Треугольник Рело

Изогнутый треугольник постоянной ширины

Граница треугольника Рело представляет собой кривую постоянной ширины, основанную на равностороннем треугольнике. Все точки стороны равноудалены от противоположной вершины.

Треугольник Рело [ʁœlo] — изогнутый треугольник постоянной ширины , самая простая и известная кривая постоянной ширины, кроме круга. ^[1] Он образуется в результате пересечения трех круглых дисков , центр каждого из которых находится на границе двух других. Постоянная ширина означает, что расстояние между всеми двумя параллельными опорными линиями одинаково, независимо от их ориентации. Поскольку его ширина постоянна, треугольник Рело является одним из ответов на вопрос: «Какую форму, кроме круга, можно сделать крышкой люка , чтобы она не могла упасть через отверстие?» ^[2]

Они названы в честь Франца Рело , ^[3] немецкого инженера 19-го века, который был пионером в изучении машин для перевода одного типа движения в другой и который использовал треугольники Рело в своих конструкциях. ^[4] Однако эти формы были известны и до него, например, дизайнерам готических церковных окон, Леонардо да Винчи , который использовал их для картографической проекции , и Леонарду Эйлеру в его исследовании форм постоянной ширины. Другие применения треугольника Рело включают придание формы медиаторам , гайкам пожарных гидрантов , карандашам и сверлам для сверления скругленных квадратных отверстий, а также в графическом дизайне в форме некоторых знаков и корпоративных логотипов.

Среди фигур постоянной ширины с заданной шириной треугольник Рело имеет минимальную площадь и самый острый (наименьший) возможный угол (120 °) в углах. По нескольким численным показателям он наиболее далек от центрально-симметричного . Он обеспечивает наибольшую форму постоянной ширины, избегая точек целочисленной решетки , и тесно связан с формой четырехугольника, максимизируя соотношение периметра к диаметру. Он может совершать полный оборот внутри квадрата, постоянно касаясь всех четырех сторон квадрата, и имеет наименьшую возможную площадь фигур с этим свойством. Однако, хотя в этом процессе вращения он покрывает большую часть квадрата, ему не удается покрыть небольшую часть площади квадрата вблизи его углов. Из-за этого свойства вращения внутри квадрата треугольник Рело также иногда называют ротором Рело . ^[5]

Треугольник Рело — первый из последовательности многоугольников Рело , границы которых представляют собой кривые постоянной ширины, образованные из правильных многоугольников с нечетным числом сторон. Некоторые из этих кривых использовались в качестве форм монет . Треугольник Рело также можно обобщить на три измерения несколькими способами: тетраэдр Рело (пересечение четырех шаров , центры которых лежат на правильном тетраэдре ) не имеет постоянной ширины, но может быть изменен путем закругления его краев, чтобы сформировать тетраэдр Мейснера . , что и делает. Альтернативно, поверхность вращения треугольника Рело также имеет постоянную ширину.

Строительство

Чтобы построить треугольник Рело

Треугольник Рело может быть построен либо непосредственно из трех кругов , либо путем округления сторон равностороннего треугольника . ^[6]

Построение трех кругов можно выполнить только с помощью циркуля , даже не используя линейку. По теореме Мора-Машерони то же самое верно в более общем смысле для любой конструкции циркуля и линейки ^[7] , но конструкция треугольника Рело особенно проста. Первый шаг — отметить две произвольные точки плоскости (которые в конечном итоге станут вершинами треугольника) и с помощью циркуля провести круг с центром в одной из отмеченных точек через другую отмеченную точку. Затем рисуется второй круг того же радиуса с центром в другой отмеченной точке и проходящий через первую отмеченную точку. Наконец, рисуется третий круг, опять же того же радиуса, с центром в одной из двух точек пересечения двух предыдущих кругов, проходящий через обе отмеченные точки. ^[8] Центральная область в получившемся расположении трех кругов будет треугольником Рело. ^[6]

В качестве альтернативы треугольник Рело можно построить из равностороннего треугольника T , нарисовав три дуги окружностей, каждая из которых сосредоточена в одной вершине треугольника T и соединив две другие вершины. ^[9] Или, что то же самое, его можно построить как пересечение трех дисков с центрами в вершинах T , с радиусом, равным длине стороны T . ^[10]

Математические свойства

Параллельные опорные линии треугольника Рело

Самым основным свойством треугольника Рело является то, что он имеет постоянную ширину, а это означает, что для каждой пары параллельных опорных линий (двух линий с одинаковым наклоном, которые касаются фигуры, не пересекая ее) две линии имеют одинаковое евклидово расстояние от друг друга, независимо от ориентации этих линий. ^[9] В любой паре параллельных опорных линий одна из двух линий обязательно будет касаться треугольника в одной из его вершин. Другая опорная линия может касаться треугольника в любой точке противоположной дуги, а расстояние между ними (ширина треугольника Рело) равно радиусу этой дуги. ^[11]

Первым математиком, открывшим существование кривых постоянной ширины и заметившим, что треугольник Рело имеет постоянную ширину, возможно, был Леонард Эйлер . ^[5] В статье, которую он представил в 1771 году и опубликовал в 1781 году под названием De curvis triangularibus , Эйлер изучал криволинейные треугольники, а также кривые постоянной ширины, которые он назвал орбиформами. ^{[12] [13]}

Экстремальные меры

По многим параметрам треугольник Рело является одной из самых крайних кривых постоянной ширины.

По теореме Бляшке-Лебега треугольник Рело имеет наименьшую возможную площадь среди любой кривой заданной постоянной ширины. Эта область

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\pi -{\sqrt {3}})s^{2}\approx 0.705s^{2},}$

где s — постоянная ширина. Один из методов вывода этой формулы площади состоит в том, чтобы разделить треугольник Рело на внутренний равносторонний треугольник и три криволинейные области между этим внутренним треугольником и дугами, образующими треугольник Рело, а затем сложить площади этих четырех наборов. С другой стороны, кривая постоянной ширины, имеющая максимально возможную площадь, представляет собой круглый диск площадью . ^[14] ${\displaystyle \pi s^{2}/4\approx 0.785s^{2}}$

Все углы, образуемые каждой парой дуг в углах треугольника Рело, равны 120°. Это максимально острый угол в любой вершине любой кривой постоянной ширины. ^[9] Кроме того, среди кривых постоянной ширины треугольник Рело имеет как самый большой, так и самый маленький вписанные равносторонние треугольники. ^[15] Самый большой равносторонний треугольник, вписанный в треугольник Рело, — это тот, который соединяет три его угла, а самый маленький — тот, который соединяет три середины его сторон. Подмножество треугольника Рело, состоящее из точек, принадлежащих трем или более диаметрам, является внутренней частью большего из этих двух треугольников; она имеет большую площадь, чем набор точек трех диаметров любой другой кривой постоянной ширины. ^[16]

Центрально-симметричные формы внутри и снаружи треугольника Рело, используемые для измерения его асимметрии.

Хотя треугольник Рело обладает шестигранной двугранной симметрией , так же, как и равносторонний треугольник , он не имеет центральной симметрии . Треугольник Рело представляет собой наименее симметричную кривую постоянной ширины в соответствии с двумя различными мерами центральной асимметрии: мерой Ковнера-Безиковича (отношение площади к наибольшей центрально-симметричной форме, заключенной в кривую) и мерой Эстермана (отношение площади к площади наименьшая центрально-симметричная форма, охватывающая кривую). В треугольнике Рело две центрально-симметричные фигуры, определяющие меру асимметрии, являются шестиугольными , хотя внутренняя имеет изогнутые стороны. ^[17] Треугольник Рело имеет диаметры, которые делят его площадь более неравномерно, чем любая другая кривая постоянной ширины. То есть максимальное соотношение площадей по обе стороны от диаметра, еще одна мера асимметрии, для треугольника Рело больше, чем для других кривых постоянной ширины. ^[18]

Среди всех фигур постоянной ширины, которые избегают всех точек целочисленной решетки , наибольшую ширину имеет треугольник Рело. Одна из его осей симметрии параллельна осям координат на полуцелой прямой. Его ширина, примерно 1,54, является корнем многочлена шестой степени с целыми коэффициентами. ^{[17] [19] [20]}

Точно так же, как круг может быть окружен шестью конгруэнтными окружностями, которые соприкасаются с ним, также возможно расположить семь конгруэнтных треугольников Рело так, чтобы все они соприкасались с центральным треугольником Рело того же размера. Это максимально возможное число для любой кривой постоянной ширины. ^[21]

Равнодиагональный воздушный змей с максимальным соотношением периметра к диаметру, вписанный в треугольник Рело .

Среди всех четырехугольников фигурой, которая имеет наибольшее отношение периметра к диаметру, является равнодиагональный змей , который можно вписать в треугольник Рело. ^[22]

Другие меры

По теореме Барбье все кривые одинаковой постоянной ширины, включая треугольник Рело, имеют равные периметры . В частности, этот периметр равен периметру круга той же ширины, то есть . ^{[23] [24] [9]} ${\displaystyle \pi s}$

Радиусы наибольшей вписанной окружности треугольника Рело шириной s и описанной окружности того же треугольника равны

${\displaystyle \displaystyle \left(1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)s\approx 0.423s\quad {\text{and}}\quad \displaystyle {\frac {s}{\sqrt {3}}}\approx 0.577s}$

соответственно; сумма этих радиусов равна ширине треугольника Рело. В более общем смысле, для каждой кривой постоянной ширины наибольшая вписанная окружность и наименьшая описанная окружность концентричны, а сумма их радиусов равна постоянной ширине кривой. ^[25]

Нерешенная задача по математике :

Насколько плотно можно упаковать треугольники Рело в плоскости?

(еще нерешенные задачи по математике)

Оптимальная плотность упаковки треугольника Рело в плоскости остается недоказанной, но предполагается, что она равна

${\displaystyle {\frac {2(\pi -{\sqrt {3}})}{{\sqrt {15}}+{\sqrt {7}}-{\sqrt {12}}}}\approx 0.923,}$

что представляет собой плотность одной возможной двойной решетчатой ​​упаковки для этих форм. Наилучшая доказанная верхняя граница плотности упаковки составляет примерно 0,947. ^[26] Также было высказано предположение, но не доказано, что треугольники Рело имеют самую высокую плотность упаковки среди всех кривых постоянной ширины. ^[27]

Вращение внутри квадрата

Вращение треугольника Рело внутри квадрата, показывающее также кривую, очерченную центром треугольника.

Любая кривая постоянной ширины может образовывать ротор внутри квадрата , форму, которая может совершать полный оборот, оставаясь внутри квадрата и постоянно касаясь всех четырех сторон квадрата. Однако треугольник Рело — это ротор минимально возможной площади. ^[9] Когда он вращается, его ось не остается фиксированной в одной точке, а вместо этого следует кривой, образованной частями четырех эллипсов . ^[28] Из-за углов в 120° вращающийся треугольник Рело не может достичь некоторых точек вблизи более острых углов в вершинах квадрата, а скорее охватывает форму со слегка закругленными углами, также образованную эллиптическими дугами. ^[9]

В любой момент этого вращения два угла треугольника Рело касаются двух смежных сторон квадрата, а третий угол треугольника очерчивает кривую возле противоположной вершины квадрата. Форма, очерченная вращающимся треугольником Рело, занимает примерно 98,8% площади квадрата. ^[29]

В качестве контрпримера

Первоначальной мотивацией Рело для изучения треугольника Рело был контрпример, показывающий, что трех одноточечных контактов может быть недостаточно для фиксации плоского объекта в одном положении. ^[30] Существование треугольников Рело и других кривых постоянной ширины показывает, что одни только измерения диаметра не могут подтвердить, что объект имеет круглое поперечное сечение. ^[31]

В связи с проблемой вписанного квадрата Эгглстон (1958) заметил, что треугольник Рело представляет собой пример формы постоянной ширины, в которую не может быть вписан ни один правильный многоугольник с более чем четырьмя сторонами, за исключением правильного шестиугольника, и описал небольшой модификацию этой формы, которая сохраняет ее постоянную ширину, но также предотвращает вписывание в нее правильных шестиугольников. Он обобщил этот результат на три измерения, используя цилиндр той же формы, что и его поперечное сечение . ^[32]

Приложения

Достигая углов

Некоторые типы машин имеют форму треугольника Рело, основанного на его свойстве вращаться внутри квадрата.

Квадратное сверло Watts Brothers Tool Works имеет форму треугольника Рело, модифицированного вогнутостями для образования режущих поверхностей. При установке в специальный патрон, который позволяет сверлу не иметь фиксированного центра вращения, можно просверлить отверстие почти квадратной формы. ^[33] Хотя подобные сверла были запатентованы Генри Уоттсом в 1914 году, они использовались и раньше. ^[9] Другие многоугольники Рело используются для сверления пятиугольных, шестиугольных и восьмиугольных отверстий. ^{[9] [33]}

Робот-пылесос RULO от Panasonic имеет форму треугольника Рело, что облегчает уборку пыли в углах комнат. ^{[34] [35]}

Прокатные цилиндры

Сравнение цилиндрического катка и треугольного катка Рело.

Другой класс применений треугольника Рело включает цилиндрические объекты с поперечным сечением треугольника Рело. Некоторые карандаши производятся именно этой формы, а не более традиционных круглых или шестиугольных корпусов. ^[36] Их обычно рекламируют как более удобные или способствующие правильному захвату, а также как менее склонные к скатыванию со стола (поскольку центр тяжести перемещается вверх и вниз больше, чем катящийся шестиугольник).

Треугольник Рело (как и все другие кривые постоянной ширины ) может катиться , но из него получается плохое колесо, поскольку оно не вращается вокруг фиксированного центра вращения. Объект, находящийся на роликах треугольного сечения Рело, будет катиться плавно и ровно, но ось, прикрепленная к треугольным колесам Рело, будет подпрыгивать вверх и вниз три раза за оборот. ^{[9] [37]} Эта концепция была использована в научно-фантастическом рассказе Пола Андерсона под названием «Трёхугольное колесо». ^{[11] [38]} Велосипед с плавающими осями и рамой, поддерживаемой ободом треугольного колеса Рело, был построен и продемонстрирован в 2009 году китайским изобретателем Гуань Байхуа, которого вдохновили карандаши такой же формы. ^[39]

Конструкция механизма

Механизм продвижения пленки на основе треугольника Рело в советском 8-мм кинопроекторе Луч-2.

Другой класс применений треугольника Рело предполагает использование его как части механической связи , которая может преобразовывать вращение вокруг фиксированной оси в возвратно-поступательное движение . ^[10] Эти механизмы были изучены Францем Рёло. При содействии компании Густава Фойгта Рело построил около 800 моделей механизмов, некоторые из которых включали треугольник Рело. ^[40] Рело использовал эти модели в своих новаторских научных исследованиях их движения. ^[41] Хотя большинство моделей Рело-Фойгта были утеряны, 219 из них были собраны в Корнелльском университете , в том числе девять на основе треугольника Рело. ^{[40] [42]} Однако использование треугольников Рело в конструкции механизмов предшествует работе Рело; например, некоторые паровые машины, выпущенные еще в 1830 году, имели кулачок в форме треугольника Рело. ^{[43] [44]}

Одно из применений этого принципа возникает в кинопроекторе . В этом приложении необходимо продвигать пленку рывками, ступенчато, при этом каждый кадр пленки останавливается на долю секунды перед объективом проектора, а затем гораздо быстрее пленка перемещается к следующему. рамка. Это можно сделать с помощью механизма, в котором вращение треугольника Рело внутри квадрата используется для создания схемы движения привода, который быстро подтягивает пленку к каждому новому кадру, а затем приостанавливает движение пленки на время проецирования кадра. ^[45]

Ротор двигателя Ванкеля имеет форму криволинейного треугольника, который часто называют примером треугольника Рело. ^{[3] [5] [9] [44]} Однако его изогнутые стороны несколько более плоские, чем у треугольника Рело, и поэтому он не имеет постоянной ширины. ^[46]

Архитектура

Треугольное окно Рело в церкви Богоматери, Брюгге, Бельгия.

В готической архитектуре , начиная с конца 13-го или начала 14-го века, ^[47] треугольник Рело стал одной из нескольких криволинейных форм, часто используемых для окон, оконного узора и других архитектурных украшений. ^[3] Например, в английской готической архитектуре эта форма была связана с периодом украшений, как в геометрическом стиле 1250–1290 годов, так и в криволинейном стиле 1290–1350 годов. ^[47] Он также появляется в некоторых окнах Миланского собора . ^[48] ​​В этом контексте форму иногда называют сферическим треугольником , ^{[47] [49] [50]} который не следует путать со сферическим треугольником , означающим треугольник на поверхности сферы . При использовании в готической церковной архитектуре трехугольную форму треугольника Рело можно рассматривать как символ Троицы [ ^51] и как «акт противодействия форме круга». ^[52]

Треугольник Рело также использовался в других стилях архитектуры. Например, Леонардо да Винчи нарисовал эту форму как план укрепления. ^[42] Современные здания, которые, как утверждается, используют план этажа в форме треугольника Рело, включают аудиторию MIT Kresge Auditorium , Kölntriangle , Donauturm , Torre de Collserola и музей Mercedes-Benz . ^[53] Однако во многих случаях это просто закругленные треугольники с геометрией, отличной от треугольника Рело.

картографирование

Еще одно раннее применение треугольника Рело, карта мира да Винчи , датированная примерно 1514 годом, представляла собой карту мира , на которой сферическая поверхность Земли была разделена на восемь октантов, каждый из которых имел форму треугольника Рело. ^{[54] [55] [56]}

Карта мира Леонардо да Винчи в восьми квадрантах треугольника Рело.

Подобные карты, также основанные на треугольнике Рело, были опубликованы Оронсом Фине в 1551 году и Джоном Ди в 1580 году. ^[56]

Другие объекты

Медиаторы для гитары Reuleaux треугольной формы.

Во многих медиаторах используется треугольник Рело, поскольку его форма сочетает в себе острую часть, обеспечивающую сильную артикуляцию, и широкий кончик, обеспечивающий теплый тембр. Поскольку все три точки формы пригодны для использования, ее легче ориентировать и она изнашивается медленнее по сравнению с киркой с одним кончиком. ^[57]

Незаконное использование пожарного гидранта, Филадельфия, 1996 год, и более нового филадельфийского гидранта с треугольной гайкой Рело для предотвращения такого использования.

Треугольник Рело использовался в качестве формы поперечного сечения гайки клапана пожарного гидранта . Постоянная ширина такой формы затрудняет открытие пожарного гидранта стандартными ключами с параллельными губками; вместо этого необходим гаечный ключ особой формы. Это свойство позволяет открывать пожарные гидранты только пожарным (у которых есть специальный гаечный ключ), а не другим людям, пытающимся использовать гидрант в качестве источника воды для других действий. ^[58]

Субмиллиметровая решетка с семью из восьми антенн, расположенных примерно в треугольнике Рело.

По предложению Кето (1997) ^[59] антенны Submillimeter Array , радиоволновой астрономической обсерватории на Мауна-Кеа на Гавайях , расположены на четырех вложенных друг в друга треугольниках Рело. ^{[60] [61]} Размещение антенн на кривой постоянной ширины приводит к тому, что обсерватория имеет одинаковое пространственное разрешение во всех направлениях и обеспечивает круговой луч наблюдения. Треугольник Рело, являющийся наиболее асимметричной кривой постоянной ширины, приводит к наиболее равномерному покрытию плоскости для преобразования Фурье сигнала от массива. ^{[59] [61]} Усики можно перемещать из одного треугольника Рело в другой для разных наблюдений в соответствии с желаемым угловым разрешением каждого наблюдения. ^{[60] [61]} Точное расположение усиков на этих треугольниках Рело было оптимизировано с помощью нейронной сети . В некоторых местах построенная обсерватория отклоняется от предпочтительной формы треугольника Рело, поскольку такая форма была невозможна на данном участке. ^[61]

Знаки и логотипы

Формы щитов, используемые для многих знаков и корпоративных логотипов, представляют собой закругленные треугольники. Однако лишь некоторые из них являются треугольниками Рело.

Корпоративный логотип Petrofina (Fina), бельгийской нефтяной компании с основными операциями в Европе, Северной Америке и Африке, использовал треугольник Рело с названием Fina с 1950 года до слияния Petrofina с Total SA (сегодня TotalEnergies ) в 2000 году. ^{[62] [63]} Еще один корпоративный логотип, обрамленный треугольником Рело, компасом пивоварни Bavaria Brewery , указывающим на юг , был частью реконструкции дизайнерской компании Total Identity, которая выиграла награду SAN «Рекламодатель года 2010». ^[64] Треугольник Рело также используется в логотипе Горной школы Колорадо . ^[65]

В Соединенных Штатах Национальная система троп и Система велосипедных маршрутов США отмечают маршруты треугольниками Рело на указателях. ^[66]

В природе

Треугольник Рело как центральный пузырь в математической модели плоского кластера мыльных пузырей из четырех пузырей.

Согласно законам Плато , дуги окружностей в двумерных скоплениях мыльных пузырей встречаются под углом 120°, такой же угол имеется в углах треугольника Рело. На основании этого факта можно построить кластеры, в которых часть пузырьков принимает форму треугольника Рело. ^[67]

Форма была впервые выделена в кристаллической форме в 2014 году в виде треугольных дисков Рело. ^[68] Базовые диски нитрата висмута формы треугольника Рело были получены в результате гидролиза и осаждения нитрата висмута в системе этанол–вода в присутствии 2,3-бис(2-пиридил)пиразина.

Обобщения

Треугольные кривые постоянной ширины с гладкими, а не острыми углами могут быть получены как геометрические точки точек, находящихся на фиксированном расстоянии от треугольника Рело. ^[69] Другие обобщения треугольника Рело включают трехмерные поверхности, кривые постоянной ширины с более чем тремя сторонами и наборы Янмути, которые представляют собой крайние примеры неравенства между шириной, диаметром и внутренним радиусом.

Трехмерная версия

Четыре шара пересекаются, образуя тетраэдр Рело.

Пересечение четырех шаров радиуса s с центрами в вершинах правильного тетраэдра с длиной стороны s называется тетраэдром Рело , но его поверхность не является поверхностью постоянной ширины . ^[70] Однако его можно превратить в поверхность постоянной ширины, называемую тетраэдром Мейснера , заменив три его краевые дуги изогнутыми поверхностями, поверхностями вращения дуги окружности. Альтернативно, поверхность вращения треугольника Рело через одну из его осей симметрии образует поверхность постоянной ширины с минимальным объемом среди всех известных поверхностей вращения заданной постоянной ширины. ^[71]

Полигоны Рело

Треугольник Рело можно обобщить на правильные или неправильные многоугольники с нечетным числом сторон, в результате чего получается многоугольник Рело , кривая постоянной ширины, образованная из дуг окружностей постоянного радиуса. Постоянная ширина этих форм позволяет использовать их в качестве монет, которые можно использовать в монетоприемниках. ^[9] Хотя монеты этого типа, находящиеся в общем обращении, обычно имеют более трех сторон, треугольник Рело использовался для памятной монеты с Бермудских островов . ^[53]

Аналогичные методы можно использовать для заключения произвольного простого многоугольника в кривую постоянной ширины, ширина которой равна диаметру данного многоугольника. Полученная форма состоит из дуг окружностей (не более, чем количество сторон многоугольника), может быть построена алгоритмически за линейное время и нарисована с помощью циркуля и линейки. ^[72] Хотя все многоугольники Рело имеют нечетное количество сторон дуги окружности, можно построить формы постоянной ширины с четным числом сторон дуги окружности различных радиусов. ^[73]

Наборы Янмути

Множества Янмути определяются как выпуклые оболочки равностороннего треугольника вместе с тремя круговыми дугами с центрами в вершинах треугольника и охватывающими тот же угол, что и треугольник, с равными радиусами, которые не более чем равны длине стороны треугольника. Таким образом, когда радиус достаточно мал, эти множества вырождаются до самого равностороннего треугольника, но когда радиус максимально велик, они равны соответствующему треугольнику Рело. Каждая форма с шириной w , диаметром d и внутренним радиусом r (радиусом наибольшего возможного круга, содержащегося в форме) подчиняется неравенству

${\displaystyle w-r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}},}$

и это неравенство становится равенством для множеств Янмути, показывая, что его невозможно улучшить. ^[74]

Связанные цифры

Трикетра переплетается в узел-трилистник .

В классическом представлении диаграммы Венна из трех множеств в виде трех перекрывающихся кругов центральная область (представляющая элементы, принадлежащие всем трем наборам) принимает форму треугольника Рело. ^[3] Те же три круга образуют один из стандартных рисунков колец Борромео , трёх взаимно связанных колец, которые, однако, не могут быть реализованы как геометрические круги. ^[75] Части этих же кругов используются для формирования трикетры , фигуры из трех перекрывающихся полукругов (каждый два из которых образуют символ vesica piscis ), который снова имеет треугольник Рело в центре; ^[76] Точно так же, как три круга диаграммы Венна могут переплетаться, образуя кольца Борромео, три круговые дуги трикетра могут переплетаться, образуя узел- трилистник . ^[77]

Родственники треугольника Рело возникают в задаче нахождения минимальной формы периметра, охватывающей фиксированную площадь и включающей три заданные точки на плоскости. При широком диапазоне выбора параметра площади оптимальным решением этой задачи будет изогнутый треугольник, три стороны которого представляют собой дуги окружностей равных радиусов. В частности, когда три точки равноудалены друг от друга и площадь равна площади треугольника Рело, треугольник Рело является оптимальным ограждением. ^[78]

Круглые треугольники — это треугольники с краями в форме дуги окружности, включая треугольник Рело, а также другие формы. Дельтовидная кривая — это еще один тип криволинейного треугольника, но в котором кривые, заменяющие каждую сторону равностороннего треугольника, являются вогнутыми, а не выпуклыми. Он не состоит из дуг окружностей, но может быть образован путем прокатки одного круга внутри другого, радиус которого в три раза больше. ^[79] Другие плоские формы с тремя изогнутыми сторонами включают арбелос , который образован из трех полукругов с коллинеарными конечными точками, ^[80] и треугольник Безье . ^[81]

Треугольник Рело также можно интерпретировать как стереографическую проекцию одной треугольной грани сферического тетраэдра , треугольник параметров Шварца со сферическими углами измерения и сторонами сферической длины ^{[67] [82]} ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {3}{2}}}$ ${\displaystyle 120^{\circ }}$ ${\displaystyle {\arccos }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{3}}}{\bigr )}.}$

Рекомендации

1. Гарднер (2014) называет его самым простым, а Грубер (1983, стр. 59) называет его «самым печально известным».
2. Клее, Виктор (1971), «Формы будущего», The Two-Year College Mathematics Journal , 2 (2): 14–27, doi : 10.2307/3026963, JSTOR  3026963.
3. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2011), Иконы математики: исследование двадцати ключевых изображений , Dolciani Mathematical Expositions, vol. 45, Математическая ассоциация Америки, с. 155, ISBN 978-0-88385-352-8.
4. Мун, ФК (2007), Машины Леонардо да Винчи и Франца Рело: кинематика машин от Возрождения до 20-го века , История механизмов и машиноведения, том. 2, Спрингер, ISBN 978-1-4020-5598-0.
5. Брайант, Джон; Сангвин, Крис (2011), Насколько кругл ваш круг?: Где встречаются инженерия и математика , Princeton University Press, стр. 190, ИСБН 978-0-691-14992-9.
6. Ханн, Майкл (2014), Структура и форма в дизайне: критические идеи для творческой практики, A&C Black, стр. 34, ISBN 978-1-4725-8431-1.
7. Хунгербюлер, Норберт (1994), «Краткое элементарное доказательство теоремы Мора-Машерони», American Mathematical Monthly , 101 (8): 784–787, CiteSeerX 10.1.1.45.9902 , doi : 10.2307/2974536, JSTOR  2974536, МР  1299166 .
8. Эта конструкция кратко описана Маором и Йостом (2014), и ее можно увидеть, например, в видео Алекса Франке «Забавы с треугольниками Рело», 21 августа 2011 г.
9. Гарднер, Мартин (2014), «Глава 18: Кривые постоянной ширины», Узлы и кольца Борромео, повторяющиеся плитки и восемь ферзей , Новая математическая библиотека Мартина Гарднера, том. 4, Издательство Кембриджского университета, стр. 223–245, ISBN. 978-0-521-75613-6.
10. Клее, Виктор ; Вагон, С. (1991), Старые и новые нерешенные проблемы плоской геометрии и теории чисел, Математические объяснения Дольчиани, том. 11, Издательство Кембриджского университета, с. 21, ISBN 978-0-88385-315-3.
11. Маор, Эли; Йост, Ойген (2014), «46 Треугольник Рело», Beautiful Geometry, Princeton University Press, стр. 154–156, ISBN 978-1-4008-4833-1.
12. Райх, Карин (2007), «Вклад Эйлера в дифференциальную геометрию и ее восприятие», в Брэдли, Роберт Э.; Сандифер, Эд (ред.), Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие , Исследования по истории и философии математики, том. 5, Elsevier, стр. 479–502, номер документа : 10.1016/S0928-2017(07)80026-0, ISBN. 9780444527288. См., в частности, раздел 1.4, «Орбиформы, 1781», стр. 484–485.
13. Эйлер, Леонард (1781), «De curvis triangularibus», Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (на латыни), 1778 : 3–30. См., в частности, стр. 7 для определения орбиформ.
14. Грубер, Питер М. (1983), Выпуклость и ее приложения, Birkhäuser, p. 67, ISBN 978-3-7643-1384-5
15. Грубер (1983, стр. 76)
16. Макеев, В. В. (2000), "Экстремальное свойство треугольника Рело", Зап. Научн. Сем. С.-Петербург. Отдел. Мат. Инст. Стеклов. (ПОМИ) , 267 (Геом. и Тополь. 5): 152–155, 329, doi : 10.1023/A:1021287302603 , MR  1809823, S2CID  116027099.
17. Финч, Стивен Р. (2003), «8.10 Константы треугольника Рело» (PDF) , Математические константы, Энциклопедия математики и ее приложений, Cambridge University Press, стр. 513–514, ISBN 978-0-521-81805-6.
18. Громер, Х.; Валлен, Л. Дж. (2001), «Мера асимметрии для областей постоянной ширины», Beiträge zur Algebra und Geometrie , 42 (2): 517–521, MR  1865537.
19. Грубер (1983, стр. 78)
20. Салли, GT (1969), «Максимальный набор постоянной ширины в решетке», Pacific Journal of Mathematics , 28 (3): 669–674, doi : 10.2140/pjm.1969.28.669 , MR  0240724.
21. Фейес Тот, Л. (1967), «О количестве равных дисков, которые могут касаться других дисков того же типа», Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica , 2 : 363–367, MR  0221388; Шопп, Дж. (1970), «Über die Newtonsche Zahl einer Scheibe konstanter Breite», Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica (на немецком языке), 5 : 475–478, MR  0285983.
22. Болл, Д.Г. (1973), «Обобщение π», The Mathematical Gazette , 57 (402): 298–303, doi : 10.2307/3616052, JSTOR  3616052, S2CID  125396664; Гриффитс, Дэвид; Калпин, Дэвид (1975), «Пи-оптимальные многоугольники», The Mathematical Gazette , 59 (409): 165–175, doi : 10.2307/3617699, JSTOR  3617699, S2CID  126325288.
23. Лэй, Стивен Р. (2007), Выпуклые множества и их приложения, Дувр, теорема 11.11, стр. 81–82, ISBN 978-0-486-45803-8.
24. Барбье, Э. (1860), «Заметка о проблеме l'aiguille et le jeu du Joint couvert» (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 2 ^e série (на французском языке), 5 : 273–286. См., в частности, стр. 283–285.
25. Лэй (2007), Теорема 11.8, стр. 80–81.
26. Слепой, Г.; Блинд, Р. (1983), «Eine Abschätzung für die Dichte der dichtesten Packung mit Reuleaux-Dreiecken», Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica (на немецком языке), 18 (2–4): 465–469, MR  0787951. См. также Блайнд Г.; Блинд, Р. (1987), «Reguläre Packungen mit Reuleaux-Dreiecken», Результаты по математике (на немецком языке), 11 (1–2): 1–7, doi : 10.1007/BF03323256, MR  0880190, S2CID  121633860.
27. Резникофф, Ховард Л. (2015), О кривых и поверхностях постоянной ширины , arXiv : 1504.06733 , Bibcode : 2015arXiv150406733R.
28. Гляйфтнер, Винфрид; Цейтлер, Герберт (май 2000 г.), «Треугольник Рёло и его центр масс», Results in Mathematics , 37 (3–4): 335–344, doi : 10.1007/bf03322004, S2CID  119600507.
29. Пиковер, Клиффорд А. (2009), «Треугольник Рело», Книга математики: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики, Sterling Publishing Company, стр. 266, ISBN 978-1-4027-5796-9.
30. Луна (2007), с. 239.
31. Грановский, В.А.; Сирая, Т.Н., «Метрологическая прослеживаемость и качество измерений при промышленных испытаниях», Павезе, Ф.; Бэр, М.; Фильц-младший; Форбс, АБ; Пендрилл, Л.; Широно, К. (ред.), Передовые математические и вычислительные инструменты в метрологии и тестировании IX , World Scientific, стр. 194–201.. См., в частности, стр. 200.
32. Эгглстон, Х.Г. (1958), «Цифры, вписанные в выпуклые множества», American Mathematical Monthly , 65 (2): 76–80, doi : 10.2307/2308878, JSTOR  2308878, MR  0097768.
33. Как просверлить квадратные шестиугольные восьмиугольные пятиугольные отверстия , Уилмердинг, Пенсильвания: Watts Brothers Tool Works , 1950–1951(брошюра на 27 страниц).
34. Мотидзуки, Такаши (22 января 2015 г.), «Panasonic выпускает треугольный робот-пылесос», Japan Real Time, Wall Street Journal.
35. Коксворт, Бен (3 марта 2015 г.), «Panasonic вступает в игру роботов-пылесосов с треугольным Руло», Gizmag.
36. Гамбер, Джонни (26 апреля 2006 г.), «Обзор Staedtler Noris Ergosoft HB», Pencil Revolution , получено 22 мая 2015 г..
37. Масферрер Леон, Клаудия; фон Вутенау Майер, Себастьян (декабрь 2005 г.), «Изобретая колесо заново: некруглые колеса», The Mathematical Intelligencer , 27 (4): 7–13, doi : 10.1007/bf02985852.
38. Андерсон, Пол (октябрь 1963), «Треугольное колесо», Аналог , стр. 50–69
39. Демпстер, Тайра (17 июня 2009 г.), китаец заново изобретает велосипед, Reuters
40. Мун, Фрэнсис К. (июль 1999 г.), Коллекция кинематических механизмов Рело в Корнельском университете (PDF) , Библиотека Корнельского университета, заархивировано из оригинала (PDF) 14 июня 2020 г..
41. Хендерсон, Дэвид В.; Таймина, Дайна (2007), «Ощущение значений в геометрии», в Синклере, Натали ; Пимм, Дэвид; Хиггинсон, Уильям (ред.), Математика и эстетика: новые подходы к древней близости , Книги CMS по математике, Springer, стр. 58–83, doi : 10.1007/978-0-387-38145-9_4, hdl : 1813 /2714 , ISBN 978-0-387-38145-9. См., в частности, стр. 81.
42. Мун (2007, стр. 241).
43. Луна (2007, стр. 240)
44. Петерсон, Иварс (19 октября 1996 г.), «Rolling with Reuleaux», MathTrek , ScienceNews. Перепечатано в Петерсоне, Иварсе (2002), «Математические пути: от сюрреалистических чисел к магическим кругам», спектр MAA, Математическая ассоциация Америки , стр. 141–144, ISBN. 978-0-88385-537-9.
45. Лэй (2007), с. 83.
46. Грубер (1983, стр. 80); Нэш, Дэвид Х. (март 1977 г.), «Геометрия роторного двигателя», Mathematics Magazine , 50 (2): 87–89, doi : 10.1080/0025570x.1977.11976621; Бадр, О.; Наик, С.; О'Каллаган, PW; Проберт, С.Д. (1991), «Роторные двигатели Ванкеля как расширительные устройства в паровых двигателях с циклом Ренкина», Applied Energy , 39 (1): 59–76, doi :10.1016/0306-2619(91)90063-4.
47. Харт, Стивен (2010), Узоры на окнах средневековой церкви в Англии, Boydell & Brewer Ltd, стр. 63–64, ISBN 978-1-84383-533-2.
48. Маркетти, Елена; Коста, Луиза Росси (2014), «Какая геометрия в Миланском соборе?», Уильямс, Ким; Оствальд, Майкл Дж. (ред.), Архитектура и математика от древности к будущему, Том I: От древности до 1500-х годов , Биркхойзер, стр. 509–534, номер документа : 10.1007/978-3-319-00137-1_35
49. Паркер, Джон Генри (1850), Словарь терминов, используемых в греческой, римской, итальянской и готической архитектуре, том. 1 (5-е изд.), Лондон: Дэвид Роуг, с. 202.
50. Берчетт, ES (1876), Практическая плоская геометрия, Лондон и Глазго: Уильям Коллинз, сыновья и компания, подпись к табличке LV, рис. 6.
51. Дюран, Гийом (1906), Символизм церквей и церковных украшений: перевод первой книги Rationale Divinorum Officiorum (3-е изд.), Гиббингс, стр. lxxxviii.
52. Франкл, Пол; Кроссли, Пол (2000), Готическая архитектура, История искусства Пеликана, том. 19, Издательство Йельского университета, с. 146, ISBN 978-0-300-08799-4.
53. Конти, Джузеппе; Паолетти, Рафаэлла (октябрь 2019 г.), «Треугольник Рело в архитектуре и приложениях», в Магнаги-Дельфино, Паола; Меле, Джампьеро; Норандо, Туллия (ред.), Лица геометрии: от Агнеси до Мирзахани , Конспект лекций по сетям и системам, Springer, стр. 79–89, doi : 10.1007/978-3-030-29796-1_7, S2CID  209976466
54. Снайдер, Джон П. (1997), Сглаживание Земли: две тысячи лет картографических проекций, University of Chicago Press, стр. 40, ISBN 978-0-226-76747-5.
55. Кеунинг, Йоханнес (январь 1955 г.), «История проекций географических карт до 1600 г.», Imago Mundi , 12 (1): 1–24, doi : 10.1080/03085695508592085, JSTOR  1150090.
56. Бауэр, Дэвид И. (февраль 2012 г.), «Необычная проекция одной из карт Джона Ди 1580 года» (PDF) , The Cartographic Journal , 49 (1): 55–61, doi : 10.1179/1743277411y.0000000015, S2CID  129873912.
57. Гувер, Уилл (ноябрь 1995 г.), Picks !: Красочная сага о старинных целлулоидных гитарных плектрах , Backbeat Books, стр. 32–33, ISBN 978-0-87930-377-8.
58. Мартини, Хорст; Монтехано, Луис; Оливерос, Дебора (2019), Тела постоянной ширины: введение в выпуклую геометрию с приложениями , Биркхойзер, стр. 3, номер домена : 10.1007/978-3-030-03868-7, ISBN 978-3-030-03866-3, МР  3930585, S2CID  127264210
59. Keto, Эрик (1997), «Формы интерферометров взаимной корреляции», The Astrophysical Journal , 475 (2): 843–852, Бибкод : 1997ApJ...475..843K, doi : 10.1086/303545.
60. Бланделл, Раймонд (2007), «Субмиллиметровая решетка» (PDF) , Proc. 2007 Международный симпозиум по микроволновому оборудованию IEEE/MTT-S , стр. 1857–1860, doi : 10.1109/mwsym.2007.380132, ISBN 978-1-4244-0687-6, S2CID  41312640.
61. Хо, Пол Т.П.; Моран, Джеймс М.; Ло, Квок Юнг (2004), «Субмиллиметровая решетка», The Astrophysical Journal , 616 (1): L1 – L6, arXiv : astro-ph/0406352 , Bibcode : 2004ApJ...616L...1H, doi : 10.1086 /423245, S2CID  115133614.
62. Гвиллиан, Сэм (16 мая 2015 г.), Интересные вещи: кривые постоянной ширины , Newport City Radio, заархивировано из оригинала 16 июня 2016 г.
63. «История логотипа Fina: от Petrofina до Fina», Итого: презентация группы , Total SA, заархивировано из оригинала 26 декабря 2012 г. , получено 31 октября 2015 г..
64. «Глобальный: Бавария, операция фундаментального ребрендинга в Баварии», Total Identity , заархивировано из оригинала 30 июня 2015 г. , получено 27 июня 2015 г.{{citation}}: CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )
65. Фишер, Роланд Б. (весна 2002 г.), «M-blems: Объяснение логотипа» (PDF) , Mines: Журнал Горной школы Колорадо , том. 92, нет. 2, с. 29, заархивировано из оригинала 10 июля 2010 г.{{citation}}: CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )
66. Линдли, Джеффри А. (1 июня 2012 г.), «Информация: MUTCD — временное одобрение факультативного использования альтернативного дизайна для знака велосипедного маршрута США (M1-9) (IA-15)», Руководство по равномерному дорожному движению. Устройства управления для улиц и автомагистралей: ресурсы , Министерство транспорта США, Федеральное управление шоссейных дорог , получено 20 августа 2018 г.
67. Modes, Карл Д.; Kamien, Randall D. (2013), «Сферические пены в плоском пространстве», Soft Matter , 9 (46): 11078–11084 , Arxiv : 0810.5724 , Bibcode :  2013smat ....
68. Нг, ЧБ; Фан, Вайоминг (2014), «Треугольные диски Рело: новая форма на блоке», Журнал Американского химического общества , 136 (37): 12840–12843, doi : 10.1021/ja506625y, PMID  25072943.
69. Банчофф, Томас; Гиблин, Питер (1994), «О геометрии кусочно-круговых кривых», American Mathematical Monthly , 101 (5): 403–416, doi : 10.2307/2974900, JSTOR  2974900, MR  1272938.
70. Вебер, Кристоф (2009), Какое отношение это тело имеет к шару? (PDF)У Вебера также есть фильмы, демонстрирующие вращение тел Мейснера обоих типов, а также интерактивные изображения.
71. Кампи, Стефано; Колезанти, Андреа; Гронки, Паоло (1996), «Задачи минимума для объемов выпуклых тел», Уравнения в частных производных и их приложения: Сборник статей в честь Карло Пуччи , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике, вып. 177, Марсель Деккер, стр. 43–55..
72. Чандру, В.; Венкатараман, Р. (1991), «Круглые оболочки и орбиформы простых многоугольников», Труды второго ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам (SODA '91) , Филадельфия, Пенсильвания, США: Общество промышленной и прикладной математики, стр. 433–440, ISBN 978-0-89791-376-8.
73. Петерсон, Брюс Б. (1973), «Свойства пересечения кривых постоянной ширины», Illinois Journal of Mathematics , 17 (3): 411–420, doi : 10.1215/ijm/1256051608 , MR  0320885.
74. Эрнандес Сифре, Массачусетс (2000), «Существует ли плоское выпуклое множество с заданной шириной, диаметром и внутренним радиусом?», American Mathematical Monthly , 107 (10): 893–900, doi : 10.2307/2695582, JSTOR  2695582, MR  1806918.
75. Линдстрем, Бернт; Зеттерстрем, Ханс-Олов (1991), «Круги Борромео невозможны», American Mathematical Monthly , 98 (4): 340–341, doi : 10.2307/2323803, JSTOR  2323803.
76. Вайсштейн, Эрик В. , «Трикетра», MathWorld
77. Эй, Джессика; Миллетт, Кеннет К. (2014), «Математический анализ завязывания и связывания в картеле Винчианской академии Леонардо да Винчи» (PDF) , Журнал математики и искусств.
78. Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт (1996), Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.), Oxford University Press, стр. 378–379, ISBN 978-0-19-975487-8.
79. Локвуд, Э.Х. (1961), «Глава 8: Дельтовидная мышца», Книга кривых , Cambridge University Press
80. Маккей, Дж. С. (февраль 1884 г.), «Нож сапожника», Труды Эдинбургского математического общества , 3 : 2, doi : 10.1017/s0013091500037196.
81. Брюйнс, Дж. (1998), «Квадратичные треугольники Безье как примитивы рисования», Труды семинара ACM SIGGRAPH/EUROGRAPHICS по графическому оборудованию (HWWS '98) , Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: ACM, стр. 15–24, дои : 10.1145/285305.285307, ISBN 978-1-58113-097-3, S2CID  28967106.
82. Веннингер, Магнус Дж. (2014), Сферические модели, Дувр, стр. 134, ISBN 978-0-486-14365-1.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Треугольник Рело», MathWorld