Фильтр (теория множеств)

Семейство множеств, представляющее «большие» множества.

В математике фильтр на множестве — это такое семейство подмножеств , что: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$и ${\displaystyle \emptyset \notin {\mathcal {B}}}$
2. если и , то ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {B}}}$
3. Если , и , то ${\displaystyle A,B\subset X,A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$

Фильтр на множестве можно рассматривать как представляющий «набор больших подмножеств», ^[2] одним из интуитивно понятных примеров является фильтр соседства . Фильтры появляются в теории порядка , теории моделей и теории множеств , но их также можно найти в топологии , из которой они произошли. Двойное понятие фильтра является идеальным .

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году ^{[3] [4]} и, как описано в статье, посвященной фильтрам в топологии , впоследствии были использованы Николя Бурбаки в его книге « Общая топология» в качестве альтернативы родственному понятию сети, разработанному в 1922 г. , Э. Х. Мур и Герман Л. Смит . Фильтры порядка — это обобщения фильтров множеств на произвольные частично упорядоченные множества . В частности, фильтр на множестве — это просто фильтр правильного порядка в особом случае, когда частично упорядоченный набор состоит из степенного набора , упорядоченного путем включения множества .

Предварительные сведения, обозначения и основные понятия

В этой статье латинские буквы в верхнем регистре, например, обозначают множества (но не семейства, если не указано иное) и будут обозначать набор степеней . Подмножество набора степеней называется семейством множеств (или просто семейством ), где оно заканчивается , если это подмножество Семейств множеств будет обозначаться заглавными каллиграфическими буквами, например: Всякий раз, когда необходимы эти предположения, следует предполагать, что оно непусто и что и т. д. являются семействами множеств над ${\displaystyle S{\text{ and }}X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle X.}$

Термины «предварительный фильтр» и «основа фильтра» являются синонимами и будут использоваться как взаимозаменяемые.

Предупреждение о конкурирующих определениях и обозначениях

К сожалению, в теории фильтров есть несколько терминов, которые разные авторы определяют по-разному. Сюда входят некоторые из наиболее важных терминов, таких как «фильтр». Хотя разные определения одного и того же термина обычно существенно совпадают из-за очень технической природы фильтров (и топологии набора точек), эти различия в определениях, тем не менее, часто имеют важные последствия. При чтении математической литературы читателям рекомендуется проверять, как терминология, относящаяся к фильтрам, определяется автором. По этой причине в этой статье будут четко изложены все определения по мере их использования. К сожалению, не все обозначения, связанные с фильтрами, хорошо известны, а некоторые обозначения сильно различаются в литературе (например, обозначение набора всех предфильтров в наборе), поэтому в таких случаях в этой статье используются любые обозначения, которые наиболее легко описываются или легко поддаются описанию. вспомнил.

Теория фильтров и предфильтров хорошо разработана и имеет множество определений и обозначений, многие из которых теперь бесцеремонно перечислены, чтобы не допустить, чтобы эта статья стала многословной и чтобы облегчить поиск обозначений и определений. Их важные свойства описаны ниже.

Устанавливает операции

The Замыкание вверх илиизотонизацияв^[5][6]семействамножествесть ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\}}$

и аналогично закрытие вниз ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\wp (B).}$

Для любых двух семейств заявляют, что тогда и только тогда, когда для каждого существует некоторое, и в этом случае говорят, что оно грубее и тоньше , чем (или подчинено ) ^{[10] [11] [12]} Также можно использовать обозначения на месте ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ such that }}F\subseteq C,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}}{\text{ or }}{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.}$

Два семейства сцепляются , ^[7] записано, если ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$

Повсюду — это карта и множество. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$

Сети и их хвосты

Направленный набор — это набор вместе с предварительным порядком , который будет обозначаться (если явно не указано иное), который превращается в ( вверх ) направленный набор ; ^[15] это означает, что для всех существуют такие, что Для любых индексов обозначение определяется как означающее, а определяется как означающее, что выполняется, но это неверно , что (если антисимметрично , то это эквивалентно ). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i,j\in I,}$ ${\displaystyle k\in I}$ ${\displaystyle i\leq k{\text{ and }}j\leq k.}$ ${\displaystyle i{\text{ and }}j,}$ ${\displaystyle j\geq i}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle j\leq i}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle i\leq j{\text{ and }}i\neq j}$

Сеть в ^[15] представляет собой отображение непустого ориентированного множества в. Обозначения ${\displaystyle X}$ будут использоваться для обозначения сети с областью определения ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I.}$

Предупреждение об использовании строгого сравнения

If — сеть, и тогда набор , который называется хвостом after , может быть пустым (например, это происходит, если — верхняя граница направленного множества ). В этом случае семейство будет содержать пустой набор, что не позволит ему быть предварительным фильтром (определенным позже). Это (важная) причина определения как , а не или даже , и именно по этой причине, в общем, при работе с предварительным фильтром хвостов сети строгое неравенство не может использоваться взаимозаменяемо с неравенством ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle x_{>i}=\left\{x_{j}~:~j>i{\text{ and }}j\in I\right\},}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}\cup \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

Фильтры и префильтры

Ниже приводится список свойств, которыми может обладать семейство наборов, и они образуют определяющие свойства фильтров, предфильтров и подбаз фильтров. Всякий раз, когда это необходимо, следует исходить из того, что ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).}$

Семейство наборов : ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Правильный илиневырожденный, еслиВ противном случае, еслито он называетсянесобственным^[17]иливырожденным. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}},}$
2. Направлено вниз ^[15], если всегдасуществуеттакое, что ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\subseteq A\cap B.}$
   • Это свойство можно охарактеризовать с точки зрения направленности , что объясняет слово «направленный»: бинарное отношение on называется направленным (вверх) , если для любых двух существует некоторое удовлетворение. Использование вместо дает определение направленного вниз , тогда как использование вместо этого дает определение направлено вверх . Явно направлен вниз (соответственно направлен вверх ) тогда и только тогда, когда для всех существует некоторый «большой» такой, что (соответственно такой, что ) — где «большой» элемент всегда находится с правой стороны, ^{[примечание 1]} − который можно переписать как (соответственно как ). ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\preceq C{\text{ and }}B\preceq C.}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\supseteq C{\text{ and }}B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$
   • Если семейство имеет наибольший по отношению к (например, если ) элемент, то он обязательно направлен вниз. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}}$
3. Замкнуто относительно конечных пересечений (соответственнообъединений), если пересечение (соответственно объединение) любых двух элементовявляется элементом ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • Если замкнуто при конечных пересечениях, то обязательно направлено вниз. Обратное утверждение обычно неверно. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
4. Закрыто вверх илиIsotoneв^[5],еслиили, что эквивалентно, если всякий раз, когдаи некоторый наборудовлетворяетАналогично,закрытовнизеслиЗакрытое вверх (соответственно, вниз) множество также называетсяверхним наборомилирасстроенным(соответственнонижним наборомилинижним набором)). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B\subseteq C\subseteq X,{\text{ then }}C\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\downarrow }.}$
   • Семейство , которое является замыканием вверх, является уникальным наименьшим (относительно ) семейством изотонов множеств, имеющим подмножество. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle \,\subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Многие из свойств, определенных выше и ниже, такие как «собственный» и «направленный вниз», не зависят от этого, поэтому упоминание набора является необязательным при использовании таких терминов. Определения, включающие «закрытие вверх », такие как определение «фильтровать », действительно зависят от этого , поэтому набор следует упомянуть, если это не ясно из контекста. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\textrm {Filters}}(X)\quad =\quad {\textrm {DualIdeals}}(X)\,\setminus \,\{\wp (X)\}\quad \subseteq \quad {\textrm {Prefilters}}(X)\quad \subseteq \quad {\textrm {FilterSubbases}}(X).}$$

Семья – это/является a(n): ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Идеален ^[17][18], еслизамкнут вниз и замкнут относительно конечных объединений. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$
2. Дуальный идеал из^[19]замкнутвверху, а также замкнут относительно конечных пересечений. Эквивалентно,является двойственным идеалом, если для всех^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {B}}\;{\text{ if and only if }}\;R,S\in {\mathcal {B}}.}$
   • Объяснение слова «дуальный»: Семья — это двойственный идеал (соответственно идеал) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$двойником ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$ которого является семья
     $${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$
     является идеалом (соответственно двойственным идеалом) Другими словами, двойственный идеал означает « двойственный идеалу » . Не следует путать семью , поскольку эти два множества в целом не равны; например, Двойственное к двойственному является исходным семейством, что означает, что множество принадлежит двойственному тогда и только тогда, когда ^[17] ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \wp (X)\setminus {\mathcal {B}}=\{S\subseteq X~:~S\notin {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}=\wp (X){\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}=\wp (X).}$ ${\displaystyle X\setminus (X\setminus {\mathcal {B}})={\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}.}$
3. Фильтровать на^[19][7]if— собственный дуальный идеал наТо есть фильтр на —это непустое подмножество,замкнутое при конечных пересечениях и замкнутое вверх в.Эквивалентно, это предварительный фильтр, замкнутый вверх вIn. Другими словами, фильтр на— это семейство множеств, надкоторым (1) не пусто (или, что то же самое, оно содержит), (2) замкнуто относительно конечных пересечений, (3) замкнуто вверхи (4) не имеет пустой набор в качестве элемента. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)\setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$
   • Предупреждение : некоторые авторы, особенно алгебраисты, используют слово «фильтр» для обозначения двойственного идеала; другие, особенно топологи, используют «фильтр» для обозначения правильного / невырожденного двойственного идеала. ^[20] Читателям рекомендуется всегда проверять, как определяется «фильтр» при чтении математической литературы. Однако определения «ультрафильтра», «предфильтра» и «подбазы фильтра» всегда требуют невырожденности. В этой статье используется оригинальное определение «фильтра», данное Анри Картаном ^{[3] [4]} , которое требовало невырожденности.
   • Двойной фильтр — это семейство , двойственным фильтром которого является эквивалентный фильтр, который не содержит элементов . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
   • Набор мощности – это единственный двойной идеал, который не является еще и фильтром. Исключение из определения «фильтра» в топологии имеет то же преимущество, что и исключение из определения « простого числа »: оно избавляет от необходимости указывать «невырожденное» (аналог «неединичного » или «не- » ) во многих важных результатах, тем самым делая их формулировки менее неуклюжими. ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$
4. Предварительный фильтр илиОснование фильтра ^[7][21]еслиправильное и направлено вниз. Аналогично,он называется предварительным фильтром, если его закрытие вверхявляется фильтром. Его также можно определить как любое семейство, эквивалентное (относительно)некоторомуфильтру.^[8] Правильное семействоявляется префильтром тогда и только тогда, когда^[8]Семейство является префильтром тогда и только тогда, когда то же самое верно и для его замыкания вверх. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Если это предфильтр, то его замыкание вверх является уникальным наименьшим (относительно ) фильтром на содержании , и он называется фильтром , сгенерированным фильтром . Говорят, что фильтр сгенерирован префильтром , если в нем называется базой фильтра для ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
   • В отличие от фильтра, предварительный фильтр не обязательно замкнут при конечных пересечениях.
5. π –система , еслизамкнута относительно конечных пересечений. Каждое непустое семействосодержится в единственной наименьшейπ-системе, называемой π - системой, порожденнойкоторой иногда обозначается как.Она равна пересечению всехπ-систем, содержащих, а также множеству всех возможных конечных пересечений множеств от: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   $${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})=\left\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}~:~n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$
   • π –система является префильтром тогда и только тогда, когда она собственная . Каждый фильтр является собственной π -системой, а каждая правильная π -система является префильтром, но обратное, вообще говоря, неверно.
   • Префильтр эквивалентен (относительно ) порожденной им π –системе, и оба этих семейства порождают один и тот же фильтр на ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle X.}$
6. Фильтровать подбазу ^[7][22]ицентрировать^[8], еслииудовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$имеет свойство конечного пересечения , что означает, что пересечение любого конечного семейства (одного или нескольких) множеств не пусто; явно это означает, что всякий раз, когда тогда ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}.}$
   2. π –система, порожденная , является собственной; то есть, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in \pi ({\mathcal {B}}).}$
   3. π –система , порожденная предварительным фильтром. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является подмножеством некоторого префильтра.
   5. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является подмножеством некоторого фильтра.
   • Предположим, что это подбаза фильтра. Тогда существует уникальный наименьший (относительно ) фильтр , содержащий ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$фильтр, сгенерированный ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ , исчитаетсяподбазой фильтра дляэтого фильтра. Этот фильтр равен пересечению всех фильтров, которыеявляются надмножествамиπ-системы, порожденнойобозначением, будет префильтром и подмножеством. Более того, фильтр, порожденный,равен восходящему замыканиюзначения^[8]Однако,тогдаи только тогда, когдапрефильтром(хотядля). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$
   • A ${\displaystyle \subseteq }$ –smallest (meaning smallest relative to ${\displaystyle \subseteq }$ ) prefilter containing a filter subbase ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ will exist only under certain circumstances. It exists, for example, if the filter subbase ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ happens to also be a prefilter. It also exists if the filter (or equivalently, the π–system) generated by ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is principal, in which case ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ is the unique smallest prefilter containing ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Otherwise, in general, a ${\displaystyle \subseteq }$ –smallest prefilter containing ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ might not exist. For this reason, some authors may refer to the π–system generated by ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ as префильтр, сгенерированный ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Однако, если наименьший префильтр действительно существует (скажем, он обозначается), то, вопреки обычным ожиданиям, оннеобязательно равен «префильтру, сгенерированному B {\displaystyle {\mathcal {B}}} " (то естьвозможно). А если подбаза фильтраокажется еще и префильтром, но неπ-системой, то, к сожалению, «префильтра, порожденного этим префильтром» (имеется в виду) не будет(то естьвозможно даже тогда, когдаон является префильтром), вот почему в этой статье будет отдана предпочтение точной и однозначной терминологии « π –система,порожденная». ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}\neq \pi ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})\neq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
7. Подфильтр фильтраиэто ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$суперфильтр из^[17][23]еслиэто фильтр игде фильтры, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$
   • Важно отметить, что выражение «является суперфильтром » для фильтров является аналогом «является подпоследовательностью » . Таким образом, несмотря на общий префикс «подфильтр», «является подфильтром » на самом деле является противоположностью «является подпоследовательностью ». Однако можно также написать то, что описывается словами « подчиняется ». В этой терминологии « подчиняется » становится для фильтров (а также для префильтров) аналогом «является подпоследовательностью » [ ^24] , что Это единственная ситуация, в которой может оказаться полезным использование термина «подчиненный» и символа . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \,\vdash \,}$

На нем нет предварительных фильтров (и нет никаких цепей, оцененных в ), поэтому в этой статье, как и большинство авторов, автоматически без комментариев будет предполагаться, что всякий раз, когда это предположение необходимо. ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$

Основные примеры

Именованные примеры

• Одноэлементное множество называется недискретным или ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}}$тривиальный фильтр на ${\displaystyle X.}$^[25][10]Это единственныйминимальныйфильтр на, поскольку он является подмножеством каждого фильтра на; однако он не обязательно должен быть подмножеством каждого префильтра на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Двойственный идеал также называется вырожденным фильтром в ^[9] (несмотря на то, что на самом деле он не является фильтром). Это единственный двойной идеал, который не является фильтром для ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• If — топологическое пространство, и тогда фильтр окрестности at является фильтром on . По определению семейство называется базисом окрестности (соответственно подбазой окрестности ) в том и только том случае, если оно является предварительным фильтром (соответственно является подбазой фильтра) и фильтр на , который генерирует, равен фильтру окрестностей. Подсемейство открытых окрестностей является базой фильтра для. Оба префильтра также образуют базы для топологий on , при этом генерируемая топология грубее , чем Этот пример немедленно обобщает окрестности точек на окрестности непустых подмножества ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle x{\text{ for }}(X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle \tau (x)\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}\tau (x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau (x)}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$являетсяэлементарный префильтр ^[26], еслидля некоторой последовательности ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }{\text{ in }}X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$являетсяэлементарный фильтр илипоследовательный фильтр по^[27]ifявляется фильтром попорождению некоторого элементарного префильтра. Фильтр хвостов, порожденный последовательностью, которая в конечном итоге не является постоянной,неультрафильтром.^[28]Каждый главный фильтр на счетном множестве является последовательным, как и любой коконечный фильтр на счетном множестве.^[9]Пересечение конечного числа последовательных фильтров снова является последовательным.^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$
• Множество всех коконитных подмножеств ( имеются в виду те множества, дополнение которых в конечно) является собственным тогда и только тогда, когда оно бесконечно (или, что то же самое, бесконечно), и в этом случае существует фильтр, известный как фильтр Фреше или фильтр Фреше. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$коконечный фильтр в^[10][25]Есликонечен, торавен двойственному идеалу, который не является фильтром. Еслибесконечно, то семействодополнений одноэлементных множеств представляет собой подбазу фильтра, которая генерирует фильтр Фреше наAs с любым семейством множеств, надкоторым содержитсяядро ​​фильтра Фреше,на пустом множестве: ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\varnothing .}$
• Пересечение всех элементов в любом непустом семействе само по себе является фильтром on, называемым нижней границей или наибольшей нижней границей , поэтому его можно обозначать Said по-другому. Поскольку каждый фильтр on имеет подмножество, это пересечение никогда не бывает пустым. По определению, нижняя грань — это самый точный/самый большой (относительно ) фильтр, содержащийся как подмножество каждого члена ^[10] ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$ ${\displaystyle \bigwedge _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \ker \mathbb {F} =\bigcap _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,{\text{ and }}\,\leq \,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$
  • Если фильтры, то их нижняя граница в является фильтром ^[8] Если являются предфильтрами, то это предварительный фильтр, который является более грубым (относительно ), чем оба (то есть ); действительно, это один из лучших таких префильтров , что означает, что if является предварительным фильтром таким, что then обязательно ^[8] В более общем смысле, if - непустые семейства, а if then и является наибольшим элементом (относительно ) из ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \,\leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} :=\{{\mathcal {S}}\subseteq \wp (X)~:~{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\in \mathbb {S} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$
• Пусть и пусть Супремум или наименьшая верхняя граница обозначается как наименьший (относительно ) двойственный идеал, содержащий каждый элемент в качестве подмножества; то есть это наименьший (относительно ) дуальный идеал, содержащийся в качестве подмножества. Этот двойственный идеал заключается в том, что π -система, порожденная As с любым непустым семейством множеств, содержится в некотором фильтре тогда и только тогда, когда она является подбазой фильтра, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда является фильтром в в этом случае это семейство является наименьшим (относительно ) фильтром, содержащим каждый элемент в качестве подмножества и обязательно ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {DualIdeals} (X)}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} =\bigcup _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {DualIdeals} (X),}$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right):=\left\{F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}~:~n\in \mathbb {N} {\text{ and every }}F_{i}{\text{ belongs to some }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} \right\}}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X).}$
• Пусть и пусть Супремум или наименьшая верхняя граница , обозначаемая , если она существует, по определению является наименьшим (относительно ) фильтром, содержащим каждый элемент в качестве подмножества. Если он существует, то обязательно ^[10] (как определено выше) и также будет равен пересечению всех фильтров на содержащем . Эта верхняя грань существует тогда и только тогда, когда двойственный идеал является фильтром на Наименьшей верхней границе семейства фильтров. может не быть фильтром. ^[10] Действительно, если содержит по крайней мере 2 различных элемента, то существуют фильтры , для которых не существует фильтра , содержащего оба. Если это не подбаза фильтра, то верхняя грань не существует, и то же самое верно для ее верхней границы в их верхняя грань в множестве всех двойственных идеалов будет существовать (это вырожденный фильтр ). ^[9] ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} =\bigcup _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$
  • Если есть предварительные фильтры (соответственно фильтры на ), то это предварительный фильтр (соответственно фильтр) тогда и только тогда, когда он невырожден (или, другими словами, тогда и только тогда, когда сетка), и в этом случае это один из самых грубых предварительных фильтров. (соответственно самый грубый фильтр) на (относительно ), который тоньше (относительно ), чем оба, это означает, что если есть какой-либо предварительный фильтр (соответственно любой фильтр) такой, что тогда обязательно ^[8] и в этом случае он обозначается ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq }$ ${\displaystyle \,\leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vee {\mathcal {F}}.}$
• Пусть - непустые множества и для каждого пусть - двойственный идеал на. Если есть какой-либо двойственный идеал на, то это двойственный идеал на, называемый двойственным идеалом Ковальского или фильтром Ковальского . ^[17] ${\displaystyle I{\text{ and }}X}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \bigcup _{\Xi \in {\mathcal {I}}}\;\;\bigcap _{i\in \Xi }\;{\mathcal {D}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$
• Клубный фильтр регулярного несчетного кардинала — это фильтр всех множеств, содержащих клубное подмножество . Это -полный фильтр, замкнутый относительно диагонального пересечения . ${\displaystyle \kappa .}$ ${\displaystyle \kappa }$

Другие примеры

• Let и let , которые образуют предварительный фильтр и подбазу фильтра, не замкнутую при конечных пересечениях. Поскольку это префильтр, наименьший префильтр, содержащий : π - система , сгенерированная с помощью : В частности, наименьший префильтр, содержащий подбазу фильтра , не равен набору всех конечных пересечений множеств в . π –система генерирует и является примером фиксированных главных ультрапрефильтров, которые являются главными в данной точке и также являются ультрафильтрами в ${\displaystyle X=\{p,1,2,3\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\{p\},\{p,1,2\},\{p,1,3\}\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{\{p,1\}\}\cup {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}=\{S\subseteq X:p\in S\}=\{\{p\}\cup T~:~T\subseteq \{1,2,3\}\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle p;{\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X.}$
• Пусть - топологическое пространство, и определите, где оно обязательно тоньше, чем ^[29] Если оно непусто (соответственно невырождено, подбаза фильтра, предварительный фильтр, замкнутый относительно конечных объединений), то то же самое верно для If - фильтр on then является префильтром, но не обязательно фильтром, хотя это фильтр, эквивалентный ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}:=\left\{\operatorname {cl} _{X}B~:~B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left({\overline {\mathcal {B}}}\right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$
• Множество всех плотных открытых подмножеств (непустого) топологического пространства является собственной π –системой и, следовательно, также префильтром. Если пространство является пространством Бэра , то множество всех счетных пересечений плотных открытых подмножеств представляет собой π –систему и более тонкий префильтр, чем Если (с ) то множество всех таких, которые имеют конечную меру Лебега, является собственным π –система и свободный префильтр, которые также являются собственным подмножеством префильтров и эквивалентны и, таким образом, генерируют один и тот же фильтр для префильтра , который правильно содержится в префильтре, состоящем из всех плотных подмножеств, а не эквивалентен ему . каждое счетное пересечение множеств в плотно (а также сходно и нетоще), поэтому множество всех счетных пересечений элементов в является префильтром и π –системой; это также тоньше, чем, и не эквивалентно, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1\leq n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }.}$
• Подбаза фильтров, в которой нет наименьшего префильтра, содержащего ее ${\displaystyle \,\subseteq -}$ . В общем, если подбаза фильтров не является π -системой, то пересечение множеств из обычно требует описания, включающего переменные, которые не могут быть сокращены только до двух (рассмотрим, например, когда ). Этот пример иллюстрирует нетипичный класс подбаз фильтров , где все множества в обеих и сгенерированной ею π –системе могут быть описаны как множества вида так, что, в частности, для описания сгенерированной π –системы требуется не более двух переменных (в частности, ). -система. Для всех пусть ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{(-\infty ,r)\cup (r,\infty )~:~r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}}$ ${\displaystyle B_{r,s},}$ ${\displaystyle r{\text{ and }}s}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {R} ,}$
  $${\displaystyle B_{r,s}=(r,0)\cup (s,\infty ),}$$
  где выполняется всегда, поэтому общность не теряется при добавлении предположения. Для всех действительных чисел , если неотрицательно, то ^{[примечание 2]} Для каждого набора положительных действительных чисел пусть ^{[примечание 3]} ${\displaystyle B_{r,s}=B_{\min(r,s),s}}$ ${\displaystyle r\leq s.}$ ${\displaystyle r\leq s{\text{ and }}u\leq v,}$ ${\displaystyle s{\text{ or }}v}$ ${\displaystyle B_{-r,s}\cap B_{-u,v}=B_{-\min(r,u),\max(s,v)}.}$ ${\displaystyle R}$
  $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}:=\left\{B_{-r,r}:r\in R\right\}=\{(-r,0)\cup (r,\infty ):r\in R\}\quad {\text{ and }}\quad {\mathcal {B}}_{R}:=\left\{B_{-r,s}:r\leq s{\text{ with }}r,s\in R\right\}=\{(-r,0)\cup (s,\infty ):r\leq s{\text{ in }}R\}.}$$
  Пусть и предположим, что это не одноэлементное множество. Тогда это подбаза фильтра, но не предварительный фильтр, и это π -система, которую он генерирует, так что это уникальный наименьший фильтр, содержащийся . Однако он не является включенным фильтром (и не является предварительным фильтром, поскольку он не направлен вниз, хотя и подбаза фильтра) и является правильным подмножеством фильтра. Если интервалы непусты, то подбазы фильтров генерируют один и тот же фильтр тогда и только тогда, когда If является предфильтром, удовлетворяющим ^{[примечание 4]} , тогда для любого семейства также является предфильтром, удовлетворяющим Это показывает, что не может существовать минимальный / наименьший (по отношению к ) префильтр, который одновременно содержит и является подмножеством π -системы, порожденной. Это остается верным, даже если требование о том, чтобы префильтр был подмножеством , удалено; то есть (в отличие от фильтров) не существует минимального/наименьшего (по отношению к ) предварительного фильтра, содержащего подбазу фильтра ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varnothing \neq R\subseteq (0,\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}=\pi \left({\mathcal {S}}_{R}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle R,S\subseteq (0,\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}{\text{ and }}{\mathcal {S}}_{S}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R=S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}\setminus {\mathcal {S}}_{(0,\infty )},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\setminus \{C\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\setminus \{C\}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}.}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}=\pi \left({\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\right)}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}.}$

Ультрафильтры

Существует множество других характеристик «ультрафильтра» и «ультрапредфильтра», которые перечислены в статье об ультрафильтрах . В этой статье также описаны важные свойства ультрафильтров.

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}{\textrm {Ultrafilters}}(X)\;&=\;{\textrm {Filters}}(X)\,\cap \,{\textrm {UltraPrefilters}}(X)\\&\subseteq \;{\textrm {UltraPrefilters}}(X)={\textrm {UltraFilterSubbases}}(X)\\&\subseteq \;{\textrm {Prefilters}}(X)\\\end{alignedat}}}$$

Непустое семейство множеств — это: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

8. Ultra ^{[7] [30]} , есливыполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$
   1. Для каждого набора существует такой набор , что (или, что то же самое, такой, что ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq S{\text{ or }}B\subseteq X\setminus S}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing }$
   2. Для каждого множества существует такое множество, что ${\displaystyle S\subseteq \bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
      • Эта характеристика « ультра» не зависит от набора , поэтому упоминание набора не является обязательным при использовании термина «ультра». ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$
   3. Для каждого набора (не обязательно даже подмножества ) существует такой набор, что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
      • Если это условие удовлетворяет, то то же самое делает и каждое надмножество. Например, если есть какое-либо одноэлементное множество, то оно является ультра и, следовательно, любое невырожденное надмножество (например, его замыкание вверх) также является ультра. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\supseteq {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{T\}}$ ${\displaystyle \{T\}}$
9. Ультра префильтр ^{[7] [30]} если это префильтр, который тоже ультра. По сути, это ультрафильтрационная подставка. Предварительный фильтр является ультра тогда и только тогда, когда он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$максимально по относительно , что означает, что ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle \,\leq ,\,}$
      $${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Prefilters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
   2. ${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$
      • Хотя это утверждение идентично приведенному ниже для ультрафильтров, здесь предполагается просто предварительный фильтр; это не обязательно должен быть фильтр. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$является ультра (и, следовательно, ультрафильтром).
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$эквивалентен (относительно ) некоторому ультрафильтру. ${\displaystyle \leq }$
   • Фильтрующая подставка ультра обязательно является предварительным фильтром. Подбаза фильтра является ультра тогда и только тогда, когда она является максимальной подбазой фильтра относительно (как указано выше). ^[17] ${\displaystyle \,\leq \,}$
10. Ультрафильтр на ${\displaystyle X}$^{[7] [30]} если это фильтрто ультра. Эквивалентно, ультрафильтр— это фильтр, который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$
    1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$генерируется ультрапрефильтром.
    2. Для любого ^[17] ${\displaystyle S\subseteq X,S\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}X\setminus S\in {\mathcal {B}}.}$
    3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup (X\setminus {\mathcal {B}})=\wp (X).}$Это условие можно переформулировать следующим образом: разделено и его двойственное ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}.}$
       • Множества не пересекаются, если есть предварительный фильтр. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}X\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
    4. ${\displaystyle \wp (X)\setminus {\mathcal {B}}=\{S\in \wp (X):S\not \in {\mathcal {B}}\}}$является идеалом. ^[17]
    5. Для любого если тогда ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S=X}$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}.}$
    6. Для любого if then (фильтр с таким свойством называется фильтром простых чисел ). ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}}$
       • Это свойство распространяется на любое конечное объединение двух или более множеств.
    7. Для любого если тогда либо ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}R\cap S=\varnothing }$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}.}$
    8. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$– максимальный фильтр на ; это означает, что if является фильтром для такого, что тогда обязательно (это равенство можно заменить на ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}{\text{ or by }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}}$
       • Если закрыт вверх, то характеристику ультрафильтров как максимальных фильтров можно переформулировать как: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}.}$
         $${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
       • Поскольку подчинение для фильтров является аналогом фразы «является подсетью/подпоследовательностью» (в частности, «подсеть» должно означать «AA-подсеть», определение которой дано ниже), такая характеристика ультрафильтра как «максимально подчиненного фильтра» предполагает что ультрафильтр можно интерпретировать как аналог некой «максимально глубокой сети» (что может, например, означать, что «если смотреть только со стороны » в некотором смысле он неотличим от своих подсетей, как и в случае с любой net, например, в одноэлементном наборе), ^{[примечание 5]} и это идея, которая фактически становится строгой благодаря ultranets . Лемма об ультрафильтре тогда представляет собой утверждение, что каждый фильтр («сеть») имеет некоторый подчиненный фильтр («подсеть»), который является «максимально подчиненным» («максимально глубоким»). ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle X}$

Любое невырожденное семейство, содержащее одноэлементный набор в качестве элемента, является ультра, и в этом случае оно будет ультрапрефильтром тогда и только тогда, когда оно также обладает свойством конечного пересечения. Тривиальный фильтр является ультра тогда и только тогда, когда он является одноэлементным множеством. ${\displaystyle \{X\}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle X}$

Лемма об ультрафильтре

Следующая важная теорема принадлежит Альфреду Тарскому (1930). ^[31]

Лемма/глава/теорема об ультрафильтре ^[10]  ( Тарский )  —  Каждый фильтр на множествеявляется подмножеством некоторого ультрафильтра на множестве. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Следствием леммы об ультрафильтре является то, что каждый фильтр равен пересечению всех содержащих его ультрафильтров. ^{[10] [доказательство 1]} Принимая во внимание аксиомы Цермело–Френкеля (ZF) , лемма об ультрафильтре следует из выбранной аксиомы (в частности, из леммы Цорна ), но является строго более слабой, чем она. Лемма об ультрафильтре подразумевает аксиому выбора для конечных множеств. Если иметь дело только с хаусдорфовыми пространствами, то большинство основных результатов (которые встречаются на вводных курсах) в топологии (таких как теорема Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств и теорема Александера о суббазах ) и функциональном анализе (такие как теорема Хана-Банаха ) могут быть доказано с использованием только леммы об ультрафильтре; полная сила аксиомы выбора может и не потребоваться.

Ядра

Ядро полезно для классификации свойств префильтров и других семейств множеств.

Ядро [ ^5] семейства множеств — это пересечение всех множеств, являющихся элементами ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:}$

$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B}$$

Если тогда для любой точки ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle x,x\not \in \ker {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}X\setminus \{x\}\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$

Свойства ядер

Если то и это множество также равно ядру π –системы, порожденной В частности, если – подбаза фильтра, то ядра всех следующих множеств равны: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle \ker \left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right)=\ker {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(1) (2) π –система, порожденная и (3) фильтр, порожденный ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Если — отображение, то и Если то, в то время как если и эквивалентны, то эквивалентные семейства имеют равные ядра. Два главных семейства эквивалентны тогда и только тогда, когда их ядра равны; то есть, если и являются главными, то они эквивалентны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\ker {\mathcal {B}})\subseteq \ker f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f^{-1}(\ker {\mathcal {B}})=\ker f^{-1}({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {C}}\subseteq \ker {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}.}$

Классификация семейств по их ядрам

Семейство наборов: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

2. Бесплатно ^[6]еслиили эквивалентно, еслиэто можно переформулировать как ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\subseteq {\mathcal {B}}^{\uparrow X};}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Фильтр свободен тогда и только тогда, когда он бесконечен и содержит фильтр Фреше в качестве подмножества. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$
3. Фиксировано, еслив этом случаеговорят, что онозафиксировано влюбой точке. ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in \ker {\mathcal {B}}.}$
   • Любое фиксированное семейство обязательно является подбазой фильтра.
4. Принципал ^[6]если ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.}$
   • Правильное главное семейство множеств обязательно является предфильтром.
5. Дискретный илиглавный в ^[25], еслив этом случаеназывается его ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}=\ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle x}$главный элемент .
   • Основной фильтр в on ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ является фильтром A. Фильтр является основным тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{x\}^{\uparrow X}.}$
6. Счетно глубоко , если всякий раз, когда есть счетное подмножество, то ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {C}}\in {\mathcal {B}}.}$

Если это основной фильтр, то и ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\ker {\mathcal {B}}\}^{\uparrow X}=\{S\cup \ker {\mathcal {B}}:S\subseteq X\setminus \ker {\mathcal {B}}\}=\wp (X\setminus \ker {\mathcal {B}})\,(\cup )\,\{\ker {\mathcal {B}}\}}$$

${\displaystyle \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Семейство примеров: для любого непустого семейства семейство свободно, но оно является подбазой фильтров тогда и только тогда, когда никакое конечное объединение формы не покрывает, и в этом случае создаваемый им фильтр также будет свободным. В частности, является подбазой фильтра, если счетно (например, простые числа), скудным множеством в множестве конечной меры или ограниченным подмножеством. Если является одноэлементным множеством, то является подбазой для фильтра Фреше на ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}=\{\mathbb {R} \setminus (r+C)~:~r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \left(r_{1}+C\right)\cup \cdots \cup \left(r_{n}+C\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Для каждого фильтра существует единственная пара двойственных идеалов, такая, что она свободна, является главной и не сцепляется (т. е. ). Двойственный идеал называется свободной частью , а называется главной частью ^[9] , где хотя бы один из этих двойственных идеалов является фильтрующим. Если главный , то в противном случае — свободный (невырожденный) фильтр. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{\bullet }{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}\wedge {\mathcal {F}}^{\bullet }={\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}\vee {\mathcal {F}}^{\bullet }=\wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }:={\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{*}:=\wp (X);}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }:=\{\ker {\mathcal {F}}\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}:={\mathcal {F}}\vee \{X\setminus \left(\ker {\mathcal {F}}\right)\}^{\uparrow X}}$

Конечные префильтры и конечные множества

Если подбаза фильтров конечна, то она фиксирована (т. е. не бесплатна); это связано с тем, что это конечное пересечение, а подбаза фильтра обладает свойством конечного пересечения. Конечный предварительный фильтр обязательно является главным, хотя он не обязательно должен быть замкнутым при конечных пересечениях. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Если конечен, то все приведенные выше выводы справедливы для любого. В частности, на конечном множестве не существует свободных подбазисов фильтров (и, следовательно, нет свободных префильтров), все префильтры являются главными, а все фильтры на являются главными фильтрами, порожденными их (не –пустые) ядра. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Тривиальный фильтр всегда является конечным фильтром на множестве, и если он бесконечен, то это единственный конечный фильтр, поскольку нетривиальный конечный фильтр на множестве возможен тогда и только тогда, когда он конечен. Однако на любом бесконечном множестве существуют нетривиальные подбазисы фильтров и префильтры, которые конечны (хотя они не могут быть фильтрами). Если это одноэлементный набор, то тривиальный фильтр является единственным правильным подмножеством , и, более того, этот набор является главным ультрапрефильтром, и любое надмножество (где ) со свойством конечного пересечения также будет основным ультрапрефильтром (даже если оно бесконечно). ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\supseteq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (Y){\text{ and }}X\subseteq Y}$ ${\displaystyle Y}$

Характеристика фиксированных ультрапрефильтров

Если семейство наборов фиксировано (то есть ), то оно является ультра тогда и только тогда, когда некоторый элемент является одноэлементным набором, и в этом случае обязательно будет предварительным фильтром. Каждый основной префильтр фиксирован, поэтому главный префильтр является ультра тогда и только тогда, когда он является одноэлементным набором. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}}$

Всякий фильтр на нем, главный в одной точке, является ультрафильтром, а если при этом конечен, то и на других ультрафильтрах, кроме этих, не существует. ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Следующая теорема показывает, что каждый ультрафильтр попадает в одну из двух категорий: либо он свободен, либо является главным фильтром, порожденным одной точкой.

Утверждение. Если  —  ультрафильтр, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является фиксированным или, что то же самое, несвободным, что означает ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является главным, то есть ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\in {\mathcal {F}}.}$
3. Некоторый элемент является конечным множеством. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
4. Некоторый элемент представляет собой одноэлементный набор. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
5. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является главным в некоторой точке, что означает для некоторых ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\{x\}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in X.}$
6. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$не содержит фильтра Фреше на ${\displaystyle X.}$
7. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является последовательным. ^[9]

Более мелкое/крупное, подчинение и сетка

Предварительный порядок , определенный ниже, имеет фундаментальное значение для использования предварительных фильтров (и фильтров) в топологии. Например, этот предварительный порядок используется для определения эквивалента префильтра «подпоследовательности», ^[24] где « » можно интерпретировать как « является подпоследовательностью » (поэтому «подчиненный» является эквивалентом префильтра «подпоследовательности»). Он также используется для определения сходимости префильтра в топологическом пространстве. Определение сеток, с которыми тесно связан предварительный порядок, используется в Топологии для определения точек кластеризации . ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle \,\leq ,}$

Два семейства наборов ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ сетки ^[7]исовместимы, что обозначается надписью: еслинет сетки, тоонидиссоциированы.ifthenявляютсясеткой, еслисетка, или, что то же самое, если ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}\{S\}}$след которого- семья ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$

ограничение ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ to }}S.}$

Объявите, что изложенное является грубее и тоньше (или подчиняется ) ^{[10] [11] [12] [8] [9]} , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий : ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$

1. Определение: Каждое содержит некоторое количество. Явно это означает, что для каждого существует такое, что ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\subseteq C.}$
   • Короче говоря, простым языком: если каждый набор больше, чем какой-то набор . Здесь «больший набор» означает надмножество. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
2. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for every }}C\in {\mathcal {C}}.}$
   • Другими словами, это именно те состояния, которые больше некоторого множества из . Эквивалентность (a) и (b) вытекает сразу. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
   • Из этой характеристики следует, что если — семейства множеств, то ${\displaystyle \left({\mathcal {C}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}{\mathcal {C}}_{i}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {C}}_{i}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for all }}i\in I.}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$что эквивалентно ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}}$;
5. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$что эквивалентно ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$

а если дополнительно закрыт вверх, то это означает, что этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$

6. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}.}$^[5]
   • Таким образом, в этом случае это определение « точнее , чем » было бы идентично топологическому определению «более тонкого», если бы были топологии на ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$

Если замкнутое вверх семейство тоньше (то есть ), но тогда говорят, что оно строго тоньше и строго грубее , чем ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Два семейства сравнимы , если одно из этих множеств тоньше другого. ^[10]

Пример : Если является подпоследовательностью then, подчиняется символам :, а также говоря простым языком, префильтр хвостов подпоследовательности всегда подчиняется фильтру исходной последовательности. Чтобы убедиться в этом, пусть будет произвольным (или, что то же самое, пусть будет произвольным), и осталось показать, что это множество содержит некоторые. Для того, чтобы набор содержал достаточно, чтобы оно имело. Поскольку являются строго возрастающими целыми числами, существуют такие, что и так выполняется, как желанный. Следовательно, левая часть будет строгим/правильным подмножеством правой части, если (например) каждая точка уникальна (то есть, когда инъективна) и является подпоследовательностью с четным индексом , потому что при этих условиях каждый хвост (для каждого ) подпоследовательности будет принадлежать правому фильтру, но не левому. ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}=\left(x_{i_{n}}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right);}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)\vdash \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle C:=x_{\geq i}\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F:=x_{i_{\geq n}}\in \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle x_{\geq i}=\left\{x_{i},x_{i+1},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{i_{n}},x_{i_{n+1}},\ldots \right\},}$ ${\displaystyle i\leq i_{n}.}$ ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i_{n}\geq i,}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\supseteq x_{i_{\geq n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(x_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}}$ ${\displaystyle \left(x_{2},x_{4},x_{6},\ldots \right)}$ ${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{2n},x_{2n+2},x_{2n+4},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Другой пример: если есть какое-либо семейство, то оно всегда выполняется, и, кроме того, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}\leq \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\leq {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}\varnothing \in {\mathcal {B}}.}$

Предположим, что это семейства множеств, которые удовлетворяют условиям «Тогда » и «Если » в дополнение к — это подбаза фильтра , а затем — подбаза фильтра ^[8] , а также сетка. ^{[19] [доказательство 2]} В более общем смысле, если оба элемента и пересечение любых двух элементов непусто, то сетка. ^{[доказательство 2]} Каждая подбаза фильтров грубее, чем π -система, которую она порождает, и фильтр, который она порождает. ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\subseteq \ker {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq \varnothing {\text{ implies }}{\mathcal {F}}\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {C}}{\text{ implies }}\varnothing \in {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ and }}\varnothing \neq {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

Если есть семьи, в которых семья ультра, то она обязательно ультра. Отсюда следует, что любая семья, эквивалентная ультрасемье, обязательно будет ультрасемейством. В частности, если это предварительный фильтр, то либо оба фильтра , и фильтр, который он генерирует, являются ультра, либо ни один из них не является ультра. Если подбаза фильтра ультра, то это обязательно предфильтр, и в этом случае фильтр, который он генерирует, также будет ультра. Подставка фильтра , не являющаяся фильтром предварительной очистки, не может быть ультра; но, тем не менее, префильтр и фильтр, сгенерированные с помощью Ultra, все еще могут быть ультра. Если закрыто вверх, то ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\not \in {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}(X\setminus S)\#{\mathcal {B}}.}$

Реляционные свойства подчинения

Отношение является рефлексивным и транзитивным , что превращает его в предварительный порядок в ^[32]. Отношение антисимметрично , но если оно имеет более одной точки, то оно не симметрично . ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ ${\displaystyle \,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X}$

Симметрия : Для любого So множество имеет более одной точки тогда и только тогда, когда отношение не симметрично . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),{\mathcal {B}}\leq \{X\}{\text{ if and only if }}\{X\}={\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)}$

Антисимметрия : хотя обратное в целом не выполняется, оно справедливо, если закрыто вверх (например, если это фильтр). Два фильтра эквивалентны тогда и только тогда , когда они равны, что делает ограничение антисимметричным . Но в целом не является антисимметричным ни на ни на ; то есть не обязательно подразумевает ; даже если оба являются предфильтрами. ^[12] Например, если это предварительный фильтр, но не фильтр, то ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}{\text{ then }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}^{\uparrow X}{\text{ and }}{\mathcal {B}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {B}}{\text{ but }}{\mathcal {B}}\neq {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$

Эквивалентные семейства множеств

Предварительный порядок индуцирует каноническое отношение эквивалентности , где для всех эквивалентно , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ^{[8] [5]} ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}.}$
2. Закрытия вверх равны. ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$

Два закрытых вверх (в ) подмножества эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны. ^[8] Если тогда обязательно и эквивалентно Каждый класс эквивалентности, кроме содержит единственный представитель (то есть элемент класса эквивалентности), который замкнут вверх в ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$

Свойства, сохраненные между эквивалентными семьями

Пусть произвольно и пусть это любое семейство множеств. Если эквивалентны (что подразумевает, что ), то для каждого из утверждений/свойств, перечисленных ниже, оно либо истинно для обоих , либо неверно для обоих : ^[32] ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

1. Не пусто
2. Правильный (то есть не является элементом) ${\displaystyle \varnothing }$
   • Более того, любые два вырожденных семейства обязательно эквивалентны.
3. Основание фильтра
4. Предварительный фильтр
   • В этом случае сгенерируйте один и тот же фильтр (то есть их замыкания вверх равны). ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
5. Бесплатно
6. Главный
7. Ультра
8. Равен тривиальному фильтру ${\displaystyle \{X\}}$
   • На словах это означает, что единственное его подмножество , эквивалентное тривиальному фильтру, — это тривиальный фильтр. В общем, этот вывод о равенстве не распространяется на нетривиальные фильтры (единственное исключение — когда оба семейства являются фильтрами). ${\displaystyle \wp (X)}$
9. Сетки с ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
10. Тоньше, чем ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
11. Является грубее, чем ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
12. Эквивалентно ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

В приведенном выше списке отсутствует слово «фильтр», поскольку это свойство не сохраняется эквивалентностью. Однако если фильтры включены, то они эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны; эта характеристика не распространяется на предварительные фильтры. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X,}$

Эквивалентность фильтров предварительной очистки и фильтрующих оснований

Если включен предварительный фильтр, то следующие семейства всегда эквивалентны друг другу: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$;
2. π –система , порожденная ; ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. фильтр, созданный ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

и более того, все эти три семейства генерируют один и тот же фильтр (то есть замыкания вверх в этих семействах равны). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В частности, каждый префильтр эквивалентен фильтру, который он генерирует. По транзитивности два префильтра эквивалентны тогда и только тогда, когда они генерируют один и тот же фильтр. ^{[8] [доказательство 3]} Каждый префильтр эквивалентен ровно одному фильтру, на котором находится фильтр, который он генерирует (то есть, замыкание префильтра вверх). Иными словами, каждый класс эквивалентности предфильтров содержит ровно одного представителя, который является фильтром. Таким образом, фильтры можно рассматривать как просто выделенные элементы этих классов эквивалентности префильтров. ^[8] ${\displaystyle X,}$

Подбаза фильтра, которая не является также префильтром, не может быть эквивалентна префильтру (или фильтру), который она генерирует. Напротив, каждый префильтр эквивалентен фильтру, который он генерирует. Вот почему префильтры, по большому счету, могут использоваться взаимозаменяемо с фильтрами, которые они генерируют, в то время как подбазы фильтров не могут быть использованы. Каждый фильтр является одновременно π -системой и кольцом множеств .

Примеры определения эквивалентности/неэквивалентности

Примеры: Пусть и пусть будет набор целых чисел (или набор ). Определите наборы ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{[e,\infty )~:~e\in E\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }=\{(-\infty ,e)\cup (1+e,\infty )~:~e\in E\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }=\{(-\infty ,e]\cup [1+e,\infty )~:~e\in E\}.}$$

Все три набора являются подбазисами фильтров, но ни один из них не является фильтром , и только он является префильтром (фактически он даже свободен и замкнут при конечных пересечениях). Набор фиксированный, пока бесплатен (если только ). Они удовлетворяют требованиям , но никакие два из этих семейств не эквивалентны; более того, никакие два фильтра, сгенерированные этими тремя подбазами фильтров, не являются эквивалентными/равными. К такому выводу можно прийти, показав, что порождаемые ими π –системы неэквивалентны. В отличие от любого множества в π -системе, сгенерированной, содержит подмножество, ^{[примечание 6]} , что не позволяет их сгенерированным π -системам (и, следовательно, их сгенерированным фильтрам) быть эквивалентными. Если бы вместо этого было, то все три семейства были бы свободны, и хотя множества оставались бы неэквивалентными друг другу, их порождаемые π –системы были бы эквивалентны и, следовательно, они порождали бы один и тот же фильтр на ; однако этот общий фильтр все равно будет строго грубее, чем фильтр, созданный ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }}$ ${\displaystyle E=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }\leq {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }\leq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} },}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\text{ or }}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }{\text{ and }}{\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Теоретико-множественные свойства и конструкции

Трассировка и создание сетки

Если это предварительный фильтр (соответственно фильтр), то след которого является семейством, является предварительным фильтром (соответственно фильтром) тогда и только тогда, когда сетка (то есть ^[10] ), и в этом случае говорят, что след быть вызвано . Если ультра и если сетка, то трассировка ультра. Если включен ультрафильтр, то след является фильтром тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:={\mathcal {B}}(\cap )\{S\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap )\{S\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}.}$

Например, предположим, что фильтр таков, что Тогда сетка и генерирует фильтр , который строго тоньше, чем ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\neq X{\text{ and }}X\setminus S\not \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{S\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Когда фильтры предварительной очистки сцепляются

Учитывая непустые семьи, семья ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}:=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}}$$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},{\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

     Два предварительных фильтра (соответственно подбазы фильтров) образуют сетку тогда и только тогда, когда существует предварительный фильтр (соответственно подбаза фильтров) такой, что и ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$

Если существует наименьшая верхняя граница двух фильтров в , то эта наименьшая верхняя граница равна ^[28] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$

Изображения и прообразы по функциям

Далее будут отображены непустые множества. ${\displaystyle f:X\to Y{\text{ and }}g:Y\to Z}$

Изображения префильтров

Пусть многие свойства, которые могли иметь, сохранились под изображениями карт; заметные исключения включают закрытие вверх, закрытие при конечных пересечениях и фильтр, которые не обязательно сохраняются. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Явно, если одно из следующих свойств истинно, то оно обязательно будет верно и для (хотя, возможно, не для кодомена, если только оно не сюръективно): ^{[10] [13] [33] [34] [35] [31]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ on }}g(Y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$

• Свойства фильтра: ультра, ультрафильтр, фильтр, префильтр, подоснова фильтра, двойной идеал, закрытый вверх, собственный/невырожденный.
• Идеальные свойства: идеальные, замкнутые при конечных объединениях, замкнутые вниз, направленные вверх.

Более того, если это предфильтр, то таковы и оба ^[10]. Изображение под картой ультрамножества снова ультра, и если это ультра префильтр, то то же самое ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y)}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ and }}g^{-1}(g({\mathcal {B}})).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}).}$

Если это фильтр, то это фильтр в диапазоне , но он является фильтром в кодомене тогда и только тогда, когда он сюръективен. ^[33] В противном случае это всего лишь предварительный фильтр , и для получения фильтра необходимо снять его закрытие вверх . Закрытие вверх ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle g(Y),}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ in }}Z}$

$${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~B\subseteq g^{-1}(S){\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}}$$

${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~g^{-1}(S)\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$

Если затем считать , что карта включения показывает, что любой предварительный фильтр (соответственно ультра-префильтр, подбаза фильтра) на также является предварительным фильтром (соответственно ультра-префильтр, подбаза фильтра) на ^[10] ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Прообразы префильтров

Пусть в предположении, что оно сюръективно : ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

      ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$является префильтром (соответственно подбазой фильтра, π –системой, замкнутой относительно конечных объединений, собственно) тогда и только тогда, когда это верно для ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Однако, если включен ультрафильтр, то, даже если он сюръективен (что делает предварительный фильтр), тем не менее, префильтр все равно может быть ни ультра, ни фильтром в ^[34] ( пример см. в этой сноске ^{[примечание 7]).} ). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X}$ 

Если не сюръективно, то обозначим след через где в данном случае в частном случае след удовлетворяет: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}f(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}=f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right)}$$

$${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})=f^{-1}\left({\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}\right).}$$

Это последнее равенство и тот факт, что след представляет собой семейство множеств, означает, что для того, чтобы сделать выводы о следе, можно использовать вместо и сюръекцию можно использовать вместо Например: ^{[13] [10] [35]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

      ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$является префильтром (соответственно подбазой фильтра, собственно π -системой) тогда и только тогда, когда это верно для ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}.}$

Таким образом, случай, когда не является (обязательно) сюръективным, может быть сведен к случаю сюръективной функции (это случай, описанный в начале этого подраздела). ${\displaystyle f}$

Даже если это ультрафильтр, если не сюръективен, то, тем не менее, возможно то, что также приведет к вырождению. Следующая характеристика показывает, что единственным препятствием является вырождение. Если это предварительный фильтр, то следующие действия эквивалентны: ^{[13] [10] [35]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$является предфильтром;
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$является предфильтром;
3. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$;
4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$соединяется с ${\displaystyle f(X)}$

и более того, если это предфильтр, то и ^{[13] [10]} ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right).}$

Если и if обозначает карту включения, то след равен ^[10] Это наблюдение позволяет применить результаты этого подраздела к исследованию следа на множестве. ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :S\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle \operatorname {In} ^{-1}({\mathcal {B}}).}$

Биекции, инъекции и сюръекции

Все свойства, связанные с фильтрами, сохраняются при биекциях. Это означает, что если является биекцией, то является префильтром (соответственно ультра, ультра префильтр, фильтр на ультрафильтре на подбазе фильтра, π –система, идеал на и т. д.) тогда и только тогда, когда то же самое верно для ^[34] ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y){\text{ and }}g:Y\to Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ on }}Z.}$

Отображение инъективно тогда и только тогда, когда для всех предфильтров оно эквивалентно ^[28] Образ ультра-семейства множеств при инъекции снова является ультра. ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle g^{-1}(g({\mathcal {B}})).}$

Карта является сюръекцией тогда и только тогда, когда всякий раз, когда включен предварительный фильтр , то же самое верно (этот результат не требует леммы об ультрафильтре). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}){\text{ on }}X}$

Подчинение сохраняется образами и прообразами.

Отношение сохраняется как для образов, так и для прообразов семейств множеств. ^[10] Это означает, что для любых семейств ^[35] ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$

$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}\quad {\text{ implies }}\quad g({\mathcal {C}})\leq g({\mathcal {F}})\quad {\text{ and }}\quad f^{-1}({\mathcal {C}})\leq f^{-1}({\mathcal {F}}).}$$

Более того, для любого семейства множеств всегда выполняются следующие соотношения : ^[35] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)}$$

^[35] ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {C}})=f^{-1}\left(f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)\right)\quad {\text{ and }}\quad g({\mathcal {C}})=g\left(g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\right).}$$

Если тогда ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {C}}\subseteq \wp (Y)}$

$${\displaystyle f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}\quad {\text{ if and only if }}\quad {\mathcal {B}}\leq f^{-1}({\mathcal {C}})}$$

^[35][35] ${\displaystyle g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g}$

Продукция префильтров

Пусть это семейство из одного или нескольких непустых множеств, продукт которого будет обозначаться через и для каждого индекса пусть ${\displaystyle X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i},}$ ${\displaystyle i\in I,}$

$${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$$

семейств ^[10]были ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }:=\left({\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}\subseteq \wp \left(X_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$

$${\displaystyle \prod _{}{\mathcal {B}}_{\bullet }=\prod _{i\in I}{\mathcal {B}}_{i}}$$

подмножеств цилиндра^[10].фильтром, сгенерированным^{[10][10][ 10]} ${\displaystyle \prod _{i\in I}S_{i}\subseteq \prod _{}X_{\bullet }}$ ${\displaystyle S_{i}=X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S_{i}\neq X_{i},}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\Pr {}_{X_{i}}^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }.}$ ${\displaystyle \prod {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \prod {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}\prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}({\mathcal {F}})={\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle \prod {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

Установить вычитание и некоторые примеры

Установить вычитание подмножества ядра

Если это предварительный фильтр , то это предварительный фильтр, причем этот последний набор является фильтром тогда и только тогда, когда является фильтром и , в частности, если является базисом окрестности в точке топологического пространства , имеющего по крайней мере 2 точки, то является предварительным фильтром Эта конструкция используется для определения условий сходимости префильтра. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,S\subseteq \ker {\mathcal {B}},{\text{ and }}S\not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{B\setminus S~:~B\in {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S=\varnothing .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{B\setminus \{x\}~:~B\in {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\neq x_{0}}}f(x)\to y}$

Использование двойственности между идеалами и двойственных идеалов

Существует двойственное отношение или , которое определяется как означающее, что каждое содержится в некотором Явно это означает, что для каждого существует такое, что Это отношение двойственно к в том смысле, что тогда и только тогда, когда ^[5] Отношение тесно связано к закрытию семейства вниз аналогично тому, как это связано с семейством замыкания вверх. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\vartriangleright {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B\subseteq C.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (X\setminus {\mathcal {B}})\leq (X\setminus {\mathcal {C}}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

В качестве примера, использующего эту двойственность, предположим, что есть карта и Определите ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Xi \subseteq \wp (Y).}$

$${\displaystyle \Xi _{f}:=\{I\subseteq X~:~f(I)\in \Xi \}}$$

^{[примечание 8]} ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle \Xi _{f}}$ ${\displaystyle \Xi _{f}}$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle \Xi _{f}.}$

     Предположим , что включен фильтр , и пусть он будет его двойником. Если тогда двойник будет фильтром. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Xi :=Y\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X\not \in \Xi _{f}}$ ${\displaystyle \Xi _{f}}$ ${\displaystyle X\setminus \Xi _{f}}$

Другие примеры

Пример: множество всех плотных открытых подмножеств топологического пространства является собственной π –системой и префильтром. Если пространство является пространством Бэра , то множество всех счетных пересечений плотных открытых подмножеств представляет собой π –систему и префильтр, который тоньше, чем ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Пример: Семейство всех плотных открытых множеств, имеющих конечную меру Лебега, является собственной π –системой и свободным префильтром. Предварительный фильтр надлежащим образом содержится в предварительном фильтре, состоящем из всех плотных открытых подмножеств, и не эквивалентен ему. Поскольку пространство Бэра является пространством Бэра , каждое счетное пересечение множеств в плотно (а также является сходящимся и нетощим), поэтому множество всех счетные пересечения элементов префильтра и π –системы; это также тоньше, чем, и не эквивалентно, ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }.}$

Фильтры и сети

В этом разделе будут очень подробно описаны взаимоотношения между префильтрами и сетями, поскольку эти детали важны для применения фильтров к топологии , особенно при переключении от использования сетей к использованию фильтров и наоборот, а также потому, что это позволяет позже понять, почему используются подсети. (с их наиболее часто используемыми определениями) обычно не эквивалентны «субпрефильтрам».

Сети к префильтрам

Сеть канонически связана со своим префильтром хвостов. Если это карта и является сетью в то ^[36] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(f\left(x_{\bullet }\right)\right)=f\left(\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\right).}$

Префильтры к сетям

Остроконечным множеством называется пара , состоящая из непустого множества и элемента. Для любого семейства пусть ${\displaystyle (S,s)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$

$${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}):=\left\{(B,b)~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}b\in B\right\}.}$$

Определите канонический предварительный порядок на точечных множествах, объявив ${\displaystyle \,\leq \,}$

$${\displaystyle (R,r)\leq (S,s)\quad {\text{ if and only if }}\quad R\supseteq S.}$$

Даже если это так, этот предварительный порядок не является антисимметричным , и любое семейство множеств является частично упорядоченным тогда и только тогда, когда оно полностью состоит из одноэлементных множеств. Если является максимальным элементом ; более того, все максимальные элементы имеют именно такой вид. If является величайшим элементом тогда и только тогда, когда в этом случае является набором всех величайших элементов. Однако величайший элемент ${\displaystyle s_{0},s_{1}\in S{\text{ then }}\left(S,s_{0}\right)\leq \left(S,s_{1}\right){\text{ and }}\left(S,s_{1}\right)\leq \left(S,s_{0}\right)}$ ${\displaystyle s_{0}\neq s_{1},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {B}}{\text{ then }}(\{x\},x)}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \left(B,b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ then }}\left(B,b_{0}\right)}$ ${\displaystyle B=\ker {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \{(B,b)~:~b\in B\}}$ ${\displaystyle (B,b)}$ является максимальным тогда и только тогда, когда существует не более одного элемента, который является одновременно максимальным и наибольшим. Существует каноническая карта, определяемая ${\displaystyle B=\{b\}=\ker {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}~:~\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b.}$

Если то хвост задания ${\displaystyle i_{0}=\left(B_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}}$ начинающийся с, равен ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle \left\{c~:~(C,c)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ and }}\left(B_{0},b_{0}\right)\leq (C,c)\right\}=B_{0}.}$

Хотя в целом это не частично упорядоченное множество, оно является направленным множеством, если (и только если) является предварительным фильтром. Таким образом, самым непосредственным выбором для определения «сети, индуцированной предварительным фильтром », является присваивание ${\displaystyle (\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$ из в ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X.}$

Если включен предварительный фильтр ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ то связанная с ним сеть ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ является картой

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}:\;&&(\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )&&\,\to \;&X\\&&(B,b)&&\,\mapsto \;&b\\\end{alignedat}}}$$

то есть, ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}(B,b):=b.}$

Если включен предварительный фильтр, это сеть , и связанный с ним предварительный фильтр ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ — ; то есть: ^{[примечание 9]}

$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.}$$

Это не обязательно было бы верно, если бы оно было определено на правильном подмножестве. Например, предположим, что он имеет по крайней мере два различных элемента, является недискретным фильтром и является произвольным. Вместо этого, если бы он был определен в одноэлементном наборе , где ограничение to будет временно обозначаться, то префильтр хвостов, связанный с, был бы основным префильтром , а не исходным фильтром ; это означает, что равенство ложно , поэтому в отличие от префильтра его невозможно восстановить . Хуже того, пока единственный минимальный фильтр на префильтре вместо этого генерирует максимальный фильтр (то есть ультрафильтр) на ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{X\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D:=\{(X,x)\},}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{D}:D\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{D}:D\to X}$ ${\displaystyle \{\,\{x\}\,\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{D}\right)={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{D}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{D}\right)=\{\{x\}\}}$ ${\displaystyle X.}$

Однако если есть сеть в, то, вообще говоря, неверно , потому что, например, область определения может иметь совершенно иную мощность, чем область (поскольку в отличие от области определения произвольной сети в может иметь любую мощность). ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)},}$ ${\displaystyle X}$

Ультрасети и ультрапрефильтры

Сеть называется ультрасетью или универсальной сетью , если для каждого подмножества в конечном итоге находится в или в конечном итоге находится в ; это происходит тогда и только тогда, когда это ультрапрефильтр. Предварительный фильтр ${\displaystyle x_{\bullet }{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ является ультрапрефильтром тогда и только тогда, когда он является ультрасетью в ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Частично заказанная сеть

Область определения канонической сети, вообще говоря, не является частично упорядоченной. Однако в 1955 г. Брунс и Шмидт открыли ^[37] конструкцию, которая позволяет канонической сети иметь область, которая одновременно частично упорядочена и направлена; это было ^{независимо} заново открыто Альбертом Вилански в 1970 году . _ _ _ _ в ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle ({\mathcal {B}},\supsetneq ){\text{ and }}(\mathbb {N} ,<).}$ ${\displaystyle i=(B,m,b){\text{ and }}j=(C,n,c)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X,}$ , что тогда и только тогда, когда ${\displaystyle i<j}$

$${\displaystyle B\supseteq C{\text{ and either: }}{\text{(1) }}B\neq C{\text{ or else (2) }}B=C{\text{ and }}m<n,}$$

${\displaystyle {\text{(1) }}B\supseteq C,{\text{ and (2) if }}B=C{\text{ then }}m<n.}$

Нестрогий частичный порядок , связанный с обозначением, определяется путем объявления того, что ${\displaystyle \,<,}$ ${\displaystyle \,\leq ,}$ ${\displaystyle i\leq j\,{\text{ if and only if }}i<j{\text{ or }}i=j.}$ раскручивание этих определений дает следующую характеристику:

${\displaystyle i\leq j}$если и только если ${\displaystyle {\text{(1) }}B\supseteq C,{\text{ and (2) if }}B=C{\text{ then }}m\leq n,}$ и также ${\displaystyle {\text{(3) if }}B=C{\text{ and }}m=n{\text{ then }}b=c,}$

что показывает, что это всего лишь лексикографический порядок , индуцированный командой , где частично упорядочен по равенству ^{[примечание 10]} Оба являются последовательными и ни один из них не имеет ни наибольшего элемента , ни максимального элемента ; это остается верным, если каждый из них ограничен подмножеством ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X}$ ${\displaystyle ({\mathcal {B}},\supseteq ),\,(\mathbb {N} ,\leq ),{\text{ and }}(X,=),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,=.\,}$ ${\displaystyle \,<{\text{ and }}\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X}$ определенным

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}\;&:=\;\{\,(B,m,b)\;\in \;{\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X~:~b\in B\,\},\\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle i=(B,m,b)\mapsto b}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}\ :\ &&\ \operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}\ &&\,\to \;&X\\[0.5ex]&&\ (B,m,b)\ &&\,\mapsto \;&b\\[0.5ex]\end{alignedat}}}$$

^[36]​​и^[36]плотным порядком ${\displaystyle i_{0}=\left(B_{0},m_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle B_{0}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}{\text{ and }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle <}$

Подчиненные фильтры и подсети

Понятие « подчинено » (написано ) относится к фильтрам и префильтрам, то же, что « является подпоследовательностью » относится к последовательностям. ^[24] Например, if обозначает набор хвостов и if обозначает набор хвостов подпоследовательности (где ), то (то есть ) верно, но ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{n_{\bullet }}=\left(x_{n_{i}}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)=\left\{x_{n_{\geq i}}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x_{n_{\bullet }}}$ ${\displaystyle x_{n_{\geq i}}:=\left\{x_{n_{i}}~:~i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$ в общем случае ложно.

Неэквивалентность подсетей и подчиненных фильтров

Подмножество предварительно заказанного пространства ${\displaystyle R\subseteq I}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ упорядоченногочастый или конфинальный , еслидля каждогосуществует некоторыйIfсодержит хвостто ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle r\in R{\text{ such that }}i\leq r.}$ ${\displaystyle R\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ говорят, чтовозможный илив конце концов в ${\displaystyle I}$; явно это означает, что существуют некоторые(т. е. ${\displaystyle i\in I{\text{ such that }}I_{\geq i}\subseteq R}$ ${\displaystyle j\in R{\text{ for all }}j\in I{\text{ satisfying }}i\leq j}$ ). Конечный набор обязательно не пуст. Подмножество является возможным тогда и только тогда, когда его дополнение не является частым (что называетсянечасто ).^[38] Карта ${\displaystyle h:A\to I}$ между двумя предварительно упорядоченными множествамипорядок – сохранение если когда угодно ${\displaystyle a,b\in A{\text{ satisfy }}a\leq b,{\text{ then }}h(a)\leq h(b).}$

Подсети в смысле Уилларда и подсети в смысле Келли — наиболее часто используемые определения « подсети ». ^[38] Первое определение подсети было введено Джоном Л. Келли в 1955 году. ^[38] Стивен Уиллард представил свой собственный вариант определения подсети, данного Келли, в 1970 году. ^[38] Подсети AA были введены независимо Смайли (1957). , Аарнес и Анденаес (1972 г.) и Мурдешвар (1983 г.); AA-подсети были очень подробно изучены Аарнесом и Анденаесом, но они не часто используются. ^[38]

Пусть это будут сети. Тогда ^[38] ${\displaystyle S=S_{\bullet }~:~(A,\leq )\to X{\text{ and }}N=N_{\bullet }~:~(I,\leq )\to X}$

1. ${\displaystyle S_{\bullet }}$этоПодсеть Уилларда илиподсеть в смысле Уилларда,если существует сохраняющее порядок отображение,такое, чтоявляется конфинальным в ${\displaystyle N_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle S=N\circ h{\text{ and }}h(A)}$ ${\displaystyle I.}$
2. ${\displaystyle S_{\bullet }}$этоКелли – подсеть илиподсетьв смысле Келли,если существует картаи всякий раз, когдаона в конечном итоге находится,тов конечном итоге находится в ${\displaystyle N_{\bullet }}$ ${\displaystyle h~:~A\to I{\text{ such that }}S=N\circ h}$ ${\displaystyle E\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h^{-1}(E)}$ ${\displaystyle A.}$
3. ${\displaystyle S_{\bullet }}$являетсяAA – подсеть илиподсетьв смысле Аарнеса и Анденаеса,если выполнено любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle N_{\bullet }}$
   1. ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right).}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(N_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(S_{\bullet }\right).}$
   3. Если в конечном итоге в конечном итоге в ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I{\text{ then }}S^{-1}(N(J))}$ ${\displaystyle A.}$
   4. Для любого подмножества сетки то же самое сделайте ${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}.}$
   5. Для любого подмножества ${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right)\leq \{R\}{\text{ then }}\operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \{R\}.}$

Келли не требовал, чтобы карта сохраняла порядок, в то время как определение подсети AA полностью устраняет любое отображение между доменами двух сетей и вместо этого полностью фокусируется на общем кодомене сетей. Каждая подсеть Уилларда является подсетью Келли, и обе являются подсетями AA. ^[38] В частности, если это подсеть Уилларда или подсеть Келли, то ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(y_{\bullet }\right).}$

• Пример: Пусть и пусть это постоянная последовательность, скажем Пусть и так что это сеть на Тогда является AA-подсетью, потому что Но не является подсетью Уилларда, потому что не существует карты , образ которой является конечным подмножеством Nor является подсетью Келли, потому что если это какое-либо отображение, то оно является конечным подмножеством , но в конечном итоге не входит в ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(0\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$ ${\displaystyle s_{1}=0}$ ${\displaystyle A=\{1\}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}=\left(s_{1}\right)}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\{\{0\}\}=\operatorname {Tails} \left(s_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} .}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle E:=I\setminus \{h(1)\}}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle h^{-1}(E)=\varnothing }$ ${\displaystyle A.}$

Подсети AA имеют определяющую характеристику, которая сразу показывает, что они полностью взаимозаменяемы с под(ординатными) фильтрами. ^{[38] [39]} Явно подразумевается, что для подсетей AA справедливо следующее утверждение:

     Если это префильтры, то это AA-подсеть ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \;\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Если «AA–подсеть» заменить на «Willard–subnet» или «Kelley–subnet», то приведенное выше утверждение становится ложным . В частности, проблема в том, что следующее утверждение вообще неверно:

     Ложное утверждение: еслипрефильтры таковы, чтоявляются подсетью Келли ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \;\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Поскольку каждая подсеть Уилларда является подсетью Келли, это утверждение остается ложным, если слово «подсеть Келли» заменить на «подсеть Уилларда».

• Контрпример : для всехпустьLetявляется правильной π -системой, и пустьоба семейства являются префильтрами натуральных чисел. Потомучто этокак подпоследовательность для последовательности. Итак, в идеале этодолжна быть подсеть. Пустьобласть определенияsoсодержит конфинальное подмножество, которое по порядку изоморфнои, следовательно, не содержит ни максимального, ни наибольшего элемента. Letявляется одновременно максимальным и наибольшим элементом из. Направленное множествотакже содержит подмножество, изоморфное по порядку(поскольку оно содержитсодержащее такое подмножество), но ни одно такое подмножество не может быть конфинальным виз-за максимального элемента . Следовательно, любое сохраняющее порядок картадолжна быть в конечном итоге постоянной (со значением), гдетогда является наибольшим элементом диапазона. Из-за этого не может быть карты, сохраняющей порядок, которая удовлетворяет условиям, необходимым для того,чтобы быть подсетью Уилларда(поскольку диапазон такой картыне может быть конфинальным в). Предположим, ради противоречия, что существует карта,такая, чтов конечном итоге естьдля всех. Потому чтосуществуеттакая, что Для каждого, потому чтов конечном итоге есть, необходимо, чтобы В частности, еслиточто по определению эквивалентно тому,что является ложным. Следовательно,не является подсетью Келли из ^[39] ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle B_{n}=\{1\}\cup \mathbb {N} _{\geq n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B_{n}~:~n\in \mathbb {N} \},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\}\}\cup {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S=\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle B=\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle I:=\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A:=\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {F}})=\{M\}\cup I,{\text{ where }}M:=(1,\{1\})}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle h(M)}$ ${\displaystyle h(M)}$ ${\displaystyle h(A).}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle h^{-1}\left(I_{\geq i}\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle h(M)\in I,}$ ${\displaystyle n,n_{0}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle h(M)=\left(n_{0},B_{n}\right){\text{ with }}n_{0}\in B_{n}.}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle h^{-1}\left(I_{\geq i}\right)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle h(M)\in I_{\geq i}.}$ ${\displaystyle i:=\left(n+2,B_{n+2}\right)}$ ${\displaystyle h(M)\geq i=\left(n+2,B_{n+2}\right),}$ ${\displaystyle B_{n}\subseteq B_{n+2},}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Если «подсеть» определяется как означающая Уилларда-подсеть или Келли-подсеть, тогда сети и фильтры не являются полностью взаимозаменяемыми, поскольку существуют отношения фильтр-под(ордината)фильтра, которые не могут быть выражены через отношения сеть-подсеть между ними. индуцированные сети. В частности, проблема в том, что подсети Келли и подсети Уилларда не полностью взаимозаменяемы с подчиненными фильтрами. Если понятие «подсеть» не используется или если «подсеть» определяется как AA-подсеть, то это перестает быть проблемой, и поэтому становится правильным сказать, что сети и фильтры взаимозаменяемы. Несмотря на то, что подсети AA не имеют таких проблем, как подсети Уилларда и Келли, они широко не используются и о них не известно. ^{[38] [39]}

Смотрите также

• Характеристики категории топологических пространств.
• Пространство сходимости  - обобщение понятия сходимости, которое встречается в общей топологии.
• Фильтр (математика)  – в математике особое подмножество частично упорядоченного множества.
• Квантор фильтра
• Фильтры в топологии  . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Фильтрация (математика)
• Фильтрация (теория вероятностей)  - Модель информации, доступной в данной точке случайного процесса.
• Фильтрация (абстрактная алгебра)
• Фильтр Фреше  - фильтр ФрешеPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Общий фильтр  - в теории множеств, учитывая набор плотных открытых подмножеств ЧУУ, фильтр, который соответствует всем наборам в этой коллекции.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Идеал (теория множеств)  - непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.
• Компактификация Стоуна – Чеха#Конструкция с использованием ультрафильтров  - универсальное отображение топологического пространства X в компактное хаусдорфово пространство βX, такое, что любое отображение из X в компактное хаусдорфово пространство факторизуется через βX однозначно; если X тихоновское, то X — плотное подпространство в βXPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Основная теорема об ультрапроизведениях  – Математическое построениеPages displaying short descriptions of redirect targets
• Ультрафильтр  – Максимально правильный фильтр
• Ультрафильтр (теория множеств)  - Максимально правильный фильтр.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Действительно, в обоих случаях появление справа - это именно то, что делает «больше», поскольку, если они связаны каким-то бинарным отношением (то есть ), то любой из них, появляющийся справа, считается большим или равным тому, что которое отображается слева относительно (или менее подробно: « -больше или равно»). ${\displaystyle \,\supseteq {\text{ and }}\subseteq ,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B}$ ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle A\preceq B{\text{ or }}B\preceq A}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B}$ ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle \,\preceq }$
2. В более общем смысле, для любых действительных чисел, удовлетворяющих ${\displaystyle r\leq s{\text{ and }}u\leq v,B_{r,s}\cap B_{u,v}=B_{m,\max(s,v)}}$ ${\displaystyle m:=\min(s,v,\max(r,u)).}$
3. Если это свойство и тот факт, что оно непусто и правильно тогда и только тогда, когда фактически позволяет построить еще больше примеров префильтров, потому что если это любой префильтр (соответственно, подбаза фильтра, π -система), то так же ${\displaystyle R,S\subseteq \mathbb {R} {\text{ then }}{\mathcal {B}}_{R}\cap {\mathcal {B}}_{S}={\mathcal {B}}_{R\cap S}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}}$ ${\displaystyle R\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \wp (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}_{S}:S\in {\mathcal {S}}\right\}.}$
4. Можно показать, что если существует какое-либо семейство такое, что оно является предфильтром тогда и только тогда, когда для всего реального существуют такие реальные значения, что ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle 0<r\leq s}$ ${\displaystyle 0<u\leq v}$ ${\displaystyle u\leq r\leq s\leq v{\text{ and }}B_{-u,v}\in {\mathcal {C}}.}$
5. Например, один из способов, в котором сеть можно интерпретировать как «максимально глубокую», заключается в том, что все важные свойства, связанные с (например, сходимость) любой подсети, полностью определяются во всех топологиях. В этом случае и ее подсети становятся фактически неотличимыми (по крайней мере, топологически), если информация о них ограничивается только тем, что может быть описано исключительно в терминах наборов и непосредственно связанных между собой множеств (например, их подмножеств). ${\displaystyle u_{\bullet }{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle u_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$
6. π -система , порожденная (соответственно ) представляет собой предварительный фильтр, элементы которого представляют собой конечные объединения открытых (соответственно закрытых) интервалов, имеющих конечные точки в, причем два из этих интервалов имеют формы (соответственно ) где ; в случае один или несколько из этих замкнутых интервалов могут быть одноэлементными множествами (то есть вырожденными замкнутыми интервалами). ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }}$ ${\displaystyle E\cup \{-\infty ,\infty \}}$ ${\displaystyle (-\infty ,e_{1}){\text{ and }}(e_{2},\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,e_{1}]{\text{ and }}[e_{2},\infty )}$ ${\displaystyle e_{1}\leq 1+e_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} },}$
7. В качестве примера того, как может произойти этот сбой, рассмотрим случай, когда существует такой , что оба и их дополнение содержат как минимум две различные точки. ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}y\in Y\setminus B}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X}$
8. Предположим, что он имеет более одной точки, является постоянным отображением и тогда будет состоять из всех непустых подмножеств ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Xi =\{f(X)\}}$ ${\displaystyle \Xi _{f}}$ ${\displaystyle Y.}$
9. Равенство множеств справедливо в более общем смысле: если семейство множеств, то семейство хвостов карты (определяемое ) равно ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing {\text{ satisfies }}\varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
10. Явно, частичный порядок, индуцированный равенством, относится к диагонали , которая представляет собой однородное отношение , превращающее в частично упорядоченное множество . Если этот частичный порядок обозначается более знакомым символом (то есть, define ), то для любого , который показывает, что (и, следовательно, также ) является не чем иным, как новым символом равенства, то есть, это обозначение используется, потому что оно позволяет избежать ненужных введение нового обозначения диагонали. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \Delta :=\{(x,x):x\in X\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \leq \;:=\;\Delta }$ ${\displaystyle b,c\in X,}$ ${\displaystyle \;b\leq c\,{\text{ if and only if }}\,b=c,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle (X,\Delta )\ =\ (X,=).}$ ${\displaystyle (X,=)}$

Доказательства

1. Пусть это фильтр , который не является ультрафильтром. If таков, что обладает свойством конечного пересечения (потому что if ), так что по лемме об ультрафильтре существует такой ультрафильтр, что (в частности, ). Пересечение всех таких доказывает, что ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\not \in {\mathcal {F}}{\text{ then }}\{X\setminus S\}\cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ then }}F\cap (X\setminus S)=\varnothing {\text{ if and only if }}F\subseteq S}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle \{X\setminus S\}\cup {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle S\not \in {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\bigcap _{S\subseteq X,S\not \in {\mathcal {F}}}{\mathcal {U}}_{S}.\blacksquare }$
2. Чтобы доказать эту сетку, пусть Потому что (соответственно, потому что ) существует некоторое место по предположению , так что если это подбаза фильтра, и если тогда взятие подразумевает, что если тогда есть такие, что и теперь . Это показывает, что это подбаза фильтра. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}}{\text{ such that }}F\subseteq B{\text{ and }}G\subseteq C}$ ${\displaystyle F\cap G\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing \neq G\cap F\subseteq B\cap C.\blacksquare }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:={\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}{\text{ mesh. }}\blacksquare }$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{i}\subseteq C_{i}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq F_{1}\cap \cdots F_{n}\subseteq C_{1}\cap \cdots C_{n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. Это потому, что если включены предварительные фильтры, то ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}.}$

Цитаты

1. Джех 2006, с. 73.
2. Коутрас и др. 2021.
3. Картан 1937а.
4. Картан 1937b.
5. Dolecki & Mynard 2016, стр. 27–29.
6. Dolecki & Mynard 2016, стр. 33–35.
7. Narici & Beckenstein 2011, стр. 2–7.
8. Часар 1978, стр. 53–65.
9. Dolecki & Mynard 2016, стр. 27–54.
10. Бурбаки 1987, стр. 57–68.
11. Шуберт 1968, стр. 48–71.
12. Narici & Beckenstein 2011, стр. 3–4.
13. Дугунджи 1966, стр. 215–221.
14. Дугунджи 1966, с. 215.
15. Wilansky 2013, с. 5.
16. Dolecki & Mynard 2016, с. 10.
17. Шехтер 1996, стр. 100–130.
18. Часар 1978, стр. 82–91.
19. Дугунджи 1966, стр. 211–213.
20. Шехтер 1996, с. 100.
21. Часар 1978, стр. 53–65, 82–91.
22. Архангельский и Пономарев 1984, стр. 7–8.
23. Джоши 1983, с. 244.
24. Дугунджи 1966, с. 212.
25. Wilansky 2013, стр. 44–46.
26. Кастильо, Хесус М.Ф.; Монтальво, Франциско (январь 1990 г.), «Контрпример в полуметрических пространствах» (PDF) , Extracta Mathematicae , 5 (1): 38–40
27. Шефер и Вольф 1999, стр. 1–11.
28. Бурбаки 1987, стр. 129–133.
29. Виланский 2008, стр. 32–35.
30. Дугунджи 1966, стр. 219–221.
31. Jech 2006, стр. 73–89.
32. Часар 1978, стр. 53–65, 82–91, 102–120.
33. Dolecki & Mynard 2016, стр. 37–39.
34. Архангельский и Пономарев 1984, стр. 20–22.
35. Часар 1978, стр. 102–120.
36. Schechter 1996, стр. 155–171.
37. Брунс Г., Шмидт Дж., Zur Aquivalenz von Moore-Smith-Folgen und Filtern, Math. Нахр. 13 (1955), 169–186.
38. Schechter 1996, стр. 157–168.
39. Кларк, Пит Л. (18 октября 2016 г.). «Конвергенция» (PDF) . math.uga.edu/ . Проверено 18 августа 2020 г.

Рекомендации

• Адамс, Колин ; Францоза, Роберт (2009). Введение в топологию: чистую и прикладную . Нью-Дели: Pearson Education. ISBN 978-81-317-2692-1. OCLC  789880519.
• Архангельский Александр Владимирович ; Пономарев, В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. Том. 13. Дордрехт Бостон: Д. Рейдель . ISBN 978-90-277-1355-1. ОКЛК  9944489.
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. ОСЛК  878109401.
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. ОСЛК  18588129.
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. ОСЛК  246032063.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. ОСЛК  17499190.
• Беррис, Стэнли; Санкаппанавар, Ханамантагуда П. (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-9880552-0-9. Архивировано из оригинала 1 апреля 2022 года.
• Картан, Анри (1937a). «Теория фильтров». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 205 : 595–598.
• Картан, Анри (1937b). «Фильтры и ультрафильтры». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 205 : 777–779.
• Комфорт, Уильям Вистар; Негрепонтис, Стилианос (1974). Теория ультрафильтров . Том. 211. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-06604-2. ОСЛК  1205452.
• Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Бристоль, Англия: ISBN Adam Hilger Ltd. 0-85274-275-4. ОСЛК  4146011.
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. ОСЛК  10277303.
• Долецкий, Шимон; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. ОСЛК  395340485.
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том. 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. ОСЛК  18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. ОСЛК  30593138.
• Хоуз, Норман Р. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология . Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC  31969970. ОЛ  1272666М.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. ОСЛК  8210342.
• Джех, Томас (2006). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7. ОСЛК  50422939.
• Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd. 978-0-85226-444-7. ОСЛК  9218750.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. ОСЛК  338047.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. МР  0248498. OCLC  840293704.
• Кутрас, Костас Д.; Мойзес, Христос; Номикос, Христос; Цапроунис, Константинос; Зикос, Йоргос (20 октября 2021 г.). «О слабых фильтрах и ультрафильтрах: теория множеств из (и для) представления знаний». Логический журнал IGPL . дои : 10.1093/jigpal/jzab030.
• Макивер Р., Дэвид (1 июля 2004 г.). «Фильтры в анализе и топологии» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 9 октября 2007 г.(Содержит вводный обзор фильтров в топологии и метрических пространствах.)
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. ОСЛК  589250.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: ISBN Macdonald & Co. 978-0-356-02077-8. ОСЛК  463753.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.
• Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-46903-4. ОКЛК  227923899.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.