Равносторонний треугольник

Форма с тремя равными сторонами

В геометрии равносторонний треугольник — это треугольник , у которого все три стороны имеют одинаковую длину. В знакомой евклидовой геометрии равносторонний треугольник также является равноугольным ; то есть все три внутренних угла также равны друг другу и каждый равен 60°. Он также является правильным многоугольником , поэтому его также называют правильным треугольником .

Основные свойства

Равносторонний треугольник. Он имеет равные стороны ( ), равные углы ( ) и равные высоты ( ). ${\displaystyle a=b=c}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma }$ ${\displaystyle h_{a}=h_{b}=h_{c}}$

Обозначив общую длину сторон равностороннего треугольника через , с помощью теоремы Пифагора можно определить , что: ${\displaystyle a}$

• Площадь составляет ${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2},}$
• Периметр равен ${\displaystyle p=3a\,\!}$
• Радиус описанной окружности равен ${\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}}}$
• Радиус вписанной окружности равен или ${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}$ ${\displaystyle r={\frac {R}{2}}}$
• Геометрический центр треугольника является центром описанной и вписанной окружностей.
• Высота с любой стороны равна ${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

Обозначив радиус описанной окружности как R , с помощью тригонометрии можно определить , что:

• Площадь треугольника равна ${\displaystyle A={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}}$

Многие из этих величин имеют простую связь с высотой («h») каждой вершины с противоположной стороны:

• Площадь составляет ${\displaystyle A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}}$
• Высота центра с каждой стороны, или апофема , равна ${\displaystyle {\frac {h}{3}}}$
• Радиус окружности, описанной вокруг трех вершин, равен ${\displaystyle R={\frac {2h}{3}}}$
• Радиус вписанной окружности равен ${\displaystyle r={\frac {h}{3}}}$

В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, серединные перпендикуляры и медианы к каждой стороне совпадают.

Характеристика

Треугольник , имеющий стороны , , , полупериметр , площадь , вневписанные радиусы , , (касательные к , , соответственно), и где и являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, является равносторонним тогда и только тогда, когда любое из утверждений в следующих девяти категориях является истинным. Таким образом, это свойства, которые являются уникальными для равносторонних треугольников, и знание того, что любое из них является истинным, напрямую подразумевает, что у нас есть равносторонний треугольник. ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r_{a}}$ ${\displaystyle r_{b}}$ ${\displaystyle r_{c}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$

Стороны

• ${\displaystyle a=b=c}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}}$^[1]

Полупериметр

• ${\displaystyle s=2R+\left(3{\sqrt {3}}-4\right)r}$^[2] (Бландон)
• ${\displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr}$^[3]
• ${\displaystyle s^{2}=3{\sqrt {3}}T}$^[4]
• ${\displaystyle s=3{\sqrt {3}}r}$
• ${\displaystyle s={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R}$

Углы

• ${\displaystyle A=B=C=60^{\circ }}$
• ${\displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}}$
• ${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}}$^[5]

Область

• ${\displaystyle T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad }$( Вайтценбёк )
• ${\displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{\frac {2}{3}}}$^[4]

Описанный радиус, входящий радиус и выходящий радиус

• ${\displaystyle R=2r}$^[6] (Шаппль-Эйлер)
• ${\displaystyle 9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$^[6]
• ${\displaystyle r={\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}}$^[5]
• ${\displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}}$

Равные чевианы

Три вида чевиан совпадают и равны для (и только для) равносторонних треугольников: ^[7]

• Три высоты имеют одинаковую длину.
• Три медианы имеют одинаковую длину.
• Три биссектрисы угла имеют одинаковую длину.

Совпадающие центры треугольников

Каждый центр треугольника равностороннего треугольника совпадает с его центроидом , что подразумевает, что равносторонний треугольник — единственный треугольник, у которого нет прямой Эйлера , соединяющей некоторые из центров. Для некоторых пар центров треугольников факт их совпадения достаточен для того, чтобы гарантировать, что треугольник равносторонний. В частности:

• Треугольник является равносторонним, если любые два из центра описанной окружности , инцентра , центроида или ортоцентра совпадают. ^{[8] : стр.37}
• Он также является равносторонним, если его центр описанной окружности совпадает с точкой Нагеля , или если его центр вписанной окружности совпадает с его центром девяти точек . ^[6]

Шесть треугольников, образованных путем разбиения медианами

Для любого треугольника три медианы делят треугольник на шесть меньших треугольников.

• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда любые три меньших треугольника имеют либо одинаковый периметр, либо одинаковый радиус вписанной окружности. ^{[9] : Теорема 1}
• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда центры описанных окружностей любых трех меньших треугольников находятся на одинаковом расстоянии от центроида. ^{[9] : Следствие 7}

Точки в плоскости

• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда для каждой точки плоскости с расстояниями , , и до сторон треугольника и расстояниями , , и до его вершин, ^{[10] : стр.178, #235.4} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle 4\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$$

Известные теоремы

Наглядное доказательство теоремы Вивиани

1. Показаны ближайшие расстояния от точки P до сторон равностороннего треугольника . ${\displaystyle ABC}$
2. Прямые , , и , параллельные , и , соответственно, определяют меньшие треугольники , и . ${\displaystyle DE}$ ${\displaystyle FG}$ ${\displaystyle HI}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle PHE}$ ${\displaystyle PFI}$ ${\displaystyle PDG}$
3. Поскольку эти треугольники равносторонние, их высоты можно повернуть так, чтобы они стали вертикальными.
4. Как и в случае с параллелограммом, треугольник можно сдвинуть вверх, чтобы показать, что сумма его высот равна сумме высот треугольника . ${\displaystyle PGCH}$ ${\displaystyle PHE}$ ${\displaystyle ABC}$

Теорема Морли о трисекторах гласит, что в любом треугольнике три точки пересечения смежных угловых трисекторов образуют равносторонний треугольник.

Теорема Наполеона гласит, что если на сторонах любого треугольника, обращенных либо наружу, либо внутрь, построить равносторонние треугольники, то центры этих равносторонних треугольников сами по себе образуют равносторонний треугольник.

Версия изопериметрического неравенства для треугольников гласит, что треугольник наибольшей площади среди всех треугольников с заданным периметром является равносторонним. ^[11]

Теорема Вивиани утверждает, что для любой внутренней точки равностороннего треугольника с расстояниями , , и от сторон и высоты , независимо от местоположения . ^[12] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle d+e+f=h,}$$ ${\displaystyle P}$

Теорема Помпейю утверждает, что если — произвольная точка на плоскости равностороннего треугольника , но не на его описанной окружности , то существует треугольник со сторонами длиной , , и . То есть, , , и удовлетворяют неравенству треугольника , что сумма любых двух из них больше третьей. Если — на описанной окружности, то сумма двух меньших равна наибольшей из них, и треугольник вырождается в прямую, этот случай известен как теорема Ван Схотена . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle PB}$ ${\displaystyle PC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle PB}$ ${\displaystyle PC}$ ${\displaystyle P}$

Геометрическое построение

Построение равностороннего треугольника с помощью циркуля и линейки

Равносторонний треугольник легко построить с помощью линейки и циркуля , поскольку 3 является простым числом Ферма . Начертите прямую линию, поместите иглу циркуля на один конец линии и проведите дугу из этой точки в другую точку отрезка линии. Повторите с другой стороной линии. Наконец, соедините точку пересечения двух дуг с каждым концом отрезка линии.

Альтернативный метод — нарисовать окружность с радиусом , поместить иглу циркуля на окружность и нарисовать еще одну окружность с тем же радиусом. Две окружности пересекутся в двух точках. Равносторонний треугольник можно построить, взяв два центра окружностей и любую из точек пересечения. ${\displaystyle r}$

В обоих методах побочным продуктом является образование vesica piscis .

Доказательство того, что полученная фигура представляет собой равносторонний треугольник, является первым утверждением в первой книге « Начал» Евклида .

Вывод формулы площади

Формулу площади через длину стороны можно вывести непосредственно с помощью теоремы Пифагора или с помощью тригонометрии. ${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$ ${\displaystyle a}$

Используя теорему Пифагора

Площадь треугольника равна половине произведения одной стороны на высоту, проведенную к этой стороне: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ah.}$$

Равносторонний треугольник со стороной 2 имеет высоту √ 3 , так как синус 60° равен √ 3 /2 .

Катеты любого прямоугольного треугольника, образованные высотой равностороннего треугольника, составляют половину основания , а гипотенуза — сторону равностороннего треугольника. Высоту равностороннего треугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора, так что ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}=a^{2}}$$ $${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}$$

Подставив это в формулу площади, получим формулу площади равностороннего треугольника: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}ah}$ $${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$$

Использование тригонометрии

Используя тригонометрию , площадь треугольника с любыми двумя сторонами и , и углом между ними равна ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin C.}$$

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°, поэтому $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin 60^{\circ }.}$$

Синус 60° равен . Таким образом, поскольку все стороны равностороннего треугольника равны. ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$ $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}ab={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$$

Другие свойства

Равносторонний треугольник — наиболее симметричный треугольник, имеющий 3 линии отражения и вращательную симметрию порядка 3 относительно своего центра, группа симметрии которого — группа диэдра порядка 6 , . Равносторонний треугольник с целыми сторонами — единственный треугольник с целыми сторонами и тремя рациональными углами, измеряемыми в градусах. ^[13] Это единственный остроугольный треугольник, который подобен своему ортогональному треугольнику (с вершинами у подножий высот ) , ^{[14] : стр. 19} и единственный треугольник, чей эллипс Штейнера является окружностью (в частности, вписанной окружностью). Треугольник наибольшей площади из всех вписанных в данную окружность является равносторонним, а треугольник наименьшей площади из всех описанных вокруг данной окружности также является равносторонним. ^[15] Это единственный правильный многоугольник, помимо квадрата , который может быть вписан в любой другой правильный многоугольник. ${\displaystyle \mathrm {D} _{3}}$

По неравенству Эйлера , равносторонний треугольник имеет наименьшее отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности любого треугольника, при этом ^{[16] : стр.198} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle {\frac {R}{r}}=2.}$$

Если задана точка внутри равностороннего треугольника, то отношение суммы ее расстояний от вершин к сумме ее расстояний от сторон больше или равно 2, причем равенство выполняется, когда является центроидом. Ни в каком другом треугольнике нет точки, для которой это отношение было бы меньше 2. ^[17] Это неравенство Эрдёша–Морделла ; более сильный его вариант — неравенство Барроу , которое заменяет перпендикулярные расстояния до сторон на расстояния от до точек, где биссектрисы углов , , и пересекают стороны ( , , и являются вершинами). Существует множество других неравенств треугольников , которые выполняются с равенством тогда и только тогда, когда треугольник является равносторонним. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \angle APB}$ ${\displaystyle \angle BPC}$ ${\displaystyle \angle CPA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Для любой точки плоскости, находящейся на расстоянии , , и от вершин , , и соответственно, ^[18] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle 3\left(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4}\right)=\left(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2}\right)^{2}.}$$

Для любой точки плоскости, находящейся на расстоянии , и от вершин, ^[19] где — радиус описанной окружности, а — расстояние между точкой и центром тяжести равностороннего треугольника. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle p^{2}+q^{2}+t^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\right),}$$ $${\displaystyle p^{4}+q^{4}+t^{4}=3\left[\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right],}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$

Для любой точки на вписанной окружности равностороннего треугольника, находящейся на расстоянии , , и от вершин, ^[20] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle 4\left(p^{2}+q^{2}+t^{2}\right)=5a^{2},}$$ $${\displaystyle 16\left(p^{4}+q^{4}+t^{4}\right)=11a^{4}.}$$

Для любой точки на малой дуге описанной окружности, находящейся на расстоянии , , и от , , и , соответственно ^[12] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle p=q+t,}$$ $${\displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2}.}$$

Более того, если точка на стороне делится на отрезки и с длиной и длиной , то ^{[12] : 172} , что также равно , если и что является оптическим уравнением . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle PD}$ ${\displaystyle DA}$ ${\displaystyle DA}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle PD}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle z={\frac {t^{2}+tq+q^{2}}{t+q}},}$$ ${\textstyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}$ ${\displaystyle t\neq q}$ $${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{t}}={\frac {1}{y}},}$$

Для равностороннего треугольника:

• Отношение его площади к площади вписанной окружности, , является наибольшим среди всех треугольников. ^{[21] : Теорема 4.1} ${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

• Отношение его площади к квадрату периметра больше, чем у любого неравностороннего треугольника. ^[11] ${\displaystyle {\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},}$

• Если отрезок делит равносторонний треугольник на две области с равными периметрами и площадями и , то ^{[10] : стр.151, #J26} ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {7}{9}}\leq {\frac {A_{1}}{A_{2}}}\leq {\frac {9}{7}}.}$$

Если треугольник помещен в комплексную плоскость с комплексными вершинами , , и , то для любого недействительного кубического корня из 1 треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда ^{[22] : Лемма 2} ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle z_{3}}$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle z_{1}+\omega z_{2}+\omega ^{2}z_{3}=0.}$$

Плоскость заполняет мозаика из равносторонних треугольников.

Примечательно, что равносторонний треугольник заполняет двумерное пространство шестью треугольниками, встречающимися в вершине, чья двойственная мозаика является шестиугольной мозаикой . 3.12 ² , 3.4.6.4 , (3.6) ² , 3 ² .4.3.4 и 3 ⁴ .6 являются полуправильными мозаиками, построенными с помощью равносторонних треугольников. ^[23]

Правильный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников.

В трех измерениях равносторонние треугольники образуют грани правильных и однородных многогранников . Три из пяти Платоновых тел состоят из равносторонних треугольников: тетраэдр , октаэдр и икосаэдр . ^{[24] : с.238} В частности, тетраэдр, имеющий четыре равносторонних треугольника в качестве граней, можно считать трехмерным аналогом треугольника . Все Платоновы тела могут вписывать тетраэдры, а также быть вписанными внутрь тетраэдров. Равносторонние треугольники также образуют равномерные антипризмы , а также равномерные звездчатые антипризмы в трехмерном пространстве. Для антипризм две (незеркальные) параллельные копии правильных многоугольников соединены чередующимися полосами равносторонних треугольников. ^[25] В частности, для звездчатых антипризм существуют прямые и обратные (перекрещенные) решения, которые соединяют зеркальные и незеркальные параллельные звездчатые многоугольники . ^{[26] [27]} Платонов октаэдр также является треугольной антипризмой , которая является первым истинным членом бесконечного семейства антипризм (тетраэдр, как двуугольная антипризма, иногда считается первым). ^{[24] : стр.240} ${\displaystyle 2n}$

В качестве обобщения, равносторонний треугольник принадлежит к бесконечному семейству - симплексов , причем . ^[28] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$

В культуре и обществе

Равносторонние треугольники часто встречаются в искусственных сооружениях:

• Такая форма встречается в современной архитектуре, например, в поперечном сечении арки «Врата» . ^[29]
• Его применение во флагах и геральдике включает флаг Никарагуа ^[30] и флаг Филиппин ^[31] .
• Это форма различных дорожных знаков , включая знак «Уступите дорогу» . ^[32]

Смотрите также

• Почти равносторонний геронов треугольник
• Равнобедренный треугольник
• Тройной участок
• Трилинейные координаты

Ссылки

1. Bencze, Mihály; Wu, Hui-Hua; Wu, Shan-He (2008). "Эквивалентная форма фундаментального неравенства треугольника и ее приложения" (PDF) . Журнал неравенств в чистой и прикладной математике . 10 (1): 1–6 (статья № 16). ISSN  1443-5756. MR  2491926. S2CID  115305257. Zbl  1163.26316.
2. Доспинеску, Г.; Ласку, М.; Похоата, К.; Летива, М. (2008). "Элементарное доказательство неравенства Бландона" (PDF) . Журнал неравенств в чистой и прикладной математике . 9 (4): 1-3 (Документ № 100). ISSN  1443-5756. S2CID  123965364. Zbl  1162.51305.
3. Blundon, WJ (1963). «О некоторых многочленах, связанных с треугольником». Mathematics Magazine . 36 (4). Taylor & Francis : 247–248. doi : 10.2307/2687913. JSTOR  2687913. S2CID  124726536. Zbl  0116.12902.
4. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009). Когда меньше значит больше. Визуализация основных неравенств. Dolciani Mathematical Expositions. Том 36. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . С. 71, 155. doi :10.5948/upo9781614442028. ISBN 978-0-88385-342-9. MR  2498836. OCLC  775429168. S2CID  117769827. Збл  1163.00008.
5. Pohoata, Cosmin (2010). "Новое доказательство неравенства Эйлера вписанного радиуса - описанного радиуса" (PDF) . Gazeta Matematica Seria B (3): 121–123. S2CID  124244932.
6. Андрееску, Титу; Андрика, Дориан (2006). Комплексные числа от А до... Я (1-е изд.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser . С. 70, 113–115. doi :10.1007/0-8176-4449-0. ISBN 978-0-8176-4449-9. OCLC  871539199. S2CID  118951675.
7. Оуэн, Байер; Феликс, Лазебник; Дейрдре, Смельцер (2010). Методы евклидовой геометрии . Материалы для занятий в классе. Том 37. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . С. 36, 39. doi :10.5860/choice.48-3331. ISBN 9780883857632. OCLC  501976971. S2CID  118179744.
8. Yiu, Paul (1998). «Заметки о евклидовой геометрии» (PDF) . Флоридский Атлантический университет, кафедра математических наук (курсовые заметки).
9. Cerin, Zvonko (2004). «Треугольники вершина-середина-центроид» (PDF) . Forum Geometricorum . 4 : 97–109.
10. «Неравенства, предложенные в «Crux Mathematicorum»» (PDF) .
11. Chakerian, GD "Искаженный взгляд на геометрию". Гл. 7 в Mathematical Plums (редактор Р. Хонсбергер). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
12. Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996). Сложные задачи по геометрии . Dover Publ.
13. Конвей, Дж. Х. и Гай, Р. К., «Единственный рациональный треугольник», в «Книге чисел» , 1996, Springer-Verlag, стр. 201 и 228–239.
14. Леон Банкофф и Джек Гарфанкел, «Семиугольный треугольник», Mathematics Magazine 46 (1), январь 1973 г., 7–19,
15. Дёрри, Генрих (1965). 100 великих проблем элементарной математики . Dover Publ. стр. 379–380.
16. Свртан, Драгутин; Велян, Дарко (2012). «Неевклидовы версии некоторых классических неравенств треугольника» (PDF) . Forum Geometricorum . 12 : 197–209.
17. Ли, Ходжо (2001). «Еще одно доказательство теоремы Эрдёша–Морделла» (PDF) . Forum Geometricorum . 1 : 7–8.
18. Гарднер, Мартин, «Элегантные треугольники», в книге «Математический цирк» , 1979, стр. 65.
19. Месхишвили, Мамука (2021). «Циклические средние расстояний правильных многоугольников» (PDF) . Международный журнал геометрии . 10 : 58–65.
20. Де, Притхвиджит (2008). «Любопытные свойства описанной и вписанной окружностей равностороннего треугольника» (PDF) . Математический спектр . 41 (1): 32–35.
21. Минда, Д.; Фелпс, С. (2008). «Треугольники, эллипсы и кубические многочлены». American Mathematical Monthly . 115 (октябрь): 679–689. doi :10.1080/00029890.2008.11920581. JSTOR  27642581. S2CID  15049234.
22. Дао, Тхань Оай (2015). «Равносторонние треугольники и перспективы Киперта в комплексных числах» (PDF) . Forum Geometricorum . 15 : 105–114.
23. Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри (ноябрь 1977 г.). «Tilings by Regular Polygons» (PDF) . Mathematics Magazine . 50 (5). Taylor & Francis, Ltd.: 231–234. doi :10.2307/2689529. JSTOR  2689529. MR  1567647. S2CID  123776612. Zbl  0385.51006.
24. Джонсон, Норман В. (2018). Геометрия и преобразования (1-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press . стр. xv, 1–438. doi :10.1017/9781316216477. ISBN 978-1107103405. S2CID  125948074. Збл  1396.51001.
25. Кромвель, Питер Т. (1997). "Глава 2: Архимедовы тела" . Многогранники (1-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. стр. 85. ISBN 978-0521664059. МР  1458063. OCLC  41212721. Збл  0888.52012.
26. Клитцинг, Ричард. "n-антипризмы с числом витков d". Многогранники и их матрицы инцидентности . bendwavy.org (Антон Шервуд) . Получено 09.03.2023 .
27. Уэбб, Роберт. "Stella Polyhedral Glossary". Стелла . Получено 2023-03-09 .
28. HSM Coxeter (1948). Правильные многогранники (1-е изд.). Лондон: Methuen & Co. LTD. стр. 120–121. OCLC  4766401. Zbl  0031.06502.
29. Пелконен, Эева-Лийза; Альбрехт, Дональд, ред. (2006). Ээро Сааринен: Формируя будущее. Издательство Йельского университета. стр. 160, 224, 226. ISBN. 978-0972488129.
30. Уайт, Стивен Ф.; Кальдерон, Эстела (2008). Культура и обычаи Никарагуа . Greenwood Press. стр. 3. ISBN 978-0313339943.
31. Гильермо, Артемио Р. (2012). Исторический словарь Филиппин. Scarecrow Press. стр. 161. ISBN 978-0810872462.
32. Райли, Майкл У.; Кочран, Дэвид Дж.; Баллард, Джон Л. (декабрь 1982 г.). «Исследование предпочтительных форм для предупреждающих надписей». Человеческие факторы: Журнал Общества человеческого фактора и эргономики . 24 (6): 737–742. doi :10.1177/001872088202400610. S2CID  109362577.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Равносторонний треугольник». MathWorld .