Полином Каждана–Люстига

В математической области теории представлений многочлен Каждана –Люстига является членом семейства интегральных многочленов, введенных Дэвидом Кажданом и Джорджем Люстигом  (1979). Они индексируются парами элементов y , w группы Коксетера W , которая может быть, в частности, группой Вейля группы Ли . ${\displaystyle P_{y,w}(q)}$

Мотивация и история

Весной 1978 года Каждан и Люстиг изучали представления Спрингера группы Вейля алгебраической группы на -адических группах когомологий, связанных с классами сопряженности , которые являются унипотентными . Они нашли новую конструкцию этих представлений над комплексными числами (Kazhdan & Lusztig 1980a). Представление имело два естественных базиса, и матрица перехода между этими двумя базисами по существу задается полиномами Каждана–Люстига. Фактическая конструкция Каждана–Люстига их полиномов более элементарна. Каждан и Люстиг использовали это для построения канонического базиса в алгебре Гекке группы Коксетера и ее представлений. ${\displaystyle \ell }$

В своей первой статье Каждан и Люстиг упомянули, что их многочлены были связаны с нарушением локальной двойственности Пуанкаре для многообразий Шуберта . В работе Каждана и Люстига (1980b) они переосмыслили это в терминах когомологий пересечения Марка Горески и Роберта Макферсона и дали другое определение такого базиса в терминах размерностей некоторых групп когомологий пересечения .

Два базиса для представления Спрингера напомнили Каждану и Люстигу два базиса для группы Гротендика некоторых бесконечномерных представлений полупростых алгебр Ли, заданных модулями Верма и простыми модулями . Эта аналогия, а также работа Йенса Карстена Янцена и Энтони Джозефа, связывающая примитивные идеалы обертывающих алгебр с представлениями групп Вейля, привели к гипотезам Каждана–Люстига.

Определение

Зафиксируем группу Коксетера W с порождающим множеством S и запишем длину элемента w (наименьшую длину выражения для w как произведения элементов S ). Алгебра Гекке группы W имеет базис элементов для над кольцом , с умножением, определяемым как ${\displaystyle \ell (w)}$ ${\displaystyle T_{w}}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{y}T_{w}&=T_{yw},&&{\mbox{if }}\ell (yw)=\ell (y)+\ell (w)\\(T_{s}+1)(T_{s}-q)&=0,&&{\mbox{if }}s\in S.\end{aligned}}}$

Квадратичное второе соотношение подразумевает, что каждый генератор T _s обратим в алгебре Гекке, с обратным T _s ⁻¹ = q ⁻¹ T _s + q ⁻¹ − 1 . Эти обратные удовлетворяют соотношению ( T _s ⁻¹ + 1)( T _s ⁻¹ − q ⁻¹ ) = 0 (полученному путем умножения квадратичного соотношения для T _s на −T _s ⁻² q ⁻¹ ), а также соотношениям кос . Из этого следует, что алгебра Гекке имеет автоморфизм D , который переводит q ^1/2 в q ^−1/2 и каждый T _s в T _s ⁻¹ . В более общем случае имеем ; также можно видеть, что D является инволюцией. ${\displaystyle D(T_{w})=T_{w^{-1}}^{-1}}$

Полиномы Каждана–Люстига P _yw ( q ) индексируются парой элементов y , w из W и однозначно определяются следующими свойствами.

• Они равны 0, если y ≤ w (в порядке Брюа W ) , 1, если y = w , и для y < w их степень не превышает ( ℓ ( w ) − ℓ ( y ) − 1)/2.
• Элементы

${\displaystyle C'_{w}=q^{-{\frac {\ell (w)}{2}}}\sum _{y\leq w}P_{y,w}T_{y}}$

инвариантны относительно инволюции D алгебры Гекке. Элементы образуют базис алгебры Гекке как -модуля, называемый базисом Каждана–Люстига. ${\displaystyle C'_{w}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]}$

Чтобы установить существование полиномов Каждана–Люстига, Каждан и Люстиг предложили простую рекурсивную процедуру вычисления полиномов P _yw ( q ) через более элементарные полиномы, обозначенные R _yw ( q ). Определенные как

${\displaystyle T_{y^{-1}}^{-1}=\sum _{x}D(R_{x,y})q^{-\ell (x)}T_{x}.}$

Их можно вычислить с помощью рекурсивных соотношений

${\displaystyle R_{x,y}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x\not \leq y\\1,&{\mbox{if }}x=y\\R_{sx,sy},&{\mbox{if }}sx<x{\mbox{ and }}sy<y\\R_{xs,ys},&{\mbox{if }}xs<x{\mbox{ and }}ys<y\\(q-1)R_{sx,y}+qR_{sx,sy},&{\mbox{if }}sx>x{\mbox{ and }}sy<y\end{cases}}}$

Полиномы Каждана–Люстига затем можно вычислить рекурсивно, используя соотношение

${\displaystyle q^{{\frac {1}{2}}(\ell (w)-\ell (x))}D(P_{x,w})-q^{{\frac {1}{2}}(\ell (x)-\ell (w))}P_{x,w}=\sum _{x<y\leq w}(-1)^{\ell (x)+\ell (y)}q^{{\frac {1}{2}}(-\ell (x)+2\ell (y)-\ell (w))}D(R_{x,y})P_{y,w}}$

используя тот факт, что два члена слева являются полиномами от q ^1/2 и q ^−1/2 без постоянных членов . Эти формулы утомительно использовать вручную для ранга больше, чем примерно 3, но они хорошо адаптированы для компьютеров, и единственным ограничением при вычислении полиномов Каждана–Люстига с их помощью является то, что для больших рангов число таких полиномов превышает емкость памяти компьютеров.

Примеры

• Если y ≤ w, то P _{y , w} имеет постоянный член 1.
• Если y ≤ w и ℓ ( w ) − ℓ ( y ) ∈ {0, 1, 2} , то P _{y , w} = 1.
• Если w = w ₀ — самый длинный элемент конечной группы Коксетера, то P _{y , w} = 1 для всех y .
• Если W — группа Коксетера A ₁ или A ₂ (или, в более общем случае, любая группа Коксетера ранга не более 2), то P _{y , w} равен 1, если y ≤ w, и 0 в противном случае.
• Если W — группа Коксетера A ₃ с порождающим множеством S = { a , b , c }, где a и c коммутируют, то P _{b , bacb} = 1 + q и P _{ac , acbca} = 1 + q , что дает примеры непостоянных многочленов.
• Простые значения полиномов Каждана–Люстига для групп низкого ранга нетипичны для групп более высокого ранга. Например, для расщепленной формы E ₈ наиболее сложный полином Люстига–Фогана (вариация полиномов Каждана–Люстига: см. ниже) равен

${\displaystyle {\begin{aligned}152q^{22}&+3,472q^{21}+38,791q^{20}+293,021q^{19}+1,370,892q^{18}+4,067,059q^{17}+7,964,012q^{16}\\&+11,159,003q^{15}+11,808,808q^{14}+9,859,915q^{13}+6,778,956q^{12}+3,964,369q^{11}+2,015,441q^{10}\\&+906,567q^{9}+363,611q^{8}+129,820q^{7}+41,239q^{6}+11,426q^{5}+2,677q^{4}+492q^{3}+61q^{2}+3q\end{aligned}}}$

• Поло (1999) показал, что любой многочлен с постоянным членом 1 и неотрицательными целыми коэффициентами является многочленом Каждана–Люстига для некоторой пары элементов некоторой симметрической группы.

Гипотезы Каждана–Люстига

Полиномы Каждана–Люстига возникают как коэффициенты перехода между их каноническим базисом и естественным базисом алгебры Гекке. В статье Inventiones также были выдвинуты две эквивалентные гипотезы, известные сейчас как гипотезы Каждана–Люстига, которые связывали значения их полиномов в 1 с представлениями комплексных полупростых групп Ли и алгебр Ли , решая давнюю проблему в теории представлений.

Пусть W — конечная группа Вейля . Для каждого w ∈ W обозначим через M _w — модуль Верма старшего веса − w ( ρ ) − ρ , где ρ — полусумма положительных корней (или вектор Вейля ), и пусть L _w — его неприводимое частное, простой модуль старшего веса старшего веса − w ( ρ ) − ρ . Оба M _w и L _w являются локально-конечными весовыми модулями над комплексной полупростой алгеброй Ли g с группой Вейля W и, следовательно, допускают алгебраический характер . Обозначим через ch( X ) характер g -модуля X . Гипотезы Каждана–Люстига утверждают:

${\displaystyle \operatorname {ch} (L_{w})=\sum _{y\leq w}(-1)^{\ell (w)-\ell (y)}P_{y,w}(1)\operatorname {ch} (M_{y})}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (M_{w})=\sum _{y\leq w}P_{w_{0}w,w_{0}y}(1)\operatorname {ch} (L_{y})}$

где w ₀ — элемент максимальной длины группы Вейля.

Эти гипотезы были доказаны над алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 независимо Александром Бейлинсоном и Джозефом Бернстайном  (1981) и Жаном-Люком Брилински и Масаки Касивара  (1981). Методы, введенные в ходе доказательства, направляли развитие теории представлений на протяжении 1980-х и 1990-х годов под названием геометрическая теория представлений .

Замечания

1. Известно, что эти две гипотезы эквивалентны. Более того, принцип трансляции Борхо–Янтцена подразумевает, что w ( ρ ) − ρ можно заменить на w ( λ + ρ ) − ρ для любого доминирующего целого веса λ . Таким образом, гипотезы Каждана–Люстига описывают кратности Жордана–Гёльдера модулей Верма в любом регулярном целом блоке категории Бернштейна–Гельфанда–Гельфанда O .

2. Подобная интерпретация всех коэффициентов полиномов Каждана–Люстига следует из гипотезы Янцена , которая грубо утверждает, что отдельные коэффициенты P _y,w являются кратностями L _y в некотором подфакторе модуля Верма, определяемом канонической фильтрацией, фильтрацией Янцена . Гипотеза Янцена в регулярном интегральном случае была доказана в более поздней статье Бейлинсона и Бернстайна  (1993).

3. Дэвид Воган показал, что в результате своих предположений

${\displaystyle P_{y,w}(q)=\sum _{i}q^{i}\dim(\operatorname {Ext} ^{\ell (w)-\ell (y)-2i}(M_{y},L_{w}))}$

и что Ext ^j ( M _y , L _w ) обращается в нуль, если j + ℓ ( w ) + ℓ ( y ) нечетно, поэтому размерности всех таких групп Ext в категории O определяются в терминах коэффициентов полиномов Каждана–Люстига. Этот результат показывает, что все коэффициенты полиномов Каждана–Люстига конечной группы Вейля являются неотрицательными целыми числами. Однако положительность для случая конечной группы Вейля W уже была известна из интерпретации коэффициентов полиномов Каждана–Люстига как размерностей групп когомологий пересечения, независимо от гипотез. Наоборот, связь между полиномами Каждана–Люстига и группами Ext теоретически может быть использована для доказательства гипотез, хотя такой подход к их доказательству оказался более сложным для реализации.

4. Некоторые особые случаи гипотез Каждана–Люстига легко проверить. Например, M ₁ является антидоминантным модулем Верма, который, как известно, прост. Это означает, что M ₁ = L ₁ , что подтверждает вторую гипотезу для w = 1, поскольку сумма сводится к одному члену. С другой стороны, первая гипотеза для w = w ₀ следует из формулы характера Вейля и формулы для характера модуля Верма вместе с тем фактом, что все полиномы Каждана–Люстига равны 1. ${\displaystyle P_{y,w_{0}}}$

5. Кашивара (1990) доказал обобщение гипотез Каждана–Люстига на симметризуемые алгебры Каца–Муди .

Связь с когомологиями пересечения многообразий Шуберта

По разложению Брюа пространство G / B алгебраической группы G с группой Вейля W является несвязным объединением аффинных пространств Xw _, параметризованных элементами w из W. Замыкания этих пространств Xw называются многообразиями Шуберта , а Каждан и Люстиг, следуя предложению Делиня, показали, как выразить многочлены Каждана–Люстига _в терминах групп когомологий пересечений многообразий Шуберта.

Точнее, полином Каждана–Люстига P _{y , w} ( q ) равен

${\displaystyle P_{y,w}(q)=\sum _{i}q^{i}\dim IH_{X_{y}}^{2i}({\overline {X_{w}}})}$

где каждый член справа означает: взять комплекс IC пучков, чьи гипергомологии являются гомологиями пересечений многообразия Шуберта w ( замыкания ячейки X _w ), взять его когомологии степени 2 i , а затем взять размерность стебля этого пучка в любой точке ячейки X _{y ,} замыкание которой является многообразием Шуберта y . Группы когомологий нечетной размерности не появляются в сумме, поскольку все они равны нулю .

Это дало первое доказательство того, что все коэффициенты полиномов Каждана–Люстига для конечных групп Вейля являются неотрицательными целыми числами.

Обобщение на реальные группы

Полиномы Люстига–Фогана (также называемые полиномами Каждана–Люстига или полиномами Каждана–Люстига–Фогана ) были введены в работе Lusztig & Vogan (1983). Они аналогичны полиномам Каждана–Люстига, но адаптированы к представлениям вещественных полупростых групп Ли и играют важную роль в предположительном описании их унитарных дуальных групп . Их определение более сложное, что отражает относительную сложность представлений вещественных групп по сравнению с комплексными группами.

Различие в случаях, непосредственно связанных с теорией представлений, объясняется на уровне двойных смежных классов ; или в других терминах действий на аналогах комплексных флаговых многообразий G / B, где G — комплексная группа Ли, а B — подгруппа Бореля . Исходный (KL) случай тогда касается деталей разложения

${\displaystyle B\backslash G/B}$,

классическая тема разложения Брюа , а до этого — ячеек Шуберта в грассманиане . Случай LV принимает вещественную форму G _R группы G , максимальную компактную подгруппу K _R в этой полупростой группе G _R и делает комплексификацию K группы K _R. Тогда соответствующий объект исследования —

${\displaystyle K\backslash G/B}$.

В марте 2007 года совместный проект «Атлас групп и представлений Ли» объявил, что полиномы L–V были вычислены для расщепленной формы E ₈ . ^[1]

Обобщение на другие объекты в теории представлений

Вторая статья Каждана и Люстига установила геометрическую установку для определения полиномов Каждана–Люстига, а именно геометрию особенностей многообразий Шуберта в многообразии флагов . Большая часть более поздних работ Люстига исследовала аналоги полиномов Каждана–Люстига в контексте других естественных сингулярных алгебраических многообразий, возникающих в теории представлений, в частности, замыканий нильпотентных орбит и многообразий колчанов. Оказалось, что теория представлений квантовых групп , модулярных алгебр Ли и аффинных алгебр Гекке строго контролируется соответствующими аналогами полиномов Каждана–Люстига. Они допускают элементарное описание, но более глубокие свойства этих многочленов, необходимые для теории представлений, следуют из сложных методов современной алгебраической геометрии и гомологической алгебры , таких как использование когомологий пересечений , извращенных пучков и разложения Бейлинсона–Бернштейна–Делиня.

Коэффициенты полиномов Каждана–Люстига предположительно являются размерностями некоторых пространств гомоморфизмов в категории бимодулей Зёргеля. Это единственная известная положительная интерпретация этих коэффициентов для произвольных групп Кокстера.

Комбинаторная теория

Комбинаторные свойства полиномов Каждана–Люстига и их обобщений являются темой активных современных исследований. Учитывая их значимость в теории представлений и алгебраической геометрии, были предприняты попытки разработать теорию полиномов Каждана–Люстига чисто комбинаторным способом, опираясь в некоторой степени на геометрию, но без ссылок на когомологии пересечений и другие передовые методы. Это привело к захватывающим разработкам в алгебраической комбинаторике , таким как явление избегания шаблонов . Некоторые ссылки приведены в учебнике Бьёрнера и Бренти (2005). Исследовательская монография по этой теме — Билли и Лакшмибаи (2000).

Неравенство

Кобаяши (2013) доказал, что значения полиномов Каждана–Люстига при для кристаллографических групп Коксетера удовлетворяют определенному строгому неравенству: Пусть — кристаллографическая система Коксетера и ее полиномы Каждана–Люстига. Если и , то существует отражение такое, что . ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle {P_{uw}(q)}}$ ${\displaystyle u<w}$ ${\displaystyle P_{uw}(1)>1}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle P_{uw}(1)>P_{tu,w}(1)>0}$

Примечания

1. ван Леувен, Марк (2008), «Вычисление полиномов Каждана-Люстига-Вогана для разделения E8» (PDF) , Nieuw Archief voor Wiskunde , 9 (2): 113–116, MR  2454587

Ссылки

• Бейлинсон, Александр ; Бернштейн, Джозеф (1981), Локализация g-модулей , Серия I Математика, т. 292, Париж: CR Acad. Sci., стр. 15–18.
• Бейлинсон, Александр ; Бернштейн, Джозеф (1993), Доказательство гипотез Янцена , Успехи советской математики, т. 16, стр. 1–50.
• Билли, Сара ; Лакшмибай, В. (2000), Особые места многообразий Шуберта , Progress in Mathematics, т. 182, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4092-4.
• Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (2005), "Гл. 5: Каждан–Люстиг и R- полиномы", Комбинаторика групп Коксетера , Graduate Texts in Mathematics, т. 231, Springer , ISBN 978-3-540-44238-7.
• Бренти, Франческо (2003), «Полиномы Каждана – Люстига: история, проблемы и комбинаторная инвариантность», Séminaire Lotharingien de Combinatoire , 49 , Элльванген: Haus Schönenberg: Исследовательская статья B49b.
• Брылински, Жан-Люк ; Кашивара, Масаки (октябрь 1981 г.), «Гипотеза Каждана-Люстига и голономные системы», Inventiones Mathematicae , 64 (3), Springer-Verlag : 387–410, Бибкод : 1981InMat..64..387B, doi : 10.1007/BF01389272, ISSN  0020-9910, S2CID  18403883.
• Кашивара, Масаки (1990), «Гипотеза Каждана–Люстига для симметризуемых алгебр Каца–Муди», The Grothendieck Festschrift, II , Progress in Mathematics, т. 87, Бостон: Birkhauser, стр. 407–433, MR  1106905.
• Каждан, Дэвид ; Люстиг, Джордж (июнь 1979), «Представления групп Кокстера и алгебр Гекке», Inventiones Mathematicae , 53 (2), Springer-Verlag : 165–184, Bibcode : 1979InMat..53..165K, doi : 10.1007/BF01390031, ISSN  0020-9910, S2CID  120098142.
• Каждан, Дэвид ; Люстиг, Джордж (1980a), «Топологический подход к представлениям Спрингера», Advances in Mathematics , 38 (2): 222–228, doi : 10.1016/0001-8708(80)90005-5.
• Каждан, Дэвид ; Люстиг, Джордж (1980b), Многообразия Шуберта и двойственность Пуанкаре , Труды симпозиумов по чистой математике, т. XXXVI, Американское математическое общество , стр. 185–203, doi :10.1090/pspum/036/573434, ISBN 9780821814390.
• Люстиг, Джордж ; Воган, Дэвид (1983), «Особенности замыканий K-орбит на флаговых многообразиях», Inventiones Mathematicae , 71 (2), Springer-Verlag : 365–379, Bibcode : 1983InMat..71..365L, doi : 10.1007/BF01389103, ISSN  0020-9910, S2CID  120917588.
• Поло, Патрик (1999), «Построение произвольных полиномов Каждана–Люстига в симметричных группах», Теория представлений , 3 (4): 90–104, doi :10.1090/S1088-4165-99-00074-6, ISSN  1088-4165, MR  1698201.
• Soergel, Wolfgang (2006), «Многочлены Каждана–Люстига и неразложимые бимодули над кольцами многочленов», Журнал Института математики Жюсье , 6 (3): 501–525, arXiv : math/0403496 , doi :10.1017/S1474748007000023, S2CID  120459494.
• Кобаяши, Масато (2013), «Неравенства на графах Брюа, R- и полиномы Каждана-Люстига», Журнал комбинаторной теории, Серия A , 120 (2): 470–482, arXiv : 1211.4305 , doi : 10.1016/j.jcta.2012.10.001 , S2CID  205929043.

Внешние ссылки

• Материалы весеннего курса 2005 года по теории Каждана-Люстига в Калифорнийском университете в Дэвисе, подготовленного Моникой Вазирани
• Горески, Марк . «Таблицы полиномов Каждана – Люстига».
• Программы GAP для вычисления полиномов Каждана–Люстига.
• Программное обеспечение Коксетера Fokko du Cloux для вычисления полиномов Каждана – Люстига для любой группы Кокстера.
• Программное обеспечение Атлас для расчета полиномов Каждана – Люстига-Вогана.