Фазор

Комплексное число, представляющее определенную синусоидальную волну

Пример последовательной цепи RLC и соответствующая векторная диаграмма для определенного ω . Стрелки на верхней диаграмме — это векторы, нарисованные на векторной диаграмме ( комплексная плоскость без показанной оси), которые не следует путать со стрелками на нижней диаграмме, которые являются опорной полярностью для напряжений и опорным направлением для тока .

В физике и технике , фазор ( портманто фазового вектора ^{[1] [2]} ) - это комплексное число, представляющее синусоидальную функцию, амплитуда ( A ) и начальная фаза ( θ ) которой не зависят от времени , а угловая частота ( ω ) фиксирована. Он связан с более общей концепцией, называемой аналитическим представлением , ^[3] которая разлагает синусоиду на произведение комплексной константы и множителя, зависящего от времени и частоты. Комплексная константа, которая зависит от амплитуды и фазы, известна как фазор или комплексная амплитуда , ^{[4] [5]} и (в более старых текстах) синус ^[6] или даже комплексор . ^[6]

Распространенным применением является анализ стационарного состояния электрической сети, питаемой изменяющимся во времени током , где все сигналы предполагаются синусоидальными с общей частотой. Фазорное представление позволяет аналитику представлять амплитуду и фазу сигнала с помощью одного комплексного числа. Единственное различие в их аналитических представлениях — это комплексная амплитуда (фазор). Линейная комбинация таких функций может быть представлена ​​как линейная комбинация фазоров (известная как арифметика фазоров или алгебра фазоров ^{[7] : 53} ) и фактор, зависящий от времени/частоты, который у них всех общий.

Происхождение термина «фазор» справедливо предполагает, что (схематическое) исчисление, несколько похожее на то, которое возможно для векторов , возможно и для фазоров. ^[6] Важной дополнительной особенностью преобразования фазора является то, что дифференциация и интегрирование синусоидальных сигналов (имеющих постоянную амплитуду, период и фазу) соответствуют простым алгебраическим операциям над фазорами; таким образом, преобразование фазора позволяет анализировать (вычислять) стационарное состояние переменного тока RLC-цепей , решая простые алгебраические уравнения (хотя и со сложными коэффициентами) в области фазора вместо решения дифференциальных уравнений (с действительными коэффициентами) во временной области. ^{[8] [9] [a]} Создателем преобразования фазора был Чарльз Протеус Штейнмец, работавший в General Electric в конце 19 века. ^{[10] [11]} Он черпал вдохновение у Оливера Хевисайда . Операционное исчисление Хевисайда было изменено таким образом, что переменная p становится jω. Комплексное число j имеет простой смысл: сдвиг фаз. ^[12]

Опуская некоторые математические детали, векторное преобразование можно также рассматривать как частный случай преобразования Лапласа (ограниченного одной частотой), которое, в отличие от векторного представления, может быть использовано для (одновременного) получения переходной характеристики RLC-цепи. ^{[9] [11]} Однако преобразование Лапласа математически сложнее в применении, и усилия могут быть неоправданными, если требуется только анализ стационарного состояния. ^[11]

Рис 2. Когда функция изображена на комплексной плоскости, вектор, образованный ее мнимой и действительной частями, вращается вокруг начала координат. Его величина равна A , и он совершает один цикл каждые 2 π /ω. θ — угол, который он образует с положительной действительной осью при t = 0 (и при t = n 2 π / ω для всех целых значений n ). ${\displaystyle A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}}$

Обозначение

Фазорная нотация (также известная как угловая нотация ) — это математическая нотация , используемая в электронике и электротехнике . Вектор, полярные координаты которого — величина и угол, записывается ^[13] может представлять либо вектор , либо комплексное число , согласно формуле Эйлера с , оба из которых имеют величину 1. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A\angle \theta .}$ ${\displaystyle 1\angle \theta }$ ${\displaystyle (\cos \theta ,\,\sin \theta )}$ ${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Угол может быть указан в градусах с подразумеваемым преобразованием из градусов в радианы . Например, предполагается, что это вектор или число ${\displaystyle 1\angle 90}$ ${\displaystyle 1\angle 90^{\circ },}$ ${\displaystyle (0,\,1)}$ ${\displaystyle e^{i\pi /2}=i.}$

Умножение и деление комплексных чисел становятся простыми с помощью векторной нотации. При наличии векторов и справедливо следующее: ^[14] ${\displaystyle v_{1}=A_{1}\angle \theta _{1}}$ ${\displaystyle v_{2}=A_{2}\angle \theta _{2}}$

${\displaystyle v_{1}\cdot v_{2}=A_{1}\cdot A_{2}\angle (\theta _{1}+\theta _{2})}$,

${\displaystyle {\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {A_{1}}{A_{2}}}\angle (\theta _{1}-\theta _{2})}$.

Определение

Действительная синусоида с постоянной амплитудой, частотой и фазой имеет вид:

${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta ),}$

где только параметр является переменным во времени. Включение мнимой составляющей : ${\displaystyle t}$

${\displaystyle i\cdot A\sin(\omega t+\theta )}$

придает ему, в соответствии с формулой Эйлера , свойство факторизации, описанное в первом абзаце:

${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta )+i\cdot A\sin(\omega t+\theta )=Ae^{i(\omega t+\theta )}=Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t},}$

чья действительная часть является исходной синусоидой. Преимущество комплексного представления в том, что линейные операции с другими комплексными представлениями дают комплексный результат, чья действительная часть отражает те же линейные операции с действительными частями других комплексных синусоид. Более того, вся математика может быть выполнена только с векторами , а общий множитель повторно вставляется перед действительной частью результата. ${\displaystyle Ae^{i\theta },}$ ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

Функция является аналитическим представлением Рис . 2 изображает ее как вращающийся вектор в комплексной плоскости. Иногда удобно называть всю функцию фазором [ ^15] , как мы делаем в следующем разделе. ${\displaystyle Ae^{i(\omega t+\theta )}}$ ${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta ).}$

Арифметика

Умножение на константу (скаляр)

Умножение фазора на комплексную константу, , производит другой фазор. Это означает, что его единственный эффект заключается в изменении амплитуды и фазы базовой синусоиды: ${\displaystyle Ae^{i\theta }e^{i\omega t}}$ ${\displaystyle Be^{i\phi }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left(\left(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi }\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\left(ABe^{i(\theta +\phi )}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&AB\cos(\omega t+(\theta +\phi )).\end{aligned}}}$$

В электронике будет представлять импеданс , который не зависит от времени. В частности, это не сокращенное обозначение для другого фазора. Умножение тока фазора на импеданс дает напряжение фазора. Но произведение двух фазоров (или возведение фазора в квадрат) будет представлять произведение двух синусоид, что является нелинейной операцией, которая производит новые частотные компоненты. Запись фазора может представлять только системы с одной частотой, например, линейную систему, стимулированную синусоидой. ${\displaystyle Be^{i\phi }}$

Добавление

Сумма векторов как сложение вращающихся векторов

Сумма нескольких векторов дает другой вектор. Это потому, что сумма синусоид с той же частотой также является синусоидой с этой частотой: где: $${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\right)+\operatorname {Re} \left(A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{1}e^{i\theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{3}e^{i\theta _{3}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle A_{3}^{2}=(A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2})^{2},}$$

и, если мы возьмем , то это: ${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$ ${\displaystyle \theta _{3}}$

• ${\textstyle \operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))\cdot {\frac {\pi }{2}},}$если с функцией signum ; ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$
• ${\displaystyle \arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$если ; ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}>0}$
• ${\displaystyle \pi +\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$если . ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}<0}$

или, через закон косинусов на комплексной плоскости (или тригонометрическое тождество для разностей углов ): где $${\displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta )=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),}$$ ${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.}$

Ключевым моментом является то, что A ₃ и θ ₃ не зависят от ω или t , что делает возможным обозначение фазора. Зависимость от времени и частоты может быть подавлена ​​и повторно вставлена ​​в результат, пока единственными операциями, используемыми между ними, являются те, которые производят другой фазор. В угловой нотации показанная выше операция записывается: $${\displaystyle A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.}$$

Другой способ рассмотрения сложения заключается в том, что два вектора с координатами [ A ₁ cos( ωt + θ ₁ ), A ₁ sin( ωt + θ ₁ )] и [ A ₂ cos( ωt + θ ₂ ), A ₂ sin( ωt + θ ₂ )] складываются векторно для получения результирующего вектора с координатами [ A ₃ cos( ωt + θ ₃ ), A ₃ sin( ωt + θ ₃ )] (см. анимацию).

Векторная диаграмма трех волн в идеальной деструктивной интерференции

В физике этот вид сложения происходит, когда синусоиды интерферируют друг с другом, конструктивно или деструктивно. Концепция статического вектора дает полезное понимание таких вопросов, как: «Какая разность фаз потребуется между тремя идентичными синусоидами для идеальной отмены?» В этом случае просто представьте, что вы берете три вектора одинаковой длины и размещаете их голова к хвосту так, чтобы последняя голова совпадала с первым хвостом. Очевидно, что форма, которая удовлетворяет этим условиям, представляет собой равносторонний треугольник , поэтому угол между каждым вектором и следующим составляет 120° ( 2π⁄3  радиан), или одну треть длины волны λ⁄3 . Таким образом , разность фаз между каждой волной также должна быть 120°, как в случае трехфазного питания .

Другими словами, это показывает, что: $${\displaystyle \cos(\omega t)+\cos \left(\omega t+{\frac {2\pi }{3}}\right)+\cos \left(\omega t-{\frac {2\pi }{3}}\right)=0.}$$

В примере с тремя волнами разность фаз между первой и последней волной составляла 240°, тогда как для двух волн деструктивная интерференция происходит при 180°. В пределе многих волн векторы должны образовывать окружность для деструктивной интерференции, так что первый вектор почти параллелен последнему. Это означает, что для многих источников деструктивная интерференция происходит, когда первая и последняя волна отличаются на 360 градусов, полную длину волны . Вот почему при дифракции на одной щели минимумы возникают, когда свет от дальнего края проходит на полную длину волны дальше, чем свет от ближнего края. ${\displaystyle \lambda }$

Поскольку один вектор вращается против часовой стрелки, его кончик в точке A повернется на один полный оборот в 360° или 2π радиан  , что представляет собой один полный цикл. Если длину его движущегося кончика перенести с различными угловыми интервалами во времени на график, как показано выше, синусоидальная форма волны будет нарисована, начиная слева с нулевого времени. Каждая позиция вдоль горизонтальной оси указывает время, прошедшее с нулевого времени, t = 0. Когда вектор горизонтален, кончик вектора представляет углы в 0°, 180° и 360°.

Аналогично, когда кончик вектора вертикальный, он представляет положительное пиковое значение, ( + A _max ) при 90° или π ⁄ 2 и отрицательное пиковое значение, ( − A _max ) при 270° или 3 π ⁄ 2 . Тогда ось времени формы сигнала представляет угол в градусах или радианах, через который переместился вектор. Таким образом, мы можем сказать, что вектор представляет собой масштабированное значение напряжения или тока вращающегося вектора, которое «заморожено» в некоторый момент времени, ( t ), и в нашем примере выше это угол 30°.

Иногда при анализе чередующихся волн нам может понадобиться знать положение фазора, представляющего переменную величину в определенный момент времени, особенно когда мы хотим сравнить две разные формы волн на одной оси. Например, напряжение и ток. В форме волны выше мы предположили, что форма волны начинается в момент времени t = 0 с соответствующим фазовым углом либо в градусах, либо в радианах.

Но если вторая волна начинается слева или справа от этой нулевой точки, или если мы хотим представить в векторной нотации взаимосвязь между двумя волнами, то нам нужно будет принять во внимание эту разность фаз, Φ волны. Рассмотрим диаграмму ниже из предыдущего урока по разности фаз.

Дифференциация и интеграция

Производная по времени или интеграл фазора создает другой фазор. ^[b] Например: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\omega A\cdot \cos \left(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$$

Таким образом, в представлении вектора производная синусоиды по времени сводится к простому умножению на константу . ${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$

Аналогично, интегрирование фазора соответствует умножению на Фактор, зависящий от времени, остается неизменным. ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ ${\displaystyle e^{i\omega t},}$

Когда мы решаем линейное дифференциальное уравнение с помощью арифметики фазора, мы просто выносим все члены уравнения за скобки и вставляем их обратно в ответ. Например, рассмотрим следующее дифференциальное уравнение для напряжения на конденсаторе в RC -цепи : ${\displaystyle e^{i\omega t}}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}v_{\text{C}}(t)={\frac {1}{RC}}v_{\text{S}}(t).}$$

Когда источник напряжения в этой цепи синусоидальный: $${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=V_{\text{P}}\cdot \cos(\omega t+\theta ),}$$

мы можем заменить ${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).}$

$${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right),}$$где фазор и фазор — неизвестная величина, которую необходимо определить. ${\displaystyle V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },}$ ${\displaystyle V_{\text{c}}}$

В сокращенной записи фазора дифференциальное уравнение сводится к следующему: $${\displaystyle i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.}$$

Вывод

Поскольку это должно выполняться для всех , в частности: следует, что: ${\displaystyle t}$ ${\textstyle t-{\frac {\pi }{2\omega }},}$

Также легко увидеть, что: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)&=\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname {Re} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)&=\operatorname {Im} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname {Im} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right).\end{aligned}}}$$

Подставляя их в уравнения 1 и 2 , умножая уравнение 2 на и складывая оба уравнения, получаем: ${\displaystyle i,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\\\left(i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\right)\!\cdot e^{i\omega t}&=\left({\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\right)\cdot e^{i\omega t}\\i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.\end{aligned}}}$$

Решение для напряжения конденсатора вектора дает: $${\displaystyle V_{\text{c}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot V_{\text{s}}={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot V_{\text{P}}e^{i\theta }.}$$

Как мы видели, множитель умножения представляет собой разницу амплитуды и фазы относительно и ${\displaystyle V_{\text{s}}}$ ${\displaystyle v_{\text{C}}(t)}$ ${\displaystyle V_{\text{P}}}$ ${\displaystyle \theta .}$

В полярной системе координат первый член последнего выражения имеет вид: где . $${\displaystyle {\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )},}$$ ${\displaystyle \phi (\omega )=\arctan(\omega RC)}$

Поэтому: $${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{\text{P}}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega )).}$$

Соотношение фазоров

Величина, называемая комплексным импедансом, представляет собой отношение двух векторов, которое не является вектором, поскольку не соответствует синусоидально изменяющейся функции.

Приложения

Законы о дорожном движении

С помощью векторов методы решения цепей постоянного тока можно применять для решения линейных цепей переменного тока. ^[a]

Закон Ома для резисторов

Резистор не имеет временных задержек и, следовательно, не изменяет фазу сигнала, поэтому соотношение V = IR остается справедливым.

Закон Ома для резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов

V = IZ , где Z — комплексное сопротивление .

Законы Кирхгофа в цепи

Работа с напряжениями и токами как с комплексными векторами.

В цепи переменного тока у нас есть действительная мощность ( P ), которая является представлением средней мощности в цепи, и реактивная мощность ( Q ), которая указывает мощность, текущую вперед и назад. Мы также можем определить комплексную мощность S = P + jQ и кажущуюся мощность, которая является величиной S. Закон мощности для цепи переменного тока, выраженный в векторах, тогда S = VI ^* (где I ^* - комплексно сопряженное значение I , а величины векторов напряжения и тока V и I являются среднеквадратичными значениями напряжения и тока соответственно).

Учитывая это, мы можем применить методы анализа резистивных цепей с векторами для анализа одночастотных линейных цепей переменного тока, содержащих резисторы, конденсаторы и индукторы . Многочастотные линейные цепи переменного тока и цепи переменного тока с различными формами волн можно проанализировать для нахождения напряжений и токов путем преобразования всех форм волн в синусоидальные компоненты волны (используя ряд Фурье ) с амплитудой и фазой, а затем анализируя каждую частоту отдельно, как это допускается теоремой о суперпозиции . Этот метод решения применим только к синусоидальным входам и для решений, которые находятся в устойчивом состоянии, т. е. после того, как все переходные процессы затихли. ^[16]

Это понятие часто используется для представления электрического импеданса . В этом случае фазовый угол — это разность фаз между напряжением, приложенным к импедансу, и током, проходящим через него.

Энергетика

При анализе трехфазных систем переменного тока обычно набор векторов определяется как три комплексных кубических корня из единицы , графически представленных в виде единичных величин под углами 0, 120 и 240 градусов. Рассматривая величины многофазной цепи переменного тока как векторы, можно упростить сбалансированные цепи, а несбалансированные цепи можно рассматривать как алгебраическую комбинацию симметричных компонентов . Такой подход значительно упрощает работу, необходимую для электрических расчетов падения напряжения, потока мощности и токов короткого замыкания. В контексте анализа энергосистем фазовый угол часто указывается в градусах , а величина — в среднеквадратичном значении, а не в пиковой амплитуде синусоиды.

Метод синхрофазоров использует цифровые приборы для измерения векторов, представляющих напряжения системы передачи в широко распространенных точках сети передачи. Различия между векторами указывают на поток мощности и стабильность системы.

Телекоммуникации: аналоговые модуляции

A: векторное представление амплитудной модуляции, B: альтернативное представление амплитудной модуляции, C: векторное представление частотной модуляции, D: альтернативное представление частотной модуляции

Изображение вращающейся рамки с использованием фазора может быть мощным инструментом для понимания аналоговых модуляций, таких как амплитудная модуляция (и ее разновидности ^[17] ) и частотная модуляция .

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{0}t}\right),}$$где член в скобках рассматривается как вращающийся вектор в комплексной плоскости.

Вектор имеет длину , вращается против часовой стрелки со скоростью оборотов в секунду и в момент времени составляет угол относительно положительной действительной оси. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \theta }$

Форму волны можно рассматривать как проекцию этого вектора на вещественную ось. Модулированная форма волны представлена ​​этим вектором (несущей) и двумя дополнительными векторами (векторами модуляции). Если модулирующий сигнал представляет собой один тон формы , где — глубина модуляции, а — частота модулирующего сигнала, то для амплитудной модуляции два вектора модуляции задаются как, ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle Am\cos {2\pi f_{m}t}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f_{m}}$

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}+f_{m})t},}$$ $${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}-f_{m})t}.}$$

Два модуляционных вектора сфазированы таким образом, что их векторная сумма всегда совпадает по фазе с несущим вектором. Альтернативное представление — два вектора, вращающихся в противоположных направлениях вокруг конца несущего вектора со скоростью относительно несущего вектора. То есть, ${\displaystyle f_{m}}$

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{m}t},}$$ $${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{-i2\pi f_{m}t}.}$$

Частотная модуляция — это похожее представление, за исключением того, что модулирующие векторы не совпадают по фазе с несущей. В этом случае векторная сумма модулирующих векторов смещена на 90° от фазы несущей. Строго говоря, представление частотной модуляции требует дополнительных небольших векторов модуляции в и т. д., но для большинства практических целей они игнорируются, поскольку их влияние очень мало. ${\displaystyle 2f_{m},3f_{m}}$

Смотрите также

• Синфазные и квадратурные компоненты
  • Диаграмма созвездия
• Аналитический сигнал , обобщение векторов для изменяющихся во времени амплитуды, фазы и частоты.
  • Комплексная огибающая
• Фазовый фактор , фазор единичной величины

Сноски

1. Включая анализ цепей переменного тока. ^{[7] : 53}
2. Это следует из того, что комплексная экспонента является собственной функцией оператора производной. ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$

Ссылки

1. Хью Фокс; Уильям Болтон (2002). Математика для инженеров и технологов . Баттерворт-Хайнеманн. стр. 30. ISBN 978-0-08-051119-1.
2. Клей Роулинс (2000). Базовые схемы переменного тока (2-е изд.). Newnes. стр. 124. ISBN 978-0-08-049398-5.
3. Брейсвелл, Рон. Преобразование Фурье и его приложения . McGraw-Hill, 1965. стр. 269
4. KS Suresh Kumar (2008). Электрические цепи и сети . Pearson Education India. стр. 272. ISBN 978-81-317-1390-7.
5. Кэцюань Чжан; Дэцзе Ли (2007). Электромагнитная теория для микроволн и оптоэлектроники (2-е изд.). Springer Science & Business Media. стр. 13. ISBN 978-3-540-74296-8.
6. J. Hindmarsh (1984). Электрические машины и их применение (4-е изд.). Elsevier. стр. 58. ISBN 978-1-4832-9492-6.
7. Gross, Charles A. (2012). Основы электротехники . Thaddeus Adam Roppel. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4398-9807-9. OCLC  863646311.
8. Уильям Дж. Эклс (2011). Прагматическая электротехника: основы . Morgan & Claypool Publishers. стр. 51. ISBN 978-1-60845-668-0.
9. Ричард К. Дорф; Джеймс А. Свобода (2010). Введение в электрические цепи (8-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 661. ISBN 978-0-470-52157-1.
10. Аллан Х. Роббинс; Вильгельм Миллер (2012). Анализ цепей: теория и практика (5-е изд.). Cengage Learning. стр. 536. ISBN 978-1-285-40192-8.
11. Won Y. Yang; Seung C. Lee (2008). Circuit Systems with MATLAB and PSpice . John Wiley & Sons. стр. 256–261. ISBN 978-0-470-82240-1.
12. Бэзил Махон (2017). Забытый гений Оливера Хевисайда (1-е изд.). Prometheus Books Learning. стр. 230. ISBN 978-1-63388-331-4.
13. Нильссон, Джеймс Уильям; Ридель, Сьюзен А. (2008). Электрические цепи (8-е изд.). Prentice Hall. стр. 338. ISBN 978-0-13-198925-2., Глава 9, стр. 338
14. Роулинс, Джон К. (2000). Базовые схемы переменного тока (второе издание). Newnes. стр. 427–452. ISBN 9780750671736.
15. Сингх, Равиш Р. (2009). "Раздел 4.5: Фазорное представление переменных величин". Электрические сети . Mcgraw Hill Higher Education. стр. 4.13. ISBN 978-0070260962.
16. Клейтон, Пол (2008). Введение в электромагнитную совместимость . Wiley. стр. 861. ISBN 978-81-265-2875-2.
17. de Oliveira, HM и Nunes, FD About the Phasor Pathways in Analogical Amplitude Modulations . Международный журнал исследований в области инженерии и науки (IJRES) Vol.2, N.1, Jan., pp.11-18, 2014. ISSN 2320-9364

Дальнейшее чтение

• Дуглас К. Джанколи (1989). Физика для ученых и инженеров . Prentice Hall. ISBN 0-13-666322-2.
• Дорф, Ричард К.; Талларида, Рональд Дж. (1993-07-15). Карманный справочник формул электротехники (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. стр. 152–155. ISBN 0849344735.

Внешние ссылки

• Фазор Фэктори
• Визуальное представление фазоров
• Полярная и прямоугольная система обозначений
• Фазор в телекоммуникациях