stringtranslate.com

Арьябхата

Арьябхата ( ИСО : Āryabhaṭa ) или Арьябхата I [3] [4] (476–550 н. э. ) [5] [6] был первым из крупных математиков - астрономов классической эпохи индийской математики и индийской астрономии . Его работы включают Āryabhaṭīya (где упоминается, что в 3600 году Кали-юги , 499 г. н. э., ему было 23 года) [7] и Arya- siddhanta .

За его явное упоминание относительности движения он также может считаться одним из крупнейших физиков раннего периода. [8]

Биография

Иллюстрация Арьябхаты

Имя

Хотя существует тенденция неправильно писать его имя как «Арьябхатта» по аналогии с другими именами, имеющими суффикс « бхатта », его имя правильно пишется как Арьябхата: каждый астрономический текст пишет его имя именно так, [9] включая упоминания его Брахмагуптой «более чем в ста местах по имени». [1] Кроме того, в большинстве случаев «Арьябхатта» также не соответствовало бы размеру. [9]

Время и место рождения

Арьябхата упоминает в Арьябхатии , что ему было 23 года 3600 лет в Кали-юге , но это не означает, что текст был составлен в то время. Этот упомянутый год соответствует 499 году н. э. и подразумевает, что он родился в 476 году. [6] Арьябхата называл себя уроженцем Кусумапуры или Паталипутры (современная Патна , Бихар ). [1]

Другая гипотеза

Бхаскара I описывает Арьябхату как āśmakīya , «принадлежащий к стране Ашмака ». Во времена Будды ветвь народа Ашмака поселилась в регионе между реками Нармадой и Годавари в центральной Индии. [9] [10]

Утверждалось, что ашмака (санскритское «камень»), где родился Арьябхата, может быть современным Кодунгаллуром , который был исторической столицей Тируванчиккулама древней Кералы. [11] Это основано на вере в то, что Котуналлур ранее был известен как Котум-Кал-л-ур («город твердых камней»); однако старые записи показывают, что город на самом деле был Котум-кол-ур («город строгого управления»). Аналогичным образом, тот факт, что несколько комментариев к Арьябхатии пришли из Кералы, использовался для предположения, что это было основное место жизни и деятельности Арьябхаты; однако многие комментарии пришли из-за пределов Кералы, а Арьясиддханта была совершенно неизвестна в Керале. [9] К. Чандра Хари отстаивал гипотезу Кералы на основе астрономических свидетельств. [12]

Арьябхата упоминает «Ланку» несколько раз в «Арьябхатии» , но его «Ланка» — это абстракция, обозначающая точку на экваторе на той же долготе, что и его Удджайини . [13]

Образование

Совершенно очевидно, что в какой-то момент он отправился в Кусумапуру для углубленного изучения и жил там некоторое время. [14] Как индуистская, так и буддийская традиция, а также Бхаскара I (629 г. н. э.) идентифицируют Кусумапуру как Паталипутру , современную Патну . [9] В стихе упоминается, что Арьябхата был главой учреждения ( kulapa ) в Кусумапуре, и, поскольку университет Наланды в то время находился в Паталипутре, предполагается, что Арьябхата мог быть также главой университета Наланды. [9] Также считается, что Арьябхата основал обсерваторию в храме Солнца в Тарегане , Бихар. [15]

Работы

Арьябхата является автором нескольких трактатов по математике и астрономии , хотя Арьябхатия — единственный, который сохранился. [16]

Большая часть исследований включала предметы по астрономии, математике, физике, биологии, медицине и другим областям. [17] Арьябхатия , сборник математики и астрономии, упоминался в индийской математической литературе и сохранился до наших дней. [18] Математическая часть Арьябхатии охватывает арифметику , алгебру , плоскую тригонометрию и сферическую тригонометрию . Она также содержит непрерывные дроби , квадратные уравнения , суммы степенных рядов и таблицу синусов . [18]

Арья -сиддханта , утерянная работа по астрономическим вычислениям, известна по трудам современника Арьябхаты, Варахамихиры , а также более поздних математиков и комментаторов, включая Брахмагупту и Бхаскару I. Эта работа, по-видимому, основана на более старой Сурья-сиддханте и использует полуночное исчисление дня, в отличие от восхода солнца в Арьябхатии . [10] Она также содержала описание нескольких астрономических инструментов: гномона ( шанку-янтра ), теневого инструмента ( чхАйА-янтра ), возможно, устройств для измерения углов, полукруглых и круглых ( дханур-янтра / чакра-янтра ), цилиндрической палки ясти-янтры , устройства в форме зонтика, называемого чхатра-янтра , и водяных часов по крайней мере двух типов, дугообразных и цилиндрических. [10]

Третий текст, который, возможно, сохранился в арабском переводе, — Al ntf или Al-nanf . Он утверждает, что это перевод Арьябхаты, но санскритское название этой работы неизвестно. Вероятно, датируемый IX веком, он упоминается персидским ученым и летописцем Индии Абу Райханом аль-Бируни . [10]

Арьябхатия

Прямые подробности работы Арьябхаты известны только из Арьябхатии . Название «Арьябхатия» дано более поздними комментаторами. Сам Арьябхата, возможно, не давал ему названия. [8] Его ученик Бхаскара I называет его Ашмакатантра (или трактат из Ашмаки). Иногда его также называют Арья-шатас-ашТа (буквально, 108 Арьябхаты), потому что в тексте 108 стихов. [18] [8] Он написан в очень кратком стиле, типичном для литературы сутр , в которой каждая строка является подспорьем для запоминания сложной системы. Таким образом, объяснение смысла принадлежит комментаторам. Текст состоит из 108 стихов и 13 вводных стихов и разделен на четыре пады или главы:

  1. Гитикапада : (13 стихов): большие единицы времени — кальпа , манвантра и юга — которые представляют космологию, отличную от более ранних текстов, таких как Веданга Джьотиша Лагадхи (ок. 1 в. до н. э.). Также есть таблица синусов ( джья ), приведенная в одном стихе. Продолжительность планетарных вращений во время махаюги составляет 4,32 миллиона лет.
  2. Ганитапада (33 стиха): охватывает измерения ( kṣetra vyāvahāra ), арифметические и геометрические прогрессии, гномоны /тени ( shanku - chhAyA ), простые, квадратные , одновременные и неопределенные уравнения ( kuṭṭaka ). [17]
  3. Калакрийапада (25 стихов): различные единицы времени и метод определения положений планет для данного дня, расчеты, касающиеся добавочного месяца ( адхикамаса ), кшая-титхи и семидневная неделя с названиями дней недели. [17]
  4. Голапада (50 стихов): Геометрические/ тригонометрические аспекты небесной сферы , особенности эклиптики , небесный экватор , узел, форма Земли, причина дня и ночи, восход зодиакальных знаков на горизонте и т. д. [17] Кроме того, некоторые версии цитируют несколько колофонов, добавленных в конце, восхваляющих достоинства работы и т. д. [17]

Арьябхатия представила ряд нововведений в математике и астрономии в стихотворной форме, которые были влиятельными на протяжении многих столетий. Чрезвычайная краткость текста была разработана в комментариях его ученика Бхаскары I ( Бхашья , ок. 600 г. н. э.) и Нилаканты Сомаяджи в его Арьябхатия Бхашья (1465 г. н. э.). [18] [17]

Арьябхатия также хорошо известен своим описанием относительности движения. Он выразил эту относительность следующим образом: «Точно так же, как человек в лодке, движущейся вперед, видит неподвижные объекты (на берегу) движущимися назад, точно так же неподвижные звезды видны людям на Земле движущимися точно на запад». [8]

Математика

Система разрядов и ноль

Система позиционных значений , впервые появившаяся в рукописи Бахшали 3-го века , явно присутствовала в его работе. Хотя он не использовал символ для нуля , французский математик Жорж Ифра утверждает, что знание нуля подразумевалось в системе позиционных значений Ариабхаты как держатель места для степеней десяти с нулевыми коэффициентами . [19]

Однако Арьябхата не использовал цифры Брахми. Продолжая санскритскую традицию ведических времен , он использовал буквы алфавита для обозначения чисел, выражая величины, например, таблицу синусов в мнемонической форме. [20]

Приближениеπ

Арьябхата работал над приближением для числа пи (π) и, возможно, пришел к выводу, что число π иррационально. Во второй части Арьябхатияма ( ганитапада 10) он пишет:

чатурадхикам шатамаштагунам двашаштиштатха сахасранам
аютадваявишкамбхасйасанно вриттапаринахах.

«Прибавьте четыре к 100, умножьте на восемь, а затем прибавьте 62 000. По этому правилу можно приблизиться к длине окружности с диаметром 20 000». [21]

Это означает, что для круга, диаметр которого равен 20000, длина окружности будет равна 62832.

т.е. = = , что имеет точность до двух частей на миллион. [22]

Предполагается, что Арьябхата использовал слово āsanna (приближающийся), чтобы иметь в виду, что это не только приближение, но и то, что значение несоизмеримо (или иррационально ). Если это верно, то это довольно сложная идея, потому что иррациональность числа pi (π) была доказана в Европе только в 1761 году Ламбертом . [ 23]

После того, как «Арьябхатия» была переведена на арабский язык (ок. 820 г. н. э.), это приближение было упомянуто в книге Аль-Хорезми по алгебре. [10]

Тригонометрия

В Ганитападе 6 Арьябхата дает площадь треугольника как

трибхуджасйа пхалашарирам самадалакоти бхуджардхасамваргах

что переводится как: «для треугольника результатом перпендикуляра к половине стороны является площадь». [24]

Арьябхата обсуждал концепцию синуса в своей работе под названием ardha-jya , что буквально означает «полуаккорд». Для простоты люди стали называть его jya . Когда арабские писатели переводили его работы с санскрита на арабский, они называли его jiba . Однако в арабских сочинениях гласные опускаются, и оно сокращается до jb . Более поздние писатели заменили его на jaib , что означает «карман» или «складка (в одежде)». (В арабском языке jiba — бессмысленное слово.) Позже в 12 веке, когда Герардо Кремонский перевел эти сочинения с арабского на латынь, он заменил арабское jaib его латинским аналогом sinus , что означает «бухта» или «залив»; отсюда происходит английское слово sine . [25]

Неопределенные уравнения

Проблема, которая с древних времен представляла большой интерес для индийских математиков, заключалась в нахождении целочисленных решений диофантовых уравнений , которые имеют вид ax + by = c. (Эта проблема также изучалась в древней китайской математике, и ее решение обычно называют китайской теоремой об остатках .) Вот пример из комментария Бхаскары к Арьябхатии:

Найдите число, которое дает остаток 5 при делении на 8, остаток 4 при делении на 9 и остаток 1 при делении на 7.

То есть, найдите N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Оказывается, что наименьшее значение для N равно 85. В общем, диофантовы уравнения, такие как это, могут быть печально известны своей сложностью. Они подробно обсуждались в древнем ведическом тексте Sulba Sutras , более древние части которого могут датироваться 800 годом до н. э. Метод Арьябхаты решения таких задач, разработанный Бхаскарой в 621 году н. э., называется методом kuṭṭaka (कुट्टक). Kuṭṭaka означает «измельчение» или «разбивание на мелкие части», и этот метод включает в себя рекурсивный алгоритм для записи исходных множителей в меньших числах. Этот алгоритм стал стандартным методом решения диофантовых уравнений первого порядка в индийской математике, и изначально весь предмет алгебры назывался куттака-ганита или просто куттака . [26]

Алгебра

В «Арьябхатии » Арьябхата предоставил элегантные результаты для суммирования рядов квадратов и кубов: [27]

и

(см . квадрат треугольного числа )

Астрономия

Система астрономии Арьябхаты называлась системой audAyaka , в которой дни отсчитываются от uday , рассвета на lanka или «экваторе». Некоторые из его поздних трудов по астрономии, которые, по-видимому, предлагали вторую модель (или ardha-rAtrikA , полночь), утеряны, но могут быть частично восстановлены из обсуждения в Khandakhadyaka Брахмагупты . В некоторых текстах он, кажется, приписывает видимые движения небес вращению Земли . Он , возможно, считал, что орбиты планеты являются эллиптическими, а не круговыми. [28] [29]

Движения Солнечной системы

Арьябхата правильно настаивал на том, что Земля ежедневно вращается вокруг своей оси, и что видимое движение звезд является относительным движением, вызванным вращением Земли, вопреки господствовавшему тогда мнению, что небо вращается. [22] Это указано в первой главе Арьябхатии , где он приводит число оборотов Земли за югу , [30] и более подробно изложено в его главе Гола : [31]

Точно так же, как кто-то в лодке, идущий вперед, видит неподвижный [объект], движущийся назад, так [кто-то] на экваторе видит неподвижные звезды, движущиеся равномерно на запад. Причина восхода и захода [в том, что] сфера звезд вместе с планетами [очевидно?] поворачивается строго на запад на экваторе, постоянно подталкиваемая космическим ветром .

Арьябхата описал геоцентрическую модель Солнечной системы, в которой Солнце и Луна перемещаются по эпициклам . Они, в свою очередь, вращаются вокруг Земли. В этой модели, которая также встречается в Paitāmahasiddhānta (ок. 425 г. н. э.), движения планет регулируются двумя эпициклами, меньшим manda (медленным) и большим śīghra (быстрым). [32] Порядок планет с точки зрения расстояния от Земли принимается следующим: Луна , Меркурий , Венера , Солнце , Марс , Юпитер , Сатурн и астеризмы . [10]

Положения и периоды планет рассчитывались относительно равномерно движущихся точек. В случае Меркурия и Венеры они движутся вокруг Земли с той же средней скоростью, что и Солнце. В случае Марса, Юпитера и Сатурна они движутся вокруг Земли с определенными скоростями, представляющими движение каждой планеты по зодиаку. Большинство историков астрономии считают, что эта модель с двумя эпициклами отражает элементы доптолемеевской греческой астрономии . [33] Другой элемент в модели Арьябхаты, śīghrocca , основной планетарный период по отношению к Солнцу, рассматривается некоторыми историками как признак базовой гелиоцентрической модели. [34]

Затмения

Солнечные и лунные затмения были научно объяснены Арьябхатой. Он утверждает, что Луна и планеты светят отраженным солнечным светом. Вместо преобладающей космогонии, в которой затмения были вызваны Раху и Кету (идентифицированными как псевдопланетарные лунные узлы ), он объясняет затмения с точки зрения теней, отбрасываемых Землей и падающих на нее. Таким образом, лунное затмение происходит, когда Луна входит в тень Земли (стих gola.37). Он подробно обсуждает размер и протяженность тени Земли (стихи gola.38–48), а затем приводит расчет и размер затменной части во время затмения. Позднее индийские астрономы улучшили расчеты, но методы Арьябхаты составили ядро. Его вычислительная парадигма была настолько точной, что ученый XVIII века Гийом Ле Жантиль во время визита в Пондичерри, Индия, обнаружил, что индийские вычисления продолжительности лунного затмения 30 августа 1765 года были короче на 41 секунду, тогда как его карты (Тобиаса Майера, 1752) были длиннее на 68 секунд. [10]

Звездные периоды

Рассматривая в современных английских единицах времени, Ариабхата вычислил сидерическое вращение (вращение Земли относительно неподвижных звезд) как 23 часа, 56 минут и 4,1 секунды; [35] современное значение составляет 23:56:4,091. Аналогично, его значение для длины сидерического года в 365 дней, 6 часов, 12 минут и 30 секунд (365,25858 дней) [36] является ошибкой в ​​3 минуты и 20 секунд по сравнению с длиной года (365,25636 дней). [37]

Гелиоцентризм

Как уже упоминалось, Арьябхата отстаивал астрономическую модель, в которой Земля вращается вокруг своей оси. Его модель также давала поправки ( аномалию śīgra ) для скоростей планет на небе с точки зрения средней скорости Солнца. Таким образом, было высказано предположение, что вычисления Арьябхаты были основаны на базовой гелиоцентрической модели, в которой планеты вращаются вокруг Солнца, [38] [39] [40], хотя это было опровергнуто. [41] Также было высказано предположение, что аспекты системы Арьябхаты могли быть получены из более ранней, вероятно, доптолемеевской греческой гелиоцентрической модели, о которой индийские астрономы не знали, [42] хотя доказательства скудны. [43] Общее мнение таково, что синодическая аномалия (зависящая от положения Солнца) не подразумевает физическую гелиоцентрическую орбиту (такие поправки также присутствуют в поздних вавилонских астрономических текстах ), и что система Ариабхаты не была явно гелиоцентрической. [44]

Наследие

Первый спутник Индии назван в честь Арьябхаты

Работа Ариабхаты оказала большое влияние на индийскую астрономическую традицию и повлияла на несколько соседних культур посредством переводов. Арабский перевод во время исламского Золотого века (ок. 820 г. н. э.) был особенно влиятельным. Некоторые из его результатов цитируются Аль-Хорезми , а в X веке Аль-Бируни утверждал, что последователи Ариабхаты верили, что Земля вращается вокруг своей оси.

Его определения синуса ( jya ), косинуса ( kojya ), версинуса ( utkrama-jya ) и арксинуса ( otkram jya ) повлияли на рождение тригонометрии . Он также был первым, кто определил таблицы синуса и версинуса (1 − cos  x ) в интервалах 3,75° от 0° до 90° с точностью до 4 знаков после запятой.

Фактически, современные термины «синус» и «косинус» являются неправильными транскрипциями слов jya и kojya , введенных Арьябхатой. Как уже упоминалось, они были переведены на арабский как jiba и kojiba , а затем неправильно поняты Герардом Кремонским при переводе арабского текста по геометрии на латынь . Он предположил, что jiba — это арабское слово jaib , что означает «складка в одежде», L. sinus (ок. 1150). [45]

Методы астрономических вычислений Ариабхаты также оказали большое влияние. Наряду с тригонометрическими таблицами они стали широко использоваться в исламском мире и использовались для вычисления многих арабских астрономических таблиц ( зиджес ). В частности, астрономические таблицы в работе арабского испанского ученого Аль-Заркали (XI век) были переведены на латынь как Таблицы Толедо (XII век) и оставались самыми точными эфемеридами, использовавшимися в Европе на протяжении столетий.

Календарные вычисления, разработанные Арьябхатой и его последователями, постоянно использовались в Индии для практических целей исправления Панчангама ( индуистского календаря ). В исламском мире они легли в основу календаря Джалали, введенного в 1073 году н. э. группой астрономов, включая Омара Хайяма , [46] версии которого (измененные в 1925 году) являются национальными календарями, используемыми в Иране и Афганистане сегодня. Даты календаря Джалали основаны на фактическом солнечном транзите, как в календарях Арьябхаты и более ранних календарях Сиддханты . Этот тип календаря требует эфемериды для расчета дат. Хотя даты было трудно вычислять, сезонные ошибки были меньше в календаре Джалали, чем в григорианском календаре . [ необходима цитата ]

Университет знаний Арьябхатты (AKU), Патна был создан правительством Бихара для развития и управления образовательной инфраструктурой, связанной с техническим, медицинским, управленческим и смежным профессиональным образованием в его честь. Университет регулируется Законом о государственном университете Бихара 2008 года.

Первый спутник Индии Арьябхата и лунный кратер Арьябхата названы в его честь, спутник Арьябхата также изображен на обороте индийской купюры в 2 рупии . Институтом, проводящим исследования в области астрономии, астрофизики и атмосферных наук, является Научно-исследовательский институт наблюдательных наук Арьябхаты (ARIES) недалеко от Найнитала, Индия. Межшкольный конкурс по математике Арьябхаты также назван в его честь, [47] как и Bacillus aryabhata , вид бактерий, обнаруженных в стратосфере учеными ISRO в 2009 году. [48] [49]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abc Bhau Daji (1865). «Краткие заметки о возрасте и подлинности работ Арьябхаты, Варахамихиры, Брахмагупты, Бхаттопалы и Бхаскарачарьи». Журнал Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии. С. 392–406.
  2. ^ Сингх, Дж. (1999). Словарь физики Стерлинга. Sterling Publishers Private Limited. стр. 12. ISBN 978-81-7359-124-2. Получено 15 апреля 2023 г. .
  3. ^ О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, Э. Ф. «Арьябхата Старший». www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. Архивировано из оригинала 11 июля 2015 года . Проверено 18 июля 2012 г.
  4. ^ Britannica Educational Publishing (15 августа 2010 г.). Руководство по числам и измерениям Britannica. Rosen Publishing Group. стр. 97–. ISBN 978-1-61530-218-5.
  5. ^ Bharati Ray (1 сентября 2009 г.). Различные типы истории. Pearson Education India. стр. 95–. ISBN 978-81-317-1818-6.
  6. ^ ab BS Yadav (28 октября 2010 г.). Древние индийские прыжки в математику. Springer. стр. 88. ISBN 978-0-8176-4694-3.
  7. ^ Хайди Роупп (1997). Преподавание всемирной истории: Учебное пособие. ME Sharpe. стр. 112–. ISBN 978-1-56324-420-9.
  8. ^ abcd "Арьябхатия". Энциклопедия.com . Проверено 20 июня 2024 г.
  9. ^ abcdef КВ Сарма (2001). «Арьябхата: его имя, время и происхождение» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 36 (4): 105–115. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 года.
  10. ^ abcdefg Ансари, SMR (март 1977 г.). «Арьябхата I, его жизнь и вклад». Бюллетень Астрономического общества Индии . 5 (1): 10–18. Бибкод : 1977BASI....5...10A. HDL : 2248/502.
  11. ^ Менон (2009). Введение в историю и философию науки. Pearson Education India. стр. 52. ISBN 978-81-317-2890-1.
  12. ↑ Радхакришнан Куттур (25 июня 2007 г.), «Арьябхата жил в Поннани?», The Hindu , заархивировано из оригинала 1 июля 2007 г.
  13. ^ См.:
    * Кларк 1930
    * С. Балачандра Рао (2000). Индийская астрономия: Введение. Ориент Блэксван. п. 82. ИСБН 978-81-7371-205-0.: "В индийской астрономии нулевой меридиан — это большой круг Земли, проходящий через северный и южный полюса, Удджайини и Ланку, где Ланка, как предполагалось, находилась на экваторе Земли".
    * Л. Сатпати (2003). Древняя индийская астрономия. Alpha Science Int'l Ltd. стр. 200. ISBN 978-81-7319-432-0.: "Семь основных точек определяются на экваторе, одна из них называется Ланка, на пересечении экватора с меридиональной линией через Удджайни. Эта Ланка, конечно, вымышленное название и не имеет ничего общего с островом Шри-Ланка".
    * Эрнст Вильгельм. Классическая Мухурта. Kala Occult Publishers. стр. 44. ISBN 978-0-9709636-2-8.: "Точка на экваторе, которая находится ниже города Удджайн, известна, согласно Сиддхантам, как Ланка. (Это не та Ланка, которая сейчас известна как Шри-Ланка; Арьябхата очень ясно утверждает, что Ланка находится на 23 градуса южнее Удджайна.)"
    * RM Pujari; Pradeep Kolhe; NR Kumar (2006). Pride of India: A Glimpse into India's Scientific Heritage. SAMSKRITA BHARATI. стр. 63. ISBN 978-81-87276-27-2.
    * Эбенезер Берджесс; Фаниндралал Гангули (1989). Сурья Сиддханта: Учебник индуистской астрономии. Мотилал Банарсидасс Publ. п. 46. ​​ИСБН 978-81-208-0612-2.
  14. ^ Кук (1997). " Математика индусов ". История математики: краткий курс . Wiley. стр. 204. ISBN 9780471180821Сам Арьябхата (один из по крайней мере двух математиков, носящих это имя) жил в конце V и начале VI веков в Кусумапуре (Паталиутра, деревня недалеко от города Патна) и написал книгу под названием «Арьябхатия» .
  15. ^ "Get ready for solar eclipse" (PDF) . Национальный совет научных музеев, Министерство культуры, Правительство Индии. Архивировано из оригинала (PDF) 21 июля 2011 года . Получено 9 декабря 2009 года .
  16. ↑ Элгарёй, Ойстейн (18 июня 2024 г.), «Арьябхата», Store norske leksikon (на норвежском языке) , получено 20 июня 2024 г..
  17. ^ abcdef "આર્યભટ્ટ" . Гуджаратский Вишвакош . Проверено 20 июня 2024 г.
  18. ^ abcd "Aryabhata - Biography". История математики . Университет Сент-Эндрюс . Получено 20 июня 2024 г.
  19. ^ Джордж. Ифра (1998). Всеобщая история чисел: от доисторических времен до изобретения компьютера . Лондон: John Wiley & Sons.
  20. ^ Дутта, Бибхутибхушан; Сингх, Авадеш Нараян (1962). История индуистской математики . Издательство «Азия», Бомбей. ISBN 81-86050-86-8.
  21. ^ Якобс, Гарольд Р. (2003). Геометрия: Видение, Действие, Понимание (Третье изд.). Нью-Йорк: WH Freeman and Company. стр. 70. ISBN 0-7167-4361-2.
  22. ^ ab Как Арьябхата правильно вычислил окружность Земли Архивировано 15 января 2017 г. на Wayback Machine
  23. ^ S. Balachandra Rao (1998) [Впервые опубликовано в 1994]. Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks . Бангалор: Jnana Deep Publications. ISBN 81-7371-205-0.
  24. ^ Роджер Кук (1997). "Математика индусов". История математики: краткий курс . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3. Арьябхата дал правильное правило для площади треугольника и неправильное правило для объема пирамиды. (Он утверждал, что объем равен половине высоты, умноженной на площадь основания.)
  25. ^ Говард Ивс (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Издательство колледжа Сондерс, Нью-Йорк. С. 237.
  26. ^ Амартья К. Дутта, «Диофантовы уравнения: Куттака». Архивировано 2 ноября 2014 г. на Wayback Machine , Resonance , октябрь 2002 г. Также см. более ранний обзор: Mathematics in Ancient India. Архивировано 2 ноября 2014 г. на Wayback Machine .
  27. ^ Бойер, Карл Б. (1991). «Математика индусов». История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 207. ISBN 0-471-54397-7. Он дал более элегантные правила для суммы квадратов и кубов начального отрезка положительных целых чисел. Шестая часть произведения трех величин, состоящих из числа членов, числа членов плюс один и удвоенного числа членов плюс один, есть сумма квадратов. Квадрат суммы ряда есть сумма кубов.
  28. ^ Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон, Арьябхата Старший. Архивировано 19 октября 2012 г. в Wayback Machine , архив MacTutor History of Mathematics :

    «Он верит, что Луна и планеты светятся отраженным солнечным светом, но, как ни странно, он верит, что орбиты планет представляют собой эллипсы».

  29. ^ Хаяши (2008), Арьябхата I
  30. ^ Арьябхатия 1.3ab, см. Plofker 2009, стр. 111.
  31. ^ [ achalAni bhAni samapashchimagAni ... – golapAda.9–10]. Перевод из KS Shukla и KV Sarma, KV Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa , Нью-Дели: Indian National Science Academy, 1976. Цитируется в Plofker 2009.
  32. ^ Pingree, David (1996). "Астрономия в Индии". В Walker, Christopher (ред.). Астрономия до телескопа . Лондон: British Museum Press. стр. 123–142. ISBN 0-7141-1746-3.стр. 127–9.
  33. ↑ Отто Нойгебауэр, «Передача планетарных теорий в античной и средневековой астрономии», Scripta Mathematica , 22 (1956), стр. 165–192; перепечатано в Otto Neugebauer, Astronomy and History: Selected Essays, New York: Springer-Verlag, 1983, стр. 129–156. ISBN 0-387-90844-7 
  34. ↑ Хью Терстон, «Ранняя астрономия» , Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996, стр. 178–189. ISBN 0-387-94822-8 
  35. ^ RCGupta (31 июля 1997 г.). «Арьябхата». В Хелейн Селин (ред.). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах. Спрингер. п. 72. ИСБН 978-0-7923-4066-9.
  36. ^ Ансари, стр. 13, Таблица 1
  37. ^ Арьябхатия маратхи : आर्यभटीय , Мохан Апте, Пуна, Индия, Rajhans Publications, 2009, стр.25, ISBN 978-81-7434-480-9 
  38. ^ Концепцию индийского гелиоцентризма отстаивал Б.Л. ван дер Варден, «Гелиоцентрическая система в гричиской, персидской и индийской астрономии». Naturforschenden Gesellschaft в Цюрихе. Цюрих: Kommissionsverlag Leeman AG, 1970.
  39. ^ BL van der Waerden, «Гелиоцентрическая система в греческой, персидской и индуистской астрономии», в книге Дэвида А. Кинга и Джорджа Салибы, ред., От Deferent к Equant: том исследований по истории науки на древнем и средневековом Ближнем Востоке в честь Э. С. Кеннеди , Annals of the New York Academy of Science, 500 (1987), стр. 529–534.
  40. ^ Хью Терстон (1996). Ранняя астрономия . Springer . стр. 188. ISBN 0-387-94822-8.
  41. ↑ Ноэль Свердлов, «Обзор: утраченный памятник индийской астрономии», Isis , 64 (1973): 239–243.
  42. ^ Хотя Аристарху Самосскому (III в. до н. э.) приписывают приверженность гелиоцентрической теории, версия греческой астрономии, известная в Древней Индии как Паулиса Сиддханта, не содержит никаких ссылок на такую ​​теорию.
  43. ↑ Деннис Дьюк, «Эквант в Индии: математическая основа древних индийских планетарных моделей». Архив для History of Exact Sciences 59 (2005): 563–576, n. 4 «Архивная копия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 18 марта 2009 г. . Получено 8 февраля 2016 г. .{{cite web}}: CS1 maint: архивная копия как заголовок ( ссылка ).
  44. ^ Ким Плофкер (2009). Математика в Индии . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 111. ISBN 978-0-691-12067-6.
  45. ^ Дуглас Харпер (2001). "Онлайн-этимологический словарь". Архивировано из оригинала 13 июля 2007 года . Получено 14 июля 2007 года .
  46. ^ "Омар Хайям". The Columbia Encyclopedia (6-е изд.). Май 2001. Архивировано из оригинала 17 октября 2007. Получено 10 июня 2007 .
  47. ^ "Математика может быть веселой". The Hindu . 3 февраля 2006 г. Архивировано из оригинала 1 октября 2007 г. Получено 6 июля 2007 г.
  48. ^ «В стратосфере Земли обнаружены новые микроорганизмы». ScienceDaily. 18 марта 2009 г. Архивировано из оригинала 1 апреля 2018 г.
  49. ^ "ISRO Press Release 16 March 2009". ISRO. Архивировано из оригинала 5 января 2012 года . Получено 24 июня 2012 года .

Цитируемые работы

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы по теме Арьябхаты .
В Викицитатнике есть цитаты, связанные с Арьябхатой .