Электростатика

Исследование стационарных или медленно движущихся электрических зарядов.

Пенопластовый арахис прилипает к кошачьей шерсти из-за статического электричества . Электрическое поле заряженного меха вызывает поляризацию молекул пены за счет электростатической индукции , в результате чего легкие кусочки пластика слегка притягиваются к меху. ^{[1] [2] [3] [4]} Этот эффект также является причиной налипания статического электричества на одежду.

Электростатика — раздел физики , изучающий медленно движущиеся или стационарные электрические заряды .

С классических времен было известно, что некоторые материалы, например янтарь , после трения притягивают к себе легкие частицы . Греческое слово, обозначающее янтарь, ἤλεκτρον ( ḗлектрон ), стало , таким образом, источником слова « электричество ». Электростатические явления возникают из-за сил , с которыми электрические заряды действуют друг на друга. Такие силы описываются законом Кулона .

Существует множество примеров электростатических явлений, от таких простых, как притягивание полиэтиленовой пленки к руке после того, как ее вынули из упаковки, до очевидно самопроизвольных взрывов зернохранилищ, повреждения электронных компонентов во время производства, а также фотокопировальных и лазерных устройств . работа принтера .

Электростатическая модель точно предсказывает электрические явления в «классических» случаях, когда скорости малы, а система является макроскопической, поэтому квантовые эффекты не задействованы. Это также играет роль в квантовой механике, где также необходимо включать дополнительные термины.

Закон Кулона

Закон Кулона гласит, что: ^[5]

«Величина электростатической силы притяжения или отталкивания между двумя точечными зарядами прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними».

Сила направлена ​​вдоль соединяющей их прямой. Если два заряда имеют одинаковый знак, электростатическая сила между ними отталкивает; если они имеют разные знаки, сила между ними притягивается.

Если расстояние (в метрах ) между двумя зарядами, то сила (в ньютонах ) между двумя точечными зарядами и (в кулонах ) равна: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r^{2}}}=k_{\text{e}}{\frac {qQ}{r^{2}}}\,,}$

где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума , или диэлектрическая проницаемость свободного пространства: ^[6]

${\displaystyle \varepsilon _{0}\approx \mathrm {8.854\ 187\ 817\times 10^{-12}~C^{2}{\cdot }N^{-1}{\cdot }m^{-2}} .}$

Единицами СИ [ ^7] _ε 0 эквивалентно являются A 2 ^⋅ s ⁴ ⋅kg −1 ⋅m ⁻³ или C ^{2 ⋅} N ⁻¹ ⋅m ⁻² или F ⋅m −1 ^. Постоянная Кулона равна :

${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\approx \mathrm {8.987\ 551\ 792\times 10^{9}~N{\cdot }m^{2}{\cdot }C^{-2}} .}$

Эти физические константы ( ε ₀ , k _e , e ) в настоящее время определены так, что e точно определено, а ε ₀ и k _e являются измеряемыми величинами.

Электрическое поле

Электростатическое поле (линии со стрелками) близлежащего положительного заряда (+) заставляет подвижные заряды в проводящих объектах разделяться из-за электростатической индукции . Отрицательные заряды (синие) притягиваются и движутся к поверхности объекта, обращенной к внешнему заряду. Положительные заряды (красные) отталкиваются и движутся к поверхности, обращенной в сторону. Эти индуцированные поверхностные заряды имеют правильный размер и форму, поэтому их противоположное электрическое поле нейтрализует электрическое поле внешнего заряда внутри металла. Следовательно, электростатическое поле повсюду внутри проводящего объекта равно нулю, а электростатический потенциал постоянен.

Электрическое поле, выраженное в единицах Ньютонов на кулон или вольт на метр, представляет собой векторное поле , которое можно определить везде, кроме места расположения точечных зарядов (где оно расходится до бесконечности). ^{[8] Согласно} закону Кулона, она определяется как электростатическая сила в ньютонах, действующая на гипотетический небольшой пробный заряд в точке , деленная на величину заряда в кулонах. ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {F}}\,}$ ${\displaystyle q\,}$

${\displaystyle {\vec {E}}={{\vec {F}} \over q}}$

Линии электрического поля полезны для визуализации электрического поля. Линии поля начинаются при положительном заряде и заканчиваются при отрицательном заряде. Они параллельны направлению электрического поля в каждой точке, а плотность этих силовых линий является мерой величины электрического поля в любой данной точке.

Рассмотрим совокупность частиц с зарядом , расположенных в точках (называемых точками источника ), электрическое поле в которых (называемых точкой поля ) равно: ^[8] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {{\widehat {\mathcal {R}}}_{i}Q_{i}}{\left\|{\mathcal {\vec {R}}}_{i}\right\|^{2}}},}$

где — вектор смещения от исходной точки до точки поля , а — единичный вектор , указывающий направление поля. Для одного точечного заряда в начале координат величина этого электрического поля равна и направлена ​​в сторону от этого заряда, если он положителен. Тот факт, что сила (и, следовательно, поле) может быть рассчитана путем суммирования всех вкладов, вносимых отдельными исходными частицами, является примером принципа суперпозиции . Электрическое поле, создаваемое распределением зарядов, определяется объемной плотностью заряда и может быть получено путем преобразования этой суммы в тройной интеграл : ${\displaystyle {\vec {\mathcal {R}}}_{i}={\vec {r}}-{\vec {r}}_{i},}$ ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {R}}}_{i}={\vec {\mathcal {R}}}_{i}/\left\|{\vec {\mathcal {R}}}_{i}\right\|}$ ${\displaystyle E=k_{\text{e}}Q/{\mathcal {R}}^{2},}$ ${\displaystyle \rho ({\vec {r}})}$

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}\,')\,\mathrm {d} ^{3}r\,'}$

закон Гаусса

Закон Гаусса ^{[9] [10]} гласит, что «полный электрический поток через любую замкнутую поверхность в свободном пространстве любой формы, нарисованную в электрическом поле, пропорционален полному электрическому заряду , заключенному в этой поверхности». Многие численные задачи можно решить, рассмотрев

Гауссова поверхность вокруг тела. Математически закон Гаусса принимает форму интегрального уравнения:

${\displaystyle \oint _{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\,Q_{\text{enclosed}}=\int _{V}{\rho \over \varepsilon _{0}}\cdot \mathrm {d} ^{3}r,}$

где элемент объема. Если заряд распределен по поверхности или вдоль линии, замените на или . Теорема о дивергенции позволяет записать закон Гаусса в дифференциальной форме: ${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} z}$ ${\displaystyle \rho \,\mathrm {d} ^{3}r}$ ${\displaystyle \sigma \,\mathrm {d} A}$ ${\displaystyle \lambda \,\mathrm {d} \ell }$

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\rho \over \varepsilon _{0}}.}$

где – оператор дивергенции . ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot }$

Уравнения Пуассона и Лапласа

Определение электростатического потенциала в сочетании с дифференциальной формой закона Гаусса (см. выше) обеспечивает связь между потенциалом Φ и плотностью заряда ρ:

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}}.}$

Это соотношение представляет собой форму уравнения Пуассона . ^[11] В отсутствие неспаренного электрического заряда уравнение становится уравнением Лапласа :

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =0,}$

Электростатическое приближение

Справедливость электростатического приближения основана на предположении, что электрическое поле является безвихревым :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=0.}$

Из закона Фарадея это предположение подразумевает отсутствие или почти отсутствие изменяющихся во времени магнитных полей:

${\displaystyle {\partial {\vec {B}} \over \partial t}=0.}$

Другими словами, электростатика не требует отсутствия магнитных полей или электрических токов. Скорее, если магнитные поля или электрические токи действительно существуют, они не должны меняться со временем или, в худшем случае, они должны меняться со временем очень медленно . В некоторых задачах для точных предсказаний могут потребоваться как электростатика, так и магнитостатика , но связь между ними все равно можно игнорировать. Электростатику и магнитостатику можно рассматривать как нерелятивистские галилеевские пределы электромагнетизма. ^[12] Кроме того, традиционная электростатика игнорирует квантовые эффекты, которые необходимо добавить для полного описания. ^{[8] : 2}

Электростатический потенциал

Поскольку электрическое поле является безвихревым , его можно выразить как градиент скалярной функции, называемой электростатическим потенциалом (также известным как напряжение ). Электрическое поле указывает из областей с высоким электрическим потенциалом в области с низким электрическим потенциалом, что математически выражается как ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi .}$

Теорему о градиенте можно использовать, чтобы установить, что электростатический потенциал — это количество работы на единицу заряда, необходимое для перемещения заряда из точки в точку , со следующим линейным интегралом : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle -\int _{a}^{b}{{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}}=\phi ({\vec {b}})-\phi ({\vec {a}}).}$

Из этих уравнений мы видим, что электрический потенциал постоянен в любой области, в которой электрическое поле исчезает (например, внутри проводящего объекта).

Электростатическая энергия

Потенциальная энергия пробной частицы может быть рассчитана из линейного интеграла работы . Мы интегрируем от точки, находящейся на бесконечности, и предполагаем, что совокупность частиц с зарядом уже находится в точках . Эта потенциальная энергия (в Джоулях ): ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}}$ ${\displaystyle q_{n}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q_{n}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}=q\phi ({\vec {r}})={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {Q_{i}}{\left\|{\mathcal {{\vec {R}}_{i}}}\right\|}}}$

где - расстояние каждого заряда от пробного заряда , находящегося в точке , и - электрический потенциал, который был бы при отсутствии пробного заряда . Если присутствуют только два заряда, потенциальная энергия равна . Полная электрическая потенциальная энергия , обусловленная совокупностью N зарядов, рассчитывается путем сборки этих частиц по одной : ${\displaystyle {\vec {\mathcal {R_{i}}}}={\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle \phi ({\vec {r}})}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle k_{\text{e}}Q_{1}Q_{2}/r}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}Q_{j}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {Q_{i}}{r_{ij}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}Q_{i}\phi _{i},}$

где следующая сумма от j = 1 до N исключает i = j :

${\displaystyle \phi _{i}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {Q_{j}}{r_{ij}}}.}$

Этот электрический потенциал — это то, что можно было бы измерить, если бы заряд отсутствовал. Эта формула, очевидно, исключает (бесконечную) энергию, которая потребовалась бы для сборки каждого точечного заряда из дисперсного облака зарядов. Сумма по зарядам может быть преобразована в интеграл по плотности заряда, используя рецепт : ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\textstyle \sum (\cdots )\rightarrow \int (\cdots )\rho \,\mathrm {d} ^{3}r}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{2}}\int \rho ({\vec {r}})\phi ({\vec {r}})\,\mathrm {d} ^{3}r={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,\mathrm {d} ^{3}r,}$

Это второе выражение для электростатической энергии использует тот факт, что электрическое поле представляет собой отрицательный градиент электрического потенциала, а также тождества векторного исчисления , напоминающие интегрирование по частям . Эти два интеграла для энергии электрического поля, по-видимому, указывают на две взаимоисключающие формулы для плотности электростатической энергии, а именно и ; они дают равные значения полной электростатической энергии только в том случае, если обе они интегрированы по всему пространству. ${\textstyle {\frac {1}{2}}\rho \phi }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}}$

Электростатическое давление

На проводнике поверхностный заряд будет испытывать силу в присутствии электрического поля . Эта сила представляет собой среднее значение разрывного электрического поля на поверхностном заряде. Это среднее значение поля вне поверхности составляет:

${\displaystyle P={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}E^{2},}$

Это давление стремится втянуть проводник в поле независимо от знака поверхностного заряда.

Смотрите также

• Электромагнетизм  - фундаментальное взаимодействие между заряженными частицами.
• Электростатический генератор , машины, создающие статическое электричество.
• Электростатическая индукция , разделение зарядов за счет электрических полей.
• Диэлектрическая проницаемость и относительная диэлектрическая проницаемость , электрическая поляризуемость материалов.
• Квантование заряда , единиц заряда, переносимых электронами или протонами.
• Статическое электричество , стационарный заряд, накопленный на материале.
• Трибоэлектрический эффект , разделение зарядов за счет скольжения или контакта.

Рекомендации

1. Линг, Сэмюэл Дж.; Моебс, Уильям; Санни, Джефф (2019). Университетская физика, Vol. 2. ОпенСтакс. ISBN 9781947172210.Глава 30: Проводники, изоляторы и индукционная зарядка
2. Блумфилд, Луи А. (2015). Как все работает: физика повседневной жизни. Джон Уайли и сыновья. п. 270. ИСБН 9781119013846.
3. «Поляризация». Статическое электричество — Урок 1 — Основная терминология и понятия . Кабинет физики. 2020 . Проверено 18 июня 2021 г.
4. Томпсон, Сочитль Самора (2004). «Заряжайте! Все об электрическом притяжении и отталкивании». Преподавание инженерного дела: основная учебная программа для K-12 . Университет Колорадо . Проверено 18 июня 2021 г.
5. Дж, Гриффитс (2017). Введение в электродинамику. Издательство Кембриджского университета. стр. 296–354. ISBN 978-1-108-33351-1. Проверено 11 августа 2023 г.
6. Мэтью Садику (2009). Элементы электромагнетизма . п. 104. ИСБН 9780195387759.
7. «Единицы СИ». НИСТ . 12 апреля 2010 г.
8. Перселл, Эдвард М. (2013). Электричество и магнетизм. Издательство Кембриджского университета. стр. 16–18. ISBN 978-1107014022.
9. "Sur l'attraction des sphéroides elliptiques, пар М. де Ла Гранж" . Общий сборник математики . Проверено 11 августа 2023 г.
10. Гаусс, Карл Фридрих (1877), «Теория притяжения корпусов sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum, метод нова трактата», Werke , Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 279–286, ISBN 978-3-642-49320-1, получено 11 августа 2023 г.
11. Пуассон, М; наук (Франция), Королевская академия наук (1827 г.). Мемуары Королевской академии наук Института (Императорского) Франции. Том. 6. Париж.
12. Герас, JA (2010). «Галилеевы пределы уравнений Максвелла». Американский журнал физики . 78 (10): 1048–1055. arXiv : 1012.1068 . Бибкод : 2010AmJPh..78.1048H. дои : 10.1119/1.3442798. S2CID  118443242.

дальнейшее чтение

• Герман А. Хаус; Джеймс Р. Мельчер (1989). Электромагнитные поля и энергия . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-249020-Х.
• Холлидей, Дэвид; Роберт Резник; Кеннет С. Крейн (1992). Физика . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-80457-6.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику . Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-805326-Х.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с электростатикой, на Викискладе?

• Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. 4: Электростатика
• Введение в электростатику: точечные заряды можно рассматривать как распределение с использованием дельта-функции Дирака.

Учебные материалы по электростатике в Викиверситете