Электрический потенциал

Линейный интеграл электрического поля

Электрический потенциал (также называемый потенциалом электрического поля , падением потенциала, электростатическим потенциалом ) определяется как количество работы энергии, необходимой на единицу электрического заряда для перемещения заряда из опорной точки в определенную точку электрического поля. Точнее, электрический потенциал — это энергия, приходящаяся на единицу заряда пробного заряда , который настолько мал, что возмущение рассматриваемого поля незначительно. Предполагается, что движение поперек поля происходит с пренебрежимо малым ускорением, чтобы пробный заряд не приобретал кинетическую энергию и не производил излучение. По определению электрический потенциал в контрольной точке равен нулю единиц. Обычно опорной точкой является земля или точка, находящаяся на бесконечности , хотя можно использовать любую точку.

В классической электростатике электростатическое поле представляет собой векторную величину, выраженную как градиент электростатического потенциала, который представляет собой скалярную величину, обозначаемую V или иногда φ , ^[1] равную электрической потенциальной энергии любой заряженной частицы в любом месте (измеренная в джоулях ), деленный на заряд этой частицы (измеряется в кулонах ). При делении заряда частицы получается частное, которое является свойством самого электрического поля. Короче говоря, электрический потенциал — это электрическая потенциальная энергия на единицу заряда.

Это значение может быть рассчитано либо в статическом (независимом от времени), либо в динамическом (изменяющемся во времени) электрическом поле в определенное время с использованием единиц джоулей на кулон (Дж⋅К ^-1 ) или вольт (В). Электрический потенциал на бесконечности предполагается равным нулю.

В электродинамике , когда присутствуют изменяющиеся во времени поля, электрическое поле не может быть выражено только как скалярный потенциал . Вместо этого электрическое поле может быть выражено как скалярным электрическим потенциалом, так и магнитным векторным потенциалом . ^[2] Электрический потенциал и магнитный векторный потенциал вместе образуют четырехвектор , так что два вида потенциала смешиваются при преобразованиях Лоренца .

Практически электрический потенциал является непрерывной функцией во всем пространстве, потому что пространственная производная разрывного электрического потенциала создает электрическое поле невозможно бесконечной величины. Примечательно, что электрический потенциал идеализированного точечного заряда (пропорциональный 1 ⁄ r , где r — расстояние от точечного заряда) непрерывен во всем пространстве, кроме места расположения точечного заряда. Хотя электрическое поле не является непрерывным на идеализированном поверхностном заряде , оно не бесконечно в любой точке. Следовательно, электрический потенциал непрерывен на идеализированном поверхностном заряде. Кроме того, идеализированная линия заряда имеет электрический потенциал (пропорциональный ln( r ) , где r — радиальное расстояние от линии заряда) и непрерывен везде, кроме линии заряда.

Введение

Классическая механика исследует такие понятия, как сила , энергия и потенциал . ^[3] Сила и потенциальная энергия напрямую связаны. Суммарная сила, действующая на любой объект, заставляет его ускоряться . По мере того как объект движется в направлении действующей на него силы, его потенциальная энергия уменьшается. Например, гравитационная потенциальная энергия пушечного ядра на вершине холма больше, чем у подножия холма. Когда он катится вниз по склону, его потенциальная энергия уменьшается и преобразуется в движение – кинетическую энергию .

Можно определить потенциал определенных силовых полей так, что потенциальная энергия объекта в этом поле зависит только от положения объекта относительно поля. Двумя такими силовыми полями являются гравитационное поле и электрическое поле (при отсутствии изменяющихся во времени магнитных полей). Такие поля влияют на объекты из-за внутренних свойств (например, массы или заряда) и положения объектов.

Объект может обладать свойством, известным как электрический заряд . Поскольку электрическое поле оказывает силу на заряженный объект, если объект имеет положительный заряд, сила будет направлена ​​в направлении вектора электрического поля в месте расположения заряда; если заряд отрицательный, сила будет направлена ​​в противоположном направлении.

Величина силы определяется количеством заряда, умноженным на величину вектора электрического поля:

$${\displaystyle |\mathbf {F} |=q|\mathbf {E} |.}$$

Электростатика

Электрический потенциал отдельных положительных и отрицательных точечных зарядов показан в диапазоне цветов от пурпурного (+), желтого (0) до голубого (-). Круговые контуры представляют собой эквипотенциальные линии. Линии электрического поля покидают положительный заряд и входят в отрицательный заряд.

Электрический потенциал вблизи двух противоположных точечных зарядов.

Электрический потенциал в точке r в статическом электрическом поле E определяется линейным интегралом

${\displaystyle V_{\mathbf {E} }=-\int _{\mathcal {C}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,}$

где C — произвольный путь от некоторой фиксированной точки отсчета до r ; он определяется однозначно с точностью до константы, которая прибавляется или вычитается из интеграла. В электростатике уравнение Максвелла-Фарадея показывает, что ротор равен нулю, что делает электрическое поле консервативным . Таким образом, приведенный выше линейный интеграл не зависит от конкретного выбранного пути C , а только от его конечных точек, что делает его везде четко определенным. Тогда градиентная теорема позволяет нам написать: ${\textstyle \nabla \times \mathbf {E} }$ ${\textstyle V_{\mathbf {E} }}$

${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V_{\mathbf {E} }\,}$

Это означает, что электрическое поле направлено «вниз» в сторону более низких напряжений. По закону Гаусса можно также найти потенциал, удовлетворяющий уравнению Пуассона :

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \cdot \left(-\mathbf {\nabla } V_{\mathbf {E} }\right)=-\nabla ^{2}V_{\mathbf {E} }=\rho /\varepsilon _{0}}$$

где ρ — полная плотность заряда и обозначает дивергенцию . ${\textstyle \mathbf {\nabla } \cdot }$

Понятие электрического потенциала тесно связано с потенциальной энергией . Пробный заряд q имеет электрическую потенциальную энергию U E _, определяемую выражением

$${\displaystyle U_{\mathbf {E} }=q\,V.}$$

Потенциальная энергия и, следовательно, электрический потенциал определяются только с точностью до аддитивной константы: нужно произвольно выбрать положение, в котором потенциальная энергия и электрический потенциал равны нулю.

Эти уравнения нельзя использовать, если , т. е. в случае неконсервативного электрического поля (вызванного изменяющимся магнитным полем ; см. уравнения Максвелла ). Обобщение электрического потенциала на этот случай описано в разделе § Обобщение на электродинамику. ${\textstyle \nabla \times \mathbf {E} \neq \mathbf {0} }$

Электрический потенциал из-за точечного заряда

Электрический потенциал, создаваемый зарядом Q , равен V  =  Q /(4πε ₀ r ). Различные значения Q дают разные значения электрического потенциала V (показано на изображении).

Электрический потенциал, возникающий из-за точечного заряда Q на расстоянии r от места расположения Q , равен

$${\displaystyle V_{\mathbf {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}},}$$

ε ₀диэлектрическая проницаемость вакуума ^[4]VE _{известна}кулоновский потенциал

$${\displaystyle k_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$$

известна как постоянная Кулона . Обратите внимание, что, в отличие от величины электрического поля , создаваемого точечным зарядом, электрический потенциал масштабируется в зависимости от обратного радиуса, а не в квадрате радиуса.

Электрический потенциал в любом месте r в системе точечных зарядов равен сумме отдельных электрических потенциалов каждого точечного заряда в системе. Этот факт существенно упрощает расчеты, поскольку сложение потенциальных (скалярных) полей существенно проще, чем сложение электрических (векторных) полей. В частности, потенциал набора дискретных точечных зарядов q _i в точках r _i становится

$${\displaystyle V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )=k_{e}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|}}\,,}$$

где

• r – точка, в которой оценивается потенциал;
• r _i — точка, в которой имеется ненулевой заряд; и
• q _i — заряд в точке r _i .

И потенциал непрерывного распределения заряда ρ ( r ) становится

$${\displaystyle V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )=k_{e}\int _{R}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,,}$$

где

• r – точка, в которой оценивается потенциал;
• R — область, содержащая все точки, в которых плотность заряда отлична от нуля;
• r ' — точка внутри R ; и
• ρ ( r ’ ) — плотность заряда в точке r ’ .

Приведенные выше уравнения для электрического потенциала (и все используемые здесь уравнения) имеют форму, необходимую для единиц СИ . В некоторых других (менее распространенных) системах единиц, таких как CGS-Gaussian , многие из этих уравнений будут изменены.

Обобщение на электродинамику

Когда присутствуют изменяющиеся во времени магнитные поля (что верно всякий раз, когда существуют изменяющиеся во времени электрические поля и наоборот), невозможно описать электрическое поле просто как скалярный потенциал V , потому что электрическое поле больше не является консервативным : зависит от пути, потому что (из-за уравнения Максвелла-Фарадея ). ${\displaystyle \textstyle \int _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$ ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \neq \mathbf {0} }$

Вместо этого можно по-прежнему определить скалярный потенциал, включив также магнитный векторный потенциал A. В частности, A определяется так, чтобы удовлетворять:

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$$

где B — магнитное поле . По основной теореме векторного исчисления такую ​​А всегда можно найти, поскольку дивергенция магнитного поля всегда равна нулю из-за отсутствия магнитных монополей . Теперь количество

$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$

являетсяуравнению Максвелла-Фарадея ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$

где V — скалярный потенциал, определяемый консервативным полем F.

Электростатический потенциал — это просто частный случай этого определения, где A не зависит от времени. С другой стороны, для полей, изменяющихся во времени,

$${\displaystyle -\int _{a}^{b}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\neq V_{(b)}-V_{(a)}}$$

Свобода измерения

К электростатическому потенциалу можно добавить любую константу, не влияя на электрическое поле. В электродинамике электрический потенциал имеет бесконечно много степеней свободы. Для любого (возможно, меняющегося во времени или пространстве) скалярного поля 𝜓 мы можем выполнить следующее калибровочное преобразование , чтобы найти новый набор потенциалов, которые создают одни и те же электрические и магнитные поля: ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}V^{\prime }&=V-{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\\\mathbf {A} ^{\prime }&=\mathbf {A} +\nabla \psi \end{aligned}}}$$

При различных вариантах измерения электрический потенциал может иметь совершенно разные свойства. В кулоновской калибровке электрический потенциал определяется уравнением Пуассона

$${\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

как и в электростатике. Однако в калибровке Лоренца электрический потенциал представляет собой запаздывающий потенциал , распространяющийся со скоростью света и являющийся решением неоднородного волнового уравнения :

$${\displaystyle \nabla ^{2}V-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

Единицы

Производной единицей электрического потенциала в системе СИ является вольт ( в честь Алессандро Вольты ), обозначаемый как V, поэтому разность электрических потенциалов между двумя точками в пространстве известна как напряжение . Старые агрегаты сегодня используются редко. Варианты системы единиц сантиметр-грамм-секунда включали ряд различных единиц электрического потенциала, в том числе абвольт и статвольт .

Потенциал Гальвани в сравнении с электрохимическим потенциалом

Внутри металлов (и других твердых тел и жидкостей) на энергию электрона влияет не только электрический потенциал, но и конкретная атомная среда, в которой он находится. Когда вольтметр подключают между двумя разными типами металлов, он измеряет разность потенциалов , скорректированная для различных атомных сред. ^[6] Величина, измеряемая вольтметром, называется электрохимическим потенциалом или уровнем Ферми , а чистый нескорректированный электрический потенциал V иногда называют потенциалом Гальвани φ . Термины «напряжение» и «электрический потенциал» немного двусмысленны, но к любому из них можно относиться в разных контекстах.

Смотрите также

• Абсолютный электродный потенциал
• Электрохимический потенциал
• Электродный потенциал

Рекомендации

1. Гольдштейн, Герберт (июнь 1959 г.). Классическая механика . США: Аддисон-Уэсли. п. 383. ИСБН 0201025108.
2. Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику . Пирсон Прентис Холл. стр. 416–417. ISBN 978-81-203-1601-0.
3. Янг, Хью А.; Фридман, Роджер Д. (2012). Университетская физика Сирса и Земанского с современной физикой (13-е изд.). Бостон: Аддисон-Уэсли. п. 754.
4. «Значение CODATA 2018: электрическая проницаемость вакуума» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 20 мая 2019 г.
5. Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. п. 420. ИСБН 013805326X.
6. Багоцкий В.С. (2006). Основы электрохимии. п. 22. ISBN 978-0-471-70058-6.

дальнейшее чтение

• Политцер П., Трулар Д.Г. (1981). Химические применения атомных и молекулярных электростатических потенциалов: реакционная способность, структура, рассеяние и энергетика органических, неорганических и биологических систем . Бостон, Массачусетс: Springer US. ISBN 978-1-4757-9634-6.
• Сен К., Мюррей Дж.С. (1996). Молекулярные электростатические потенциалы: концепции и приложения . Амстердам: Эльзевир. ISBN 978-0-444-82353-3.
• Гриффитс-ди-джей (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-Х.
• Джексон Джей Ди (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). США: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 978-0-471-30932-1.
• Вангнесс РК (1986). Электромагнитные поля (2-е, исправленное, иллюстрированное изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-81186-2.