В теории динамических систем и теории управления фазовое пространство или пространство состояний — это пространство , в котором представлены все возможные «состояния» динамической системы или системы управления , причем каждое возможное состояние соответствует одной уникальной точке фазового пространства. Для механических систем фазовое пространство обычно состоит из всех возможных значений переменных положения и импульса . Это прямой продукт прямого пространства и обратного пространства . [ необходимы разъяснения ] Концепция фазового пространства была разработана в конце 19 века Людвигом Больцманом , Анри Пуанкаре и Иосией Уиллардом Гиббсом . [1]
В фазовом пространстве каждая степень свободы или параметр системы представлена как ось многомерного пространства; одномерная система называется фазовой линией , а двумерная система называется фазовой плоскостью . Для каждого возможного состояния системы или допустимого сочетания значений параметров системы в многомерное пространство включается точка. Эволюционирующее состояние системы во времени прослеживает путь ( траекторию системы в фазовом пространстве ) через многомерное пространство. Траектория в фазовом пространстве представляет собой набор состояний, совместимых с началом из одного конкретного начального условия , расположенного в полном фазовом пространстве, которое представляет набор состояний, совместимых с запуском из любого начального условия. В целом фазовая диаграмма представляет все, чем может быть система, и ее форма может легко пролить свет на качества системы, которые в противном случае не были бы очевидны. Фазовое пространство может содержать большое количество измерений. Например, газ, содержащий множество молекул, может потребовать отдельного измерения для положений и импульсов каждой частицы x , y и z (6 измерений для идеализированного одноатомного газа), а для более сложных молекулярных систем требуются дополнительные измерения для описания колебательных мод молекулярные связи, а также вращаются вокруг 3-х осей. Фазовые пространства легче использовать при анализе поведения механических систем, ограниченных движением вокруг и вдоль различных осей вращения или перемещения – например, в робототехнике, например, при анализе диапазона движения роботизированной руки или определении оптимального пути для достижения определенного положения. / результат импульса.
В классической механике любой выбор обобщенных координат q i для положения (т. е. координат в конфигурационном пространстве ) определяет сопряженные обобщенные импульсы p i , которые вместе определяют координаты в фазовом пространстве. Более абстрактно, в классической механике фазовое пространство представляет собой кокасательное расслоение конфигурационного пространства, и в этой интерпретации описанная выше процедура выражает, что выбор локальных координат в конфигурационном пространстве индуцирует выбор естественных локальных координат Дарбу для стандартной симплектической структуры в кокасательном пространстве. .
Движение ансамбля систем в этом пространстве изучает классическая статистическая механика . Локальная плотность точек в таких системах подчиняется теореме Лиувилля и поэтому может считаться постоянной. В контексте модельной системы в классической механике координаты системы в фазовом пространстве в любой момент времени состоят из всех динамических переменных системы. Благодаря этому можно рассчитать состояние системы в любой момент времени в будущем или прошлом путем интегрирования уравнений движения Гамильтона или Лагранжа.
Для простых систем может быть всего одна или две степени свободы. Одна степень свободы возникает, когда имеется автономное обыкновенное дифференциальное уравнение с одной переменной, при этом результирующая одномерная система называется фазовой линией , а качественное поведение системы сразу видно по фазовой линии. Простейшими нетривиальными примерами являются модель экспоненциального роста /распада (одно нестабильное/стабильное равновесие) и модель логистического роста (два равновесия, одно стабильное, одно нестабильное).
Фазовое пространство двумерной системы называется фазовой плоскостью , которая возникает в классической механике для одной частицы, движущейся в одном измерении, и где двумя переменными являются положение и скорость. В этом случае эскиз фазового портрета может дать качественную информацию о динамике системы, например предельный цикл осциллятора Ван дер Поля, показанный на схеме.
Здесь горизонтальная ось указывает положение, а вертикальная ось — скорость. По мере эволюции системы ее состояние следует одной из линий (траекторий) фазовой диаграммы.
График переменных положения и импульса как функции времени иногда называют фазовым графиком или фазовой диаграммой . Однако последнее выражение, « фазовая диаграмма », чаще всего используется в физических науках для диаграммы, показывающей различные области стабильности термодинамических фаз химической системы, состоящей из давления , температуры и состава.
В математике фазовый портрет — геометрическое представление орбит динамической системы в фазовой плоскости . Каждый набор начальных условий представлен отдельной точкой или кривой .
Фазовые портреты являются бесценным инструментом при изучении динамических систем. Они состоят из графика типичных траекторий в фазовом пространстве. Это позволяет выявить такую информацию, как наличие аттрактора , отталкивателя или предельного цикла для выбранного значения параметра. Концепция топологической эквивалентности важна для классификации поведения систем, определяя, когда два разных фазовых портрета представляют одно и то же качественное динамическое поведение. Аттрактор — это устойчивая точка, которую еще называют «стоком». Отпугиватель рассматривается как нестабильная точка, которую также называют «источником».
График фазового портрета динамической системы изображает траектории системы (стрелками), а также устойчивые устойчивые состояния (точками) и неустойчивые устойчивые состояния (кружками) в фазовом пространстве. Оси представляют собой переменные состояния .В классической статистической механике (непрерывные энергии) концепция фазового пространства представляет собой классический аналог статистической суммы ( суммы по состояниям), известной как фазовый интеграл. [2] Вместо суммирования фактора Больцмана по дискретно расположенным энергетическим состояниям (определяемым соответствующими целыми квантовыми числами для каждой степени свободы), можно интегрировать по непрерывному фазовому пространству. Такое интегрирование по существу состоит из двух частей: интегрирование импульсной составляющей всех степеней свободы (импульсное пространство) и интегрирование позиционной составляющей всех степеней свободы (конфигурационное пространство). Как только фазовый интеграл известен, его можно связать с классической статистической суммой путем умножения константы нормализации, представляющей количество состояний квантовой энергии на единицу фазового пространства. Эта константа нормализации представляет собой просто обратную константу Планка , возведенную в степень, равную числу степеней свободы системы. [3]
Классическими примерами фазовых диаграмм из теории хаоса являются:
В квантовой механике координаты p и q фазового пространства обычно становятся эрмитовыми операторами в гильбертовом пространстве .
Но в качестве альтернативы они могут сохранить свою классическую интерпретацию при условии, что функции из них составляются новыми алгебраическими способами (посредством звездного произведения Грюневолда 1946 года ). Это согласуется с принципом неопределенности квантовой механики. Каждая квантовомеханическая наблюдаемая соответствует уникальной функции или распределению в фазовом пространстве, и наоборот, как указано Германом Вейлем (1927) и дополнено Джоном фон Нейманом (1931); Юджин Вигнер (1932); и, в большом синтезе, Г. Дж. Гроневолдом (1946). Вместе с Дж. Э. Мойалом (1949) они завершили основы формулировки квантовой механики в фазовом пространстве , полной и логически автономной переформулировки квантовой механики. [4] (Современные абстракции включают квантование деформации и геометрическое квантование .)
Значения ожидания при квантовании в фазовом пространстве получаются изоморфно отслеживанию операторных наблюдаемых с помощью матрицы плотности в гильбертовом пространстве: они получаются с помощью интегралов наблюдаемых в фазовом пространстве, при этом квазивероятностное распределение Вигнера эффективно служит мерой.
Таким образом, выражая квантовую механику в фазовом пространстве (такой же объем, как и для классической механики), отображение Вейля облегчает признание квантовой механики как деформации (обобщения) классической механики с параметром деформации ħ / S , где S - действие соответствующий процесс. (Другие известные деформации в физике включают деформацию классической ньютоновской теории в релятивистскую механику с параметром деформации v / c ; [ нужна ссылка ] или деформацию ньютоновской гравитации в общую теорию относительности с параметром деформации радиусом Шварцшильда / характерным размером. ) ]
Классические выражения, наблюдаемые и операции (такие как скобки Пуассона ) изменяются с помощью ħ -зависимых квантовых поправок, поскольку обычное коммутативное умножение, применяемое в классической механике, обобщается на некоммутативное звездное умножение, характеризующее квантовую механику и лежащее в основе ее принципа неопределенности.
В контексте термодинамики и статистической механики термин «фазовое пространство» имеет два значения: во-первых, он используется в том же смысле, что и в классической механике. Если термодинамическая система состоит из N частиц, то точка в 6 N -мерном фазовом пространстве описывает динамическое состояние каждой частицы в этой системе, поскольку каждая частица связана с 3 переменными положения и 3 переменными импульса. В этом смысле, пока частицы различимы , точка в фазовом пространстве называется микросостоянием системы . (Для неразличимых частиц микросостояние состоит из набора N ! точек, соответствующих всем возможным обменам N частиц.) N обычно порядка числа Авогадро , поэтому описание системы на микроскопическом уровне часто непрактично. Это приводит к использованию фазового пространства в другом смысле.
Фазовое пространство также может относиться к пространству, которое параметризуется макроскопическими состояниями системы, такими как давление, температура и т. Д. Например, можно рассматривать диаграмму давление-объем или диаграмму температура-энтропия как описывающую часть этой фазы. космос. Точку в этом фазовом пространстве соответственно называют макросостоянием. Легко может существовать более одного микросостояния с одним и тем же макросостоянием. Например, при фиксированной температуре система может иметь множество динамических конфигураций на микроскопическом уровне. В этом смысле фаза — это область фазового пространства, в которой рассматриваемая система находится, например, в жидкой фазе , твердой фазе и т. д.
Поскольку микросостояний гораздо больше, чем макросостояний, фазовое пространство в первом смысле обычно представляет собой многообразие гораздо больших размеров, чем во втором смысле. Очевидно, что для регистрации каждой детали системы на молекулярном или атомном уровне требуется гораздо больше параметров, чем просто указать, скажем, температуру или давление системы.
Фазовое пространство широко используется в неотображающей оптике [5] — разделе оптики, посвященном освещению. Это также важное понятие в гамильтоновой оптике .
В медицине и биоинженерии метод фазового пространства используется для визуализации многомерных физиологических реакций. [6] [7]
