Иррациональное число

Число, которое не является отношением целых чисел

Число √ 2 иррационально.

В математике иррациональные числа ( in- + rational ) — это все действительные числа , которые не являются рациональными числами . То есть иррациональные числа не могут быть выражены как отношение двух целых чисел . Когда отношение длин двух отрезков прямой является иррациональным числом, отрезки прямой также описываются как несоизмеримые , что означает, что они не имеют общей «меры», то есть не существует длины («меры»), независимо от того, насколько она коротка, которую можно было бы использовать для выражения длин обоих данных отрезков как целых кратных себе.

Среди иррациональных чисел — отношение π длины окружности к ее диаметру, число Эйлера e , золотое сечение φ и квадратный корень из двух . ^[1] Фактически, все квадратные корни натуральных чисел , кроме полных квадратов , иррациональны. ^[2]

Как и все действительные числа, иррациональные числа могут быть выражены в позиционной нотации , в частности, как десятичное число. В случае иррациональных чисел десятичное разложение не заканчивается и не заканчивается повторяющейся последовательностью . Например, десятичное представление числа π начинается с 3,14159, но никакое конечное число цифр не может точно представить число π и не повторяется. И наоборот, десятичное разложение, которое заканчивается или повторяется, должно быть рациональным числом. Это доказуемые свойства рациональных чисел и позиционных систем счисления, и они не используются в качестве определений в математике.

Иррациональные числа также можно выразить в виде бесконечных цепных дробей (которые в некоторых случаях являются периодическими ) и многими другими способами.

Из доказательства Кантора , что действительные числа неисчислимы , а рациональные числа исчислимы, следует, что почти все действительные числа иррациональны. ^[3]

История

Диаграмма Эйлера, показывающая множество действительных чисел ( ), которые включают рациональные числа ( ), которые включают целые числа ( ), которые включают натуральные числа ( ). Действительные числа также включают иррациональные числа ( \ ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Древняя Греция

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается пифагорейцу ( возможно, Гиппасу из Метапонта ), ^[4], который, вероятно, открыл их, определяя стороны пентаграммы . [ ^5] Метод Пифагора утверждал бы, что должна быть некая достаточно малая, неделимая единица, которая могла бы равномерно поместиться как в одну из этих длин, так и в другую. Однако Гиппас в V веке до н. э. смог вывести, что не существует общей единицы измерения, и что утверждение о таком существовании было противоречием. Он сделал это, продемонстрировав, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника действительно соизмерима с катетом, то одна из этих длин, измеренных в этой единице измерения, должна быть как четной, так и нечетной, что невозможно. Его рассуждения таковы:

• Начнем с равнобедренного прямоугольного треугольника с длинами сторон, равными целым числам a , b и c . Отношение гипотенузы к катету выражается как c : b .
• Предположим, что a , b и c представлены в наименьших возможных членах ( т.е. у них нет общих множителей).
• По ^{теореме} Пифагора : c2 = a2 + b2 = b2 ⁺ b2 = 2 ^b2 . ( Поскольку треугольник равнобедренный , a ^{= b )} .
• Так как c ² = 2 b ² , то c ² делится на 2 и, следовательно, четно.
• Так как c2 четное, ^то c должно быть четным.
• Поскольку c четное, деление c на 2 дает целое число. Пусть y будет этим целым числом ( c = 2 y ).
• Возводя обе части уравнения c = 2 y в квадрат , получаем c ² = (2 y ) ² , или c ² = 4 y ² .
• Подстановка 4 y ² вместо c ² в первое уравнение ( c ² = 2 b ² ) дает нам 4 y ² = 2 b ² .
• Деление на 2 дает 2 y ² = b ² .
• Так как y — целое число и 2 y ² = b ² , то b ² делится на 2 и, следовательно, четно.
• Так как b2 четное, то ^b должно быть четным.
• Мы только что показали, что b и c должны быть четными. Следовательно, у них есть общий множитель 2. Однако это противоречит предположению, что у них нет общих множителей. Это противоречие доказывает, что c и b не могут быть оба целыми числами, и, таким образом, существование числа, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел. ^[6]

Греческие математики называли это отношение несоизмеримых величин alogos , или невыразимым. Однако Гиппаса не хвалили за его усилия: согласно одной легенде, он сделал свое открытие, находясь в море, и впоследствии был выброшен за борт своими коллегами-пифагорейцами «за то, что создал элемент во вселенной, который отрицал... доктрину о том, что все явления во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». ^[7] Другая легенда гласит, что Гиппас был просто изгнан за это открытие. Каковы бы ни были последствия для самого Гиппаса, его открытие создало очень серьезную проблему для пифагорейской математики, поскольку оно разрушило предположение о неразделимости чисел и геометрии; основу их теории.

Открытие несоизмеримых отношений было показателем другой проблемы, с которой столкнулись греки: отношения дискретного к непрерывному. Это было выявлено Зеноном Элейским , который подверг сомнению концепцию, что величины являются дискретными и состоят из конечного числа единиц заданного размера. Прошлые греческие концепции диктовали, что они обязательно должны быть таковыми, поскольку «целые числа представляют собой дискретные объекты, а соизмеримое отношение представляет собой отношение между двумя наборами дискретных объектов» ^[8] , но Зенон обнаружил, что на самом деле «[величины] в целом не являются дискретными наборами единиц; вот почему появляются отношения несоизмеримых [величин]... Другими словами, [величины] непрерывны». ^[8] Это означает, что вопреки популярной концепции того времени не может быть неделимой, наименьшей единицы измерения для любой величины. Фактически, эти деления величины должны быть обязательно бесконечными . Например, рассмотрим отрезок прямой: этот отрезок можно разделить пополам, ту половину разделить пополам, половину половины еще пополам и так далее. Этот процесс может продолжаться бесконечно, поскольку всегда есть еще одна половина, которую нужно разделить. Чем больше раз отрезок делится пополам, тем ближе единица измерения становится к нулю, но она никогда не достигает точно нуля. Именно это и пытался доказать Зенон. Он пытался доказать это, сформулировав четыре парадокса , которые демонстрировали противоречия, присущие математической мысли того времени. Хотя парадоксы Зенона точно демонстрировали недостатки современных математических концепций, они не рассматривались как доказательство альтернативы. В сознании греков опровержение обоснованности одной точки зрения не обязательно доказывало обоснованность другой, и поэтому требовалось дальнейшее исследование.

Следующий шаг был сделан Евдоксом Книдским , который формализовал новую теорию пропорции, которая учитывала как соизмеримые, так и несоизмеримые величины. Центральным моментом его идеи было различие между величиной и числом. Величина «... не была числом, а обозначала такие сущности, как отрезки линий, углы, площади, объемы и время, которые могли изменяться, как мы бы сказали, непрерывно. Величины противопоставлялись числам, которые перескакивали от одного значения к другому, как от 4 до 5». ^[9] Числа состоят из некоторой наименьшей неделимой единицы, тогда как величины бесконечно сокращаемы. Поскольку величинам не было присвоено никаких количественных значений, Евдокс затем смог учесть как соизмеримые, так и несоизмеримые отношения, определив отношение с точки зрения его величины, а пропорцию — как равенство двух отношений. Убрав количественные значения (числа) из уравнения, он избежал ловушки необходимости выражать иррациональное число как число. «Теория Евдокса позволила греческим математикам добиться огромного прогресса в геометрии, предоставив необходимую логическую основу для несоизмеримых отношений». ^[10] Эта несоизмеримость рассматривается в «Началах» Евклида, Книга X, Предложение 9. Только после того, как Евдокс разработал теорию пропорции, которая учитывала как иррациональные, так и рациональные отношения, была создана прочная математическая основа иррациональных чисел. ^[11]

В результате различия между числом и величиной геометрия стала единственным методом, который мог учитывать несоизмеримые отношения. Поскольку предыдущие числовые основы все еще были несовместимы с концепцией несоизмеримости, греческий фокус сместился от числовых концепций, таких как алгебра, и сосредоточился почти исключительно на геометрии. Фактически, во многих случаях алгебраические концепции были переформулированы в геометрические термины. Это может объяснить, почему мы все еще представляем x ² и x ³ как x в квадрате и x в кубе, а не как x во второй степени и x в третьей степени. Также решающее значение для работы Зенона с несоизмеримыми величинами имел фундаментальный фокус на дедуктивном рассуждении, который возник в результате фундаментального разрушения ранней греческой математики. Осознание того, что некоторая базовая концепция в рамках существующей теории не соответствовала реальности, потребовало полного и тщательного исследования аксиом и предположений, лежащих в основе этой теории. Исходя из этой необходимости, Евдокс разработал свой метод исчерпания , своего рода сведение к абсурду , которое «...устанавливало дедуктивную организацию на основе явных аксиом...», а также «...укрепляло ранее принятое решение полагаться на дедуктивное рассуждение для доказательства». ^[12] Этот метод исчерпания является первым шагом в создании исчисления.

Феодор Киренский доказал иррациональность иррациональных дробей целых чисел до 17, но остановился на этом, вероятно, потому, что использованная им алгебра не могла быть применена к квадратному корню из 17. ^[13]

Индия

Геометрические и математические проблемы, связанные с иррациональными числами, такими как квадратные корни, были рассмотрены очень рано в ведический период в Индии. Ссылки на такие вычисления есть в Самхитах , Брахманах и Шульба-сутрах (800 г. до н.э. или ранее). ^[14]

Предполагается, что концепция иррациональности была неявно принята индийскими математиками с 7 века до н. э., когда Манава (ок. 750 – 690 до н. э.) считал, что квадратные корни таких чисел, как 2 и 61, не могут быть точно определены. ^[15] Историк Карл Бенджамин Бойер , однако, пишет, что «такие утверждения недостаточно обоснованы и вряд ли соответствуют действительности». ^[16]

Позже, в своих трактатах, индийские математики писали об арифметике иррациональных чисел, включая сложение, вычитание, умножение, рационализацию, а также разделение и извлечение квадратных корней. ^[17]

Математики, такие как Брахмагупта (в 628 г. н. э.) и Бхаскара I (в 629 г. н. э.), внесли вклад в эту область, как и другие математики, которые последовали за ними. В 12 веке Бхаскара II оценил некоторые из этих формул и подверг их критике, определив их ограничения.

В течение 14-го и 16-го веков Мадхава из Сангамаграмы и Керальская школа астрономии и математики открыли бесконечные ряды для нескольких иррациональных чисел, таких как π , и некоторых иррациональных значений тригонометрических функций . Джьештхадева предоставил доказательства для этих бесконечных рядов в Юктибхаше . ^[18]

Исламский мир

В средние века развитие алгебры мусульманскими математиками позволило рассматривать иррациональные числа как алгебраические объекты . ^[19] Математики Ближнего Востока также объединили понятия « число » и « величина » в более общую идею действительных чисел , критиковали идею Евклида о соотношениях , разработали теорию составных отношений и расширили понятие числа до отношений непрерывной величины. ^[20] В своем комментарии к Книге 10 «Начал » персидский математик Аль -Махани (ум. 874/884) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа и кубические иррациональные числа. Он дал определения рациональным и иррациональным величинам, которые он рассматривал как иррациональные числа. Он имел с ними дело свободно, но объяснял их в геометрических терминах следующим образом: ^[20]

«Это будет рациональная (величина), когда мы, например, говорим 10, 12, 3%, 6% и т. д., потому что ее значение произносится и выражается количественно. То, что не рационально, иррационально, и его значение невозможно произнести и представить количественно. Например: корни таких чисел, как 10, 15, 20, которые не являются квадратами, стороны чисел, которые не являются кубами и т. д. »

В отличие от концепции Евклида о величинах как линиях, Аль-Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни иррациональными величинами. Он также ввел арифметический подход к концепции иррациональности, поскольку он приписывает следующее иррациональным величинам: ^[20]

«их суммы или разности, или результаты их сложения с рациональной величиной, или результаты вычитания величины такого рода из иррациональной, или рациональной величины из нее».

Египетский математик Абу Камиль Шуджа ибн Аслам (ок. 850 – 930) был первым, кто принял иррациональные числа в качестве решений квадратных уравнений или в качестве коэффициентов в уравнении в форме квадратных корней и корней четвертой степени . ^[21] В 10 веке иракский математик Аль-Хашими предоставил общие доказательства (а не геометрические демонстрации) для иррациональных чисел, поскольку он рассматривал умножение , деление и другие арифметические функции. ^[20]

Многие из этих концепций были в конечном итоге приняты европейскими математиками где-то после латинских переводов 12-го века . Аль-Хассар , марокканский математик из Феса, специализировавшийся на исламском наследственном праве в 12-м веке, впервые упоминает использование дробной черты, где числители и знаменатели разделены горизонтальной чертой. В своем обсуждении он пишет: «... например, если вам говорят написать три пятых и треть пятой, напишите так, ». ^[22] Эта же дробная нотация появляется вскоре после этого в работе Леонардо Фибоначчи в 13-м веке. ^[23] ${\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}$

Современный период

В XVII веке мнимые числа стали мощным инструментом в руках Абрахама де Муавра и особенно Леонарда Эйлера . Завершение теории комплексных чисел в XIX веке повлекло за собой дифференциацию иррациональных чисел на алгебраические и трансцендентные , доказательство существования трансцендентных чисел и возрождение научного изучения теории иррациональных чисел, в значительной степени игнорируемой со времен Евклида . В 1872 году были опубликованы теории Карла Вейерштрасса (его ученика Эрнста Коссака), Эдуарда Гейне ( Crelle's Journal , 74), Георга Кантора (Annalen, 5) и Рихарда Дедекинда . В 1869 году Мере взял ту же отправную точку, что и Гейне, но теорию обычно относят к 1872 году. Метод Вейерштрасса был полностью изложен Сальваторе Пинкерле в 1880 году ^[24] , а метод Дедекинда получил дополнительную известность благодаря более поздней работе автора (1888) и одобрению Пола Таннери (1894). Вейерштрасс, Кантор и Гейне основывают свои теории на бесконечных рядах, в то время как Дедекинд основывает свою на идее разреза (Шнитта) в системе всех рациональных чисел , разделяя их на две группы, имеющие определенные характерные свойства. Тема получила более поздние вклады от рук Вейерштрасса, Леопольда Кронекера (Crelle, 101) и Шарля Мере .

Цепные дроби , тесно связанные с иррациональными числами (и благодаря Катальди, 1613), привлекли внимание Эйлера, а в начале 19-го века стали известны благодаря трудам Жозефа-Луи Лагранжа . Дирихле также внес вклад в общую теорию, как и многочисленные исследователи, внесшие вклад в приложения этого предмета.

Иоганн Генрих Ламберт доказал (1761), что π не может быть рациональным, и что e ⁿ иррационально, если n рационально (если только n  = 0). ^[25] Хотя доказательство Ламберта часто называют неполным, современные оценки поддерживают его как удовлетворительное, и на самом деле для своего времени оно необычайно строгое. Адриен-Мари Лежандр (1794), после введения функции Бесселя–Клиффорда , предоставил доказательство, показывающее, что π ² иррационально, откуда немедленно следует, что π также иррационально. Существование трансцендентных чисел впервые установил Лиувилль (1844, 1851). Позднее Георг Кантор (1873) доказал их существование другим методом , который показал, что каждый интервал в действительных числах содержит трансцендентные числа. Шарль Эрмит (1873) первым доказал трансцендентность e , а Фердинанд фон Линдеманн (1882), отталкиваясь от выводов Эрмита, показал то же самое для π. Доказательство Линдеманна было значительно упрощено Вейерштрассом (1885), еще больше — Давидом Гильбертом (1893), и, наконец, сделано элементарным Адольфом Гурвицем ^{[ требуется ссылка ]} и Полом Горданом . ^[26]

Примеры

Квадратные корни

Квадратный корень из 2, вероятно, был первым числом, которое было доказано иррациональным. ^[27] Золотое сечение — еще одно известное квадратное иррациональное число. Квадратные корни всех натуральных чисел, которые не являются полными квадратами, иррациональны, и доказательство можно найти в квадратичных иррациональных числах .

Общие корни

Доказательство выше ^{[ необходимо разъяснение ]} для квадратного корня из двух можно обобщить с помощью фундаментальной теоремы арифметики . Она утверждает, что каждое целое число имеет уникальное разложение на простые множители. Используя ее, мы можем показать, что если рациональное число не является целым числом, то никакая его целая степень не может быть целым числом, так как в низших выражениях в знаменателе должно быть простое число , которое не делится на числитель, в какую бы степень каждое из них ни возводилось. Следовательно, если целое число не является точной k -й степенью другого целого числа, то k -й корень этого первого целого числа является иррациональным.

Логарифмы

Возможно, наиболее легко доказать иррациональность некоторых логарифмов . Вот доказательство от противного , что log ₂  3 иррационально (log ₂  3 ≈ 1,58 > 0).

Предположим, что log ₂  3 является рациональным. Для некоторых положительных целых чисел m и n имеем

${\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}.}$

Из этого следует, что

${\displaystyle 2^{m/n}=3}$

${\displaystyle (2^{m/n})^{n}=3^{n}}$

${\displaystyle 2^{m}=3^{n}.}$

Число 2, возведенное в любую положительную целую степень, должно быть четным (потому что оно делится на 2), а число 3, возведенное в любую положительную целую степень, должно быть нечетным (поскольку ни один из его простых множителей не будет 2). Очевидно, что целое число не может быть одновременно и четным, и нечетным: мы получаем противоречие. Единственное предположение, которое мы сделали, состояло в том, что log ₂  3 рационально (и, следовательно, может быть выражено как частное целых чисел m / n при n  ≠ 0). Противоречие означает, что это предположение должно быть ложным, т. е. log ₂  3 иррационально и никогда не может быть выражено как частное целых чисел m / n при n  ≠ 0.

Аналогичным образом можно рассматривать такие случаи, как log ₁₀  2.

Типы

Иррациональное число может быть алгебраическим , то есть действительным корнем многочлена с целыми коэффициентами. Те, которые не являются алгебраическими, являются трансцендентными .

Алгебраический

Действительные алгебраические числа являются действительными решениями полиномиальных уравнений.

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\;,}$

где коэффициенты — целые числа и . Примером иррационального алгебраического числа является x ₀  = (2 ^1/2  + 1) ^1/3 . Оно явно алгебраическое, поскольку является корнем целочисленного многочлена, ( x ³  − 1) ² = 2, что эквивалентно x ⁶  − 2 x ³  − 1 = 0. Этот многочлен не имеет рациональных корней, поскольку теорема о рациональном корне показывает, что единственными возможностями являются ±1, но x ₀ больше 1. Таким образом, x ₀ — иррациональное алгебраическое число. Существует счетное множество алгебраических чисел, поскольку существует счетное множество целочисленных многочленов. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$

Трансцендентный

Почти все иррациональные числа являются трансцендентными . Примерами являются e ^r и π ^r , которые являются трансцендентными для всех ненулевых рациональных  r.  

Поскольку алгебраические числа образуют подполе действительных чисел, многие иррациональные действительные числа могут быть построены путем объединения трансцендентных и алгебраических чисел. Например, 3 π  + 2, π  +  √ 2 и e √ 3 являются иррациональными (и даже трансцендентными).

Десятичные расширения

Десятичное разложение иррационального числа никогда не повторяется (то есть десятичное разложение не повторяет одно и то же число или последовательность чисел) и не заканчивается (то есть не существует конечного числа ненулевых цифр), в отличие от любого рационального числа. То же самое верно для двоичных , восьмеричных или шестнадцатеричных разложений и в целом для разложений в любой позиционной нотации с натуральными основаниями.

Чтобы показать это, предположим, что мы делим целые числа n на m (где m не равно нулю). Когда длинное деление применяется к делению n на m , остаток никогда не может быть больше или равен m . Если в качестве остатка появляется 0, десятичное разложение завершается. Если 0 никогда не встречается, то алгоритм может выполнить максимум m − 1 шагов, не используя остаток более одного раза. После этого остаток должен повториться, а затем десятичное разложение повторяется.

Наоборот, предположим, что мы сталкиваемся с повторяющейся десятичной дробью , мы можем доказать, что она является дробью двух целых чисел. Например, рассмотрим:

${\displaystyle A=0.7\,162\,162\,162\,\ldots }$

Здесь повтор равен 162, а длина повтора равна 3. Сначала мы умножаем на соответствующую степень 10, чтобы переместить десятичную точку вправо так, чтобы она оказалась прямо перед повтором. В этом примере мы умножим на 10, чтобы получить:

${\displaystyle 10A=7.162\,162\,162\,\ldots }$

Теперь умножим это уравнение на 10 ^r , где r — длина повторения. Это приводит к перемещению десятичной точки вперед перед «следующим» повторением. В нашем примере умножим на 10 ³ :

${\displaystyle 10,000A=7\,162.162\,162\,\ldots }$

Результат двух умножений дает два разных выражения с одинаковой «десятичной частью», то есть конец 10 000 А точно совпадает с концом 10 А. Здесь и 10 000 А , и 10 А имеют 0,162 162 162 ... после десятичной точки.

Таким образом, когда мы вычитаем уравнение 10 А из уравнения 10 000 А , остаток 10 А отменяет остаток 10 000 А, в результате чего получаем:

${\displaystyle 9990A=7155.}$

Затем

${\displaystyle A={\frac {7155}{9990}}={\frac {53}{74}}}$

является отношением целых чисел и, следовательно, рациональным числом.

Иррациональные силы

Дов Джарден дал простое неконструктивное доказательство того, что существуют два иррациональных числа a и b , такие, что a ^b является рациональным: ^{[28] [29]}

Рассмотрим √ 2 ^{√ 2} ; если это рациональное число, то возьмем a = b = √ 2 . В противном случае возьмем a как иррациональное число √ 2 ^{√ 2} и b = √ 2 . Тогда a ^b = ( √ 2 ^{√ 2} ) ^{√ 2} = √ 2 ^{√ 2 · √ 2} = √ 2 ² = 2, что является рациональным числом.

Хотя приведенный выше аргумент не делает выбор между двумя случаями, теорема Гельфонда–Шнайдера показывает, что √ 2 ^{√ 2} является трансцендентным , а значит, иррациональным. Эта теорема утверждает, что если a и b являются алгебраическими числами , и a не равно 0 или 1, а b не является рациональным числом, то любое значение a ^b является трансцендентным числом (может быть более одного значения, если используется возведение в степень комплексного числа ).

Пример, дающий простое конструктивное доказательство, — ^[30]

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}\right)^{\log _{\sqrt {2}}3}=3.}$

Основание левой стороны иррационально, а правая сторона рациональна, поэтому нужно доказать, что показатель степени в левой стороне, , иррационален. Это так, потому что по формуле, связывающей логарифмы с разными основаниями, ${\displaystyle \log _{\sqrt {2}}3}$

${\displaystyle \log _{\sqrt {2}}3={\frac {\log _{2}3}{\log _{2}{\sqrt {2}}}}={\frac {\log _{2}3}{1/2}}=2\log _{2}3}$

что мы можем предположить, ради установления противоречия , равно отношению m/n положительных целых чисел. Тогда отсюда отсюда отсюда , что является противоречивой парой разложений на простые множители и, следовательно, нарушает основную теорему арифметики (единственное разложение на простые множители). ${\displaystyle \log _{2}3=m/2n}$ ${\displaystyle 2^{\log _{2}3}=2^{m/2n}}$ ${\displaystyle 3=2^{m/2n}}$ ${\displaystyle 3^{2n}=2^{m}}$

Более сильный результат следующий: ^[31] Каждое рациональное число в интервале может быть записано либо как a ^a для некоторого иррационального числа a , либо как n ⁿ для некоторого натурального числа n . Аналогично, ^[31] каждое положительное рациональное число может быть записано либо как для некоторого иррационального числа a , либо как для некоторого натурального числа n . ${\displaystyle ((1/e)^{1/e},\infty )}$ ${\displaystyle a^{a^{a}}}$ ${\displaystyle n^{n^{n}}}$

Открытые вопросы

Неизвестно, является ли (или ) иррациональным. Фактически, не существует пары ненулевых целых чисел , для которых известно, является ли иррациональным. Более того, неизвестно, является ли множество алгебраически независимым над . ${\displaystyle \pi +e}$ ${\displaystyle \pi -e}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle m\pi +ne}$ ${\displaystyle \{\pi ,e\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Неизвестно, являются ли константы Каталана или Эйлера–Маскерони иррациональными. ^[32] Неизвестно, являются ли какие-либо из тетраций или рациональными для некоторого целого числа ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle \pi e,\ \pi /e,\ \pi ^{e},\ \pi ^{\sqrt {2}},\ \ln \pi ,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle ^{n}\pi }$ ${\displaystyle ^{n}e}$ ${\displaystyle n>1.}$

В конструктивной математике

В конструктивной математике исключенное третье недействительно, поэтому неверно, что каждое действительное число является рациональным или иррациональным. Таким образом, понятие иррационального числа разветвляется на несколько различных понятий. Можно было бы взять традиционное определение иррационального числа как действительного числа, которое не является рациональным. ^[33] Однако существует второе определение иррационального числа, используемое в конструктивной математике, что действительное число является иррациональным числом, если оно отделено от каждого рационального числа, или, что эквивалентно, если расстояние между и каждым рациональным числом положительно. Это определение сильнее традиционного определения иррационального числа. Это второе определение используется в доказательстве Эрретта Бишопа того , что квадратный корень из 2 является иррациональным . ^[34] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \vert r-q\vert }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q}$

Множество всех иррациональных чисел

Поскольку действительные числа образуют несчетное множество, а рациональные числа являются счетным подмножеством, то дополнительное множество иррациональных чисел является несчетным.

При обычной ( евклидовой ) функции расстояния действительные числа являются метрическим пространством и, следовательно, также топологическим пространством . Ограничение евклидовой функции расстояния придает иррациональным числам структуру метрического пространства. Поскольку подпространство иррациональных чисел не замкнуто, индуцированная метрика не является полной . Будучи G-дельта-множеством — т. е. счетным пересечением открытых подмножеств — в полном метрическом пространстве, пространство иррациональных чисел полностью метризуемо : то есть существует метрика на иррациональных числах, индуцирующая ту же топологию, что и ограничение евклидовой метрики, но относительно которой иррациональные числа являются полными. Это можно увидеть, не зная вышеупомянутого факта о G-дельта-множествах: разложение иррационального числа в непрерывную дробь определяет гомеоморфизм из пространства иррациональных чисел в пространство всех последовательностей положительных целых чисел, которое, как легко видеть, полностью метризуемо. ${\displaystyle d(x,y)=\vert x-y\vert }$

Более того, множество всех иррациональных чисел является несвязным метризуемым пространством. Фактически, иррациональные числа, снабженные топологией подпространства, имеют базис из открыто-замкнутых групп, поэтому пространство является нульмерным .

Смотрите также

• Число Брюно
• Вычислимое число
• Диофантово приближение
• Мера иррациональности
• Доказательство того, что e иррационально
• Доказательство того, что π иррационально
• Квадратный корень из 3
• Квадратный корень из 5
• Тригонометрическое число

Ссылки

1. 15 самых известных трансцендентных чисел. Клиффорд А. Пиковер . URL получен 24 октября 2007 г.
2. Джексон, Теренс (01.07.2011). «95.42 Иррациональные квадратные корни натуральных чисел — геометрический подход». The Mathematical Gazette . 95 (533): 327–330. doi :10.1017/S0025557200003193. ISSN  0025-5572. S2CID  123995083.
3. Кантор, Георг (1955) [1915]. Филипп Журден (ред.). Вклад в основание теории трансфинитных чисел. Нью-Йорк: Довер. ISBN 978-0-486-60045-1.
4. Курт фон Фриц (1945). «Открытие несоизмеримости Гиппасом из Метапонта». Annals of Mathematics . 46 (2): 242–264. doi :10.2307/1969021. JSTOR  1969021. S2CID  126296119.
5. Джеймс Р. Чойк (1980). «Пентаграмма и открытие иррационального числа». Двухгодичный математический журнал колледжа . 11 (5): 312–316. doi :10.2307/3026893. JSTOR  3026893. S2CID  115390951.
6. Клайн, М. (1990). Математическая мысль от древних до современных времен , т. 1. Нью-Йорк: Oxford University Press (оригинальная работа опубликована в 1972 году), стр. 33.
7. Клайн 1990, стр. 32.
8. Kline 1990, стр. 34.
9. Клайн 1990, стр. 48.
10. Клайн 1990, стр. 49.
11. Чарльз Х. Эдвардс (1982). Историческое развитие исчисления . Springer.
12. Клайн 1990, стр. 50.
13. Роберт Л. МакКейб (1976). «Доказательства иррациональности Теодора». Mathematics Magazine . 49 (4): 201–203. doi :10.1080/0025570X.1976.11976579. JSTOR  2690123. S2CID  124565880..
14. Баг, Амуля Кумар (1990). «Ритуальная геометрия в Индии и ее параллелизм в других культурных областях». Индийский журнал истории науки . 25 .
15. TK Puttaswamy, "Достижения древних индийских математиков", стр. 411–412, в Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan, ред. (2000). Математика в разных культурах: история не-западной математики . Springer . ISBN 1-4020-0260-2..
16. Boyer (1991). "Китай и Индия". История математики (2-е изд.). Wiley. стр. 208. ISBN 0471093742. OCLC  414892. Также утверждалось, что первое признание несоизмеримости появляется в Индии в период Сулбасутры , но такие заявления не имеют под собой достаточных оснований. Случай раннего осознания индусами несоизмеримых величин представляется крайне маловероятным из-за отсутствия доказательств того, что индийские математики того периода осознали фундаментальные концепции.
17. Датта, Бибхутибхусан; Сингх, Авадхеш Нараян (1993). «Сурды в индуистской математике» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 28 (3): 253–264. Архивировано из оригинала (PDF) 2018-10-03 . Получено 18 сентября 2018 .
18. Katz, VJ (1995). «Идеи исчисления в исламе и Индии». Mathematics Magazine . 63 (3): 163–174. doi :10.2307/2691411. JSTOR  2691411.
19. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1999). «Арабская математика: забытое великолепие?». Архив истории математики MacTutor . Университет Сент-Эндрюс ..
20. Матвиевская, Галина (1987). «Теория квадратичных иррациональностей в средневековой восточной математике». Annals of the New York Academy of Sciences . 500 (1): 253–277. Bibcode :1987NYASA.500..253M. doi :10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x. S2CID  121416910.См. в частности стр. 254 и 259–260.
21. Жак Сезиано, «Исламская математика», стр. 148, в Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000). Математика в разных культурах: история не-западной математики . Springer . ISBN 1-4020-0260-2..
22. Каджори, Флориан (1928). История математических обозначений (т. 1) . Ла-Саль, Иллинойс: Издательская компания Open Court.стр. 269.
23. (Каджори 1928, стр.89)
24. Сальваторе Пинчерле (1880). «Введение в теорию аналитических функций, второе и принципы проф. К. Вейерштрасса». Giornale di Matematiche : 178–254, 317–320.
25. Ламберт, Дж. Х. (1761). «Mémoire sur quelques proprietés remarquables des quantités transcententes, circulaires et logarithmiques» (PDF) . Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin (на французском языке): 265–322. Архивировано (PDF) из оригинала 28 апреля 2016 г.
26. Гордан, Пол (1893). «Трансценденц фон е и π». Математические Аннален . 43 (2–3). Тойбнер: 222–224. дои : 10.1007/bf01443647. S2CID  123203471.
27. Фаулер, Дэвид Х. (2001), «История открытия несоизмеримости, пересмотренная», Neusis (10): 45–61, MR  1891736
28. Жарден, Дов (1953). "Curiosa No. 339: Простое доказательство того, что степень иррационального числа в иррациональной степени может быть рациональной". Scripta Mathematica . 19 : 229.копия
29. Джордж, Александр; Веллеман, Дэниел Дж. (2002). Философия математики (PDF) . Блэквелл. стр. 3–4. ISBN 0-631-19544-0.
30. Лорд, Ник, «Математика кусается: иррациональные степени иррациональных чисел могут быть рациональными», Mathematical Gazette 92, ноябрь 2008 г., стр. 534.
31. Маршалл, Эш Дж. и Тан, Йирен, «Рациональное число вида a ^a с иррациональным », Mathematical Gazette 96, март 2012 г., стр. 106-109.
32. Альберт, Джон. "Некоторые нерешенные проблемы теории чисел" (PDF) . Кафедра математики, Университет Оклахомы.(Семинар по математике для старших классов, весна 2008 г.)
33. Марк Бриджер (2007). Действительный анализ: конструктивный подход через интервальную арифметику . John Wiley & Sons . ISBN 978-1-470-45144-8.
34. Эрретт Бишоп; Дуглас Бриджес (1985). Конструктивный анализ . Спрингер . ISBN 0-387-15066-8.

Дальнейшее чтение

• Адриен-Мари Лежандр , «Элементы геометрии» , Примечание IV, (1802), Париж
• Рольф Валлиссер, «О доказательстве Ламбертом иррациональности числа π», в книге «Алгебраическая теория чисел и диофантов анализ» , Франц Хальтер-Кох и Роберт Ф. Тихи, (2000), Вальтер де Грюйтер

Внешние ссылки

• Парадоксы и несоизмеримость Зенона Архивировано 13 мая 2016 г. на Wayback Machine (nd). Получено 1 апреля 2008 г.