В геометрии гомотетический центр ( также называемый центром подобия или центром подобия ) — это точка, из которой по крайней мере две геометрически подобные фигуры могут рассматриваться как расширение или сужение друг друга. Если центр внешний , то две фигуры непосредственно подобны друг другу; их углы имеют одинаковое направление вращения. Если центр внутренний , то две фигуры являются масштабированными зеркальными отображениями друг друга; их углы имеют противоположное направление.
Если две геометрические фигуры обладают гомотетическим центром, они подобны друг другу; другими словами, они должны иметь одинаковые углы в соответствующих точках и отличаться только своим относительным масштабом. Гомотетический центр и две фигуры не обязательно должны лежать в одной плоскости; они могут быть связаны проекцией из гомотетического центра.
Гомотетичные центры могут быть внешними или внутренними. Если центр внутренний, то две геометрические фигуры являются масштабированными зеркальными отображениями друг друга; на техническом языке они имеют противоположную хиральность . Угол по часовой стрелке в одной фигуре будет соответствовать углу против часовой стрелки в другой. И наоборот, если центр внешний, то две фигуры непосредственно подобны друг другу; их углы имеют одинаковый смысл.
Окружности геометрически подобны друг другу и зеркально симметричны. Следовательно, пара окружностей имеет оба типа центров гомеотетики, внутренний и внешний, если только центры не равны или радиусы не равны; эти исключительные случаи рассматриваются после общего положения . Эти два центра гомеотетики лежат на линии, соединяющей центры двух данных окружностей, которая называется линией центров (рисунок 3). Окружности с радиусом ноль также могут быть включены (см. исключительные случаи), и отрицательный радиус также может быть использован, меняя внешний и внутренний.
Для данной пары окружностей внутренние и внешние гомотетические центры могут быть найдены различными способами. В аналитической геометрии внутренний гомотетический центр является средневзвешенным значением центров окружностей, взвешенным радиусом противоположной окружности – расстояние от центра окружности до внутреннего центра пропорционально этому радиусу, поэтому вес пропорционален противоположному радиусу . Обозначая центры окружностей C 1 , C 2 через ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) и их радиусы через r 1 , r 2 и обозначая центр через ( x 0 , y 0 ) , это: Внешний центр можно вычислить с помощью того же уравнения, но считая один из радиусов отрицательным; любой из них дает одно и то же уравнение, которое выглядит так: В более общем смысле, взятие обоих радиусов с одинаковым знаком (оба положительные или оба отрицательные) дает внутренний центр, в то время как взятие радиусов с противоположными знаками (один положительный, а другой отрицательный) дает внешний центр. Обратите внимание, что уравнение для внутреннего центра справедливо для любых значений (если только оба радиуса не равны нулю или один не является отрицательным по отношению к другому), но уравнение для внешнего центра требует, чтобы радиусы были разными, в противном случае оно подразумевает деление на ноль.
В синтетической геометрии проводятся два параллельных диаметра, по одному для каждой окружности; они образуют тот же угол α с линией центров. Прямые A 1 A 2 , B 1 B 2 , проведенные через соответствующие концы этих радиусов, которые являются гомологичными точками, пересекают друг друга и линию центров во внешнем гомотетическом центре. Наоборот, прямые A 1 B 2 , B 1 A 2 , проведенные через одну конечную точку и противоположную конечную точку ее ответной части, пересекают друг друга и линию центров во внутреннем гомотетическом центре.
В качестве предельного случая этой конструкции, прямая, касательная к обеим окружностям (бикасательная прямая), проходит через один из центров гомеотезии, поскольку она образует прямые углы с обоими соответствующими диаметрами, которые, таким образом, параллельны; см. касательные к двум окружностям для получения подробной информации. Если окружности лежат по разные стороны от прямой, она проходит через внутренний центр гомеотезии, как в A 2 B 1 на рисунке выше. И наоборот, если окружности лежат по одну сторону от прямой, она проходит через внешний центр гомеотезии (не изображен).
Если окружности имеют одинаковый радиус (но разные центры), то они не имеют внешнего гомотетического центра в аффинной плоскости : в аналитической геометрии это приводит к делению на ноль, тогда как в синтетической геометрии прямые A 1 A 2 , B 1 B 2 параллельны линии центров (как для секущих, так и для бикасательных прямых) и, таким образом, не имеют пересечения. Внешний центр можно определить в проективной плоскости как точку на бесконечности, соответствующую наклону этой прямой. Это также предел внешнего центра, если центры окружностей фиксированы, а радиусы изменяются до тех пор, пока они не станут равными.
Если окружности имеют один и тот же центр, но разные радиусы, то и внешний, и внутренний совпадают с общим центром окружностей. Это видно из аналитической формулы, и это также предел двух гомотетических центров, поскольку центры двух окружностей изменяются до тех пор, пока они не совпадут, сохраняя радиусы равными. Однако линии центров нет, и синтетическое построение терпит неудачу, поскольку две параллельные линии совпадают.
Если один радиус равен нулю, а другой отличен от нуля (точка и окружность), то и внешний, и внутренний центр совпадают с точкой (центром окружности с нулевым радиусом).
Если две окружности идентичны (один и тот же центр, одинаковый радиус), внутренний центр является их общим центром, но нет четко определенного внешнего центра – собственно, функция из пространства параметров двух окружностей на плоскости к внешнему центру имеет неустранимый разрыв на геометрическом месте идентичных окружностей. В пределе двух окружностей с одинаковым радиусом, но разными центрами, движущихся к тому, чтобы иметь один и тот же центр, внешний центр является точкой на бесконечности, соответствующей наклону линии центров, который может быть любым, поэтому не существует предела для всех возможных пар таких окружностей.
Наоборот, если оба радиуса равны нулю (две точки), но точки различны, то внешний центр можно определить как точку на бесконечности, соответствующую наклону линии центров, но четко определенного внутреннего центра не существует.
В общем случае, прямая, проходящая через гомотетический центр, пересекает каждую из ее окружностей в двух местах. Из этих четырех точек две называются гомологичными, если проведенные к ним радиусы образуют один и тот же угол с линией, соединяющей центры; например, точки Q, Q' на рисунке 4. Точки, которые лежат на одной прямой относительно гомотетического центра, но не являются гомологичными, называются антигомологичными ; [ 1] например, точки Q, P' на рисунке 4.
Когда два луча из одного и того же центра подобия пересекают окружности, каждый набор антигомологичных точек лежит на окружности.
Рассмотрим треугольники △ EQS , △ EQ'S' (рисунок 4).
Они подобны, потому что ,
поскольку E является гомотетичным центром. Из этого подобия следует, что
По теореме о вписанном угле ,
Поскольку ∠ QSR' является дополнительным к ∠ ESQ ,
В четырехугольнике QSR'P' ,
что означает, что он может быть вписан в окружность . Из теоремы о секущей следует, что
Таким же образом можно показать, что PRS'Q' может быть вписан в окружность и
Доказательство аналогично для внутреннего гомотетического центра I : Отрезок RQ' виден под тем же углом из P и S' , что означает, что R, P, S', Q' лежат на окружности. Тогда из теоремы о пересекающихся хордах , Аналогично QSP'R' можно вписать в окружность и
Две окружности имеют радикальную ось , которая является линией точек, из которых касательные к обеим окружностям имеют одинаковую длину. В более общем смысле, каждая точка на радикальной оси обладает тем свойством, что ее мощности относительно окружностей равны. Радикальная ось всегда перпендикулярна линии центров, и если две окружности пересекаются, их радикальная ось является линией, соединяющей их точки пересечения. Для трех окружностей можно определить три радикальные оси, по одной для каждой пары окружностей ( C 1 / C 2 , C 1 / C 3 , C 2 / C 3 ); примечательно, что эти три радикальные оси пересекаются в одной точке, радикальном центре . Касательные, проведенные из радикального центра к трем окружностям, будут иметь одинаковую длину.
Любые две пары антигомологичных точек можно использовать для нахождения точки на радикальной оси. Рассмотрим два луча, исходящие из внешнего гомотетического центра E на рисунке 4. Эти лучи пересекают две заданные окружности (зеленую и синюю на рисунке 4) в двух парах антигомологичных точек, Q, P' для первого луча и S, R' для второго луча. Эти четыре точки лежат на одной окружности, которая пересекает обе заданные окружности. По определению, линия QS является радикальной осью новой окружности с зеленой заданной окружностью, тогда как линия P'R' является радикальной осью новой окружности с синей заданной окружностью. Эти две линии пересекаются в точке G , которая является радикальным центром новой окружности и двух заданных окружностей. Следовательно, точка G также лежит на радикальной оси двух заданных окружностей.
Для каждой пары антигомологичных точек двух окружностей существует третья окружность, которая касается данных и касается их в антигомологичных точках.
Обратное также верно — каждая окружность, касающаяся двух других окружностей, касается их в паре антигомологичных точек.
Пусть наши две окружности имеют центры O 1 , O 2 (рисунок 5). E — их внешний центр гомеотезии. Построим произвольный луч из E , который пересекает две окружности в точках P, Q, P' и Q' . Продлим O 1 Q , O 2 P' до пересечения в точке T 1 . Легко доказать, что треугольники △ O 1 PQ , △ O 2 P'Q' подобны из-за гомотетии . Они также равнобедренные, поскольку ( радиус ), поэтому Таким образом , △ T 1 P'Q также равнобедренный, и можно построить окружность с центром T 1 и радиусом Эта окружность касается двух данных окружностей в точках Q, P' .
Доказательство для другой пары антигомологичных точек ( P, Q' ), а также в случае внутреннего гомотетического центра аналогично.
Если построить касательные окружности для каждой возможной пары антигомологичных точек, то получим два семейства окружностей — по одному для каждого гомотетического центра. Семейство окружностей внешнего гомотетического центра таково, что каждая касательная окружность либо содержит обе заданные окружности, либо ни одной (рисунок 6). С другой стороны, окружности из другого семейства всегда содержат только одну из заданных окружностей (рисунок 7).
Все окружности из касательного семейства имеют общий радикальный центр, и он совпадает с гомотетическим центром.
Чтобы показать это, рассмотрим два луча из гомотетического центра, пересекающие данные окружности (рисунок 8). Существуют две касательные окружности T 1 , T 2 , которые касаются данных окружностей в антигомологических точках. Как мы уже показали, эти точки лежат на окружности C и, таким образом, два луча являются радикальными осями для C / T 1 , C / T 2 . Тогда точка пересечения двух радикальных осей также должна принадлежать радикальной оси T 1 / T 2 . Эта точка пересечения является гомотетическим центром E .
Если две касательные окружности касаются коллинеарных пар антигомологичных точек — как на рисунке 5 — то из-за гомотетии мощности E относительно двух касательных окружностей равны, что означает, что E принадлежит радикальной оси.
Любая пара окружностей имеет два центра подобия, поэтому три окружности будут иметь шесть центров подобия, по два для каждой отдельной пары данных окружностей. Примечательно, что эти шесть точек лежат на четырех прямых, по три точки на каждой прямой. Вот один из способов показать это.
Рассмотрим плоскость трех окружностей (рисунок 9). Сместим каждую центральную точку перпендикулярно плоскости на расстояние, равное соответствующему радиусу. Центры могут быть смещены в любую сторону от плоскости. Три смещенные точки определяют одну плоскость. В этой плоскости мы строим три прямые через каждую пару точек. Прямые пронзают плоскость окружностей в точках H AB , H BC , H AC . Поскольку геометрическое место точек, общих для двух различных и непараллельных плоскостей, является прямой, то эти три точки обязательно лежат на такой прямой. Из подобия треугольников △ H AB AA', △ H AB BB' мы видим, что
(где r A , r B — радиусы окружностей) и, таким образом, H AB фактически является гомотетичным центром соответствующих двух окружностей. Мы можем сделать то же самое для H BC и H AC .
Повторение вышеописанной процедуры для различных комбинаций центров подобия (в нашем методе это определяется стороной, в которую мы смещаем центры окружностей) даст в общей сложности четыре линии — по три центра подобия на каждой линии (рисунок 10).
Вот еще один способ доказать это.
Пусть C 1 , C 2 — сопряженная пара окружностей, касающихся всех трех данных окружностей (рисунок 11). Под сопряжением мы подразумеваем, что обе касательные окружности принадлежат одному и тому же семейству относительно любой из данных пар окружностей. Как мы уже видели, радикальная ось любых двух касательных окружностей из одного и того же семейства проходит через гомотетический центр двух данных окружностей. Поскольку касательные окружности являются общими для всех трех пар данных окружностей, то их гомотетические центры все принадлежат радикальной оси C 1 , C 2 , например, они лежат на одной прямой.
Это свойство используется в общем решении Жозефа Диаса Жергонна проблемы Аполлония . При наличии трех окружностей можно найти гомотетичные центры и, таким образом, радикальную ось пары окружностей решения. Конечно, существует бесконечно много окружностей с одной и той же радикальной осью, поэтому проводится дополнительная работа, чтобы выяснить, какие именно две окружности являются решением.
