Приближения числа π

Varying methods used to calculate pi

График, показывающий историческую эволюцию рекордной точности числовых приближений к числу Пи, измеренных в десятичных знаках (изображено в логарифмическом масштабе; время до 1400 года показано не в масштабе)

Приближения для математической константы пи ( π ) в истории математики достигли точности в пределах 0,04% от истинного значения до начала нашей эры . В китайской математике это было улучшено до приближений, верных тому, что соответствует примерно семи десятичным знакам к 5-му веку.

Дальнейший прогресс не был достигнут до 14-го века, когда Мадхава из Сангамаграма разработал приближения, верные до одиннадцати, а затем и тринадцати цифр. Джамшид аль-Каши затем достиг шестнадцати цифр. Ранние современные математики достигли точности в 35 цифр к началу 17-го века ( Лудольф ван Кейлен ) и 126 цифр к 19-му веку ( Юрий Вега ), превзойдя точность, требуемую для любого мыслимого применения за пределами чистой математики.

Рекорд ручного приближения числа π принадлежит Уильяму Шэнксу , который правильно вычислил 527 знаков после запятой в 1853 году. ^[1] С середины 20-го века приближение числа π было задачей электронных цифровых компьютеров (для полного отчета см. Хронологию вычисления числа π ). 28 июня 2024 года текущий рекорд был установлен командой StorageReview Lab с y-cruncher Александра Йи с 202 триллионами (2,02×10 ¹⁴ ) цифр. ^[2]

Ранняя история

Самые известные приближения к числу π, датируемые периодом до нашей эры , были точными до двух знаков после запятой; это было улучшено в китайской математике , в частности, к середине первого тысячелетия, до точности в семь знаков после запятой. После этого никакого дальнейшего прогресса не было до позднего средневековья.

Некоторые египтологи ^[3] утверждали, что древние египтяне использовали приближенное значение числа π как 22 ⁄ 7 = 3,142857 (примерно на 0,04% больше) еще со времен Древнего царства . ^[4] Это утверждение было встречено скептически. ^{[5] [6]}

Вавилонская математика обычно приближала π к 3, что было достаточно для архитектурных проектов того времени (что также отражено в описании Храма Соломона в Еврейской Библии ). ^[7] Вавилоняне знали, что это было приближение, и одна старая вавилонская математическая табличка, раскопанная около Суз в 1936 году (датированная периодом между 19 и 17 веками до н. э.), дает лучшее приближение π как 25 ⁄ 8 = 3,125, что примерно на 0,528% ниже точного значения. ^{[8] [9] [10] [11]}

Примерно в то же время египетский математический папирус Ринда (датируемый Вторым переходным периодом , около 1600 г. до н. э., хотя и считается копией более древнего текста Среднего царства ) предполагает приближенное значение числа π как 256 ⁄ 81 ≈ 3,16 (с точностью до 0,6 процента) путем вычисления площади круга с помощью приближения с помощью восьмиугольника . ^{[5] [12]}

Астрономические расчеты в Шатапатха Брахмане (ок. VI в. до н. э.) используют дробное приближение 339 ⁄ 108 ≈ 3,139 . ^​​[13]

Махабхарата (500 г. до н.э. – 300 г. н.э.) предлагает приблизительное число 3 в соотношениях, предложенных в стихах Бхишма Парвы : 6.12.40–45. ^[14]

...

Луна, как передаётся по памяти, имеет диаметр одиннадцать тысяч йоджан. Её периферийный круг при расчёте оказывается равным тридцати трём тысячам йоджан.
...
Солнце имеет диаметр восемь тысяч йоджан и ещё две тысячи йоджан. Из этого следует, что его периферийный круг равен тридцати тысячам йоджан.

...

—  "стихи: 6.12.40–45 , Бхишма Парва Махабхараты "

В III веке до нашей эры Архимед доказал точные неравенства 223 ⁄ 71  <  π  <  22 ⁄ 7 с помощью правильных 96-угольников (точности 2·10 ⁻⁴ и 4·10 ⁻⁴ соответственно). ^[15]

Во II веке нашей эры Птолемей использовал значение 377 ⁄ 120 , первое известное приближение с точностью до трех знаков после запятой (точность 2·10 ⁻⁵ ). ^[16] Оно равно , что имеет точность до двух шестидесятеричных цифр. ${\displaystyle 3+8/60+30/60^{2},}$

Китайский математик Лю Хуэй в 263 году н.э. вычислил число π в диапазоне3.141 024 и3,142 708 путем вписывания 96-угольника и 192-угольника; среднее значение этих двух значений равно3,141 866 (точность 9·10 ⁻⁵ ). Он также предположил, что 3,14 было достаточно хорошим приближением для практических целей. Ему также часто приписывали более поздний и более точный результат, π ≈ 3927 ⁄ 1250 = 3,1416 (точность 2·10 ⁻⁶ ), хотя некоторые ученые вместо этого считают, что это связано с более поздним (5-го века) китайским математиком Цзу Чунчжи . ^[17] Известно, что Цзу Чунчжи вычислил π как находящееся между 3,1415926 и 3,1415927, что было правильным до семи знаков после запятой. Он также дал два других приближения числа π : π ≈ 22 ⁄ 7 и π ≈ 355 ⁄ 113 , которые не так точны, как его десятичный результат. Последняя дробь является наилучшим возможным рациональным приближением числа π, использующим менее пяти десятичных цифр в числителе и знаменателе. Результаты Цзу Чунчжи превосходят точность, достигнутую в эллинистической математике, и оставались без улучшения почти тысячелетие.

В Индии эпохи Гуптов (6 век) математик Арьябхата в своем астрономическом трактате Арьябхатия заявил:

Прибавьте 4 к 100, умножьте на 8 и прибавьте 62 000. Это «приблизительно» длина окружности, диаметр которой равен 20 000.

—  Арьябхатия

Приближение π к четырем знакам после запятой: π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3,1416, ^{[18] [19] [20]} Арьябхата заявил, что его результат «приблизительно» ( āsanna «приближающийся») дал длину окружности. Его комментатор 15-го века Нилаканта Сомаяджи ( школа астрономии и математики Кералы ) утверждал, что это слово означает не только то, что это приближение, но и то, что значение несоизмеримо (иррационально) . ^[21]

Средний возраст

Дальнейший прогресс не наблюдался в течение почти тысячелетия, вплоть до XIV века, когда индийский математик и астроном Мадхава из Сангамаграма , основатель керальской школы астрономии и математики , нашел ряд Маклорена для арктангенса, а затем два бесконечных ряда для π . ^{[22] [23] [24]} Один из них теперь известен как ряд Мадхавы–Лейбница , основанный на ${\displaystyle \pi =4\arctan(1):}$

${\displaystyle \pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right)}$

Другой был основан на ${\displaystyle \pi =6\arctan(1/{\sqrt {3}}):}$

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Сравнение сходимости двух рядов Мадхавы (с √ 12 темно-синим) и нескольких исторических бесконечных рядов для π . S _n — это приближение после взятия n членов. Каждый последующий подграфик увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (щелкните для получения подробностей)

Он использовал первые 21 член для вычисления приближения числа π с точностью до 11 знаков после запятой:3.141 592 653 59 .

Он также улучшил формулу, основанную на arctan(1), включив поправку:

${\displaystyle \pi /4\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots -{\frac {(-1)^{n}}{2n-1}}\pm {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}$

Неизвестно, как он пришел к этой поправке. ^[23] Используя ее, он нашел приближение числа π с точностью до 13 знаков после запятой при  n  = 75.

Джамшид аль-Каши (Кашани), персидский астроном и математик , в 1424 году правильно вычислил дробную часть числа 2π до 9 шестидесятеричных цифр ^[25] и перевел ее в 16 десятичных цифр ^[26] после запятой:

${\displaystyle 2\pi \approx 6.2831853071795864,}$

что дает 16 правильных цифр для π после десятичной точки:

${\displaystyle \pi \approx 3.1415926535897932}$

Он достиг такого уровня точности, вычислив периметр правильного многоугольника с 3 × 2 ²⁸ сторонами. ^[27]

16-19 вв.

Во второй половине XVI века французский математик Франсуа Виет открыл бесконечное произведение, сходящееся к числу π, известное как формула Виета .

Немецко-голландский математик Людольф ван Кейлен ( около 1600 г.) вычислил первые 35 знаков после запятой числа π с помощью 2 ⁶² -угольника. Он был так горд этим достижением, что приказал высечь их на своем надгробии . ^[28]

В работе Cyclometricus (1621) Виллеброрд Снеллиус продемонстрировал, что периметр вписанного многоугольника сходится к окружности в два раза быстрее, чем периметр соответствующего описанного многоугольника. Это доказал Христиан Гюйгенс в 1654 году. Снеллиус смог получить семь цифр числа π из 96-стороннего многоугольника . ^[29]

В 1656 году Джон Уоллис опубликовал произведение Уоллиса :

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots }$

В 1706 году Джон Мачин использовал ряд Грегори ( ряд Тейлора для арктангенса ) и тождество для вычисления 100 цифр числа π (см. § Формула, подобная формуле Мачина ниже). ^{[30] [31]} В 1719 году Томас де Ланьи использовал похожее тождество для вычисления 127 цифр (из которых 112 были правильными). В 1789 году словенский математик Юрий Вега улучшил формулу Джона Мачина для вычисления первых 140 цифр, из которых первые 126 были правильными. ^[32] В 1841 году Уильям Резерфорд вычислил 208 цифр, из которых первые 152 были правильными. ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 239}$

Степень такой точности (152 знака после запятой) можно оценить по тому факту, что окружность самого большого известного объекта, наблюдаемой Вселенной, может быть рассчитана по его диаметру (93  миллиарда световых лет ) с точностью менее одной планковской длины (при1,6162 × 10 ⁻³⁵  метров , самая короткая единица длины, которую, как ожидается, можно будет измерить напрямую) с использованием числа π, выраженного всего с 62 десятичными знаками. ^[33]

Английский математик-любитель Уильям Шэнкс вычислил число π до 530 знаков после запятой в январе 1853 года, из которых первые 527 были правильными (последние несколько, вероятно, были неверными из-за ошибок округления). ^{[1] [34]} Впоследствии он расширил свои вычисления до 607 знаков после запятой в апреле 1853 года, ^[35] но ошибка, допущенная прямо на 530-м знаке после запятой, сделала остальные его вычисления ошибочными; из-за природы формулы Мачина ошибка распространилась обратно на 528-й знак после запятой, оставив только первые 527 цифр снова правильными. ^[1] Двадцать лет спустя Шэнкс расширил свои вычисления до 707 знаков после запятой в апреле 1873 года. ^[36] Поскольку это было расширением его предыдущих вычислений, большинство новых цифр также были неверными. ^[1] Говорят, что Шэнкс все утро вычислял новые цифры, а затем проводил весь день, проверяя свою утреннюю работу. Это было самое длинное расширение числа π до появления электронного цифрового компьютера три четверти века спустя. ^[37]

20-й и 21-й века

В 1910 году индийский математик Шриниваса Рамануджан нашел несколько быстро сходящихся бесконечных рядов числа π , включая

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

который вычисляет еще восемь десятичных знаков π с каждым членом ряда. Его ряды теперь являются основой для самых быстрых алгоритмов, используемых в настоящее время для вычисления π . Оценка только первого члена дает значение с точностью до семи десятичных знаков:

${\displaystyle \pi \approx {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}\approx 3.14159273}$

См. ряд Рамануджана–Сато .

Начиная с середины 20-го века все усовершенствования в вычислении числа π производились с помощью калькуляторов или компьютеров .

В 1944–1945 годах Д. Ф. Фергюсон с помощью механического настольного калькулятора обнаружил, что Уильям Шэнкс допустил ошибку в 528-м знаке после запятой, и что все последующие цифры были неверными. ^{[34] [38]}

В первые годы существования компьютеров расширение числа π до100 000 знаков после запятой ^{[39] : 78} было вычислено математиком из Мэриленда Дэниелом Шэнксом (никакого отношения к вышеупомянутому Уильяму Шэнксу) и его командой в Военно-морской исследовательской лаборатории США в Вашингтоне, округ Колумбия. В 1961 году Шэнкс и его команда использовали два разных степенных ряда для вычисления цифр числа π . Для одного было известно, что любая ошибка даст немного большее значение, а для другого было известно, что любая ошибка даст немного меньшее значение. И, следовательно, пока два ряда давали одинаковые цифры, была очень высокая уверенность в том, что они верны. Первые 100 265 знаков числа π были опубликованы в 1962 году. ^{[39] : 80–99} Авторы обрисовали, что потребуется для вычисления числа π до 1 миллиона знаков после запятой, и пришли к выводу, что эта задача выходит за рамки технологий того времени, но будет выполнима через пять-семь лет. ^{[39] : 78}

В 1989 году братья Чудновские вычислили число π с точностью более 1 миллиарда знаков после запятой на суперкомпьютере IBM 3090, используя следующую вариацию бесконечного ряда числа π Рамануджана :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.}$

С тех пор все рекорды были достигнуты с помощью алгоритма Чудновского . В 1999 году Ясумаса Канада и его команда в Токийском университете вычислили π до более чем 200 миллиардов десятичных знаков на суперкомпьютере HITACHI SR8000/MPP (128 узлов), используя другую вариацию бесконечного ряда π Рамануджана . В ноябре 2002 года Ясумаса Канада и команда из 9 других использовали Hitachi SR8000 , 64-узловой суперкомпьютер с 1 терабайтом основной памяти, чтобы вычислить π примерно до 1,24 триллиона цифр примерно за 600 часов (25  дней). ^[40]

Последние записи

1. В августе 2009 года японский суперкомпьютер T2K Open Supercomputer более чем вдвое превзошел предыдущий рекорд, вычислив число π примерно до 2,6 триллиона цифр примерно за 73 часа и 36 минут.
2. В декабре 2009 года Фабрис Беллард использовал домашний компьютер для вычисления 2,7 триллиона десятичных цифр числа π . Вычисления выполнялись в двоичной системе счисления (двоичной), затем результат был преобразован в десятичную систему счисления (десятичную). Вычисления, преобразование и проверка заняли в общей сложности 131 день. ^[41]
3. В августе 2010 года Сигеру Кондо использовал y-cruncher Александра Йи для вычисления 5 триллионов цифр числа π . Это был мировой рекорд для любого типа вычислений, но, что примечательно, вычисления выполнялись на домашнем компьютере, созданном Кондо. ^[42] Вычисления проводились в период с 4 мая по 3 августа, при этом первичная и вторичная проверки заняли 64 и 66 часов соответственно. ^[43]
4. В октябре 2011 года Сигеру Кондо побил свой собственный рекорд, вычислив десять триллионов (10 ¹³ ) и пятьдесят цифр, используя тот же метод, но с более совершенным оборудованием. ^{[44] [45]}
5. В декабре 2013 года Кондо побил свой собственный рекорд во второй раз, вычислив 12,1 триллиона знаков числа π . ^[46]
6. В октябре 2014 года Сэндон Ван Несс, известный под псевдонимом «houkouonchi», использовал y-cruncher для вычисления 13,3 триллиона цифр числа π . ^[47]
7. В ноябре 2016 года Питер Труэб и его спонсоры вычислили на y-cruncher и полностью проверили 22,4 триллиона цифр числа π (22 459 157 718 361 ( π ^e  × 10 ¹² )). ^[48] Вычисление заняло (с тремя перерывами) 105 дней, ^[47] ограничением дальнейшего расширения было, в первую очередь, дисковое пространство. ^[46]
8. В марте 2019 года Эмма Харука Ивао, сотрудница Google , вычислила 31,4 (приблизительно 10 π ) триллиона знаков числа Пи с помощью y-cruncher и машин Google Cloud . На это ушло 121 день. ^[49]
9. В январе 2020 года Тимоти Малликан объявил о вычислении 50 триллионов цифр за 303 дня. ^{[50] [51]}
10. 14 августа 2021 года группа (DAViS) из Университета прикладных наук Граубюндена объявила о завершении вычисления числа π до 62,8 (приблизительно 20 π ) триллионов цифр. ^{[52] [53]}
11. 8 июня 2022 года Эмма Харука Ивао объявила в блоге Google Cloud о вычислении 100 триллионов (10 ¹⁴ ) цифр числа π за 158 дней с использованием y-cruncher Александра Йи . ^[54]
12. 14 марта 2024 года Джордан Ранус, Кевин О'Брайен и Брайан Билер вычислили число π до 105 триллионов знаков, также используя y-cruncher. ^[55]
13. 28 июня 2024 года команда StorageReview вычислила число π до 202 триллионов цифр, также используя y-cruncher. ^[56]

Практические приближения

В зависимости от цели вычисления, π может быть приближено с использованием дробей для простоты вычисления. Наиболее заметными такими приближениями являются 22 ⁄ 7 ( относительная погрешность около 4·10 ⁻⁴ ) и 355 ⁄ 113 (относительная погрешность около 8·10 ⁻⁸ ). ^{[57] [58] [59]} В китайской математике дроби 22/7 и 355/113 известны как Юэлюй (约率; yuēlǜ ; «приблизительное отношение») и Милюй (密率; mìlǜ ; «близкое отношение»).

Нематематические «определения»π

Особого внимания заслуживают юридические или исторические тексты, якобы «определяющие число π » как имеющее некое рациональное значение, например, « Законопроект об Индиане Пи » 1897 года, в котором говорилось, что «соотношение диаметра и окружности составляет пять четвертей к четырем» (что означало бы « π = 3,2 »), а также отрывок из еврейской Библии , в котором подразумевается, что π = 3 .

законопроект Индианы

Так называемый «Законопроект о числе Пи в Индиане» 1897 года часто характеризовался как попытка «узаконить значение числа Пи». Скорее, законопроект имел дело с предполагаемым решением проблемы геометрической « квадратуры круга ». ^[60]

Законопроект был почти принят Генеральной Ассамблеей Индианы в США, и, как утверждается, подразумевает ряд различных значений для π , хотя ближе всего к явному утверждению одного из них является формулировка «соотношение диаметра и окружности равно пяти четвертым к четырем», что делает π = 16 ⁄ 5 = 3,2 , расхождение составляет почти 2 процента. Профессор математики, который случайно присутствовал в тот день, когда законопроект был вынесен на рассмотрение в Сенат, после того, как он был принят в Палате представителей, помог остановить принятие законопроекта во втором чтении, после чего собрание основательно высмеяло его, прежде чем отложить его на неопределенный срок .

Вмененная библейская ценность

Иногда утверждается ^{[ кем? ]} , что в еврейской Библии подразумевается, что « π равно трем», основываясь на отрывке из 3 Царств 7:23 и 2 Паралипоменон 4:2, где приводятся размеры круглой чаши, расположенной перед Храмом в Иерусалиме , которая имела диаметр 10 локтей и окружность 30 локтей.

Этот вопрос обсуждается в Талмуде и в раввинистической литературе . ^[61] Среди многочисленных объяснений и комментариев есть следующие:

• Раввин Неемия объяснил это в своем Мишнат ха-Миддот (самый ранний известный еврейский текст по геометрии , около 150 г. н. э.), сказав, что диаметр измерялся от внешнего края, а окружность измерялась вдоль внутреннего края. Эта интерпретация подразумевает край около 0,225 локтя (или, если предположить, что 18-дюймовый «локоть», около 4 дюймов), или одну и треть « ладони », толщиной (ср. NRSV и NRSV).
• Маймонид утверждает (ок. 1168 г. н. э.), что π может быть известно только приблизительно, поэтому значение 3 было дано как достаточно точное для религиозных целей. Это воспринимается некоторыми ^[62] как самое раннее утверждение о том, что π иррационально.

В библейской науке до сих пор ведутся споры по этому отрывку. ^{[ неудачная проверка ] [63] [64]} Многие реконструкции чаши показывают более широкий край (или расширяющийся край), выступающий наружу от самой чаши на несколько дюймов, что соответствует описанию, данному в NRSV ^[65] В последующих стихах край описывается как «толщиной в ладонь; и край ее был сделан как край чаши, как цветок лилии: он принимал и удерживал три тысячи батов» NRSV, что предполагает форму, которую можно охватить веревкой короче общей длины края, например, цветок лилии или чайная чашка .

Разработка эффективных формул

Приближение многоугольника к окружности

Архимед в своей работе «Измерение окружности» создал первый алгоритм для вычисления числа π, основанный на идее, что периметр любого (выпуклого) многоугольника, вписанного в окружность, меньше длины окружности, которая, в свою очередь, меньше периметра любого описанного многоугольника. Он начал с вписанных и описанных правильных шестиугольников, периметры которых легко определяются. Затем он показывает, как вычислять периметры правильных многоугольников с вдвое большим числом сторон, которые вписаны и описаны около одной и той же окружности. Это рекурсивная процедура, которая сегодня описывается следующим образом: пусть p _k и P _k обозначают периметры правильных многоугольников с k сторонами, которые вписаны и описаны около одной и той же окружности соответственно. Затем,

${\displaystyle P_{2n}={\frac {2p_{n}P_{n}}{p_{n}+P_{n}}},\quad \quad p_{2n}={\sqrt {p_{n}P_{2n}}}.}$

Архимед использует это для последовательного вычисления P ₁₂ , p ₁₂ , P ₂₄ , p ₂₄ , P ₄₈ , p ₄₈ , P ₉₆ и p ₉₆ . ^[66] Используя эти последние значения, он получает

${\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.}$

Неизвестно, почему Архимед остановился на 96-стороннем многоугольнике; требуется только терпение, чтобы расширить вычисления. Герон сообщает в своей Метрике (около 60 г. н. э.), что Архимед продолжил вычисления в ныне утерянной книге, но затем приписывает ему неверное значение. ^[67]

Архимед не использует тригонометрию в этом вычислении, и сложность применения метода заключается в получении хороших приближений для квадратных корней, которые задействованы. Тригонометрия в форме таблицы длин хорд в окружности, вероятно, использовалась Клавдием Птолемеем Александрийским для получения значения π, приведенного в Альмагесте (около 150 г. н. э.). ^[68]

Прогресс в приближении π (когда методы известны) был достигнут путем увеличения числа сторон многоугольников, используемых в вычислении. Тригонометрическое улучшение Виллеброрда Снеллиуса (1621) дает лучшие оценки из пары оценок, полученных с помощью метода многоугольников. Таким образом, более точные результаты были получены для многоугольников с меньшим числом сторон. ^[69] Формула Виета , опубликованная Франсуа Виетом в 1593 году, была выведена Виетом с использованием тесно связанного метода многоугольников, но с площадями, а не периметрами многоугольников, число сторон которых является степенями двойки. ^[70]

Последняя крупная попытка вычислить число π этим методом была предпринята Гринбергером в 1630 году, который вычислил 39 десятичных знаков числа π, используя уточнение Снеллиуса. ^[69]

Машиноподобная формула

Для быстрых расчетов можно использовать формулы, например, формулы Мачина :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

вместе с разложением в ряд Тейлора функции arctan ( x ). Эту формулу проще всего проверить, используя полярные координаты комплексных чисел , что дает:

${\displaystyle (5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).}$

(( x ),( y ) = {239, 13 ² } является решением уравнения Пелля x ²  − 2 y ² = −1.)

Формулы такого рода известны как формулы типа Мачина . Конкретная формула Мачина использовалась в компьютерную эпоху для вычисления рекордных чисел цифр числа π , ^[39] но в последнее время использовались и другие похожие формулы.

Например, в 1961 году Шэнкс и его команда использовали следующую формулу, похожую на формулу Машина, для вычисления первых 100 000 цифр числа π : ^[39]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}$

и они использовали другую формулу, похожую на формулу Машина,

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}}$

как чек.

Рекорд по состоянию на декабрь 2002 года Ясумасы Канады из Токийского университета составил 1 241 100 000 000 цифр. Для этого использовались следующие формулы типа Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

К. Такано (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

Ф. К. М. Стёрмер (1896).

Другие классические формулы

Другие формулы, которые использовались для вычисления оценок числа π, включают:

Лю Хуэй (см. также формулу Виета ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx 768{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\&\approx 3.141590463236763.\end{aligned}}}$

Мадхава :

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left({1 \over 1\cdot 3^{0}}-{1 \over 3\cdot 3^{1}}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Преобразование сходимости Ньютона /Эйлера: ^[71]

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!!\,x^{2k}}{(2k+1)!!\,(1+x^{2})^{k}}}={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots \\[10mu]{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)\end{aligned}}}$

где m!! — двойной факториал , произведение положительных целых чисел до m с одинаковой четностью .

Эйлер :

${\displaystyle {\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}}$

(Оценено с использованием предыдущей серии для arctan. )

Рамануджан :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

Давид Чудновский и Григорий Чудновский :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}}$

Работа Рамануджана легла в основу алгоритма Чудновского — самого быстрого алгоритма, использовавшегося на рубеже тысячелетий для вычисления числа π .

Современные алгоритмы

Очень длинные десятичные разложения числа π обычно вычисляются с помощью итерационных формул, таких как алгоритм Гаусса–Лежандра и алгоритм Борвейна . Последний, найденный в 1985 году Джонатаном и Питером Борвейном , сходится чрезвычайно быстро:

Для и ${\displaystyle y_{0}={\sqrt {2}}-1,\ a_{0}=6-4{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle y_{k+1}=(1-f(y_{k}))/(1+f(y_{k}))~,~a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})}$

где , последовательность сходится к π , давая около 100 цифр за три шага и более триллиона цифр после 20 шагов. Несмотря на то, что ряд Чудновского сходится только линейно, алгоритм Чудновского может быть быстрее итерационных алгоритмов на практике; это зависит от технологических факторов, таких как объем памяти и время доступа . ^[72] Для побития мировых рекордов итерационные алгоритмы используются реже, чем алгоритм Чудновского, поскольку они требуют большого объема памяти. ${\displaystyle f(y)=(1-y^{4})^{1/4}}$ ${\displaystyle 1/a_{k}}$

Первый миллион цифр π и 1 ⁄ π доступен в Project Gutenberg . ^{[73] [74]} Предыдущий рекорд вычислений (декабрь 2002 г.) Ясумасы Канады из Токийского университета составил 1,24 триллиона цифр, которые были вычислены в сентябре 2002 г. на 64-узловом суперкомпьютере Hitachi с 1 терабайтом основной памяти, который выполняет 2 триллиона операций в секунду, что почти вдвое больше, чем компьютер, использовавшийся для предыдущего рекорда (206 миллиардов цифр). Для этого использовались следующие формулы, подобные формулам Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$ ( Кикуо Такано  (1982))

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$ ( Ф. К. М. Стёрмер  (1896)).

Эти приближения имеют так много цифр, что они больше не имеют практического применения, за исключением тестирования новых суперкомпьютеров. ^[75] Такие свойства, как потенциальная нормальность числа π, всегда будут зависеть от бесконечной строки цифр на конце, а не от какого-либо конечного вычисления.

Различные приближения

Исторически для вычислений использовалось основание 60. В этом основании число π можно аппроксимировать восемью (десятичными) значимыми цифрами с помощью числа 3;8,29,44 ₆₀ , что равно

${\displaystyle 3+{\frac {8}{60}}+{\frac {29}{60^{2}}}+{\frac {44}{60^{3}}}=3.14159\ 259^{+}}$

и π : ${\displaystyle \approxeq 3+{\frac {8}{60}}+{\frac {30}{60^{2}}}-{\frac {30}{74^{3}}}+{\frac {555}{55^{6}}}+{\frac {1105}{86^{8}}}=3.141592653589793237...}$

Это приближение показывает нам точные первые 18 цифр числа Пи.

Кроме того, для оценки π можно использовать следующие выражения :

• с точностью до трех цифр:

${\displaystyle {\frac {22}{7}}=3.143^{+}}$

• с точностью до трех цифр:

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}}$

Карл Поппер предположил, что Платон знал это выражение, что он считал его в точности равным π , и что это объясняет некоторую уверенность Платона во всемогуществе математической геометрии, а также неоднократное обсуждение Платоном особых прямоугольных треугольников , которые являются либо равнобедренными , либо половинами равносторонних треугольников.

${\displaystyle {\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+1=3.1409^{+}}$

• с точностью до четырех цифр:

${\displaystyle 1+e-\gamma =3.1410^{+},}$где - натуральное логарифмическое основание , а - постоянная Эйлера ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}}$^[76]

${\displaystyle {\sqrt {63}}-{\sqrt {23}}=3.14142\ 2^{+}}$

${\displaystyle {\sqrt {51}}-{\sqrt {16}}=3.14142\ 8^{+}}$

${\displaystyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}=3.14142\ 1^{+}}$

• с точностью до четырех знаков (или пяти значащих цифр):

${\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3.1416^{+}}$^[77]

• приближение Рамануджана с точностью до 4 знаков (или пяти значащих цифр):

${\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}}$

• с точностью до пяти цифр:

${\displaystyle {\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3.14156^{+}}$

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{306}}=3.14155^{+}}$^[78]

• с точностью до шести цифр:

${\displaystyle \left(2-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{2^{2}}}\right)^{2}=3.14159\ 6^{+}}$ ^[79]

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{68}}=3.14159\ 0^{+}}$^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle 4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\right)-{\frac {2}{10+{\frac {1^{2}}{10+{\frac {2^{2}}{10+{\frac {3^{2}}{10}}}}}}}}=3.14159\ 3^{+}}$^{[80] [81]}

• с точностью до семи цифр:

${\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {883}}-{\sqrt {21}}}{8}}=3.14159\ 25^{+}}$

${\displaystyle {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}=3.14159\ 27^{+}}$- обратный первому члену ряда Рамануджана.

${\displaystyle \left({\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}\right)^{2}\left(15+{\frac {1^{2}}{30+{\frac {3^{2}}{30+{\frac {5^{2}}{30}}}}}}\right)=3.14159\ 27^{+}}$^[82]

• с точностью до восьми цифр:

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2669}}-{\sqrt {547}}}{9}}=3.14159\ 269^{+}}$

${\displaystyle {\frac {16}{5{\sqrt[{38}]{2}}{\sqrt[{3846}]{2}}}}=3.14159\ 260^{+}}$

${\displaystyle 3+{\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt[{1234}]{2}}{\sqrt[{1068}]{2}}}{10}}=3.14159\ 268^{+}}$

${\displaystyle {\frac {99733}{31746}}=3.14159\ 264^{+}}$

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {58}}{4}}-{\frac {37{\sqrt {2}}}{33}}\right)^{-1}={\frac {66{\sqrt {2}}}{33{\sqrt {29}}-148}}=3.14159\ 263^{+}}$^[83]

Это тот случай, который не может быть получен из приближения Рамануджана (22). ^[84]

• с точностью до девяти цифр:

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}}$

Это от Рамануджана , который утверждал, что богиня Намагири явилась ему во сне и сказала ему истинное значение числа π . ^[84]

• с точностью до десяти знаков:

${\displaystyle {\sqrt[{15}]{28658146}}=3.14159\ 26538^{+}}$

• с точностью до десяти знаков:

${\displaystyle {\frac {63}{25}}\times {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3.14159\ 26538^{+}}$

• с точностью до десяти знаков (или одиннадцати значащих цифр):

${\displaystyle {\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}}$

Это любопытное приближение следует из наблюдения, что 193-я степень 1/ π дает последовательность 1122211125... Замена 5 на 2 завершает симметрию, не уменьшая правильные цифры π , в то время как вставка центральной десятичной точки замечательно фиксирует сопутствующую величину на уровне 10 ¹⁰⁰ . ^[85]

• с точностью до одиннадцати цифр:

${\displaystyle {\sqrt[{18}]{888582403}}=3.14159\ 26535\ 8^{+}}$

• с точностью до двенадцати цифр:

${\displaystyle {\sqrt[{20}]{8769956796}}=3.14159\ 26535\ 89^{+}}$

• с точностью до 12 знаков после запятой:

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {163}}{6}}-{\frac {181}{\sqrt {10005}}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89^{+}}$

Это получается из ряда Чудновского (обрезаем ряд (1.4) ^[86] по первому члену и положим E ₆ ( τ ₁₆₃ ) ² / E ₄ ( τ ₁₆₃ ) ³ = 151931373056001/151931373056000 ≈ 1).

• с точностью до 16 цифр:

${\displaystyle {\frac {2510613731736{\sqrt {2}}}{1130173253125}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 9^{+}}$- величина, обратная сумме первых двух членов ряда Рамануджана.

${\displaystyle {\frac {165707065}{52746197}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 4^{+}}$

• с точностью до 18 цифр:

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {253}}{4}}-{\frac {643{\sqrt {11}}}{903}}-{\frac {223}{172}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2387^{+}}$

Это приближение (22) в статье Рамануджана ^[84] при n = 253.

• с точностью до 19 цифр:

${\displaystyle {\frac {3949122332{\sqrt {2}}}{1777729635}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2382^{+}}$- улучшенная обратная величина суммы первых двух членов ряда Рамануджана.

• с точностью до 24 цифр:

${\displaystyle {\frac {2286635172367940241408{\sqrt {2}}}{1029347477390786609545}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 2649^{+}}$- величина, обратная сумме первых трех членов ряда Рамануджана.

• с точностью до 25 знаков после запятой:

${\displaystyle {\frac {1}{10}}\ln \left({\frac {2^{21}}{({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{24}}}+24\right)=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 9^{+}}$

Это выводится из инварианта класса Рамануджана g ₁₀₀ = 2 ^5/8 /(5 ^1/4  − 1) . ^[84]

• с точностью до 30 знаков после запятой:

${\displaystyle {\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}}$

Выведено из близости константы Рамануджана к целому числу 640320 ³ +744. Это не допускает очевидных обобщений в целых числах, ^{[ необходимо разъяснение ],} поскольку существует только конечное число чисел Хегнера и отрицательных дискриминантов d с числом класса h (− d ) = 1, а d = 163 является наибольшим по абсолютной величине .

• с точностью до 52 знаков после запятой:

${\displaystyle {\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}}$

Подобно предыдущему, следствие j-инварианта . Среди отрицательных дискриминантов с классом номер 2 этот d самый большой по абсолютной величине.

• с точностью до 52 знаков после запятой:

${\displaystyle {\frac {\ln(2^{-30}((3+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})({\sqrt {7}}+{\sqrt {11}})({\sqrt {11}}+3))^{12}-24)}{{\sqrt {5}}{\sqrt {7}}{\sqrt {11}}}}}$

Это выведено из инварианта класса Рамануджана G ₃₈₅ . ^[84]

• с точностью до 161 знака после запятой:

${\displaystyle {\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}}$

где u — произведение четырех простых единиц четвертой степени,

${\displaystyle u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})}$

и,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}}$

Основано на найденном Дэниелом Шэнксом . Похоже на предыдущие два, но на этот раз это частное модулярной формы , а именно, эта-функции Дедекинда , и где аргумент включает . Дискриминант d = 3502 имеет h (− d ) = 16. ${\displaystyle \tau ={\sqrt {-3502}}}$

• с точностью до 256 цифр:

${\displaystyle {\frac {15261343909396942111177730086852826352374060766771618308167575028500999}{48590509502030754798379641288876701245663220023884870402810360529259}}...}$

${\displaystyle ...{\frac {551152789881364457516133280872003443353677807669620554743{\sqrt {10005}}}{3134188302895457201473978137944378665098227220269702217081111}}}$- улучшенная обратная величина суммы первых девятнадцати членов ряда Чудновского.

• Представление числа π в виде непрерывной дроби может быть использовано для генерации последовательных наилучших рациональных приближений . Эти приближения являются наилучшими возможными рациональными приближениями числа π относительно размера их знаменателей. Вот список первых тринадцати из них: ^{[87] [88]}

${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}}$

Из них, является единственной дробью в этой последовательности, которая дает больше точных цифр π (т. е. 7), чем число цифр, необходимых для его аппроксимации (т. е. 6). Точность может быть улучшена за счет использования других дробей с большими числителями и знаменателями, но для большинства таких дробей требуется больше цифр в аппроксимации, чем правильных значащих цифр, достигаемых в результате. ^[89] ${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$

Суммирование площади круга

Численное приближение π : поскольку точки случайно разбросаны внутри единичного квадрата, некоторые попадают в единичный круг. Доля точек внутри круга приближается к π/4 по мере добавления точек.

Число Пи можно получить из круга, если известны его радиус и площадь, используя соотношение:

${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$

Если нарисовать окружность радиусом r с центром в точке (0, 0), то любая точка, расстояние от которой до начала координат меньше r, попадет внутрь окружности. Теорема Пифагора дает расстояние от любой точки ( x ,  y ) до центра:

${\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Математическая «миллиметровка» формируется путем представления квадрата 1×1, центрированного вокруг каждой ячейки ( x ,  y ), где x и y — целые числа от − r до r . Квадраты, центр которых находится внутри или точно на границе круга, затем можно подсчитать, проверив, для каждой ячейки ( x ,  y ),

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r.}$

Общее число ячеек, удовлетворяющих этому условию, таким образом, приближает площадь круга, которую затем можно использовать для вычисления приближения π . Более точные приближения можно получить, используя большие значения r .

Математически эту формулу можно записать:

${\displaystyle \pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r.\end{cases}}}$

Другими словами, начните с выбора значения для r . Рассмотрим все ячейки ( x ,  y ), в которых и x и y являются целыми числами между − r и r . Начиная с 0, добавьте 1 для каждой ячейки, расстояние которой до начала координат (0,0) меньше или равно r . Когда закончите, разделите сумму, представляющую площадь круга радиусом r , на r ^{2 ,} чтобы найти приближение π . Например, если r равно 5, то рассматриваемые ячейки следующие:

Этот круг, как он был бы нарисован на графике декартовых координат . Ячейки (±3, ±4) и (±4, ±3) помечены.

12 ячеек (0, ±5), (±5, 0), (±3, ±4), (±4, ±3) находятся точно на круге, а 69 ячеек полностью внутри , поэтому приблизительная площадь составляет 81, а π вычисляется как приблизительно 3,24, поскольку 81 ⁄ 5 ² = 3,24. Результаты для некоторых значений r показаны в таблице ниже:

Для получения соответствующих результатов см. Задача об окружности: число точек (x,y) в квадратной решетке, где x^2 + y^2 <= n.

Аналогично, более сложные приближения числа π, приведенные ниже, включают в себя повторные вычисления определенного рода, что дает все более и более точные приближения с увеличением числа вычислений.

Непрерывные дроби

Помимо простого представления в виде цепной дроби [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1,  ...], которое не демонстрирует никакой различимой закономерности, у π есть много обобщенных представлений в виде цепной дроби, генерируемых простым правилом, включая эти два.

${\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{5+{\cfrac {4^{2}}{7+{\cfrac {3^{2}}{9+{\cfrac {6^{2}}{11+{\cfrac {5^{2}}{13+\ddots }}}}}}}}}}}$

Остаток ряда Мадхавы–Лейбница можно выразить в виде обобщенной цепной дроби следующим образом. ^[80]

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=1}^{m}{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {2(-1)^{m}}{2m+{\cfrac {1^{2}}{2m+{\cfrac {2^{2}}{2m+{\cfrac {3^{2}}{2m+\ddots }}}}}}}}\qquad (m=1,2,3,\ldots )}$

Обратите внимание, что поправочный термин Мадхавы —

${\displaystyle {\frac {2}{2m+{\frac {1^{2}}{2m+{\frac {2^{2}}{2m}}}}}}=4{\frac {m^{2}+1}{4m^{3}+5m}}}$.

Известные значения 22 ⁄ 7 и 355 ⁄ 113 являются соответственно вторым и четвертым приближениями цепной дроби к числу π. (Другие представления доступны на сайте The Wolfram Functions Site.)

Тригонометрия

Ряд Грегори–Лейбница

Ряд Грегори –Лейбница

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}=4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\cdots \right)}$

— это степенной ряд для arctan (x), специализированный для x  = 1. Он сходится слишком медленно, чтобы представлять практический интерес. Однако степенной ряд сходится гораздо быстрее для меньших значений , что приводит к формулам, где возникает как сумма малых углов с рациональными тангенсами, известным как формулы типа Мачина . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi }$

Арктангенс

Зная, что 4 arctan 1 = π , формулу можно упростить, получив:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=2\left(1+{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}}+\cdots \right)\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}n!^{2}}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}}{{\binom {2n}{n}}(2n+1)}}\\&=2+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}+{\frac {4}{35}}+{\frac {16}{315}}+{\frac {16}{693}}+{\frac {32}{3003}}+{\frac {32}{6435}}+{\frac {256}{109395}}+{\frac {256}{230945}}+\cdots \end{aligned}}}$

со сходимостью, при которой каждые дополнительные 10 членов дают по крайней мере еще три цифры.

${\displaystyle \pi =2+{\frac {1}{3}}\left(2+{\frac {2}{5}}\left(2+{\frac {3}{7}}\left(2+\cdots \right)\right)\right)}$

Эта серия является основой для алгоритма десятичного крана Рабиновича и Вагона. ^[90]

Другая формула для включения функции арктангенса имеет вид ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2,}$

где такой, что . Приближения можно сделать, используя, например, быстро сходящуюся формулу Эйлера ^[91] ${\displaystyle a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}}$ ${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\frac {x^{2n+1}}{(1+x^{2})^{n+1}}}.}$

В качестве альтернативы можно использовать следующий простой ряд разложения функции арктангенса:

${\displaystyle \arctan(x)=2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {{{a}_{n}}\left(x\right)}{a_{n}^{2}\left(x\right)+b_{n}^{2}\left(x\right)}}},}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}(x)=2/x,\\&b_{1}(x)=1,\\&a_{n}(x)=a_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)+4b_{n-1}(x)/x,\\&b_{n}(x)=b_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)-4a_{n-1}(x)/x,\end{aligned}}}$

аппроксимировать с еще более быстрой сходимостью. Сходимость в этой формуле арктангенса для улучшается с увеличением целого числа. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle k}$

Константа также может быть выражена бесконечной суммой функций арктангенса как ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots }$

и

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},}$

где — n -ое число Фибоначчи . Однако эти две формулы для сходятся гораздо медленнее из-за набора функций арктангенса, которые участвуют в вычислениях. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \pi }$

Арксинус

Наблюдая равносторонний треугольник и замечая, что

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}}$

урожайность

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=6\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^{5}}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 2^{7}}}+\cdots \!\right)\\&={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}\\&=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+{\frac {35}{98304}}+{\frac {189}{2883584}}+{\frac {693}{54525952}}+{\frac {429}{167772160}}+\cdots \end{aligned}}}$

со сходимостью, при которой каждые дополнительные пять членов дают по крайней мере еще три цифры.

Методы извлечения цифр

Формула Бейли-Борвейна-Плуффа (ББП) для вычисления числа π была открыта в 1995 году Саймоном Плуффом. Используя математику с основанием 16 , формула может вычислить любую конкретную цифру числа π — возвращая шестнадцатеричное значение цифры — без необходимости вычисления промежуточных цифр (извлечения цифр). ^[92]

${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}}$

В 1996 году Саймон Плуфф вывел алгоритм для извлечения n-й десятичной цифры числа π (используя десятичную  математику для извлечения десятичной  цифры), который может делать это с улучшенной скоростью O ( n ³ (log n ) ³ ) раз. Алгоритм практически не требует памяти для хранения массива или матрицы, поэтому миллионную цифру числа π можно вычислить с помощью карманного калькулятора. ^[93] Однако это было бы довольно утомительно и непрактично.

${\displaystyle \pi +3=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n2^{n}n!^{2}}{(2n)!}}}$

Скорость вычисления формулы Плуффа была улучшена до O ( n ² ) Фабрисом Беллардом , который вывел альтернативную формулу (хотя и только в двоичной  системе счисления) для вычисления числа π . ^[94]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

Эффективные методы

Многие другие выражения для π были разработаны и опубликованы индийским математиком Шринивасой Рамануджаном . Он работал с математиком Годфри Гарольдом Харди в Англии в течение ряда лет.

Очень длинные десятичные разложения числа π обычно вычисляются с помощью алгоритма Гаусса–Лежандра и алгоритма Борвейна ; также использовался алгоритм Саламина–Брента , изобретенный в 1976 году.

В 1997 году Дэвид Х. Бейли , Питер Борвейн и Саймон Плуфф опубликовали статью (Бейли, 1997) о новой формуле для π как бесконечного ряда :

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$

Эта формула позволяет довольно легко вычислить k -ю двоичную или шестнадцатеричную цифру числа π , без необходимости вычисления предыдущих k  − 1 цифр. Сайт Бейли ^[95] содержит вывод, а также реализации на различных языках программирования . Проект PiHex вычислил 64 бита вокруг квадриллионного бита числа π (который оказался равен 0).

Фабрис Беллар еще больше улучшил BBP с помощью своей формулы : ^[96]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

Другие формулы, которые использовались для вычисления оценок числа π, включают:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$

Ньютон .

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

Шриниваса Рамануджан .

Это сходится необычайно быстро. Работа Рамануджана является основой для самых быстрых алгоритмов, используемых на рубеже тысячелетий для вычисления π .

В 1988 году Дэвид Чудновский и Грегори Чудновский нашли еще более быстро сходящийся ряд ( алгоритм Чудновского ):

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}}$.

Скорость различных алгоритмов вычисления числа пи до n правильных цифр показана ниже в порядке убывания асимптотической сложности. M(n) — сложность используемого алгоритма умножения.

Проекты

Пи-шестнадцатеричный

Pi Hex был проектом по вычислению трех конкретных двоичных цифр числа π с использованием распределенной сети из нескольких сотен компьютеров. В 2000 году, спустя два года, проект завершил вычисление пятитриллионных (5*10 ¹² ), сорокатриллионных и квадриллионных (10 ¹⁵ ) бит. Все три из них оказались равны 0.

Программное обеспечение для расчетаπ

За прошедшие годы было написано несколько программ для вычисления числа π с точностью до многих знаков на персональных компьютерах .

Общего назначения

Большинство систем компьютерной алгебры могут вычислять число π и другие распространённые математические константы с любой желаемой точностью.

Функции для вычисления числа π также включены во многие общие библиотеки для арифметики произвольной точности , например, в Class Library for Numbers , MPFR и SymPy .

Специального назначения

Программы, разработанные для вычисления π, могут иметь лучшую производительность, чем математическое программное обеспечение общего назначения. Они обычно реализуют контрольные точки и эффективную подкачку диска , чтобы облегчить чрезвычайно длительные и ресурсоемкие вычисления.

• TachusPi Фабриса Белларда ^[97] — это программа, которую он использовал для вычисления мирового рекорда по количеству знаков числа Пи в 2009 году.
• y -cruncherАлександра Йи^[47]— это программа, которую каждый обладатель мирового рекорда, начиная с Сигеру Кондо в 2010 году, использовал для вычисления мировых рекордов по количеству цифр.y-cruncher также может использоваться для вычисления других констант и удерживает мировые рекорды по нескольким из них.
• PiFast от Ксавье Гурдона была самой быстрой программой для Microsoft Windows в 2003 году. По словам ее автора, она может вычислять один миллион цифр за 3,5 секунды на 2,4 ГГц Pentium 4. [ ^98] PiFast также может вычислять другие иррациональные числа, такие как e и √ 2. Он также может работать с меньшей эффективностью с очень небольшим объемом памяти (до нескольких десятков мегабайт для вычисления более миллиарда (10 ⁹ ) цифр). Этот инструмент является популярным эталоном в сообществе разгона . PiFast 4.4 доступен на странице Стю Pi. PiFast 4.3 доступен на странице Гурдона.
• QuickPi Стива Пальяруло для Windows быстрее PiFast для серий менее 400 миллионов цифр. Версия 4.5 доступна на странице Pi Стю ниже. Как и PiFast, QuickPi может также вычислять другие иррациональные числа, такие как e , √ 2 и √ 3. Программное обеспечение можно получить на форуме Pi-Hacks Yahoo! или на странице Pi Стю.
• Super PI от Kanada Laboratory ^[99] в Токийском университете — это программа для Microsoft Windows для выполнения от 16 000 до 33 550 000 цифр. Она может вычислить один миллион цифр за 40 минут, два миллиона цифр за 90 минут и четыре миллиона цифр за 220 минут на Pentium 90 МГц. Версия Super PI 1.9 доступна на странице Super PI 1.9.

Смотрите также

• Диофантово приближение
• Милю
• Исправление термина Мадхавы
• Пи равно 3

Примечания

1. Хейс, Брайан (сентябрь 2014 г.). «Карандаш, бумага и число Пи». American Scientist . Т. 102, № 5. С. 342. doi :10.1511/2014.110.342.
2. Ранус, Джордан (28 июня 2024 г.). «StorageReview Lab побила мировой рекорд по вычислению числа Пи, выполнив более 202 триллионов цифр». www.storagereview.com . Получено 2 июля 2024 г.
3. Петри, В. М. Ф. (1940). Мудрость египтян .
4. Вернер, Мирослав (2001) [1997]. Пирамиды: Тайна, культура и наука великих памятников Египта . Grove Press . ISBN 978-0-8021-3935-1Основан на Великой пирамиде в Гизе , предположительно построенной таким образом, что круг, радиус которого равен высоте пирамиды, имеет окружность, равную периметру основания (она составляет 1760 локтей вокруг и 280 локтей в высоту).
5. Rossi (2007). Архитектура Коринны и математика в Древнем Египте . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-69053-9.
6. Legon, JAR (1991). On Pyramid Dimensions and Proportions. Discussions in Egyptology. Vol. 20. pp. 25–34. Архивировано из оригинала 18 июля 2011 г. Получено 7 июня 2011 г.
7. См. #Вмененное библейское значение. Бекманн 1971 "Существовала обеспокоенность по поводу очевидного библейского утверждения π  ≈ 3 с ранних времен раввинского иудаизма , о котором говорил раввин Неемия во 2 веке". ^{[ нужна страница ]}
8. Романо, Дэвид Гилман (1993). Легкая атлетика и математика в архаическом Коринфе: истоки греческого стадиона. Американское философское общество . стр. 78. ISBN 978-0871692061Группа математических глиняных табличек древневавилонского периода, найденных при раскопках в Сузах в 1936 году и опубликованных Э. М. Брюинзом в 1950 году, содержит информацию о том, что вавилонское приближение числа π составляло 3 1/8 или 3,125.
9. Брюинз, EM (1950). «Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse» (PDF) .
10. Брюинз, ЕМ; Руттен, М. (1961). Математические тексты Сьюза . Мемуары археологической миссии в Иране. Том. XXXIV.
11. См. также Beckmann 1971, стр. 12, 21–22 «в 1936 году была раскопана табличка примерно в 200 милях от Вавилона. ... Упомянутая табличка, перевод которой был частично опубликован только в 1950 году, ... утверждает, что отношение периметра правильного шестиугольника к длине описанной окружности равно числу, которое в современной записи задается как 57/60+36/(60) ² [т.е. π = 3/0,96 = 25/8]».
12. Имхаузен, Аннет (2007). Кац, Виктор Дж. (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-11485-9.
13. Чайтанья, Кришна. Профиль индийской культуры. Indian Book Company (1975). С. 133.
14. Джадхав, Дипак (1 января 2018 г.). «О значении, подразумеваемом данными, упомянутыми в Махабхарате для числа π». Видьоттама Санатана: Международный журнал индуистской науки и религиоведения . 2 (1): 18. дои : 10.25078/ijhsrs.v2i1.511 . ISSN  2550-0651. S2CID  146074061.
15. Дамини, ДБ; Абхишек, Дхар (2020). «Как Архимед показал, что π приблизительно равно 22/7». стр. 8. arXiv : 2008.07995 [math.HO].
16. Лазарус Мудехве (февраль 1997). "История числа Пи". Zimaths . Архивировано из оригинала 8 января 2013 года.
17. Лам, Лэй Юн; Анг, Тянь Сэ (1986), «Измерения окружности в Древнем Китае», Historia Mathematica , 13 (4): 325–340, doi : 10.1016/0315-0860(86)90055-8 , MR  0875525. Перепечатано в Berggren, JL; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter, eds. (2004). Pi: A Source Book. Springer. стр. 20–35. ISBN 978-0387205717.. См. в частности стр. 333–334 (стр. 28–29 переиздания).
18. Как Арьябхата правильно вычислил окружность Земли Архивировано 15 января 2017 г. на Wayback Machine
19. Арьябхатия ( ганитапада 10 ):

    чатурадхикам шатамаштагунам двашаштиштатха сахасранам аютадваявишкамбхасйасанно вриттапаринахах .

    «Прибавьте четыре к ста, умножьте на восемь, а затем прибавьте шестьдесят две тысячи. Результат приблизительно равен длине окружности диаметром двадцать тысяч. По этому правилу определяется отношение длины окружности к диаметру».

    Другими словами, (4 + 100) × 8 + 62000 — это длина окружности с диаметром 20000. Это дает значение π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3,1416, Jacobs, Harold R. (2003). Geometry: Seeing, Doing, Understanding (Третье изд.). Нью-Йорк: WH Freeman and Company . стр. 70.
20. "Арьябхата Старший". Университет Сент-Эндрюс , Школа математики и статистики . Получено 20 июля 2011 г.
21. S. Balachandra Rao (1998). Индийская математика и астрономия: некоторые вехи . Бангалор: Jnana Deep Publications. ISBN 978-81-7371-205-0.
22. Джордж Э. Эндрюс, Ранджан Рой; Ричард Эски (1999). Специальные функции . Cambridge University Press . стр. 58. ISBN 978-0-521-78988-2.
23. JJ O'Connor и EF Robertson (ноябрь 2000 г.). "Мадхава Сангамаграмма". MacTutor . Университет Сент-Эндрюс .
24. Гупта, RC (1992). «Об остаточном члене ряда Мадхавы–Лейбница». Ганита Бхарати . 14 (1–4): 68–71.
25. Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1981). «Гийят ад-дин Джамшид Масуд аль-Каши (или аль-Кашани)». Словарь научной биографии . Том. 7. с. 256.
26. Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (июль 1999 г.). «Гият ад-Дин Джамшид Масуд аль-Каши». МакТьютор . Университет Сент-Эндрюс .
27. Азарян, Мохаммад К. (2010). «al-Risāla al-muhītīyya: A Summary». Missouri Journal of Mathematical Sciences . 22 (2): 64–85. doi : 10.35834/mjms/1312233136 .
28. Капра, Б. "Цифры числа Пи" (PDF) . Получено 13 января 2018 г.
29. Чакрабарти, Гопал; Хадсон, Ричард (2003). «Улучшение метода Архимеда для аппроксимации числа π» (PDF) . Международный журнал чистой и прикладной математики . 7 (2): 207–212.
30. Джонс, Уильям (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos. Лондон: J. Wale. стр. 243, 263. Существуют различные другие способы нахождения длин или площадей отдельных кривых линий или плоскостей , которые могут значительно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к окружности как 1 к 3,14159, и т. д. = π . Этот ряд (среди других для той же цели и выведенных из того же принципа) я получил от превосходного аналитика и моего весьма уважаемого друга г-на Джона Мачина ; и с его помощью число Ван Кейлена или то, что в статье 64.38, может быть исследовано со всей желаемой легкостью и быстротой.
    ${\displaystyle {\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=}$
    

    Перепечатано в Smith, David Eugene (1929). «William Jones: The First Use of π for the Circle Ratio». A Source Book in Mathematics . McGraw–Hill. pp. 346–347.

31. Tweddle, Ian (1991). "Джон Мачин и Роберт Симсон о рядах обратных касательных для π ". Архив для History of Exact Sciences . 42 (1): 1–14. doi :10.1007/BF00384331. JSTOR  41133896. S2CID  121087222.
32. Вега, Джордж (1795) [1789]. «Определение полуокружности круга без диаметра est = 1, exprimée в 140 десятичных знаках». Добавка. Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitanae . 11 : 41–44.

    Сандифер, Эдвард (2006). «Почему 140 цифр числа Пи имеют значение» (PDF) . Юрий барон Вега в негов час: Зборник об 250- летнем юбилее ройства . Любляна: DMFA. ISBN 978-961-6137-98-0. LCCN  2008467244. OCLC  448882242. Архивировано из оригинала (PDF) 28 августа 2006 г. Следует отметить, что значение Веги содержит ошибку в 127-й цифре. Вега дает 4 там, где должна быть [6], а все цифры после нее неверны.

33. «Какую точность можно получить с числом Пи до 40 знаков после запятой?». Stack Exchange . 11 мая 2015 г.
34. Ferguson, DF (16 марта 1946 г.). "Значение числа π". Nature . 157 (3985): 342. Bibcode :1946Natur.157..342F. doi : 10.1038/157342c0 . ISSN  1476-4687. S2CID  4085398.
35. Шэнкс, Уильям (1853). Вклад в математику: включающий главным образом ректификацию круга до 607 знаков десятичных дробей. Macmillan Publishers . стр. viii – через Интернет-архив .
36. Шэнкс, Уильям (1873). "V. О расширении численного значения π". Труды Лондонского королевского общества . 21 (139–147). Издательство Королевского общества : 318–319. doi :10.1098/rspl.1872.0066. S2CID  120851313.
37. «Уильям Шэнкс (1812–1882) – Биография». Университет Сент-Эндрюс . Июль 2007 г. Получено 22 января 2022 г.
38. Фергюсон 1946a, doi : 10.2307/3608485
39. Шэнкс, Д.; Ренч , Дж. В. Мл. (1962). «Вычисление числа π с точностью до 100 000 знаков после запятой». Математика вычислений . 16 (77): 76–99. doi :10.2307/2003813. JSTOR  2003813.
40. "Объявление на веб-сайте лаборатории Kanada". Super-computing.org . Архивировано из оригинала 12 марта 2011 г. Получено 11 декабря 2017 г.
41. «Рекорд вычисления числа Пи».
42. Маккормик Град устанавливает новый рекорд числа Пи. Архивировано 28 сентября 2011 г. на Wayback Machine.
43. «Пи – 5 триллионов цифр».
44. Гленн (19 октября 2011 г.). «Short Sharp Science: Epic pi quest sets 10 trillion digit record». New Scientist . Получено 18 апреля 2016 г.
45. Йи, Александр Дж.; Кондо, Сигэру (22 октября 2011 г.). «Раунд 2... 10 триллионов цифр числа Пи».
46. Yee, Alexander J.; Kondo, Shigeru (28 декабря 2013 г.). «12,1 триллиона цифр числа Пи».
47. Йи, Александр Дж. (2018). "y-cruncher: многопоточная программа Pi". numberworld.org . Получено 14 марта 2018 г. .
48. Треуб, Питер (30 ноября 2016 г.). «Статистика первых 22,4 триллиона десятичных цифр числа Пи». arXiv : 1612.00489 [math.NT].
49. "Google Cloud побил рекорд Pi". numberworld.org . Получено 14 марта 2019 г. .
50. "The Pi Record Returns to the Personal Computer" . Получено 30 января 2020 г. .
51. «Вычисление числа Пи: Моя попытка побить мировой рекорд числа Пи». 26 июня 2019 г. Получено 30 января 2020 г.
52. "Die FH Graubünden kennt Pi am genauesten - Weltrekord!" . Проверено 31 августа 2021 г.
53. "Швейцарские исследователи вычислили число Пи с новым рекордом в 62,8 триллиона цифр". The Guardian . 16 августа 2021 г. Получено 31 августа 2021 г.
54. «Еще больше пи в небе: вычисление 100 триллионов цифр числа пи в Google Cloud». Google Cloud Platform . 8 июня 2022 г. Получено 10 июня 2022 г.
55. Йи, Александр Дж. (14 марта 2024 г.). «Прихрамывая, приближаемся к новому рекорду числа Пи в 105 триллионов цифр». NumberWorld.org . Получено 16 марта 2024 г.
56. Ранус, Джордан (28 июня 2024 г.). «StorageReview Lab побила мировой рекорд по вычислению числа Пи, выполнив более 202 триллионов цифр». www.storagereview.com . Получено 2 июля 2024 г.
57. Аллен, Ретт (18 марта 2011 г.). «Каково наилучшее дробное представление числа Пи». Wired . Получено 16 марта 2020 г. .
58. Джон Д., Кук (22 мая 2018 г.). «Лучшие рациональные аппроксимации для числа Пи». John D. Cook Consulting . Получено 16 марта 2020 г.
59. "Приближения непрерывных дробей к числу Пи" (PDF) . Кафедра математики Иллинойса . Совет попечителей Иллинойсского университета. Архивировано из оригинала (PDF) 23 января 2021 г. . Получено 16 марта 2020 г. .
60. Халлерберг, Артур Э. (1977). «Индианский квадратный круг». Mathematics Magazine . 50 (3): 136–140. doi :10.1080/0025570X.1977.11976632.
61. Цабан, Вооз; Гарбер, Дэвид (февраль 1998 г.). «О раввинском приближении π» (PDF) . История математики . 25 (1): 75–84. дои : 10.1006/hmat.1997.2185 . ISSN  0315-0860 . Проверено 14 июля 2009 г.
62. Уилбур Ричард Норр , Древняя традиция геометрических задач , Нью-Йорк: Dover Publications, 1993.
63. Aleff, H. Peter. «Древние истории творения, рассказанные числами: число Пи Соломона». recoveryscience.com. Архивировано из оригинала 14 октября 2007 г. Получено 30 октября 2007 г.
64. O'Connor, JJ; EF Robertson (август 2001). "История числа Пи". Архивировано из оригинала 30 октября 2007 года . Получено 30 октября 2007 года .
65. Форум математики – Спросите доктора Математики
66. Ивс 1992, стр. 131
67. Бекманн 1971, стр. 66
68. Ивс 1992, стр. 118
69. Eves 1992, стр. 119
70. Бекманн 1971, стр. 94–95
71. Неопубликованная работа Ньютона (1684), позже независимо открытая другими и популяризированная Эйлером (1755).

    Рой, Ранджан (2021) [1-е изд. 2011]. Серии и продукты в развитии математики . Том 1 (2-е изд.). Cambridge University Press. С. 215–216, 219–220.

    Сэндифер, Эд (2009). "Оценка числа π" (PDF) . Как это сделал Эйлер .Перепечатано в книге «Как Эйлер сделал даже больше» . Математическая ассоциация Америки. 2014. С. 109–118.

    Ньютон, Исаак (1971). Уайтсайд, Дерек Томас (ред.). Математические труды Исаака Ньютона . Т. 4, 1674–1684. Cambridge University Press. С. 526–653.

    Эйлер, Леонард (1755). «§2.30». Institutiones Calculi Differentialis (на латыни). Academiae Imperialis Scientiarium Petropolitanae. п. 318. Е 212.

    Эйлер, Леонард (1798) [написано в 1779 году]. «Investigatio quarundam serierum, quae adrationem peripheriae Circuli ad Diametrum Vero Proxime Definiendam Maxime Sunt Accommodatae». Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitinae . 11 : 133–149, 167–168. Е 705.

    Хванг Чиен-Ли (2005), «Элементарный вывод ряда Эйлера для функции арктангенса», The Mathematical Gazette , 89 (516): 469–470, doi :10.1017/S0025557200178404, S2CID  123395287

72. Trueb, Peter (2020). Братья Борвейн, Пи и годовое общее собрание . Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Том 313. arXiv : 1802.07558 . doi :10.1007/978-3-030-36568-4. ISBN 978-3-030-36567-7. S2CID  214742997.
73. Хемфилл, Скотт (1993).
74. Канада, Ясумаса (1996). Единица, разделенная на Пи.
75. Энтони, Себастьян (15 марта 2012 г.). «Что можно сделать с суперкомпьютером? – ExtremeTech». Extremetech .
76. Гарднер, Мартин (1995). Новые математические развлечения . Математическая ассоциация Америки. стр. 92. ISBN 978-0-88385-517-1.
77. Вложенное радикальное приближение для π Архивировано 6 июля 2011 г. на Wayback Machine
78. Lenz, Friedrich (15 мая 1951 г.). «Соотношение масс протона и электрона». Phys. Rev. 82 (4): 554. Bibcode :1951PhRv...82..554L. doi :10.1103/PhysRev.82.554.2.
79. "Hemmes mathematische Rätsel: Die Quadratur des Kreises" . www.spektrum.de (на немецком языке) . Проверено 30 сентября 2024 г.
80. Dutka, J. (1982). «Произведение Уоллиса, непрерывная дробь Брункера и ряд Лейбница». Архив для History of Exact Sciences . 26 (2): 115–126. doi :10.1007/BF00348349. S2CID  121628039.
81. Борвейн, Дж.; Борвейн, П.; Дилчер, К. (1989). «Пи, числа Эйлера и асимптотические разложения». Amer. Math. Monthly . 96 (8): 681–687. doi :10.1080/00029890.1989.11972263. hdl : 1959.13/1043679 .
82. Ланге, Л. (1999). «Элегантная непрерывная дробь для π ». Amer. Math. Monthly . 106 (5): 456–458.
83. Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид (2008). Математика через эксперимент: правдоподобное рассуждение в 21 веке, 2-е издание . AK Peters. стр. 135. ISBN 978-1-56881-442-1.
84. Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан; Борвейн, Питер (2003). Пи: Справочник, 3-е издание . Спрингер. стр. 241–257. ISBN 978-0-387-20571-7.
85. Хоффман, DW College Mathematics Journal , 40 (2009) 399
86. Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан; Борвейн, Питер (2003). Пи: Справочник, 3-е издание . Спрингер. стр. 596–622. ISBN 978-0-387-20571-7.
87. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A002485 (Числители дробей, приближающихся к числу Пи)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
88. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A002486 (Знаменатели дробей, приближающихся к числу Пи)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
89. «Дробные приближения числа Пи».
90. Рабинович, Стэнли; Вагон, Стэн (1995). «Алгоритм Spigot для цифр числа π». The American Mathematical Monthly . 102 (3): 195–203. doi :10.2307/2975006. ISSN  0002-9890. JSTOR  2975006.
91. Хванг Чиен-Ли (2005), «Элементарный вывод ряда Эйлера для функции арктангенса», The Mathematical Gazette , 89 (516): 469–470, doi :10.1017/S0025557200178404, S2CID  123395287
92. Вайсштейн, Эрик В. «Формула BBP». Математический мир .
93. Плуфф, Саймон (2009). «О вычислении n^-й десятичной цифры различных трансцендентных чисел». arXiv : 0912.0303v1 [math.NT].
94. "Вычисление n-й цифры в любой системе счисления за O(n^2)". bellard.org . Получено 30 сентября 2024 г. .
95. "David H Bailey". crd.LBL.gov . Архивировано из оригинала 10 апреля 2011 . Получено 11 декабря 2017 .
96. "Мир Пи – Беллард". Pi314.net. 13 апреля 2013 г. Получено 18 апреля 2016 г.
97. Беллард, Фабрис. "TachusPi" . Получено 20 марта 2020 г.
98. "Тайминги PiFast"
99. Takahashi, Daisuke; Kanada, Yasumasa (10 августа 2010 г.). "Kanada Laboratory home page". Токийский университет. Архивировано из оригинала 24 августа 2011 г. Получено 1 мая 2011 г.

Ссылки

• Бейли, Дэвид Х.; Борвейн , Питер Б. и Плуфф, Саймон (апрель 1997 г.). «О быстром вычислении различных полилогарифмических констант» (PDF) . Математика вычислений . 66 (218): 903–913. Bibcode : 1997MaCom..66..903B. doi : 10.1090/S0025-5718-97-00856-9 .
• Бекман, Петр (1971). История числа π . Нью-Йорк: St. Martin's Press. ISBN 978-0-88029-418-8. МР  0449960.
• Ивс, Говард (1992). Введение в историю математики (6-е изд.). Saunders College Publishing. ISBN 978-0-03-029558-4.
• Джозеф, Джордж Г. (2000). Крест павлина: неевропейские корни математики (Новое издание, Лондон: Penguin ed.). Лондон: Penguin. ISBN 978-0-14-027778-4.
• Джексон, К.; Стэмп, Дж. (2002). Пирамида: за гранью воображения. Внутри Великой пирамиды Гизы . Лондон: BBC. ISBN 9780563488033.
• Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (2004). Pi: справочник (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Science + Business Media LLC. ISBN 978-1-4757-4217-6.