Функция четвертой степени

Polynomial function of degree four

График многочлена степени 4 с 3 критическими точками и четырьмя действительными корнями (пересечениями оси x ) (и, таким образом, без комплексных корней). Если бы один или другой локальный минимум был выше оси x , или если бы локальный максимум был ниже нее, или если бы не было локального максимума и один минимум ниже оси x , то было бы только два действительных корня (и два комплексных корня). Если бы все три локальных экстремума были выше оси x , или если бы не было локального максимума и один минимум выше оси x , то не было бы действительного корня (и четыре комплексных корня). Те же рассуждения применимы в обратном порядке к многочлену с отрицательным коэффициентом четвертой степени.

В алгебре квартикальная функция — это функция вида

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e,}$^α

где a не равно нулю и определяется многочленом четвертой степени , называемым многочленом четвертой степени .

Уравнение четвертой степени , или уравнение четвертой степени, — это уравнение, приравнивающее многочлен четвертой степени к нулю, имеющее вид

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,}$

где a ≠ 0. [ ^1] Производная функции четвертой степени является кубической функцией .

Иногда вместо термина « биквадратная » используется термин «биквадратная» , но, как правило, под биквадратной функцией понимается квадратичная функция квадрата (или, что то же самое, функция, определяемая полиномом четвертой степени без членов нечетной степени), имеющая вид

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e.}$

Так как функция четвертой степени определяется полиномом четной степени, она имеет тот же бесконечный предел, когда аргумент стремится к положительной или отрицательной бесконечности . Если a положительно, то функция увеличивается до положительной бесконечности на обоих концах; и, таким образом, функция имеет глобальный минимум . Аналогично, если a отрицательно, она уменьшается до отрицательной бесконечности и имеет глобальный максимум. В обоих случаях она может иметь или не иметь другой локальный максимум и другой локальный минимум.

Степень четыре ( случай четвертой степени ) — это наивысшая степень, при которой любое полиномиальное уравнение может быть решено с помощью радикалов , согласно теореме Абеля–Руффини .

История

Лодовико Феррари приписывают открытие решения квартики в 1540 году, но поскольку это решение, как и все алгебраические решения квартики, требует нахождения решения кубической функции , оно не могло быть опубликовано немедленно. ^[2] Решение квартики было опубликовано вместе с решением кубической функции наставником Феррари Джероламо Кардано в книге Ars Magna . ^[3]

Доказательство того, что четыре является наивысшей степенью общего многочлена, для которого могут быть найдены такие решения, было впервые дано в теореме Абеля–Руффини в 1824 году, доказывающей, что все попытки решения многочленов более высокого порядка будут тщетными. Заметки, оставленные Эваристом Галуа перед смертью на дуэли в 1832 году, позже привели к элегантной полной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема. ^[4]

Приложения

Каждая координата точек пересечения двух конических сечений является решением уравнения четвертой степени. То же самое верно для пересечения прямой и тора . Из этого следует, что уравнения четвертой степени часто возникают в вычислительной геометрии и всех смежных областях, таких как компьютерная графика , автоматизированное проектирование , автоматизированное производство и оптика . Вот примеры других геометрических задач, решение которых включает решение уравнения четвертой степени.

В автоматизированном производстве тор — это форма, которая обычно ассоциируется с концевой фрезой. Чтобы вычислить его местоположение относительно триангулированной поверхности, необходимо найти положение горизонтального тора на оси z , где он касается фиксированной линии, и для этого требуется вычислить решение общего уравнения четвертой степени. ^[5]

Уравнение четвертой степени возникает также в процессе решения задачи о скрещенных лестницах , в которой даны длины двух скрещенных лестниц, каждая из которых стоит у одной стены и прислонена к другой, а также высота, на которой они пересекаются, и требуется найти расстояние между стенами. ^[6]

В оптике задача Альхазена звучит так: « Для источника света и сферического зеркала найти точку на зеркале, в которой свет будет отражаться в глаз наблюдателя ». Это приводит к уравнению четвертой степени. ^{[7] [8] [9]}

Нахождение расстояния наибольшего сближения двух эллипсов требует решения уравнения четвертой степени.

Собственные значения матрицы 4×4 являются корнями полинома четвертой степени, который является характеристическим полиномом матрицы.

Характеристическое уравнение линейного разностного уравнения четвертого порядка или дифференциального уравнения является уравнением четвертой степени. Пример возникает в теории изгиба балки Тимошенко-Рэлея . ^[10]

Пересечения между сферами, цилиндрами и другими квадриками можно найти с помощью уравнений четвертой степени.

Точки перегиба и золотое сечение

Пусть F и G — различные точки перегиба графика функции четвертой степени, а H — пересечение секущей линии перегиба FG и функции четвертой степени, ближе к G , чем к F , тогда G делит FH в золотом сечении : ^[11]

${\displaystyle {\frac {FG}{GH}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \;({\text{the golden ratio}}).}$

Более того, площадь области между секущей и квартикой под секущей равна площади области между секущей и квартикой над секущей. Одна из этих областей разделена на подобласти равной площади.

Решение

Природа корней

Учитывая общее уравнение четвертой степени

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

с действительными коэффициентами и a ≠ 0 характер его корней определяется в основном знаком его дискриминанта

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}$

Это можно уточнить, рассмотрев знаки четырех других полиномов:

${\displaystyle P=8ac-3b^{2}}$

таким образом, что ⁠П/8 а ²⁠ — коэффициент второй степени соответствующей пониженной четвертой степени (см. ниже);

${\displaystyle R=b^{3}+8da^{2}-4abc,}$

таким образом, что ⁠Р/8 а ³⁠ — коэффициент первой степени соответствующей пониженной четвертой степени;

${\displaystyle \Delta _{0}=c^{2}-3bd+12ae,}$

что равно 0, если квартика имеет тройной корень; и

${\displaystyle D=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}}$

что равно 0, если квартика имеет два двойных корня.

Возможны следующие случаи природы корней: ^[12]

• Если ∆ < 0 , то уравнение имеет два различных действительных корня и два комплексно-сопряженных недействительных корня.
• Если ∆ > 0 , то либо все четыре корня уравнения действительны, либо ни один из них не является действительным.
  • Если P < 0 и D < 0, то все четыре корня действительны и различны.
  • Если P > 0 или D > 0, то существуют две пары недействительных комплексно-сопряженных корней. ^[13]
• Если ∆ = 0, то (и только тогда) многочлен имеет кратный корень. Вот различные случаи, которые могут возникнуть:
  • Если P < 0 и D < 0 и ∆ ₀ ≠ 0 , то существуют действительный двойной корень и два действительных простых корня.
  • Если D > 0 или ( P > 0 и ( D ≠ 0 или R ≠ 0)), то существуют действительный двойной корень и два комплексно-сопряженных корня.
  • Если ∆ ₀ = 0 и D ≠ 0, то существуют тройной корень и простой корень, все они действительны.
  • Если D = 0, то:
    • Если P < 0, то имеется два действительных двойных корня.
    • Если P > 0 и R = 0, то существует два комплексно-сопряженных двойных корня.
    • Если ∆ ₀ = 0 , то все четыре корня равны − ⁠б/4 а⁠

Есть некоторые случаи, которые, кажется, не охвачены, но на самом деле они не могут произойти. Например, ∆ ₀ > 0 , P = 0 и D ≤ 0 не является одним из случаев. Фактически, если ∆ ₀ > 0 и P = 0, то D > 0, так как , то эта комбинация невозможна. ${\displaystyle 16a^{2}\Delta _{0}=3D+P^{2};}$

Общая формула для корней

Решение выписано полностью. Эта формула слишком громоздка для общего использования; поэтому обычно используются другие методы или более простые формулы для особых случаев. ${\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

Четыре корня x ₁ , x ₂ , x ₃ и x ₄ для общего уравнения четвертой степени

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$

при a ≠ 0 приведены в следующей формуле, которая выведена из формулы в разделе о методе Феррари путем обратной замены переменных (см. § Преобразование в подавленную квартику) и использования формул для квадратных и кубических уравнений .

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1,2}\ &=-{\frac {b}{4a}}-S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p+{\frac {q}{S}}}}\\x_{3,4}\ &=-{\frac {b}{4a}}+S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p-{\frac {q}{S}}}}\end{aligned}}}$

где p и q — коэффициенты второй и первой степени соответственно в соответствующей подавленной квартике

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}\end{aligned}}}$

и где

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {1}{3a}}\left(Q+{\frac {\Delta _{0}}{Q}}\right)}}\\Q&={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}+{\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}}$

(если S = ​​0 или Q = 0 , см. § Особые случаи формулы ниже)

с

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\\Delta _{1}&=2c^{3}-9bcd+27b^{2}e+27ad^{2}-72ace\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle \Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}=-27\Delta \ ,}$где — вышеупомянутый дискриминант . Для выражения кубического корня для Q можно использовать любой из трех кубических корней в комплексной плоскости, хотя если один из них действительный, то это естественный и самый простой выбор. Математические выражения этих последних четырех членов очень похожи на выражения их кубических аналогов . ${\displaystyle \Delta }$

Частные случаи формулы

• Если значение является недействительным комплексным числом. В этом случае либо все корни недействительны, либо все они действительны. В последнем случае значение также действительно, несмотря на то, что оно выражено через это является casus irreducibilis кубической функции, расширенной до настоящего контекста квартики. Можно предпочесть выразить его чисто действительным способом, используя тригонометрические функции , следующим образом: ${\displaystyle \Delta >0,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Q;}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {2}{3a}}{\sqrt {\Delta _{0}}}\cos {\frac {\varphi }{3}}}}}$

где

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {\Delta _{1}}{2{\sqrt {\Delta _{0}^{3}}}}}\right).}$

• Если и знак должен быть выбран так, чтобы иметь то, что следует определить как сохранение знака ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ ${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}={\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$ ${\displaystyle Q\neq 0,}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$ ${\displaystyle \Delta _{1},}$ ${\displaystyle \Delta _{1}.}$
• Если тогда нужно изменить выбор кубического корня в для того, чтобы иметь Это всегда возможно, за исключением случая, когда квартика может быть разложена на Тогда результат правильный, но вводящий в заблуждение, поскольку он скрывает тот факт, что в этом случае кубический корень не нужен. Фактически этот случай ^{[ необходимо разъяснение ]} может возникнуть только если числитель равен нулю, и в этом случае соответствующая подавленная квартика является биквадратной; таким образом, ее можно решить методом, описанным ниже. ${\displaystyle S=0,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle S\neq 0.}$ ${\displaystyle \left(x+{\tfrac {b}{4a}}\right)^{4}.}$ ${\displaystyle q}$
• Если и и, таким образом, также по крайней мере три корня равны друг другу, и корни являются рациональными функциями коэффициентов. Тройной корень является общим корнем квартики и ее второй производной , таким образом, он также является единственным корнем остатка евклидова деления квартики на ее вторую производную, которая является линейным многочленом. Простой корень может быть выведен из ${\displaystyle \Delta =0}$ ${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$ ${\displaystyle \Delta _{1}=0,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle 2(6ax^{2}+3bx+c);}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}+3x_{0}=-b/a.}$
• Если и приведенное выше выражение для корней верно, но вводит в заблуждение, скрывая тот факт, что многочлен является приводимым и для представления корней не требуется кубический корень. ${\displaystyle \Delta =0}$ ${\displaystyle \Delta _{0}\neq 0,}$

Более простые случаи

Сокращаемые квартики

Рассмотрим общую квартику

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.}$

Он приводим , если Q ( x ) = R ( x )× S ( x ) , где R ( x ) и S ( x ) — непостоянные многочлены с рациональными коэффициентами (или, в более общем случае, с коэффициентами в том же поле, что и коэффициенты Q ( x ) ). Такая факторизация примет одну из двух форм:

${\displaystyle Q(x)=(x-x_{1})(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0})}$

или

${\displaystyle Q(x)=(c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})(d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}).}$

В любом случае корни Q ( x ) являются корнями множителей, которые можно вычислить с помощью формул для корней квадратичной функции или кубической функции .

Обнаружение существования таких факторизаций можно осуществить с помощью резольвентной кубической функции Q ( x ) . Оказывается, что:

• если мы работаем над R (то есть если коэффициенты ограничены действительными числами) (или, в более общем смысле, над некоторым действительным замкнутым полем ), то всегда существует такая факторизация;
• если мы работаем над Q (то есть, если коэффициенты ограничены рациональными числами), то существует алгоритм, позволяющий определить, является ли Q ( x ) приводимым или нет, и если да, то как выразить его в виде произведения многочленов меньшей степени.

Фактически, несколько методов решения уравнений четвертой степени (метод Феррари, метод Декарта и, в меньшей степени, метод Эйлера) основаны на нахождении таких факторизаций.

Биквадратное уравнение

Если a ₃ = a ₁ = 0, то функция

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}}$

называется биквадратной функцией ; приравнивание ее к нулю определяет биквадратное уравнение , которое легко решить следующим образом

Пусть вспомогательная переменная z = x ² . Тогда Q ( x ) становится квадратичным q относительно z : q ( z ) = a ₄ z ² + a ₂ z + a ₀ . Пусть z ₊ и z ₋ будут корнями q ( z ) . Тогда корни четвертой степени Q ( x ) равны

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=+{\sqrt {z_{+}}},\\x_{2}&=-{\sqrt {z_{+}}},\\x_{3}&=+{\sqrt {z_{-}}},\\x_{4}&=-{\sqrt {z_{-}}}.\end{aligned}}}$

Квазипалиндромное уравнение

Многочлен

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}}$

почти палиндром , так как P ( mx ) = ⁠х ⁴/м ²⁠ П ( ⁠м/х⁠ ) ​​(это палиндром, если m = 1 ). Замена переменных z = x + ⁠м/х⁠ в ⁠П ( х )/х ²⁠ = 0 дает квадратное уравнение a ₀ z ² + a ₁ z + a ₂ − 2 ma ₀ = 0. Поскольку x ² − xz + m = 0 , уравнение четвертой степени P ( x ) = 0 можно решить, применив квадратную формулу дважды.

Методы решения

Преобразование в подавленную квартику

Для решения обычно лучше преобразовать квартику в подавленную квартику с помощью следующей простой замены переменной. Все формулы проще, и некоторые методы работают только в этом случае. Корни исходной квартики легко восстанавливаются из корней подавленной квартики с помощью обратной замены переменной.

Позволять

${\displaystyle a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$

— общее уравнение четвертой степени, которое мы хотим решить.

Деление на a ₄ дает эквивалентное уравнение x ⁴ + bx ³ + cx ² + dx + e = 0 , где b = ⁠а ₃/а ₄⁠ , с = ⁠а ₂/а ₄⁠ , д = ⁠а ₁/а ₄⁠ , и е = ⁠а ₀/а ₄⁠ . Подставляем y − ⁠б/4⁠ для x дает, после перегруппировки членов, уравнение y ⁴ + py ² + qy + r = 0 , где

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8c-3b^{2}}{8}}={\frac {8a_{2}a_{4}-3{a_{3}}^{2}}{8{a_{4}}^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4bc+8d}{8}}={\frac {{a_{3}}^{3}-4a_{2}a_{3}a_{4}+8a_{1}{a_{4}}^{2}}{8{a_{4}}^{3}}}\\r&={\frac {-3b^{4}+256e-64bd+16b^{2}c}{256}}={\frac {-3{a_{3}}^{4}+256a_{0}{a_{4}}^{3}-64a_{1}a_{3}{a_{4}}^{2}+16a_{2}{a_{3}}^{2}a_{4}}{256{a_{4}}^{4}}}.\end{aligned}}}$

Если y ₀ является корнем этой подавленной четвертой степени, то y ₀ − ⁠б/4⁠ (то есть y ₀ − ⁠а ₃/4 а ₄⁠ ) ​​является корнем исходной четвертой степени, и каждый корень исходной четвертой степени может быть получен с помощью этого процесса.

Решение Феррари

Как объяснялось в предыдущем разделе, мы можем начать с уравнения четвертой степени пониженной степени

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0.}$

Эту подавленную квартику можно решить с помощью метода, открытого Лодовико Феррари . Подавленное уравнение можно переписать (это легко проверить, расширив квадрат и перегруппировав все члены в левой части) как

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}=-qy-r+{\frac {p^{2}}{4}}.}$

Затем мы вводим переменную m в фактор в левой части, добавляя 2 y ² m + pm + m ² к обеим сторонам. После перегруппировки коэффициентов степени y в правой части это дает уравнение

что эквивалентно исходному уравнению, какое бы значение ни было присвоено m .

Поскольку значение m может быть выбрано произвольно, мы выберем его так, чтобы завершить квадрат в правой части. Это означает, что дискриминант по y этого квадратного уравнения равен нулю, то есть m является корнем уравнения

${\displaystyle (-q)^{2}-4(2m)\left(m^{2}+pm+{\frac {p^{2}}{4}}-r\right)=0,\,}$

что можно переписать как

Это резольвента кубическая уравнения четвертой степени. Значение m может быть получено из формулы Кардано . Когда m является корнем этого уравнения, правая часть уравнения ( 1 ) является квадратом

${\displaystyle \left({\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

Однако это вызывает деление на ноль, если m = 0. Это подразумевает q = 0 , и, таким образом, подавленное уравнение является биквадратным и может быть решено более простым методом (см. выше). Это не было проблемой во времена Феррари, когда решались только явно заданные уравнения с числовыми коэффициентами. Для общей формулы, которая всегда верна, таким образом, нужно выбрать корень кубического уравнения таким образом, что m ≠ 0. Это всегда возможно, за исключением подавленного уравнения y ⁴ = 0 .

Теперь, если m является корнем кубического уравнения, таким, что m ≠ 0 , уравнение ( 1 ) становится

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=\left(y{\sqrt {2m}}-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

Это уравнение имеет вид M ² = N ² , которое можно переписать как M ² − N ² = 0 или ( M + N )( M − N ) = 0 . Следовательно, уравнение ( 1 ) можно переписать как

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m+{\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m-{\sqrt {2m}}y+{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)=0.}$

Это уравнение легко решается путем применения к каждому множителю квадратной формулы . Решая их, мы можем записать четыре корня в виде

${\displaystyle y={\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2},}$

где ± ₁ и ± ₂ обозначают либо +, либо − . Поскольку два появления ± ₁ должны обозначать один и тот же знак, это оставляет четыре возможности, по одной для каждого корня.

Следовательно, решения исходного уравнения четвертой степени имеют вид

${\displaystyle x=-{a_{3} \over 4a_{4}}+{\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2}.}$

Сравнение с общей формулой выше показывает, что √ 2 m = 2 S .

Решение Декарта

Декарт ^[14] ввел в 1637 году метод нахождения корней многочлена четвертой степени путем разложения его на два квадратных многочлена. Пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=(x^{2}+sx+t)(x^{2}+ux+v)\\&=x^{4}+(s+u)x^{3}+(t+v+su)x^{2}+(sv+tu)x+tv\end{aligned}}}$

Приравнивая коэффициенты , получаем следующую систему уравнений:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}b=s+u\\c=t+v+su\\d=sv+tu\\e=tv\end{array}}\right.}$

Это можно упростить, начав снова с подавленной квартики y ⁴ + py ² + qy + r , которую можно получить, подставив y − b /4 вместо x . Поскольку коэффициент при y ³ равен  0 , мы получаем s = − u , и:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p+u^{2}=t+v\\q=u(t-v)\\r=tv\end{array}}\right.}$

Теперь можно исключить и t, и v, выполнив следующие действия:

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}(p+u^{2})^{2}-q^{2}&=u^{2}(t+v)^{2}-u^{2}(t-v)^{2}\\&=u^{2}[(t+v+(t-v))(t+v-(t-v))]\\&=u^{2}(2t)(2v)\\&=4u^{2}tv\\&=4u^{2}r\end{aligned}}}$

Если положить U = u ² , то решение этого уравнения сводится к нахождению корней резольвенты кубической

что сделано в другом месте . Эта резольвентная кубическая эквивалентна резольвентной кубической, приведенной выше (уравнение (1a)), как можно увидеть, подставив U = 2m.

Если u является квадратным корнем ненулевого корня этой резольвенты (такой ненулевой корень существует, за исключением четвертой степени x ⁴ , которая тривиально разлагается),

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}s=-u\\2t=p+u^{2}+q/u\\2v=p+u^{2}-q/u\end{array}}\right.}$

Симметрии в этом решении следующие. Существует три корня кубического уравнения, соответствующие трем способам разложения четвертого уравнения на два квадратных уравнения, а выбор положительных или отрицательных значений u для квадратного корня из U просто меняет местами два квадратных уравнения.

Приведенное выше решение показывает, что многочлен четвертой степени с рациональными коэффициентами и нулевым коэффициентом при кубическом члене разлагается на квадратные члены с рациональными коэффициентами тогда и только тогда, когда либо резольвента кубическая ( 2 ) имеет ненулевой корень, являющийся квадратом рационального числа, либо p2−4r является квадратом рационального числа и q = 0 ; это можно легко проверить с помощью теста ^на рациональные корни . ^[15]

Решение Эйлера

Вариант предыдущего метода принадлежит Эйлеру . ^{[16] [17]} В отличие от предыдущих методов, оба из которых используют некоторый корень резольвенты кубической, метод Эйлера использует их все. Рассмотрим подавленную квартику x ⁴ + px ² + qx + r . Заметим, что если

• х ⁴ + рх ² + qx + r = ( х ² + sx + t )( х ² − sx + v ) ,
• r ₁ и r ₂ являются корнями x ² + sx + t ,
• r ₃ и r ₄ являются корнями x ² − sx + v ,

затем

• корни x ⁴ + px ² + qx + r равны r ₁ , r ₂ , r ₃ и r ₄ ,
• г ₁ + г ₂ = − с ,
• г ₃ + г ₄ = с .

Следовательно, ( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) = − s ² . Другими словами, −( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) является одним из корней резольвентной кубики ( 2 ), и это говорит о том, что корни этой кубики равны −( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) , −( r ₁ + r ₃ )( r ₂ + r ₄ ) и −( r ₁ + r ₄ )( r ₂ + r ₃ ) . Это действительно так и следует из формул Виета . Из формул Виета, а также из того факта, что мы работаем с подавленной квартикой, также следует, что r ₁ + r ₂ + r ₃ + r ₄ = 0 . (Разумеется, это также следует из того факта, что r ₁ + r ₂ + r ₃ + r ₄ = − s + s .) Следовательно, если α , β и γ являются корнями резольвентной кубической функции, то числа r ₁ , r ₂ , r ₃ и r ₄ таковы, что

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\(r_{1}+r_{2})(r_{3}+r_{4})=-\alpha \\(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{4})=-\beta \\(r_{1}+r_{4})(r_{2}+r_{3})=-\gamma {\text{.}}\end{array}}\right.}$

Из первых двух уравнений следует, что r ₁ + r ₂ является квадратным корнем α , а r ₃ + r ₄ является другим квадратным корнем α . По той же причине,

• r ₁ + r ₃ — квадратный корень из β ,
• r ₂ + r ₄ — другой квадратный корень β ,
• r ₁ + r ₄ — квадратный корень из γ ,
• r ₂ + r ₃ — другой квадратный корень γ .

Следовательно, числа r ₁ , r ₂ , r ₃ и r ₄ таковы, что

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\r_{1}+r_{2}={\sqrt {\alpha }}\\r_{1}+r_{3}={\sqrt {\beta }}\\r_{1}+r_{4}={\sqrt {\gamma }}{\text{;}}\end{array}}\right.}$

знак квадратных корней будет рассмотрен ниже. Единственное решение этой системы:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}={\frac {{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{2}={\frac {{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{3}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{4}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}{\text{.}}\end{array}}\right.}$

Поскольку, в общем случае, для каждого квадратного корня существует два выбора, может показаться, что это дает 8 (= 2 ³ ) вариантов выбора для набора { r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ }, но на самом деле это дает не более 2  таких вариантов выбора, поскольку следствием замены одного из квадратных корней симметричным является то, что набор { r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ } становится набором {− r ₁ , − r ₂ , − r ₃ , − r ₄ }.

Чтобы определить правильный знак квадратных корней, просто выбираем некоторый квадратный корень для каждого из чисел α , β , и γ и используем их для вычисления чисел r ₁ , r ₂ , r ₃ , и r ₄ из предыдущих равенств. Затем вычисляем число √ α √ β √ γ . Поскольку α , β , и γ являются корнями ( 2 ), следствием формул Виета является то, что их произведение равно q ² и, следовательно, √ α √ β √ γ = ± q . Но прямое вычисление показывает, что

√ α √ β √ γ = r ₁ r ₂ r ₃ + r ₁ r ₂ r ₄ + r ₁ r ₃ r ₄ + r ₂ r ₃ r ₄ .

Если это число равно − q , то выбор квадратных корней был удачным (опять же, по формулам Виета); в противном случае корни многочлена будут равны − r ₁ , − r ₂ , − r ₃ и − r ₄ , которые являются числами, полученными, если один из квадратных корней заменить симметричным (или, что то же самое, если каждый из трех квадратных корней заменить симметричным).

Этот аргумент предлагает другой способ выбора квадратных корней:

• выберите любой квадратный корень √ α из α и любой квадратный корень √ β из β ;
• Определим √ γ как . ${\displaystyle -{\frac {q}{{\sqrt {\alpha }}{\sqrt {\beta }}}}}$

Конечно, это не будет иметь смысла, если α или β равны 0 , но 0 является корнем ( 2 ) только когда q = 0 , то есть только когда мы имеем дело с биквадратным уравнением, в этом случае существует гораздо более простой подход.

Решение с помощью резольвенты Лагранжа

Симметрическая группа S ₄ на четырех элементах имеет четверную группу Клейна в качестве нормальной подгруппы . Это предполагает использованиеРезольвента кубическая, корни которой могут быть по-разному описаны как дискретное преобразование Фурье илиматрицы Адамаракорней; см.Резольвенты Лагранжадля общего метода. Обозначим через x _i , для i от 0до 3, четыре корня x ⁴ + bx ³ + cx ² + dx + e . Если мы положим

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}),\\[4pt]s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}-x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}-x_{2}+x_{3}),\end{aligned}}}$

тогда, поскольку преобразование является инволюцией, мы можем выразить корни через четыре s _i точно таким же образом. Поскольку мы знаем значение s ₀ = − ⁠б/2⁠ , нам нужны только значения для s ₁ , s ₂ и s ₃ . Это корни многочлена

${\displaystyle (s^{2}-{s_{1}}^{2})(s^{2}-{s_{2}}^{2})(s^{2}-{s_{3}}^{2}).}$

Подставляя вместо s _i их значения в терминах x _i , этот многочлен можно разложить в многочлен по s , коэффициенты которого являются симметричными многочленами по x _i . По фундаментальной теореме о симметричных многочленах эти коэффициенты можно выразить как многочлены по коэффициентам монической квартики. Если для упрощения предположить, что квартика подавлена, то есть b = 0 , то это приводит к многочлену

Этот многочлен имеет шестую степень, но только третью степень по s ² , и поэтому соответствующее уравнение решается методом, описанным в статье о кубической функции . Подставляя корни в выражение x i _через s i _, мы получаем выражение для корней. Фактически мы получаем, по-видимому, несколько выражений, в зависимости от нумерации корней кубического многочлена и знаков, данных их квадратным корням. Все эти различные выражения могут быть выведены из одного из них, просто изменив нумерацию x _i .

Эти выражения излишне сложны, поскольку содержат кубические корни из единицы , которых можно избежать следующим образом. Если s — любой ненулевой корень ( 3 ), и если мы положим

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(x)&=x^{2}+sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}-{\frac {d}{2s}}\\F_{2}(x)&=x^{2}-sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}+{\frac {d}{2s}}\end{aligned}}}$

затем

${\displaystyle F_{1}(x)\times F_{2}(x)=x^{4}+cx^{2}+dx+e.}$

Поэтому мы можем решить квартику, решив ее относительно s , а затем решив корни двух множителей, используя квадратную формулу .

Это дает точно такую ​​же формулу для корней, как и та, которую дает метод Декарта.

Решение с помощью алгебраической геометрии

Существует альтернативное решение, использующее алгебраическую геометрию ^[18]. Вкратце, корни интерпретируются как пересечение двух квадратичных кривых, затем находят три приводимые квадратичные кривые (пары прямых), которые проходят через эти точки (это соответствует резольвенте кубической, пары прямых являются резольвентами Лагранжа), а затем используют эти линейные уравнения для решения квадратного уравнения.

Четыре корня подавленного квартика x ⁴ + px ² + qx + r = 0 также могут быть выражены как x -координаты пересечений двух квадратных уравнений y ² + py + qx + r = 0 и y − x ² = 0, т. е., используя подстановку y = x ² , что два квадратных уравнения пересекаются в четырех точках, является примером теоремы Безу . Явно, четыре точки являются P _i ≔ ( x _i , x _i ² ) для четырех корней x _i квартики.

Эти четыре точки не коллинеарны, поскольку они лежат на неприводимом квадратичном у = х ² и, таким образом, существует однопараметрическое семейство квадратичных уравнений ( пучок кривых ), проходящих через эти точки. Запись проективизации двух квадратичных уравнений в виде квадратичных форм с тремя переменными:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\\F_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}\end{aligned}}}$

пучок задается формами λF ₁ + μF ₂ для любой точки [ λ , μ ] на проективной прямой — другими словами, где λ и μ не являются одновременно нулем, и умножение квадратичной формы на константу не меняет ее квадратичную кривую нулей.

Этот пучок содержит три приводимых квадратичных уравнения, каждое из которых соответствует паре прямых, проходящих через две из четырех точек, что можно сделать  =  6 различными способами. Обозначим их Q ₁ = L ₁₂ + L ₃₄ , Q ₂ = L ₁₃ + L ₂₄ , и Q ₃ = L ₁₄ + L ₂₃ . Если взять любые два из них, их пересечение имеет ровно четыре точки. ${\displaystyle \textstyle {\binom {4}{2}}}$

Приводимые квадратичные уравнения, в свою очередь, могут быть определены путем представления квадратичной формы λF ₁ + μF ₂ в виде матрицы 3×3  : приводимые квадратичные уравнения соответствуют сингулярности этой матрицы, что эквивалентно равенству ее определителя нулю, а определитель является однородным полиномом третьей степени по λ и μ и соответствует резольвенте кубической.

Смотрите также

• Линейная функция  – Линейное отображение или полиномиальная функция первой степени
• Квадратичная функция  – Полиномиальная функция второй степени
• Кубическая функция  – Полиномиальная функция степени 3
• Функция пятой степени  – полиномиальная функция степени 5

Примечания

^α В настоящей статье e используется как переменная , а не как число Эйлера (если не указано иное).

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Quartic Equation". mathworld.wolfram.com . Получено 27 июля 2020 г. .
2. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Лодовико Феррари», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
3. Кардано, Джероламо (1993) [1545], Ars magna или Правила алгебры , Дувр, ISBN 0-486-67811-3
4. Стюарт, Ян, Теория Галуа, Третье издание (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004)
5. "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Первый курс по кривым и поверхностям, стр. 36" (PDF) . math.gatech.edu .
6. Weisstein, Eric W. "Crossed Ladders Problem". mathworld.wolfram.com . Получено 27 июля 2020 г. .
7. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайсам», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
8. MacKay, RJ; Oldford, RW (август 2000), «Научный метод, статистический метод и скорость света», Statistical Science , 15 (3): 254–78, doi : 10.1214/ss/1009212817 , MR  1847825
9. Нейман, Питер М. (1998), «Размышления об отражении в сферическом зеркале», American Mathematical Monthly , 105 (6): 523–528, doi :10.2307/2589403, JSTOR  2589403
10. Шабана, АА (8 декабря 1995 г.). Теория вибрации: Введение. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94524-8.
11. Aude, HTR (1949), «Заметки о кривых четвертой степени», American Mathematical Monthly , 56 (3): 165–170, doi : 10.2307/2305030, JSTOR  2305030
12. Риз, Э. Л. (1922). «Графическое обсуждение корней уравнения четвертой степени». The American Mathematical Monthly . 29 (2): 51–55. doi :10.2307/2972804. JSTOR  2972804.
13. Лазар, Д. (1988). «Устранение квантификатора: оптимальное решение для двух классических примеров». Журнал символических вычислений . 5 (1–2): 261–266. doi : 10.1016/S0747-7171(88)80015-4 .
14. Декарт, Рене (1954) [1637], «Книга III: О построении твердых и сверхтвердых задач», Геометрия Рене Декарта с факсимиле первого издания , Дувр , ISBN 0-486-60068-8, JFM  51.0020.07
15. Брукфилд, Г. (2007). «Разложение многочленов четвертой степени: утраченное искусство» (PDF) . Mathematics Magazine . 80 (1): 67–70. doi :10.1080/0025570X.2007.11953453. S2CID  53375377.
16. ван дер Варден, Бартель Леендерт (1991), «Теория Галуа: уравнения второй, третьей и четвертой степеней», Алгебра , том. 1 (7-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-97424-5, ЗБЛ  0724.12001
17. Эйлер, Леонард (1984) [1765], «О новом методе решения уравнений четвертой степени», Элементы алгебры , Springer-Verlag , ISBN 978-1-4613-8511-0, Збл  0557.01014
18. Faucette, William M. (1996), «Геометрическая интерпретация решения общего многочлена четвертой степени», American Mathematical Monthly , 103 (1): 51–57, doi : 10.2307/2975214, JSTOR  2975214, MR  1369151

Дальнейшее чтение

• Карпентер, В. (1966). «О решении действительной четвертой степени». Mathematics Magazine . 39 (1): 28–30. doi :10.2307/2688990. JSTOR  2688990.
• Якуб, MD; Фрейденрайх, G. (июль 2012 г.). «Решение уравнения четвертой степени». Mathematical Gazette . 96 : 271–275. doi :10.1017/s002555720000454x. S2CID  124512391.

Внешние ссылки

• Формула четвертой степени в виде четырех отдельных уравнений на PlanetMath .
• Достижение Феррари