьерпаоло; Гомес, Жерар; Масдемонт, Хосеп Дж. (2010). «Траектории космических аппаратов к точке L3 задачи трех тел Солнце–Земля» (PDF) . Небесная механика и динамическая астрономия . 108 (3): 215–232. Bibcode :2010CeMDA.108..215T. doi :10.1007/s10569-010-9299-x. S2CID  121179935.
28. SMART-1: На пути к захвату Луны | Moon Today – ваш ежедневный источник новостей о Луне. Архивировано 2 ноября 2005 г. на Wayback Machine
29. Джонс, Эндрю (14.06.2018). «Спутник-ретранслятор «Чанъэ-4» выходит на гало-орбиту вокруг точки L2 Земля-Луна, микроспутник на лунной орбите». SpaceNews .
30. Зеглер, Франк; Куттер, Бернард (2010-09-02). "Эволюция к архитектуре космического транспорта на основе склада" (PDF) . Конференция и выставка AIAA SPACE 2010 . AIAA. стр. 4. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-06-24 . Получено 2011-01-25 . L ₂ находится в глубоком космосе вдали от любой поверхности планет, и поэтому термическая, микрометеорная и атомарно-кислородная среда значительно превосходят среду на низкой околоземной орбите. Термодинамический застой и длительный срок службы оборудования гораздо проще получить без этих суровых условий, наблюдаемых на низкой околоземной орбите. L ₂ — это не просто отличный шлюз — это отличное место для хранения топлива. ... L ₂ — идеальное место для хранения топлива и грузов: оно близко, высокоэнергетическое и холодное. Что еще важнее, он обеспечивает непрерывное поступательное движение топлива из хранилищ на низкой околоземной орбите, тем самым уменьшая его размер и эффективно минимизируя потери от испарения в околоземной среде.
31. Кордылевский, Казимеж (1961). «Photographische Untersuchungen des Librationspunktes L5 im System Erde-Mond». Acta Astronomica, Vol. 11, с.165 . Том. 11. с. 165. Бибкод : 1961АсА....11..165К.
32. Хорниг, Андреас (01.05.2022). «TYCHO: Поддержка постоянного пилотируемого исследования Луны с помощью высокоскоростной оптической связи из любой точки». ESA .
33. Хорниг, Андреас (2013-10-06). "Миссия TYCHO к точке либрации Земля-Луна EML-4 @ IAC 2013". IAC2013 .
34. "B612 изучает миссии малых спутников для поиска околоземных объектов". SpaceNews.com . 20 июня 2017 г.
35. "The Sentinel Mission". B612 Foundation. Архивировано из оригинала 30 июня 2012 года . Получено 1 февраля 2014 года .
36. "NASA предлагает магнитный щит для защиты атмосферы Марса". phys.org .

Внешние ссылки

• Жозеф-Луи, граф Лагранж, из «Œuvres» , том 6, «Essai sur le Problème des Trois Corps» — эссе (PDF); источник Том 6 (Просмотр)
  • «Эссе о задаче трех тел» Ж.-Л. Лагранжа, перевод с вышеуказанного, на merlyn.demon.co.uk Архивировано 23.06.2019 на Wayback Machine .
• Размышления о motu corporum coelestium — Леонард Эйлер — транскрипция и перевод на сайте merlyn.demon.co.uk. Архивировано 3 августа 2020 г. на Wayback Machine .
• ZIP-файл

Дж. Р. Стоктон - Включает переводы Essai Лагранжа и двух связанных с ними статей Эйлера

• Что такое точки Лагранжа? — Страница Европейского космического агентства с хорошей анимацией
• Объяснение точек Лагранжа — Нил Дж. Корниш
• Объяснение НАСА, также приписываемое Нилу Дж. Корнишу
• Объяснение точек Лагранжа — Джон Баез
• Расположение точек Лагранжа с приближениями — Дэвид Питер Стерн
• Онлайн-калькулятор для вычисления точных положений 5 точек Лагранжа для любой системы из двух тел — Тони Данн
• В ролях: Астрономия — Эпизод 76: «Точки Лагранжа» Фрейзера Кейна и Памелы Л. Гей
• Пять пунктов Лагранжа Нила Деграсса Тайсона
• Земля, обнаружен одинокий троян
• См. подраздел «Точки Лагранжа и гало-орбиты» в разделе «Геосинхронная переходная орбита» в книге NASA: «Основы космических полетов», глава 5.