Разложение дробной части

Рациональные дроби как суммы простых членов

В алгебре разложение дроби на простые дроби или расширение дроби на простые дроби рациональной дроби (то есть дроби , у которой числитель и знаменатель являются многочленами ) — это операция, которая состоит в выражении дроби в виде суммы многочлена (возможно, нуля) и одной или нескольких дробей с более простым знаменателем. ^[1]

Важность разложения на простые дроби заключается в том, что оно предоставляет алгоритмы для различных вычислений с рациональными функциями , включая явное вычисление первообразных , ^[2] разложения в ряд Тейлора , обратные Z-преобразования и обратные преобразования Лапласа . Эта концепция была открыта независимо в 1702 году Иоганном Бернулли и Готфридом Лейбницем . ^[3]

В символах дробное разложение рациональной дроби вида , где f и g — многочлены, представляет собой выражение рациональной дроби в виде ${\textstyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$

$${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=p(x)+\sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}}$$

где p ( x ) — многочлен, и для каждого j знаменатель g _j ( x ) — степень неприводимого многочлена ( т.е. не разлагаемого на многочлены положительных степеней), а числитель f _j ( x ) — многочлен меньшей степени , чем степень этого неприводимого многочлена.

Когда задействованы явные вычисления, часто предпочитают более грубое разложение, которое состоит из замены "неприводимого многочлена" на " многочлен без квадратов " в описании результата. Это позволяет заменить факторизацию многочлена на гораздо более простую для вычисления факторизацию без квадратов . Этого достаточно для большинства приложений и позволяет избежать введения иррациональных коэффициентов , когда коэффициенты входных многочленов являются целыми или рациональными числами .

Основные принципы

Пусть — рациональная дробь , где F и G — одномерные многочлены относительно неопределенной x над полем. Существование дроби можно доказать, применяя индуктивно следующие шаги редукции. $${\displaystyle R(x)={\frac {F}{G}}}$$

Полиномиальная часть

Существуют два многочлена E и F ₁ такие, что и где обозначает степень многочлена P . $${\displaystyle {\frac {F}{G}}=E+{\frac {F_{1}}{G}},}$$ $${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G,}$$ ${\displaystyle \deg P}$

Это непосредственно следует из евклидова деления F на G , которое утверждает существование E и F ₁ таких, что и ${\displaystyle F=EG+F_{1}}$ ${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G.}$

Это позволяет предположить на следующих этапах, что ${\displaystyle \deg F<\deg G.}$

Множители знаменателя

Если и где G ₁ и G ₂ — взаимно простые многочлены , то существуют многочлены и такие, что и ${\displaystyle \deg F<\deg G,}$ $${\displaystyle G=G_{1}G_{2},}$$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ $${\displaystyle {\frac {F}{G}}={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}},}$$ $${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G_{1}\quad {\text{and}}\quad \deg F_{2}<\deg G_{2}.}$$

Это можно доказать следующим образом. Тождество Безу утверждает существование многочленов C и D таких, что (по предположению, 1 является наибольшим общим делителем G 1 _и G 2 ₎ . $${\displaystyle CG_{1}+DG_{2}=1}$$

Пусть будет евклидовым делением дроби DF на Приводя получаем Осталось показать, что Приводя последнюю сумму дробей к общему знаменателю, получаем и, таким образом, ${\displaystyle DF=G_{1}Q+F_{1}}$ ${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G_{1}}$ ${\displaystyle G_{1}.}$ ${\displaystyle F_{2}=CF+QG_{2},}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F}{G}}&={\frac {F(CG_{1}+DG_{2})}{G_{1}G_{2}}}={\frac {DF}{G_{1}}}+{\frac {CF}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}+G_{1}Q}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}-G_{2}Q}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \deg F_{2}<\deg G_{2}.}$ ${\displaystyle F=F_{2}G_{1}+F_{1}G_{2},}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\deg F_{2}&=\deg(F-F_{1}G_{2})-\deg G_{1}\leq \max(\deg F,\deg(F_{1}G_{2}))-\deg G_{1}\\&<\max(\deg G,\deg(G_{1}G_{2}))-\deg G_{1}=\deg G_{2}\end{aligned}}}$$

Степени в знаменателе

Используя предыдущее разложение индуктивно, получаем дроби вида с где G — неприводимый многочлен . Если k > 1 , можно разложить дальше, используя, что неприводимый многочлен является многочленом без квадратов , то есть является наибольшим общим делителем многочлена и его производной . Если — производная G , тождество Безу дает многочлены C и D такие, что и таким образом евклидово деление на дает многочлены и такие, что и Задавая, получаем с ${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}},}$ ${\displaystyle \deg F<\deg G^{k}=k\deg G,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle CG+DG'=1}$ ${\displaystyle F=FCG+FDG'.}$ ${\displaystyle FDG'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle FDG'=QG+H_{k}}$ ${\displaystyle \deg H_{k}<\deg G.}$ ${\displaystyle F_{k-1}=FC+Q,}$ $${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}}={\frac {H_{k}}{G^{k}}}+{\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}},}$$ ${\displaystyle \deg H_{k}<\deg G.}$

Повторение этого процесса с использованием вместо в в конечном итоге приводит к следующей теореме. ${\displaystyle {\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}}}$ ${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}}}$

Заявление

Теорема  —  Пусть f и g — ненулевые многочлены над полем K. Запишите g как произведение степеней различных неприводимых многочленов: $${\displaystyle g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}.}$$

Существуют (единственные) многочлены b и a _ij с deg a _ij < deg p _i такие, что $${\displaystyle {\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{i}}{\frac {a_{ij}}{p_{i}^{j}}}.}$$

Если степень f < степень g , то b = 0 .

Единственность может быть доказана следующим образом. Пусть d = max(1 + deg f , deg g ) . Все вместе b и a _ij имеют d коэффициентов. Форма разложения определяет линейное отображение из векторов коэффициентов в многочлены f степени меньше d . Доказательство существования означает, что это отображение сюръективно . Поскольку два векторных пространства имеют одинаковую размерность, отображение также инъективно , что означает единственность разложения. Кстати, это доказательство индуцирует алгоритм для вычисления разложения через линейную алгебру .

Если K — поле комплексных чисел , то основная теорема алгебры подразумевает, что все p _i имеют степень один, а все числители являются константами. Когда K — поле действительных чисел , некоторые из p _i могут быть квадратичными, поэтому в разложении на простые дроби могут также встречаться частные линейных многочленов по степеням квадратичных многочленов. ${\displaystyle a_{ij}}$

В предыдущей теореме можно заменить «различные неприводимые многочлены» на « попарно взаимно простые многочлены, которые взаимно просты со своей производной». Например, p _i могут быть множителями факторизации без квадратов g . Когда K — поле рациональных чисел , как это обычно бывает в компьютерной алгебре , это позволяет заменить факторизацию вычислением наибольшего общего делителя для вычисления разложения дроби.

Применение к символической интеграции

Для целей символической интеграции предыдущий результат может быть уточнен в

Теорема  —  Пусть f и g — ненулевые многочлены над полем K. Запишите g как произведение степеней попарно взаимно простых многочленов, не имеющих кратных корней в алгебраически замкнутом поле:

$${\displaystyle g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}.}$$

Существуют (единственные) многочлены b и c _ij с deg c _ij < deg p _i такие, что где обозначает производную $${\displaystyle {\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=2}^{n_{i}}\left({\frac {c_{ij}}{p_{i}^{j-1}}}\right)'+\sum _{i=1}^{k}{\frac {c_{i1}}{p_{i}}}.}$$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X.}$

Это сводит вычисление первообразной рациональной функции к интегрированию последней суммы, которая называется логарифмической частью , поскольку ее первообразная представляет собой линейную комбинацию логарифмов.

Существуют различные методы вычисления разложения в теореме. Один простой способ называется методом Эрмита . Во-первых, b немедленно вычисляется путем евклидова деления f на g , что сводится к случаю, когда deg( f ) < deg( g ). Далее, известно deg( c _ij ) < deg( p _i ), поэтому можно записать каждый c _ij как многочлен с неизвестными коэффициентами. Приводя сумму дробей в теореме к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты каждой степени x в двух числителях, получаем систему линейных уравнений , которую можно решить, чтобы получить желаемые (единственные) значения для неизвестных коэффициентов.

Процедура

Для двух полиномов и , где α _n — различные константы и deg P < n , явные выражения для простейших дробей можно получить, предположив, что и решив относительно констант c _i , путем подстановки, путем приравнивания коэффициентов членов, содержащих степени x , или иным образом. (Это вариант метода неопределенных коэффициентов . После того, как обе стороны уравнения умножаются на Q(x), одна сторона уравнения представляет собой определенный полином, а другая сторона — полином с неопределенными коэффициентами. Равенство возможно только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях x равны. Это дает n уравнений с n неизвестными, c _k .) ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle Q(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})}$ $${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha _{1}}}+{\frac {c_{2}}{x-\alpha _{2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{x-\alpha _{n}}}}$$

Более прямое вычисление, тесно связанное с интерполяцией Лагранжа , состоит в записи , где — производная полинома . Коэффициенты называются вычетами f /g . $${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(\alpha _{i})}{Q'(\alpha _{i})}}{\frac {1}{(x-\alpha _{i})}}}$$ ${\displaystyle Q'}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x-\alpha _{j}}}}$

Этот подход не учитывает ряд других случаев, но может быть соответствующим образом изменен:

• Если тогда необходимо выполнить евклидово деление P на Q , используя полиномиальное деление в столбик , что даёт P ( x ) = E ( x ) Q ( x ) + R ( x ) с deg R < n . Деление на Q ( x ) даёт и затем ищем простейшие дроби для остаточной дроби (которая по определению удовлетворяет deg R < deg Q ). ${\displaystyle \deg P\geq \deg Q,}$ $${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=E(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}},}$$
• Если Q ( x ) содержит множители, неприводимые над заданным полем, то числитель N ( x ) каждой простейшей дроби с таким множителем F ( x ) в знаменателе следует искать как многочлен с deg N < deg F , а не как константу. Например, возьмем следующее разложение над R : $${\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{(x+2)(x-1)\color {Blue}(x^{2}+x+1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}+{\frac {\color {OliveGreen}cx+d}{\color {Blue}x^{2}+x+1}}.}$$
• Предположим, что Q ( x ) = ( x − α ) ^r S ( x ) и S ( α ) ≠ 0 , то есть α является корнем Q ( x ) кратности r . В разложении дроби первые степени r ( x − α ) будут встречаться как знаменатели дробей (возможно, с нулевым числителем). Например, если S ( x ) = 1, разложение дроби имеет вид $${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P(x)}{(x-\alpha )^{r}}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {c_{2}}{(x-\alpha )^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{r}}{(x-\alpha )^{r}}}.}$$

Иллюстрация

В примере применения этой процедуры (3 x + 5)/(1 − 2 x ) ² можно разложить в виде

$${\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {B}{(1-2x)}}.}$$

Очистка знаменателей показывает, что 3 x + 5 = A + B (1 − 2 x ) . Разложение и приравнивание коэффициентов при степенях x дает

5 = А + В и 3 х = −2 Вх

Решая эту систему линейных уравнений относительно A и B, получаем A = 13/2 и B = −3/2 . Следовательно,

$${\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}}.}$$

Метод остатка

Предположим, что над комплексными числами f ( x ) является рациональной правильной дробью и может быть разложена на

$${\displaystyle f(x)=\sum _{i}\left({\frac {a_{i1}}{x-x_{i}}}+{\frac {a_{i2}}{(x-x_{i})^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{ik_{i}}}{(x-x_{i})^{k_{i}}}}\right).}$$

Пусть тогда в соответствии с единственностью ряда Лорана , a _ij является коэффициентом члена ( x − x _i ) ⁻¹ в разложении Лорана g _ij ( x ) относительно точки x _i , т.е. его вычетом $${\displaystyle g_{ij}(x)=(x-x_{i})^{j-1}f(x),}$$ $${\displaystyle a_{ij}=\operatorname {Res} (g_{ij},x_{i}).}$$

Это задается непосредственно формулой или в частном случае, когда x _i — простой корень, когда $${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{(k_{i}-j)!}}\lim _{x\to x_{i}}{\frac {d^{k_{i}-j}}{dx^{k_{i}-j}}}\left((x-x_{i})^{k_{i}}f(x)\right),}$$ $${\displaystyle a_{i1}={\frac {P(x_{i})}{Q'(x_{i})}},}$$ $${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}.}$$

По сравнению с реалами

Простейшие дроби используются в исчислении действительных переменных интегралов для нахождения действительных первообразных рациональных функций . Простейшее дробное разложение действительных рациональных функций также используется для нахождения их обратных преобразований Лапласа . Для приложений простейшего дробного разложения над действительными числами см.

• Применение к символической интеграции, см. выше
• Простейшие дроби в преобразованиях Лапласа

Общий результат

Пусть будет любой рациональной функцией над действительными числами . Другими словами, предположим, что существуют действительные полиномиальные функции и , такие, что ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle q(x)\neq 0}$ $${\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}}$$

Разделив числитель и знаменатель на старший коэффициент , мы можем предположить без потери общности, что является моническим . По фундаментальной теореме алгебры мы можем записать ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$

$${\displaystyle q(x)=(x-a_{1})^{j_{1}}\cdots (x-a_{m})^{j_{m}}(x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{k_{1}}\cdots (x^{2}+b_{n}x+c_{n})^{k_{n}}}$$

где , , — действительные числа с , и , — положительные целые числа. Члены — линейные множители , которые соответствуют действительным корням , а члены — неприводимые квадратичные множители , которые соответствуют парам комплексно -сопряженных корней . ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}}$ ${\displaystyle b_{i}^{2}-4c_{i}<0}$ ${\displaystyle j_{1},\dots ,j_{m}}$ ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ ${\displaystyle (x-a_{i})}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle (x_{i}^{2}+b_{i}x+c_{i})}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$

Тогда разложение дроби на простые дроби выглядит следующим образом: ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}=P(x)+\sum _{i=1}^{m}\sum _{r=1}^{j_{i}}{\frac {A_{ir}}{(x-a_{i})^{r}}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{r=1}^{k_{i}}{\frac {B_{ir}x+C_{ir}}{(x^{2}+b_{i}x+c_{i})^{r}}}}$$

Здесь P ( x ) — (возможно, нулевой) полином, а A _ir , B _ir и C _ir — действительные константы. Существует несколько способов найти константы.

Самый простой метод — умножить на общий знаменатель q ( x ). Затем мы получаем уравнение многочленов, левая часть которого — просто p ( x ), а правая часть имеет коэффициенты, которые являются линейными выражениями констант A _ir , B _ir и C _ir . Поскольку два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие коэффициенты, мы можем приравнять коэффициенты при подобных членах. Таким образом, получается система линейных уравнений, которая всегда имеет единственное решение. Это решение можно найти с помощью любого из стандартных методов линейной алгебры . Его также можно найти с пределами (см. Пример 5).

Примеры

Пример 1

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}}$$

Здесь знаменатель распадается на два отдельных линейных множителя:

$${\displaystyle q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)}$$

Итак, у нас есть разложение дроби на части

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x-1}}}$$

Умножение на знаменатель в левой части дает нам полиномиальное тождество

$${\displaystyle 1=A(x-1)+B(x+3)}$$

Подстановка x = −3 в это уравнение дает A = −1/4, а подстановка x = 1 дает B = 1/4, так что

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)}$$

Пример 2

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}}$$

После деления в столбик имеем

$${\displaystyle f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}}$$

Множитель x ² − 4 x + 8 неприводим над вещественными числами, так как его дискриминант (−4) ² − 4×8 = −16 отрицателен. Таким образом, разложение на простейшие дроби над вещественными числами имеет вид

$${\displaystyle {\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}}$$

Умножая на x ³ − 4 x ² + 8 x , мы получаем полиномиальное тождество

$${\displaystyle 4x^{2}-8x+16=A\left(x^{2}-4x+8\right)+\left(Bx+C\right)x}$$

Принимая x = 0, мы видим, что 16 = 8 A , поэтому A = 2. Сравнивая коэффициенты x ² , мы видим, что 4 = A + B = 2 + B , поэтому B = 2. Сравнивая линейные коэффициенты, мы видим, что −8 = −4 A + C = −8 + C , поэтому C = 0. В целом,

$${\displaystyle f(x)=1+2\left({\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}-4x+8}}\right)}$$

Дробь может быть полностью разложена с помощью комплексных чисел . Согласно основной теореме алгебры каждый комплексный многочлен степени n имеет n (комплексных) корней (некоторые из которых могут повторяться). Вторую дробь можно разложить на:

$${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}-4x+8}}={\frac {D}{x-(2+2i)}}+{\frac {E}{x-(2-2i)}}}$$

Умножение на знаменатель дает:

$${\displaystyle x=D(x-(2-2i))+E(x-(2+2i))}$$

Приравнивая коэффициенты при x и постоянные (по отношению к x ) коэффициенты обеих частей этого уравнения, получаем систему двух линейных уравнений относительно D и E , решение которой имеет вид

$${\displaystyle D={\frac {1+i}{2i}}={\frac {1-i}{2}},\qquad E={\frac {1-i}{-2i}}={\frac {1+i}{2}}.}$$

Таким образом, мы имеем полное разложение:

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {2}{x}}+{\frac {1-i}{x-(2+2i)}}+{\frac {1+i}{x-(2-2i)}}}$$

Можно также вычислить A , D и E напрямую с помощью метода остатков (см. также пример 4 ниже).

Пример 3

Этот пример иллюстрирует почти все «трюки», которые нам могут понадобиться, за исключением обращения к системе компьютерной алгебры .

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}}$$

После деления в столбик и разложения знаменателя на множители имеем

$${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}}$$

Разложение дроби на части принимает вид

$${\displaystyle {\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}.}$$

Умножая на знаменатель в левой части, мы получаем полиномиальное тождество

$${\displaystyle {\begin{aligned}&2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\[4pt]={}&A\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}+B\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}+C\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(Dx+E\right)\left(x-1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)+\left(Fx+G\right)\left(x-1\right)^{3}\end{aligned}}}$$

Теперь мы используем различные значения x для вычисления коэффициентов:

$${\displaystyle {\begin{cases}4=4C&x=1\\2+2i=(Fi+G)(2+2i)&x=i\\0=A-B+C-E-G&x=0\end{cases}}}$$

Решая эту задачу, мы имеем:

$${\displaystyle {\begin{cases}C=1\\F=0,G=1\\E=A-B\end{cases}}}$$

Используя эти значения, мы можем записать:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\[4pt]={}&A\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}+B\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(Dx+\left(A-B\right)\right)\left(x-1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)+\left(x-1\right)^{3}\\[4pt]={}&\left(A+D\right)x^{6}+\left(-A-3D\right)x^{5}+\left(2B+4D+1\right)x^{4}+\left(-2B-4D+1\right)x^{3}+\left(-A+2B+3D-1\right)x^{2}+\left(A-2B-D+3\right)x\end{aligned}}}$$

Сравниваем коэффициенты при x ⁶ и x ⁵ с обеих сторон и имеем:

$${\displaystyle {\begin{cases}A+D=2\\-A-3D=-4\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad A=D=1.}$$

Поэтому:

$${\displaystyle 2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=2x^{6}-4x^{5}+(2B+5)x^{4}+(-2B-3)x^{3}+(2B+1)x^{2}+(-2B+3)x}$$

что дает нам B = 0. Таким образом, разложение дроби на части имеет вид:

$${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.}$$

В качестве альтернативы, вместо расширения, можно получить другие линейные зависимости от коэффициентов, вычисляя некоторые производные в в приведенном выше полиномиальном тождестве. (Для этого напомним, что производная при x = a от ( x − a ) ^m p ( x ) обращается в нуль, если m > 1, и равна просто p ( a ) для m = 1.) Например, первая производная при x = 1 дает ${\displaystyle x=1,\imath }$

$${\displaystyle 2\cdot 6-4\cdot 5+5\cdot 4-3\cdot 3+2+3=A\cdot (0+0)+B\cdot (4+0)+8+D\cdot 0}$$

то есть 8 = 4 B + 8, поэтому B = 0.

Пример 4 (метод остатка)

$${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}-5}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}={\frac {z^{2}-5}{(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)}}}$$

Таким образом, f ( z ) можно разложить на рациональные функции, знаменатели которых z +1, z −1, z +i, z −i. Поскольку каждый член имеет степень один, −1, 1, − i и i являются простыми полюсами.

Следовательно, остатки, связанные с каждым полюсом, заданные как , соответственно, и $${\displaystyle {\frac {P(z_{i})}{Q'(z_{i})}}={\frac {z_{i}^{2}-5}{4z_{i}^{3}}},}$$ $${\displaystyle 1,-1,{\tfrac {3i}{2}},-{\tfrac {3i}{2}},}$$

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z+1}}-{\frac {1}{z-1}}+{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z+i}}-{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z-i}}.}$$

Пример 5 (метод предела)

Пределы можно использовать для нахождения разложения дроби. ^[4] Рассмотрим следующий пример:

$${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}}$$

Сначала разложим на множители знаменатель, который определяет разложение:

$${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}.}$$

Умножая все на и взяв предел при , получаем ${\displaystyle x-1}$ ${\displaystyle x\to 1}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}\left((x-1)\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)\right)=\lim _{x\to 1}A+\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(Bx+C)}{x^{2}+x+1}}=A.}$$

С другой стороны,

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{x^{2}+x+1}}={\frac {1}{3}},}$$

и таким образом:

$${\displaystyle A={\frac {1}{3}}.}$$

Умножая на x и взяв предел при , имеем ${\displaystyle x\to \infty }$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {Ax}{x-1}}+\lim _{x\to \infty }{\frac {Bx^{2}+Cx}{x^{2}+x+1}}=A+B,}$$

и

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=0.}$$

Это подразумевает, что A + B = 0 и поэтому . ${\displaystyle B=-{\frac {1}{3}}}$

При x = 0 получаем и, таким образом , . ${\displaystyle -1=-A+C,}$ ${\displaystyle C=-{\tfrac {2}{3}}}$

Собирая все вместе, получаем разложение

$${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{x-1}}+{\frac {-x-2}{x^{2}+x+1}}\right).}$$

Пример 6 (интеграл)

Предположим, что у нас есть неопределенный интеграл :

$${\displaystyle \int {\frac {x^{4}+x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x-2}}\,dx}$$

Перед выполнением разложения, очевидно, что мы должны выполнить полиномиальное длинное деление и разложить знаменатель на множители. Это приведет к следующему:

$${\displaystyle \int \left(x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\right)dx}$$

После этого мы можем выполнить разложение дробей на части.

$${\displaystyle \int \left(x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\right)dx=\int \left(x^{2}+3+{\frac {A}{(x+2)}}+{\frac {B}{(x-1)}}\right)dx}$$Итак: . При подстановке наших значений, в данном случае, где x=1 для решения B и x=-2 для решения A, мы получим: $${\displaystyle A(x-1)+B(x+2)=-3x+7}$$

$${\displaystyle A={\frac {-13}{3}}\ ,B={\frac {4}{3}}}$$

Подставляя все это обратно в наш интеграл, мы находим ответ:

$${\displaystyle \int \left(x^{2}+3+{\frac {-13/3}{(x+2)}}+{\frac {4/3}{(x-1)}}\right)\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\ +3x-{\frac {13}{3}}\ln(|x+2|)+{\frac {4}{3}}\ln(|x-1|)+C}$$

Роль полинома Тейлора

Разложение дроби рациональной функции на простые дроби можно связать с теоремой Тейлора следующим образом. Пусть

$${\displaystyle P(x),Q(x),A_{1}(x),\ldots ,A_{r}(x)}$$

быть действительными или комплексными полиномами предположим, что

$${\displaystyle Q=\prod _{j=1}^{r}(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}},}$$

удовлетворяет $${\displaystyle \deg A_{1}<\nu _{1},\ldots ,\deg A_{r}<\nu _{r},\quad {\text{and}}\quad \deg(P)<\deg(Q)=\sum _{j=1}^{r}\nu _{j}.}$$

Также определите

$${\displaystyle Q_{i}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}}={\frac {Q}{(x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}},\qquad 1\leqslant i\leqslant r.}$$

Тогда у нас есть

$${\displaystyle {\frac {P}{Q}}=\sum _{j=1}^{r}{\frac {A_{j}}{(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}}}}}$$

тогда и только тогда, когда каждый многочлен является многочленом Тейлора порядка в точке : ${\displaystyle A_{i}(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {P}{Q_{i}}}}$ ${\displaystyle \nu _{i}-1}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle A_{i}(x):=\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {1}{k!}}\left({\frac {P}{Q_{i}}}\right)^{(k)}(\lambda _{i})\ (x-\lambda _{i})^{k}.}$$

Теорема Тейлора (в действительном или комплексном случае) затем дает доказательство существования и единственности разложения на простейшие дроби, а также характеристику коэффициентов.

Набросок доказательства

Приведенное выше разложение дроби подразумевает для каждого 1 ≤  i  ≤  r полиномиальное разложение

$${\displaystyle {\frac {P}{Q_{i}}}=A_{i}+O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},}$$

то же самое относится и к многочлену Тейлора из -за единственности разложения многочлена порядка и по предположению . ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle {\tfrac {P}{Q_{i}}}}$ ${\displaystyle \nu _{i}-1}$ ${\displaystyle \deg A_{i}<\nu _{i}}$

Наоборот, если являются полиномами Тейлора, то приведенные выше разложения справедливы для каждого из них, поэтому мы также имеем ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle P-Q_{i}A_{i}=O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},}$$

что означает, что многочлен делится на ${\displaystyle P-Q_{i}A_{i}}$ ${\displaystyle (x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

Так как также делится на , то ${\displaystyle j\neq i,Q_{j}A_{j}}$ ${\displaystyle (x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}$

$${\displaystyle P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}}$$

делится на . Так как ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle \deg \left(P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}\right)<\deg(Q)}$$

тогда мы имеем

$${\displaystyle P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}=0,}$$

и находим разложение дроби делением на . ${\displaystyle Q}$

Дроби целых чисел

Идея простейших дробей может быть обобщена на другие целочисленные области , например, на кольцо целых чисел , где простые числа играют роль неприводимых знаменателей. Например:

$${\displaystyle {\frac {1}{18}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3^{2}}}.}$$

Примечания

1. Ларсон, Рон (2016). Алгебра и тригонометрия. Cengage Learning. ISBN 9781337271172.
2. Горовиц, Эллис. «Алгоритмы разложения дробей и интегрирования рациональных функций». Труды второго симпозиума ACM по символическим и алгебраическим манипуляциям. ACM, 1971.
3. Гросхольц, Эмили (2000). Рост математических знаний . Kluwer Academic Publilshers. стр. 179. ISBN 978-90-481-5391-6.
4. Блюман, Джордж У. (1984). Сборник задач по исчислению для первого года обучения . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 250–251.

Ссылки

• Рао, К. Р.; Ахмед, Н. (1968). «Рекурсивные методы получения разложения дробной части рациональной функции». IEEE Trans. Educ . 11 (2): 152–154. Bibcode : 1968ITEdu..11..152R. doi : 10.1109/TE.1968.4320370.
• Henrici, Peter (1971). «Алгоритм неполного разложения рациональной функции на простейшие дроби». Z. Angew. Math. Phys . 22 (4): 751–755. Bibcode :1971ZaMP...22..751H. doi :10.1007/BF01587772. S2CID  120554693.
• Чанг, Фэн-Чэн (1973). «Рекурсивные формулы для разложения дробей рациональной функции с несколькими полюсами». Proc. IEEE . 61 (8): 1139–1140. doi :10.1109/PROC.1973.9216.
• Кунг, Х.Т.; Тонг, Д.М. (1977). «Быстрые алгоритмы разложения частичных дробей». Журнал SIAM по вычислениям . 6 (3): 582. doi :10.1137/0206042. S2CID  5857432.
• Юстис, Дэн; Кламкин, М.С. (1979). «О коэффициентах разложения дроби». American Mathematical Monthly . Т. 86, № 6. С. 478–480. JSTOR  2320421.
• Махони, Дж. Дж.; Сивазлян, Б. Д. (1983). «Разложение дробей: обзор вычислительной методологии и эффективности». J. Comput. Appl. Math . 9 (3): 247–269. doi : 10.1016/0377-0427(83)90018-3 .
• Миллер, Чарльз Д.; Лиал, Маргарет Л.; Шнайдер, Дэвид И. (1990). Основы университетской алгебры (3-е изд.). Addison-Wesley Educational Publishers, Inc., стр. 364–370. ISBN 0-673-38638-4.
• Westreich, David (1991). "Разложение дробей без вычисления производной". IEEE Trans. Circ. Syst . 38 (6): 658–660. doi :10.1109/31.81863.
• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], "Неопределенные коэффициенты, метод", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Веллеман, Дэниел Дж. (2002). «Простейшие дроби, биномиальные коэффициенты и интеграл нечетной степени сек-тета». Amer. Math. Monthly . 109 (8): 746–749. doi :10.2307/3072399. JSTOR  3072399.
• Слота, Дамиан; Витула, Роман (2005). "Метод трех кирпичей для разложения дробей некоторого типа рационального выражения". Computational Science – ICCS 2005 . Lect. Not. Computer Sci. Vol. 33516. pp. 659–662. doi :10.1007/11428862_89. ISBN 978-3-540-26044-8.
• Кунг, Сидней Х. (2006). «Разложение дробей делением». Coll. Math. J . 37 (2): 132–134. doi :10.2307/27646303. JSTOR  27646303.
• Witula, Roman; Slota, Damian (2008). «Разложение некоторых рациональных функций на частичные дроби». Appl. Math. Comput . 197 : 328–336. doi :10.1016/j.amc.2007.07.048. MR  2396331.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Разложение дробей». MathWorld .
• Блейк, Сэм. «Простейшие дроби. Пошаговое руководство».
• Разложение дробей на частичные с помощью Scilab .