Уравнение Больцмана

Уравнение статистической механики

Место кинетического уравнения Больцмана на лестнице сведения моделей от микроскопической динамики к макроскопической динамике сплошной среды (иллюстрация к содержанию книги ^[1] )

Уравнение Больцмана или транспортное уравнение Больцмана ( BTE ) описывает статистическое поведение термодинамической системы, не находящейся в состоянии равновесия ; оно было разработано Людвигом Больцманом в 1872 году. ^[2] Классическим примером такой системы является жидкость с градиентами температуры в пространстве, вызывающая поток тепла из более горячих областей в более холодные, посредством случайного, но смещенного переноса частиц , составляющих эту жидкость. В современной литературе термин уравнение Больцмана часто используется в более общем смысле, относясь к любому кинетическому уравнению, которое описывает изменение макроскопической величины в термодинамической системе, такой как энергия, заряд или число частиц.

Уравнение возникает не путем анализа индивидуальных положений и импульсов каждой частицы в жидкости, а путем рассмотрения распределения вероятностей для положения и импульса типичной частицы, то есть вероятности того , что частица занимает заданную очень малую область пространства (математически элемент объема ) с центром в положении и имеет импульс, почти равный заданному вектору импульса (таким образом, занимая очень малую область импульсного пространства ), в момент времени. ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$

Уравнение Больцмана можно использовать для определения того, как изменяются физические величины, такие как тепловая энергия и импульс , когда жидкость находится в транспорте. Можно также вывести другие свойства, характерные для жидкостей, такие как вязкость , теплопроводность и электропроводность (рассматривая носители заряда в материале как газ). ^[2] См. также уравнение конвекции-диффузии .

Уравнение представляет собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение , а неизвестная функция в уравнении представляет собой функцию плотности вероятности в шестимерном пространстве положения и импульса частицы. Проблема существования и единственности решений до сих пор не полностью решена, но некоторые недавние результаты весьма многообещающие. ^{[3] [4]}

Обзор

Фазовое пространство и функция плотности

Набор всех возможных положений r и импульсов p называется фазовым пространством системы; другими словами, набор из трех координат для каждой координаты положения x, y, z и еще трех для каждой компоненты импульса p _x , p _y , p _z . Все пространство является 6- мерным : точка в этом пространстве есть ( r , p ) = ( x, y, z, p _x , p _y , p _z ) , и каждая координата параметризуется временем t . Малый объем («дифференциальный элемент объема ») записывается $${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}.}$$

Поскольку вероятность N молекул, которые все имеют r и p в пределах , находится под вопросом, в основе уравнения лежит величина f , которая дает эту вероятность на единицу объема фазового пространства или вероятность на единицу длины в кубе на единицу импульса в кубе, в момент времени t . Это функция плотности вероятности : f ( r , p , t ) , определенная так, что, есть число молекул, которые все имеют положения, лежащие в пределах элемента объема около r и импульсы, лежащие в пределах элемента пространства импульсов около p , в момент времени t . ^[5] Интегрирование по области пространства положений и пространства импульсов дает общее число частиц, которые имеют положения и импульсы в этой области: ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$ $${\displaystyle dN=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}N&=\int \limits _{\mathrm {momenta} }d^{3}\mathbf {p} \int \limits _{\mathrm {positions} }d^{3}\mathbf {r} \,f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\\[5pt]&=\iiint \limits _{\mathrm {momenta} }\quad \iiint \limits _{\mathrm {positions} }f(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)\,dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}\end{aligned}}}$$

что является 6-кратным интегралом . В то время как f ассоциируется с несколькими частицами, фазовое пространство относится к одной частице (не ко всем, что обычно бывает в детерминированных системах многих тел ), поскольку речь идет только об одном r и p . Использование r ₁ , p ₁ для частицы 1, r ₂ , p ₂ для частицы 2 и т. д. не является частью анализа вплоть до r _N , p _N для частицы N .

Предполагается, что частицы в системе идентичны (поэтому каждая имеет одинаковую массу m ). Для смеси более чем одного химического вида необходимо одно распределение для каждого, см. ниже.

Основное заявление

Общее уравнение тогда можно записать как ^[6] $${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{force}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{diff}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},}$$

где термин «force» соответствует силам, оказываемым на частицы внешним воздействием (не самими частицами), термин «diff» представляет диффузию частиц , а «coll» — это термин столкновения , учитывающий силы, действующие между частицами при столкновениях. Выражения для каждого термина в правой части приведены ниже. ^[6]

Обратите внимание, что некоторые авторы используют скорость частицы v вместо импульса p ; в определении импульса они связаны соотношением p = m v .

Силовые и диффузионные термины

Рассмотрим частицы, описываемые f , каждая из которых испытывает внешнюю силу F, не обусловленную другими частицами (см. термин столкновения для последнего рассмотрения).

Предположим, что в момент времени t некоторое количество частиц все имеют положение r внутри элемента и импульс p внутри . Если сила F мгновенно действует на каждую частицу, то в момент времени t + Δ t их положение будет равно , а импульс p + Δ p = p + F Δ t . Тогда, при отсутствии столкновений, f должно удовлетворять ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} =\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,\Delta t}$

$${\displaystyle f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \,\Delta t,t+\Delta t\right)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$$

Обратите внимание, что мы использовали тот факт, что элемент объема фазового пространства является постоянным, что можно показать с помощью уравнений Гамильтона (см. обсуждение в теореме Лиувилля ). Однако, поскольку столкновения происходят, плотность частиц в объеме фазового пространства изменяется, поэтому ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$

где Δ f — общее изменение f . Разделив ( 1 ) на и взяв пределы Δ t → 0 и Δ f → 0 , имеем ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} \,\Delta t}$

Полный дифференциал f равен :

где ∇ — оператор градиента , · — скалярное произведение , — сокращение для импульсного аналога ∇ , а ê _x , ê _y , ê _z — декартовы единичные векторы . $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\mathbf {\hat {e}} _{x}{\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}+\mathbf {\hat {e}} _{y}{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}+\mathbf {\hat {e}} _{z}{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}=\nabla _{\mathbf {p} }f}$$

Заключительное заявление

Разделив ( 3 ) на dt и подставив в ( 2 ), получим:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }}$$

В этом контексте F ( r , t ) — это силовое поле, действующее на частицы в жидкости, а m — масса частиц. Член в правой части добавляется для описания эффекта столкновений между частицами; если он равен нулю, то частицы не сталкиваются. Бесстолкновительное уравнение Больцмана, в котором отдельные столкновения заменяются дальнодействующими агрегированными взаимодействиями, например, кулоновскими взаимодействиями , часто называют уравнением Власова .

Это уравнение более полезно, чем основное вышеприведенное, но все еще неполное, поскольку f не может быть решено, если не известен член столкновения в f . Этот член не может быть найден так же легко или в общем виде, как другие — это статистический член, представляющий столкновения частиц, и требует знания статистики, которой подчиняются частицы, например, распределения Максвелла–Больцмана , Ферми–Дирака или Бозе–Эйнштейна .

Термин столкновения (Stosszahlansatz) и молекулярный хаос

Термин столкновения двух тел

Ключевым открытием, примененным Больцманом, было определение члена столкновения, возникающего исключительно из-за столкновений двух частиц между частицами, которые, как предполагалось, были некоррелированными до столкновения. Это предположение Больцман называл « Stosszahlansatz » и также известно как « предположение молекулярного хаоса ». При этом предположении член столкновения можно записать как интеграл импульсного пространства по произведению одночастичных функций распределения: ^[2] где p _A и p _B — импульсы любых двух частиц (обозначенных как A и B для удобства) до столкновения, p′ _A и p′ _B — импульсы после столкновения, — величина относительных импульсов (см. относительную скорость для получения дополнительной информации об этой концепции), а I ( g , Ω) — дифференциальное сечение столкновения, в котором относительные импульсы сталкивающихся частиц поворачиваются на угол θ в элемент телесного угла d Ω из-за столкновения. $${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}=\iint gI(g,\Omega )[f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{B},t)-f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{B},t)]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p} _{B},}$$ $${\displaystyle g=|\mathbf {p} _{B}-\mathbf {p} _{A}|=|\mathbf {p'} _{B}-\mathbf {p'} _{A}|}$$

Упрощения термина столкновения

Поскольку большая часть проблем при решении уравнения Больцмана возникает из-за сложного члена столкновения, были предприняты попытки «смоделировать» и упростить член столкновения. Наиболее известное модельное уравнение принадлежит Бхатнагару, Гроссу и Круку. ^[7] Предположение в приближении BGK заключается в том, что эффект молекулярных столкновений заключается в том, чтобы заставить неравновесную функцию распределения в точке физического пространства вернуться к максвелловской равновесной функции распределения, и что скорость, с которой это происходит, пропорциональна частоте молекулярных столкновений. Таким образом, уравнение Больцмана модифицируется до формы BGK:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\nu (f_{0}-f),}$$

где - частота столкновений молекул, а - локальная функция распределения Максвелла, заданная температурой газа в этой точке пространства. Это также называется "приближением времени релаксации". ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle f_{0}}$

Общее уравнение (для смеси)

Для смеси химических веществ, обозначенных индексами i = 1, 2, 3, ..., n, уравнение для вещества i имеет вид ^[2]

$${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m_{i}}}\cdot \nabla f_{i}+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},}$$

где f _i = f _i ( r , p _i , t ) , а член столкновения равен

$${\displaystyle \left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }=\sum _{j=1}^{n}\iint g_{ij}I_{ij}(g_{ij},\Omega )[f'_{i}f'_{j}-f_{i}f_{j}]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p'} ,}$$

где f′ = f′ ( p′ _i , t ) , величина относительных импульсов равна

$${\displaystyle g_{ij}=|\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{j}|=|\mathbf {p'} _{i}-\mathbf {p'} _{j}|,}$$

и I _ij — дифференциальное сечение, как и прежде, между частицами i и j . Интегрирование выполняется по компонентам импульса в подынтегральном выражении (которые обозначены i и j ). Сумма интегралов описывает вход и выход частиц вида i в элемент фазового пространства или из него.

Приложения и расширения

Уравнения сохранения

Уравнение Больцмана можно использовать для вывода законов сохранения динамики жидкости для массы, заряда, импульса и энергии. ^{[8] : 163} Для жидкости, состоящей только из одного вида частиц, плотность числа n определяется как $${\displaystyle n=\int f\,d^{3}\mathbf {p} .}$$

Среднее значение любой функции A равно $${\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{n}}\int Af\,d^{3}\mathbf {p} .}$$

Поскольку уравнения сохранения включают тензоры, будет использоваться соглашение Эйнштейна о суммировании, где повторяющиеся индексы в произведении указывают на суммирование по этим индексам. Таким образом , и , где — вектор скорости частицы. Определим как некоторую функцию только импульса , полное значение которой сохраняется при столкновении. Предположим также, что сила является функцией только положения, и что f равно нулю для . Умножение уравнения Больцмана на A и интегрирование по импульсу дает четыре члена, которые, используя интегрирование по частям, можно выразить как ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \mapsto p_{i}=mv_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle A(p_{i})}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}\to \pm \infty }$

$${\displaystyle \int A{\frac {\partial f}{\partial t}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial t}}(n\langle A\rangle ),}$$

$${\displaystyle \int {\frac {p_{j}A}{m}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {1}{m}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n\langle Ap_{j}\rangle ),}$$

$${\displaystyle \int AF_{j}{\frac {\partial f}{\partial p_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} =-nF_{j}\left\langle {\frac {\partial A}{\partial p_{j}}}\right\rangle ,}$$

$${\displaystyle \int A\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial t}}_{\text{coll}}(n\langle A\rangle )=0,}$$

где последний член равен нулю, поскольку A сохраняется при столкновении. Значения A соответствуют моментам скорости (и импульса , поскольку они линейно зависимы). ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Нулевой момент

Полагая , массу частицы, интегрированное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения массы: ^{[8] : 12, 168} где - плотность массы, а - средняя скорость жидкости. ${\displaystyle A=m(v_{i})^{0}=m}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho +{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{j})=0,}$$ ${\displaystyle \rho =mn}$ ${\displaystyle V_{i}=\langle v_{i}\rangle }$

Первый момент

Полагая , импульс частицы, интегрированное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения импульса: ^{[8] : 15, 169} ${\displaystyle A=m(v_{i})^{1}=p_{i}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{i}V_{j}+P_{ij})-nF_{i}=0,}$$

где — тензор давления ( тензор вязких напряжений плюс гидростатическое давление ). ${\displaystyle P_{ij}=\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{j}-V_{j})\rangle }$

Второй момент

Полагая , что кинетическая энергия частицы, интегрированное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения энергии: ^{[8] : 19, 169} ${\displaystyle A={\frac {m(v_{i})^{2}}{2}}={\frac {p_{i}p_{i}}{2m}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(u+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(uV_{j}+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i}V_{j}+J_{qj}+P_{ij}V_{i})-nF_{i}V_{i}=0,}$$

где — плотность кинетической тепловой энергии, — вектор теплового потока. ${\textstyle u={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{i}-V_{i})\rangle }$ ${\textstyle J_{qi}={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{k}-V_{k})(v_{k}-V_{k})\rangle }$

Гамильтонова механика

В гамильтоновой механике уравнение Больцмана часто записывается в более общем виде как где L — оператор Лиувилля (существует противоречивое определение между оператором Лиувилля, как он определен здесь, и тем, что определено в связанной статье), описывающим эволюцию объема фазового пространства, а C — оператор столкновения. Нерелятивистская форма L имеет вид $${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}[f]=\mathbf {C} [f],}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}$$

Квантовая теория и нарушение закона сохранения числа частиц

Можно записать релятивистские квантовые уравнения Больцмана для релятивистских квантовых систем, в которых число частиц не сохраняется при столкновениях. Это имеет несколько приложений в физической космологии , ^[9] включая образование легких элементов в нуклеосинтезе Большого взрыва , производство темной материи и бариогенезис . Априори не ясно, что состояние квантовой системы может быть охарактеризовано классической плотностью фазового пространства f . Однако для широкого класса приложений существует четко определенное обобщение f , которое является решением эффективного уравнения Больцмана, которое может быть выведено из первых принципов квантовой теории поля . ^[10]

Общая теория относительности и астрономия

Уравнение Больцмана используется в галактической динамике. Галактика, при определенных предположениях, может быть аппроксимирована как непрерывная жидкость; тогда ее распределение массы представляется как f ; в галактиках физические столкновения между звездами очень редки, а эффект гравитационных столкновений можно игнорировать в течение времени, намного превышающего возраст Вселенной .

Его обобщение в общей теории относительности выглядит следующим образом ^[11] , где Γ ^α _βγ — символ Кристоффеля второго рода (предполагается, что внешние силы отсутствуют, так что частицы движутся по геодезическим линиям при отсутствии столкновений), с важной тонкостью, что плотность является функцией в смешанном контравариантно-ковариантном ( x ⁱ , p _i ) фазовом пространстве, в отличие от полностью контравариантного ( x ⁱ , p ⁱ ) фазового пространства. ^{[12] [13]} $${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }[f]=p^{\alpha }{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}-\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial f}{\partial p^{\alpha }}}=C[f],}$$

В физической космологии полностью ковариантный подход использовался для изучения космического микроволнового фонового излучения. ^[14] В более общем плане изучение процессов в ранней Вселенной часто пытается учесть эффекты квантовой механики и общей теории относительности . ^[9] В очень плотной среде, образованной первичной плазмой после Большого взрыва , частицы непрерывно рождаются и уничтожаются. В такой среде квантовая когерентность и пространственное расширение волновой функции могут влиять на динамику, что ставит под сомнение пригодность классического распределения фазового пространства f , которое появляется в уравнении Больцмана, для описания системы. Во многих случаях, однако, возможно вывести эффективное уравнение Больцмана для обобщенной функции распределения из первых принципов квантовой теории поля . ^[10] Это включает в себя образование легких элементов в нуклеосинтезе Большого взрыва , производство темной материи и бариогенезис .

Решаем уравнение

Было доказано, что в некоторых случаях существуют точные решения уравнений Больцмана; ^[15] этот аналитический подход дает понимание, но, как правило, не применим к практическим задачам.

Вместо этого численные методы (включая методы конечных элементов и решеточные методы Больцмана ) обычно используются для поиска приближенных решений различных форм уравнения Больцмана. Примеры приложений варьируются от гиперзвуковой аэродинамики в потоках разреженного газа ^{[16] [17]} до потоков плазмы. ^[18] Применение уравнения Больцмана в электродинамике — это расчет электропроводности — результат в ведущем порядке идентичен полуклассическому результату. ^[19]

Вблизи локального равновесия решение уравнения Больцмана может быть представлено асимптотическим разложением по степеням числа Кнудсена ( разложение Чепмена–Энскога ^[20] ). Первые два члена этого разложения дают уравнения Эйлера и уравнения Навье–Стокса . Более высокие члены имеют сингулярности. Проблема математической разработки предельных процессов, которые ведут от атомистического представления (представленного уравнением Больцмана) к законам движения континуумов, является важной частью шестой проблемы Гильберта . ^[21]

Ограничения и дальнейшее использование уравнения Больцмана

Уравнение Больцмана справедливо только при нескольких предположениях. Например, предполагается, что частицы являются точечными, т.е. не имеют конечного размера. Существует обобщение уравнения Больцмана, которое называется уравнением Энскога . ^[22] Член столкновения модифицирован в уравнениях Энскога таким образом, что частицы имеют конечный размер, например, их можно моделировать как сферы с фиксированным радиусом.

Никаких дополнительных степеней свободы, кроме поступательного движения, для частиц не предполагается. Если есть внутренние степени свободы, уравнение Больцмана должно быть обобщено и может обладать неупругими столкновениями . ^[22]

Многие реальные жидкости, такие как жидкости или плотные газы, помимо упомянутых выше особенностей имеют более сложные формы столкновений, будут иметь место не только бинарные, но также тройные и более высокие порядки столкновений. ^[23] Они должны быть получены с использованием иерархии BBGKY .

Уравнения, подобные уравнениям Больцмана, также используются для описания движения клеток . ^{[24] [25]} Поскольку клетки являются составными частицами , которые несут внутренние степени свободы, соответствующие обобщенные уравнения Больцмана должны иметь неупругие интегралы столкновений. Такие уравнения могут описывать вторжения раковых клеток в ткани, морфогенез и эффекты, связанные с хемотаксисом .

Смотрите также

• Уравнение Власова
• Уравнение Власова–Пуассона
• Уравнение Фоккера–Планка
• Уравнение Вильямса–Больцмана
• Вывод уравнения Навье–Стокса из LBE
• Вывод уравнения Джинса из BE
• Теорема Джинса
• H-теорема

Примечания

1. Горбань, Александр Н.; Карлин, Илья В. (2005). Инвариантные многообразия для физической и химической кинетики. Lecture Notes in Physics (LNP, т. 660). Berlin, Heidelberg: Springer. doi :10.1007/b98103. ISBN 978-3-540-22684-0.Альтернативный URL-адрес
2. Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3.
3. ДиПерна, Р. Дж.; Лионс, П.-Л. (1989). «О задаче Коши для уравнений Больцмана: глобальное существование и слабая устойчивость». Ann. of Math . 2. 130 (2): 321–366. doi :10.2307/1971423. JSTOR  1971423.
4. Филип Т. Грессман и Роберт М. Стрейн (2010). «Глобальные классические решения уравнения Больцмана с дальнодействующими взаимодействиями». Труды Национальной академии наук . 107 (13): 5744–5749. arXiv : 1002.3639 . Bibcode : 2010PNAS..107.5744G. doi : 10.1073/pnas.1001185107 . PMC 2851887. PMID  20231489 . 
5. Хуан, Керсон (1987). Статистическая механика (Второе издание). Нью-Йорк: Wiley. С. 53. ISBN 978-0-471-81518-1.
6. Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е издание), SP Parker, 1993, ISBN 0-07-051400-3 . 
7. Бхатнагар, ПЛ; Гросс, ЭП; Крук, М. (1954-05-01). «Модель для процессов столкновений в газах. I. Малоамплитудные процессы в заряженных и нейтральных однокомпонентных системах». Physical Review . 94 (3): 511–525. Bibcode :1954PhRv...94..511B. doi :10.1103/PhysRev.94.511.
8. de Groot, SR; Mazur, P. (1984). Неравновесная термодинамика . Нью-Йорк: Dover Publications Inc. ISBN 978-0-486-64741-8.
9. Эдвард Колб и Майкл Тернер (1990). Ранняя Вселенная . Westview Press. ISBN 978-0-201-62674-2.
10. M. Drewes; C. Weniger; S. Mendizabal (8 января 2013 г.). "Уравнение Больцмана из квантовой теории поля". Phys. Lett. B . 718 (3): 1119–1124. arXiv : 1202.1301 . Bibcode :2013PhLB..718.1119D. doi :10.1016/j.physletb.2012.11.046. S2CID  119253828.
11. Ehlers J (1971) Общая теория относительности и космология (Varenna), RK Sachs (Academic Press NY); Thorne KS (1980) Rev. Mod. Phys., 52, 299; Ellis GFR, Treciokas R, Matravers DR, (1983) Ann. Phys., 150, 487}
12. Деббаш, Фабрис; Виллем ван Леувен (2009). «Общее релятивистское уравнение Больцмана I: Ковариантная трактовка». Physica A. 388 ( 7): 1079–1104. Bibcode : 2009PhyA..388.1079D. doi : 10.1016/j.physa.2008.12.023.
13. Деббаш, Фабрис; Виллем ван Леувен (2009). «Общее релятивистское уравнение Больцмана II: явно ковариантное рассмотрение». Physica A. 388 ( 9): 1818–34. Bibcode : 2009PhyA..388.1818D. doi : 10.1016/j.physa.2009.01.009.
14. Maartens R, Gebbie T, Ellis GFR (1999). "Анизотропия космического микроволнового фона: нелинейная динамика". Phys. Rev. D. 59 (8): 083506
15. Филип Т. Грессман; Роберт М. Стрейн (2011). «Глобальные классические решения уравнения Больцмана без углового обрезания». Журнал Американского математического общества . 24 (3): 771. arXiv : 1011.5441 . doi : 10.1090/S0894-0347-2011-00697-8. S2CID  115167686.
16. Эванс, Бен; Морган, Кен; Хассан, Оубай (2011-03-01). «Разрывное конечно-элементное решение кинетического уравнения Больцмана в бесстолкновительной и БГК-формах для макроскопических газовых потоков». Прикладное математическое моделирование . 35 (3): 996–1015. doi : 10.1016/j.apm.2010.07.027 .
17. Эванс, Б.; Уолтон, С.П. (декабрь 2017 г.). «Аэродинамическая оптимизация гиперзвукового возвращаемого аппарата на основе решения уравнения Больцмана–БГК и эволюционной оптимизации». Прикладное математическое моделирование . 52 : 215–240. doi : 10.1016/j.apm.2017.07.024 . ISSN  0307-904X.
18. Pareschi, L.; Russo, G. (2000-01-01). «Численное решение уравнения Больцмана I: спектрально точное приближение оператора столкновения». SIAM Journal on Numerical Analysis . 37 (4): 1217–1245. CiteSeerX 10.1.1.46.2853 . doi :10.1137/S0036142998343300. ISSN  0036-1429. 
19. HJW Müller-Kirsten, Основы статистической механики, Глава 13, 2-е изд., World Scientific (2013), ISBN 978-981-4449-53-3 . 
20. Сидней Чепмен; Томас Джордж Коулинг Математическая теория неоднородных газов: изложение кинетической теории вязкости, теплопроводности и диффузии в газах, Cambridge University Press, 1970. ISBN 0-521-40844-X 
21. "Тематический выпуск „Шестая проблема Гильберта“". Philosophical Transactions of the Royal Society A. 376 ( 2118). 2018. doi : 10.1098/rsta/376/2118 .
22. "Уравнение Энскога - обзор | Темы ScienceDirect". www.sciencedirect.com . Получено 10.05.2022 .
23. van Noije, TPC; Ernst, MH (1997-06-03). "Кинетическая теория колец для идеализированного гранулярного газа". arXiv : cond-mat/9706020 .
24. Chauviere, A.; Hillen, T.; Preziosi, L. (2007). «Моделирование движения клеток в анизотропных и гетерогенных сетевых тканях». Американский институт математических наук . 2 (2): 333–357. doi :10.3934/nhm.2007.2.333.
25. Конте, Мартина; Лой, Надя (2022-02-12). «Многосигнальная кинетическая модель с нелокальным зондированием для миграции клеток в сети волокон с хемотаксисом». Бюллетень математической биологии . 84 (3): 42. doi :10.1007/s11538-021-00978-1. ISSN  1522-9602. PMC 8840942. PMID 35150333  . 

Ссылки

• Харрис, Стюарт (1971). Введение в теорию уравнения Больцмана. Dover Books. стр. 221. ISBN 978-0-486-43831-3.. Очень недорогое введение в современную структуру (начиная с формального вывода из Лиувилля и иерархии Боголюбова–Борна–Грина–Кирквуда–Ивона (BBGKY), в которую помещено уравнение Больцмана). Большинство учебников по статистической механике, таких как Хуан, по-прежнему рассматривают эту тему, используя оригинальные аргументы Больцмана. Для вывода уравнения эти книги используют эвристическое объяснение, которое не выявляет область применимости и характерные предположения, отличающие уравнение Больцмана от других транспортных уравнений, таких как уравнения Фоккера–Планка или Ландау.

• Arkeryd, Leif (1972). «Об уравнении Больцмана, часть I: Существование». Arch. Rational Mech. Anal . 45 (1): 1–16. Bibcode :1972ArRMA..45....1A. doi :10.1007/BF00253392. S2CID  117877311.
• Arkeryd, Leif (1972). "Об уравнении Больцмана, часть II: Полная задача начального значения". Arch. Rational Mech. Anal . 45 (1): 17–34. Bibcode :1972ArRMA..45...17A. doi :10.1007/BF00253393. S2CID  119481100.
• Arkeryd, Leif (1972). «Об уравнении Больцмана, часть I: Существование». Arch. Rational Mech. Anal . 45 (1): 1–16. Bibcode :1972ArRMA..45....1A. doi :10.1007/BF00253392. S2CID  117877311.
• DiPerna, RJ; Lions, P.-L. (1989). «О задаче Коши для уравнений Больцмана: глобальное существование и слабая устойчивость». Ann. of Math . 2. 130 (2): 321–366. doi :10.2307/1971423. JSTOR  1971423.

Внешние ссылки

• Уравнение переноса Больцмана Франца Веселы
• Решено газообразное поведение Больцмана