Функция индикатора

Математическая функция, характеризующая принадлежность множеству

Трехмерный график индикаторной функции, показанный на квадратной двумерной области (множество X ): «приподнятая» часть накладывает те двумерные точки, которые являются членами «указанного» подмножества ( A ).

В математике индикаторная функция или характеристическая функция подмножества множества — это функция , которая отображает элементы подмножества в единицу, а все остальные элементы в ноль. То есть, если A — подмножество некоторого множества X , то если и в противном случае, где — общепринятая нотация для индикаторной функции. Другие общепринятые нотации — и ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ ${\displaystyle I_{A},}$ ${\displaystyle \chi _{A}.}$

Индикаторная функция A — это скобка Айверсона свойства принадлежности к A ; то есть,

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].}$$

Например, функция Дирихле является индикаторной функцией рациональных чисел как подмножества действительных чисел .

Определение

Индикаторная функция подмножества A множества X — это функция

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}}$$

определяется как

1 A ( x ) := { 1 если x ∈ A , 0 если x ∉ A . {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}}

Скобка Айверсона обеспечивает эквивалентную запись, или ⟦ x ∈ A ⟧ , которую следует использовать вместо ${\displaystyle [x\in A]}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)\,.}$

Функцию иногда обозначают I _A , χ _A , K _A , или даже просто A . ^{[a] [b]} ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$

Обозначения и терминология

Обозначение также используется для обозначения характеристической функции в выпуклом анализе , которая определяется так, как если бы использовалась обратная величина стандартного определения индикаторной функции. ${\displaystyle \chi _{A}}$

Связанное понятие в статистике — это понятие фиктивной переменной . (Его не следует путать с «фиктивными переменными», как этот термин обычно используется в математике, также называемой связанной переменной .)

Термин « характеристическая функция » имеет несвязанное значение в классической теории вероятностей . По этой причине традиционные вероятностники используют термин индикаторная функция для функции, определенной здесь, почти исключительно, в то время как математики в других областях более склонны использовать термин характеристическая функция ^[a] для описания функции, которая указывает на принадлежность к множеству.

В нечеткой логике и современной многозначной логике предикаты являются характеристическими функциями распределения вероятностей . То есть строгая оценка истинности/ложности предиката заменяется величиной, интерпретируемой как степень истинности.

Основные свойства

Индикатор или характеристическая функция подмножества A некоторого множества X отображает элементы X в диапазон . ${\displaystyle \{0,1\}}$

Это отображение сюръективно только тогда, когда A — непустое собственное подмножество X. Если то По аналогичному рассуждению, если то ${\displaystyle A\equiv X,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=1.}$ ${\displaystyle A\equiv \emptyset }$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=0.}$

Если и являются двумя подмножествами, то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}&=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}&=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}}$$

а индикаторная функция дополнения ie равна : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{C}}$ $${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.}$$

В более общем смысле, предположим, что это набор подмножеств X. Для любого ${\displaystyle A_{1},\dotsc ,A_{n}}$ ${\displaystyle x\in X:}$

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}$$

очевидно, является произведением 0 и 1. Это произведение имеет значение 1 только в тех случаях, которые не принадлежат ни одному из множеств , и равно 0 в противном случае. То есть ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A_{k}}$

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$$

Развернув продукт с левой стороны,

$${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$$

где — мощность F. Это одна из форм принципа включения -исключения . ${\displaystyle |F|}$

Как следует из предыдущего примера, индикаторная функция является полезным устройством обозначения в комбинаторике . Эта нотация используется и в других местах, например, в теории вероятностей : если X — вероятностное пространство с вероятностной мерой , а A — измеримое множество , то становится случайной величиной, чье ожидаемое значение равно вероятности A : ${\displaystyle \operatorname {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$

$${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\operatorname {P} =\int _{A}d\operatorname {P} =\operatorname {P} (A).}$$

Это тождество используется в простом доказательстве неравенства Маркова .

Во многих случаях, таких как теория порядка , может быть определена обратная функция индикатора. Это обычно называется обобщенной функцией Мёбиуса , как обобщение обратной функции индикатора в элементарной теории чисел , функции Мёбиуса . (См. параграф ниже об использовании обратной функции в классической теории рекурсии.)

Среднее значение, дисперсия и ковариация

Дано вероятностное пространство с индикатором случайной величины , определяемой как если в противном случае ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=1}$ ${\displaystyle \omega \in A,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=0.}$

Иметь в виду

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)}$ (также называется «Фундаментальный мост»).

Дисперсия

${\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))}$

Ковариация

${\displaystyle \operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)}$

Характеристическая функция в теории рекурсии, представляющая функция Гёделя и Клини

Курт Гёдель описал представляющую функцию в своей статье 1934 года «О неразрешимых предложениях формальных математических систем» («¬» обозначает логическую инверсию, т.е. «НЕ»): ^{[1] : 42}

Каждому классу или отношению R будет соответствовать представляющая функция , если и если ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=0}$ ${\displaystyle R(x_{1},\ldots x_{n})}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=1}$ ${\displaystyle \neg R(x_{1},\ldots x_{n}).}$

Клини предлагает то же самое определение в контексте примитивных рекурсивных функций , поскольку функция φ предиката P принимает значения 0 , если предикат истинен, и 1 , если предикат ложен. ^[2]

Например, поскольку произведение характеристических функций всякий раз, когда любая из функций равна 0 , оно играет роль логического ИЛИ: IF OR OR ... OR THEN их произведение равно 0. То, что представляется современному читателю как логическая инверсия представляющей функции, т. е. представляющая функция равна 0 , когда функция R является «истинной» или удовлетворенной», играет полезную роль в определении Клини логических функций OR, AND и IMPLY, ^{[2] : 228} ограниченных- ^{[2] : 228} и неограниченных- ^{[2] : 279} операторов ff mu и функции CASE. ^{[2] : 229} ${\displaystyle \phi _{1}*\phi _{2}*\cdots *\phi _{n}=0}$ ${\displaystyle \phi _{1}=0}$ ${\displaystyle \phi _{2}=0}$ ${\displaystyle \phi _{n}=0}$

Характеристическая функция в теории нечетких множеств

В классической математике характеристические функции множеств принимают только значения 1 (члены) или 0 (не члены). В теории нечетких множеств характеристические функции обобщаются так, чтобы принимать значение в реальном единичном интервале [0, 1] или, в более общем смысле, в некоторой алгебре или структуре (обычно требуется, чтобы они были по крайней мере частично упорядоченным множеством или решеткой ). Такие обобщенные характеристические функции чаще называются функциями принадлежности , а соответствующие «множества» называются нечеткими множествами. Нечеткие множества моделируют постепенное изменение степени принадлежности, наблюдаемое во многих реальных предикатах, таких как «высокий», «теплый» и т. д.

Гладкость

В общем случае индикаторная функция множества не является гладкой; она непрерывна тогда и только тогда, когда ее носитель является связной компонентой . Однако в алгебраической геометрии конечных полей каждое аффинное многообразие допускает непрерывную ( по Зарисскому ) индикаторную функцию. ^[3] Для данного конечного множества функций пусть будет их локусом исчезновения. Тогда функция действует как индикаторная функция для . Если то , в противном случае для некоторого , имеем , что подразумевает, что , следовательно . ${\displaystyle f_{\alpha }\in \mathbb {F} _{q}[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle V=\left\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}:f_{\alpha }(x)=0\right\}}$ ${\textstyle P(x)=\prod \left(1-f_{\alpha }(x)^{q-1}\right)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle P(x)=1}$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle f_{\alpha }(x)\neq 0}$ ${\displaystyle f_{\alpha }(x)^{q-1}=1}$ ${\displaystyle P(x)=0}$

Хотя индикаторные функции не являются гладкими, они допускают слабые производные . Например, рассмотрим ступенчатую функцию Хевисайда. Распределительная производная ступенчатой ​​функции Хевисайда равна дельта-функции Дирака , т.е. и аналогично распределительная производная равна $${\displaystyle H(x):=\mathbf {1} _{x>0}}$$ $${\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)}$$ $${\displaystyle G(x):=\mathbf {1} _{x<0}}$$ $${\displaystyle {\frac {dG(x)}{dx}}=-\delta (x)}$$

Таким образом, производная ступенчатой ​​функции Хевисайда может рассматриваться как внутренняя нормальная производная на границе области, заданной положительной полупрямой. В более высоких измерениях производная естественным образом обобщается до внутренней нормальной производной, в то время как ступенчатая функция Хевисайда естественным образом обобщается до индикаторной функции некоторой области D. Поверхность D будет обозначаться как S. Продолжая, можно вывести, что внутренняя нормальная производная индикатора приводит к «поверхностной дельта-функции», которая может быть обозначена как : где n — внешняя нормаль поверхности S. Эта «поверхностная дельта-функция» обладает следующим свойством: ^[4] ${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}}$$ $${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}\;d^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;d^{n-1}\mathbf {\beta } .}$$

Приравнивая функцию f к единице, получаем, что внутренняя нормальная производная индикатора интегрируется до численного значения площади поверхности S.

Смотрите также

• Мера Дирака
• Лапласиан индикатора
• дельта Дирака
• Расширение (логика предикатов)
• Свободные переменные и связанные переменные
• Ступенчатая функция Хевисайда
• Функция идентичности
• скобка Айверсона
• Дельта Кронекера — функция, которую можно рассматривать как индикатор тождественного отношения
• скобки Маколея
• Мультисет
• Функция членства
• Простая функция
• Фиктивная переменная (статистика)
• Статистическая классификация
• Функция потерь «ноль-один»

Примечания

1. Греческая буква χ появляется потому, что она является начальной буквой греческого слова χαρακτήρ , которое является первоисточником слова характеристика .
2. Множество всех индикаторных функций на X можно отождествить с множеством мощности X. Следовательно , оба множества иногда обозначаются как Это частный случай ( ) обозначения для множества всех функций ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$ ${\displaystyle 2^{X}.}$ ${\displaystyle Y=\{0,1\}=2}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

Ссылки

1. Дэвис, Мартин , ред. (1965). Неразрешимое . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Raven Press Books. С. 41–74.
2. Клини, Стивен (1971) [1952]. Введение в метаматематику (шестое переиздание, с исправлениями ред.). Нидерланды: Wolters-Noordhoff Publishing и North Holland Publishing Company. стр. 227.
3. Серр. Курс арифметики . стр. 5.
4. Ланге, Рутгер-Ян (2012). «Теория потенциала, интегралы по траекториям и Лапласиан индикатора». Журнал физики высоких энергий . 2012 (11): 29–30. arXiv : 1302.0864 . Bibcode : 2012JHEP...11..032L. doi : 10.1007/JHEP11(2012)032. S2CID  56188533.

Источники

• Фолланд, ГБ (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (второе издание). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
• Cormen, Thomas H. ; Leiserson, Charles E. ; Rivest, Ronald L. ; Stein, Clifford (2001). "Раздел 5.2: Индикаторные случайные величины". Введение в алгоритмы (Второе изд.). MIT Press и McGraw-Hill. стр. 94–99. ISBN 978-0-262-03293-3.
• Дэвис, Мартин , ред. (1965). Неразрешимое . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Raven Press Books.
• Клини, Стивен (1971) [1952]. Введение в метаматематику (шестое переиздание, с исправлениями ред.). Нидерланды: Wolters-Noordhoff Publishing и North Holland Publishing Company.
• Булос, Джордж ; Берджесс, Джон П.; Джеффри , Ричард К. (2002). Вычислимость и логика . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00758-0.
• Заде, LA (июнь 1965). «Нечеткие множества». Информация и управление . 8 (3). Сан-Диего: 338–353. doi : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . ISSN  0019-9958. Zbl  0139.24606. Wikidata  Q25938993.
• Goguen, Joseph (1967). " L -нечеткие множества". Журнал математического анализа и приложений . 18 (1): 145–174. doi :10.1016/0022-247X(67)90189-8. hdl : 10338.dmlcz/103980 .