Характерный класс

Ассоциация классов когомологий с главными расслоениями

В математике характеристический класс — это способ связать с каждым главным расслоением X класс когомологий X. Класс когомологий измеряет степень, в которой расслоение «скручено», и обладает ли оно секциями . Характеристические классы — это глобальные инварианты , которые измеряют отклонение локальной структуры произведения от глобальной структуры произведения. Они являются одним из объединяющих геометрических понятий в алгебраической топологии , дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии .

Понятие характеристического класса возникло в 1935 году в работе Эдуарда Штифеля и Хасслера Уитни о векторных полях на многообразиях.

Определение

Пусть G — топологическая группа , а для топологического пространства запишем множество классов изоморфизма главных G -расслоений над . Это контравариантный функтор из Top ( категория топологических пространств и непрерывных функций ) в Set (категория множеств и функций ), отправляющий отображение в операцию обратного проецирования . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{G}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{G}}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}\colon b_{G}(Y)\to b_{G}(X)}$

Характеристический класс c главных G -расслоений тогда является естественным преобразованием из в функтор когомологии , рассматриваемый также как функтор в Set . ${\displaystyle b_{G}}$ ${\displaystyle H^{*}}$

Другими словами, характеристический класс сопоставляется каждому главному G -расслоению в элементе c ( P ) в H *( X ) такому, что если f  : Y → X — непрерывное отображение, то c ( f * P ) = f * c ( P ). Слева — класс обратного образа P в Y ; справа — образ класса P при индуцированном отображении в когомологиях. ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle b_{G}(X)}$

Характерные числа

Характеристические классы являются элементами групп когомологий; ^[1] можно получить целые числа из характеристических классов, называемых характеристическими числами . Некоторые важные примеры характеристических чисел — это числа Штифеля–Уитни , числа Черна , числа Понтрягина и характеристика Эйлера .

Для ориентированного многообразия M размерности n с фундаментальным классом и G -расслоения с характеристическими классами можно связать произведение характеристических классов полной степени n с фундаментальным классом. Количество различных характеристических чисел равно количеству мономов степени n в характеристических классах или, что эквивалентно, разбиений n на . ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M)}$ ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle {\mbox{deg}}\,c_{i}}$

Формально, если , то соответствующее характеристическое число равно: ${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{l}}$ ${\displaystyle \sum {\mbox{deg}}\,c_{i_{j}}=n}$

${\displaystyle c_{i_{1}}\smile c_{i_{2}}\smile \dots \smile c_{i_{l}}([M])}$

где обозначает произведение чашек классов когомологий. Они обозначаются по-разному либо как произведение характеристических классов, например , либо с помощью некоторых альтернативных обозначений, например, для числа Понтрягина, соответствующего , или для характеристики Эйлера. ${\displaystyle \smile }$ ${\displaystyle c_{1}^{2}}$ ${\displaystyle P_{1,1}}$ ${\displaystyle p_{1}^{2}}$ ${\displaystyle \chi }$

С точки зрения когомологий де Рама можно взять дифференциальные формы , представляющие характеристические классы, ^[2] взять клиновое произведение так, чтобы получить форму высшей размерности, а затем проинтегрировать по многообразию; это аналогично взятию произведения в когомологиях и сопряжению с фундаментальным классом.

Это также работает для неориентируемых многообразий, имеющих -ориентацию , в этом случае получаются -значные характеристические числа, такие как числа Штифеля-Уитни. ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

Характеристические числа решают вопросы ориентированного и неориентированного бордизма : два многообразия (соответственно ориентированные или неориентированные) кобордантны тогда и только тогда, когда их характеристические числа равны.

Мотивация

Характеристические классы являются явлениями теории когомологий в существенном смысле — они являются контравариантными конструкциями, в том смысле, в котором сечение является своего рода функцией на пространстве, и чтобы привести к противоречию из существования сечения, нам нужна эта дисперсия. Фактически, теория когомологий выросла после гомологии и теории гомотопии , которые обе являются ковариантными теориями, основанными на отображении в пространство; и характеристическая теория классов в ее младенчестве в 1930-х годах (как часть теории препятствий ) была одной из основных причин, по которой искали «дуальную» теорию к гомологии. Подход характеристического класса к инвариантам кривизны был особой причиной для создания теории, для доказательства общей теоремы Гаусса–Бонне .

Когда теория была поставлена ​​на организованную основу около 1950 года (с определениями, сведенными к гомотопической теории), стало ясно, что самые фундаментальные характеристические классы, известные в то время ( класс Штифеля–Уитни , класс Черна и классы Понтрягина ), были отражениями классических линейных групп и их максимальной торической структуры. Более того, сам класс Черна не был таким уж новым, поскольку был отражен в исчислении Шуберта на грассманианах и работах итальянской школы алгебраической геометрии . С другой стороны, теперь существовала структура, которая производила семейства классов всякий раз, когда имело место векторное расслоение .

Тогда первичный механизм, по-видимому, был таким: дано пространство X , несущее векторное расслоение, которое подразумевает в гомотопической категории отображение из X в классифицирующее пространство BG для соответствующей линейной группы G. Для гомотопической теории соответствующая информация переносится компактными подгруппами, такими как ортогональные группы и унитарные группы G. Как только когомологии были вычислены, раз и навсегда, свойство контравариантности когомологий означало, что характеристические классы для расслоения будут определены в в тех же измерениях. Например, класс Черна на самом деле является одним классом с градуированными компонентами в каждом четном измерении. ${\displaystyle H^{*}(BG)}$ ${\displaystyle H^{*}(X)}$

Это по-прежнему классическое объяснение, хотя в данной геометрической теории полезно учитывать дополнительную структуру. Когда когомологии стали «экстраординарными» с появлением K-теории и теории кобордизмов с 1955 года, на самом деле нужно было только изменить букву H везде, чтобы указать, какие характеристические классы были.

Позднее были найдены характеристические классы для слоений многообразий ; они имеют (в модифицированном смысле , для слоений с некоторыми разрешенными особенностями) классификационную теорию пространства в теории гомотопий .

В более поздних работах после сближения математики и физики новые характеристические классы были найдены Саймоном Дональдсоном и Дитером Кочиком в теории инстантонов . Работа и точка зрения Черна также оказались важными: см. теорию Черна–Саймонса .

Стабильность

На языке стабильной теории гомотопий класс Черна , класс Штифеля–Уитни и класс Понтрягина являются стабильными , тогда как класс Эйлера является нестабильным .

Конкретно, стабильный класс — это класс, который не меняется при добавлении тривиального расслоения: . Более абстрактно, это означает, что класс когомологий в классифицирующем пространстве для вытягивается из класса когомологий в при включении (что соответствует включению и подобному). Эквивалентно, все конечные характеристические классы вытягиваются из стабильного класса в . ${\displaystyle c(V\oplus 1)=c(V)}$ ${\displaystyle BG(n)}$ ${\displaystyle BG(n+1)}$ ${\displaystyle BG(n)\to BG(n+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle BG}$

Это не относится к классу Эйлера, как подробно описано там, не в последнюю очередь потому, что класс Эйлера k -мерного расслоения существует в (следовательно, выводится из , поэтому он не может выводится из класса в , поскольку измерения различаются). ${\displaystyle H^{k}(X)}$ ${\displaystyle H^{k}(BO(k))}$ ${\displaystyle H^{k+1}}$

Смотрите также

• класс Сегре
• Эйлерова характеристика
• класс Черна

Примечания

1. Неформально, характеристические классы «живут» в когомологиях.
2. По теории Черна–Вейля это полиномы по кривизне; по теории Ходжа можно принять гармоническую форму.

Ссылки

• Черн, Шиинг-Шен (1995). Комплексные многообразия без теории потенциала . Springer-Verlag Press. ISBN 0-387-90422-0. ISBN  3-540-90422-0 .

  Приложение к этой книге: «Геометрия характеристических классов» представляет собой очень четкое и глубокое введение в развитие идей характеристических классов.

• Хэтчер, Аллен , Векторные расслоения и К-теория
• Husemoller, Dale (1966). Пучки волокон (3-е издание, Springer 1993 ред.). McGraw Hill. ISBN 0387940871.
• Милнор, Джон В.; Сташефф , Джим (1974). Характерные классы . Annals of Mathematics Studies. Том 76. Princeton University Press , Принстон, Нью-Джерси; University of Tokyo Press , Токио. ISBN 0-691-08122-0.