Число π ( / p aɪ / ; пишется как « пи ») — математическая константа , представляющая собой отношение длины окружности к ее диаметру , примерно равное 3,14159 . Число π встречается во многих формулах математики и физики . Это иррациональное число , то есть его нельзя точно выразить как отношение двух целых чисел, хотя для его приближения обычно используются такие дроби, как дроби . Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не входит в постоянно повторяющийся шаблон . Это трансцендентное число , что означает, что оно не может быть решением уравнения, включающего только конечные суммы, произведения, степени и целые числа. Трансцендентность числа π подразумевает, что невозможно решить древнюю задачу квадратуры круга с помощью циркуля и линейки . Десятичные цифры числа π кажутся распределенными случайным образом , [a] , но никаких доказательств этой гипотезы не найдено.
На протяжении тысячелетий математики пытались расширить свое понимание числа π , иногда вычисляя его значение с высокой степенью точности. Древним цивилизациям, включая египтян и вавилонян , требовалось довольно точное приближение числа π для практических вычислений. Около 250 г. до н.э. греческий математик Архимед создал алгоритм, позволяющий аппроксимировать число π с произвольной точностью. В V веке нашей эры китайские математики аппроксимировали число π до семи цифр, а индийские математики сделали пятизначное приближение, используя геометрические методы. Первая вычислительная формула для числа π , основанная на бесконечных рядах , была открыта тысячелетие спустя. [1] [2] Самое раннее известное использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру было осуществлено валлийским математиком Уильямом Джонсом в 1706 году . [3]
Изобретение исчисления вскоре привело к вычислению сотен цифр числа π , достаточных для всех практических научных вычислений. Тем не менее, в 20-м и 21-м веках математики и ученые-компьютерщики использовали новые подходы, которые в сочетании с увеличением вычислительной мощности расширили десятичное представление числа π до многих триллионов цифр. [4] [5] Эти вычисления мотивированы разработкой эффективных алгоритмов расчета числовых рядов, а также стремлением человека побить рекорды. [6] [7] Обширные вычисления также использовались для тестирования суперкомпьютеров , а также стресс-тестирования потребительского компьютерного оборудования.
Поскольку его определение относится к кругу, π встречается во многих формулах тригонометрии и геометрии , особенно в тех, которые касаются кругов, эллипсов и сфер. Он также встречается в формулах из других тем науки, таких как космология , фракталы , термодинамика , механика и электромагнетизм . Оно также появляется в областях, имеющих мало общего с геометрией, таких как теория чисел и статистика , и в современном математическом анализе может быть определена без какой-либо ссылки на геометрию. Повсеместное распространение числа π делает его одной из наиболее широко известных математических констант внутри и за пределами науки. Издано несколько книг, посвященных числу π , а рекордные вычисления цифр π часто попадают в заголовки новостей.
Символ, используемый математиками для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру, — это строчная греческая буква π , иногда записываемая как «пи». [8] В английском языке π произносится как «пирог» ( / p aɪ / PY ). [9] В математическом использовании строчная буква π отличается от ее заглавной и увеличенной аналогии Π , которая обозначает произведение последовательности , аналогично тому, как Σ обозначает суммирование .
Выбор символа π обсуждается в разделе «Принятие символа π».
π обычно определяется как отношение длины окружности C к ее диаметру d : [ 10]
Соотношение постоянно, независимо от размера круга. Например, если диаметр круга в два раза больше диаметра другого круга, его окружность также будет вдвое больше, сохраняя соотношение . Это определение π неявно использует плоскую (евклидову) геометрию ; хотя понятие круга можно распространить на любую кривую (неевклидову) геометрию , эти новые круги больше не будут удовлетворять формуле . [10]
Здесь длина окружности — это длина дуги по периметру круга, величина, которую можно формально определить независимо от геометрии с помощью пределов — понятия в исчислении . [11] Например, можно напрямую вычислить длину дуги верхней половины единичного круга, заданную в декартовых координатах уравнением , как интеграл : [ 12]
Такой интеграл был принят в качестве определения π Карлом Вейерштрассом , который определил его непосредственно как интеграл в 1841 году. [b]
Интеграция больше не широко используется в первом аналитическом определении, потому что, как объясняет Реммерт 2012, дифференциальное исчисление обычно предшествует интегральному исчислению в университетской программе, поэтому желательно иметь определение π , не опирающееся на последнее. Одно из таких определений, данное Ричардом Бальцером [13] и популяризированное Эдмундом Ландау , [14] заключается в следующем: π — это удвоенное наименьшее положительное число, при котором косинус равен 0. [10] [12] [15] π — это также наименьшее положительное число, при котором синусоидальная функция равна нулю, и разность между последовательными нулями синусоидальной функции. Косинус и синус могут быть определены независимо от геометрии как степенной ряд [16] или как решение дифференциального уравнения . [15]
Подобным же образом π можно определить, используя свойства комплексной экспоненты exp z комплексной переменной z . Как и косинус, комплексная экспонента может быть определена одним из нескольких способов. Набор комплексных чисел, при которых exp z равен единице, представляет собой (мнимую) арифметическую прогрессию вида:
и существует единственное положительное действительное число π, обладающее этим свойством. [12] [17]
Вариацией той же идеи, использующей сложные математические понятия топологии и алгебры , является следующая теорема: [18] существует единственный ( с точностью до автоморфизма ) непрерывный изоморфизм группы R / Z действительных чисел при сложении целых чисел . ( группа круга ) на мультипликативную группу комплексных чисел с абсолютным значением один. Тогда число π определяется как половина величины производной этого гомоморфизма. [19]
π — иррациональное число , то есть его нельзя записать как отношение двух целых чисел . Такие дроби, как22/7и355/113обычно используются для аппроксимации числа π , но никакая обыкновенная дробь (отношение целых чисел) не может быть его точным значением. [20] Поскольку число π иррационально, оно имеет бесконечное количество цифр в своем десятичном представлении и не превращается в бесконечно повторяющийся набор цифр. Есть несколько доказательств того, что π иррационально ; они обычно требуют исчисления и полагаются на технику доведения до абсурда . Степень, в которой π можно аппроксимировать рациональными числами (называемая мерой иррациональности ), точно не известна; оценки установили, что мера иррациональности больше меры е или ln 2 , но меньше меры чисел Лиувилля . [21]
Цифры числа π не имеют видимой закономерности и прошли тесты на статистическую случайность , включая тесты на нормальность ; Число бесконечной длины называется нормальным, когда все возможные последовательности цифр (любой заданной длины) встречаются одинаково часто. Гипотеза о том, что π нормальна , не доказана и не опровергнута. [22]
С момента появления компьютеров стало доступно большое количество цифр числа π для проведения статистического анализа. Ясумаса Канада провел подробный статистический анализ десятичных цифр числа π и обнаружил, что они соответствуют нормальности; например, частоты десяти цифр от 0 до 9 были подвергнуты тестам статистической значимости , и никаких доказательств закономерности обнаружено не было. [23] Любая случайная последовательность цифр содержит подпоследовательности произвольной длины, которые кажутся неслучайными в соответствии с теоремой о бесконечных обезьянах . Таким образом, поскольку последовательность цифр числа π проходит статистические тесты на случайность, она содержит некоторые последовательности цифр, которые могут показаться неслучайными, например последовательность из шести последовательных девяток , которая начинается с 762-го десятичного знака десятичного представления числа π . . [24] В математическом фольклоре это также называется «точкой Фейнмана» , в честь Ричарда Фейнмана , хотя никакой связи с Фейнманом не известно.
Помимо того, что π является иррациональным, оно также является трансцендентным числом , что означает, что оно не является решением какого-либо непостоянного полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, такими как . [25] [с]
Трансцендентность π имеет два важных последствия: во-первых, π не может быть выражено с использованием какой-либо конечной комбинации рациональных чисел и квадратных корней или корней n -й степени (таких как или ). Во-вторых, поскольку ни одно трансцендентное число невозможно построить с помощью циркуля и линейки , невозможно « квадратировать круг ». Другими словами, невозможно с помощью только циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого в точности равна площади данного круга. [26] Квадратура круга была одной из важных задач геометрии классической античности . [27] Математики-любители в наше время иногда пытались вычислить квадрат круга и добились успеха, несмотря на то, что это математически невозможно. [28] [29]
Как иррациональное число, π не может быть представлено в виде обыкновенной дроби . Но каждое число, включая π , может быть представлено бесконечной серией вложенных дробей, называемой непрерывной дробью :
Усечение цепной дроби в любой точке дает рациональное приближение для π ; первые четыре из них — 3 ,22/7,333/106, и355/113. Эти числа являются одними из самых известных и наиболее широко используемых исторических приближений константы. Каждое приближение, полученное таким образом, является лучшим рациональным приближением; то есть каждая из них ближе к π , чем любая другая дробь с тем же или меньшим знаменателем. [30] Поскольку π трансцендентно, оно по определению не алгебраическое и поэтому не может быть квадратичным иррациональным числом . Следовательно, π не может иметь периодическую цепную дробь . Хотя простая цепная дробь для π (показанная выше) также не демонстрирует какой-либо другой очевидной закономерности, [31] [32] некоторые обобщенные цепные дроби проявляют ее, например: [33]
Середина из них принадлежит математику середины 17 века Уильяму Браункеру , см. § Формулу Браункера .
Некоторые приближения числа Пи включают:
Цифры в других системах счисления
Любое комплексное число , например z , можно выразить с помощью пары действительных чисел . В полярной системе координат одно число ( радиус или r ) используется для обозначения расстояния z от начала комплексной плоскости , а другое (угол или φ ) — для вращения против часовой стрелки от положительной вещественной линии: [37] ]
где я — мнимая единица, удовлетворяющая . Частое появление π в комплексном анализе может быть связано с поведением показательной функции комплексной переменной, описываемой формулой Эйлера : [38]
где константа e является основанием натурального логарифма . Эта формула устанавливает соответствие между мнимыми степенями e и точками единичной окружности с центром в начале комплексной плоскости. Установка формулы Эйлера приводит к тождеству Эйлера , известному в математике благодаря тому, что оно содержит пять важных математических констант: [38] [39]
Существует n различных комплексных чисел z, удовлетворяющих , и они называются « корнями n - й степени из единицы » [40] и задаются формулой:
Самые известные приближения к датировке по числу π до нашей эры были с точностью до двух десятичных знаков; в китайской математике это было усовершенствовано , в частности, к середине первого тысячелетия, с точностью до семи десятичных знаков. После этого дальнейшего прогресса не наблюдалось до периода позднего средневековья.
Самые ранние письменные приближения числа π найдены в Вавилоне и Египте, оба в пределах одного процента от истинного значения. В Вавилоне на глиняной табличке , датированной 1900–1600 гг. до н.э., есть геометрическое утверждение, которое косвенно трактует π как25/8 = 3,125. [41] В Египте папирус Ринда , датированный примерно 1650 годом до нашей эры, но скопированный из документа, датированного 1850 годом до нашей эры, содержит формулу площади круга, которая рассматривает π как . [32] [41] Хотя некоторые пирамидологи предполагают, что Великая пирамида в Гизе была построена с пропорциями, связанными с числом π , эта теория не получила широкого признания учёных. [42] В «Шулба-сутрах» индийской математики , относящихся к устной традиции первого или второго тысячелетия до нашей эры, даны приближения, которые по-разному интерпретировались как примерно 3,08831, 3,08833, 3,004, 3 или 3,125. [43]
Первым зарегистрированным алгоритмом для строгого расчета значения π был геометрический подход с использованием многоугольников, разработанный около 250 г. до н.э. греческим математиком Архимедом . [44] Этот полигональный алгоритм доминировал более 1000 лет, и в результате π иногда называют постоянной Архимеда. [45] Архимед вычислил верхнюю и нижнюю границы числа π , нарисовав правильный шестиугольник внутри и снаружи круга и последовательно удваивая количество сторон, пока не достиг 96-стороннего правильного многоугольника. Вычислив периметры этих многоугольников, он доказал, что223/71< π <22/7(то есть 3,1408 < π < 3,1429 ). [46] Верхняя граница Архимеда22/7возможно, привело к широко распространенному распространенному мнению, что π равно22/7. [47] Около 150 года нашей эры греко-римский ученый Птолемей в своем «Альмагесте» дал значение π , равное 3,1416, которое он, возможно, получил от Архимеда или от Аполлония Пергского . [48] [49] Математики, использующие полигональные алгоритмы, достигли 39 цифр числа π в 1630 году, рекорд был побит только в 1699 году, когда бесконечные ряды использовались для достижения 71 цифры. [50]
В древнем Китае значения π включали 3,1547 (около 1 года нашей эры), (100 лет нашей эры, примерно 3,1623) и142/45(3 век, примерно 3.1556). [51] Около 265 года нашей эры математик из Королевства Вэй Лю Хуэй создал итерационный алгоритм на основе многоугольников и использовал его с многоугольником с 3072 сторонами, чтобы получить значение π , равное 3,1416. [52] [53] Позже Лю изобрел более быстрый метод вычисления π и получил значение 3,14 для 96-стороннего многоугольника, воспользовавшись тем фактом, что различия в площади последовательных многоугольников образуют геометрическую прогрессию с коэффициентом 4. [52] Китайский математик Цзу Чунчжи около 480 г. н.э. рассчитал это и предложил приближения и , которые он назвал Милю («близкое соотношение») и Юэлю («приблизительное соотношение») соответственно, используя алгоритм Лю Хуэя. Применительно к многоугольнику с числом сторон 12 288. С правильным значением семи первых десятичных цифр это значение оставалось наиболее точным приближением числа π , доступным в течение следующих 800 лет .
Индийский астроном Арьябхата использовал значение 3,1416 в своей «Арьябхатия» (499 г. н.э.). [55] Фибоначчи в ок. 1220 вычислил 3,1418, используя полигональный метод, независимый от Архимеда. [56] Итальянский автор Данте, очевидно, использовал это значение . [56]
Персидский астроном Джамшид аль-Каши в 1424 году получил девять шестидесятеричных цифр, что примерно соответствует 16 десятичным цифрам, используя многоугольник со сторонами [57] [58] , который оставался мировым рекордом на протяжении примерно 180 лет. [59] Французский математик Франсуа Вьет в 1579 году получил девять цифр с многоугольником сторон. [59] Фламандский математик Адриан ван Ромен достиг 15 знаков после запятой в 1593 году. [59] В 1596 году голландский математик Людольф ван Сеулен достиг 20 цифр, позже этот рекорд он увеличил до 35 цифр (в результате число π было названо «людольфианским числом»). число» в Германии до начала 20 века). [60] Голландский учёный Виллеброрд Снеллиус достиг 34 цифр в 1621 году, [61] а австрийский астроном Кристоф Гринбергер достиг 38 цифр в 1630 году, используя 10 40 сторон. [62] Христиан Гюйгенс смог получить 10 десятичных знаков в 1654 году, используя немного другой метод, эквивалентный экстраполяции Ричардсона . [63] [64]
Вычисление числа π произвело революцию благодаря развитию методов бесконечных рядов в 16 и 17 веках. Бесконечная серия – это сумма членов бесконечной последовательности . Бесконечные ряды позволили математикам вычислить число π с гораздо большей точностью, чем Архимед и другие, использовавшие геометрические методы. [65] Хотя бесконечные ряды использовались для определения числа π , в первую очередь, европейскими математиками, такими как Джеймс Грегори и Готфрид Вильгельм Лейбниц , этот подход также появился в школе Кералы где-то в 14 или 15 веке. [66] [67] Около 1500 года нашей эры письменное описание бесконечного ряда, который можно было использовать для вычисления числа π , было изложено в санскритском стихе в « Тантрасамграхе » Нилакантхи Сомаяджи . [66] Серия представлена без доказательств, но доказательства представлены в более поздней работе « Юктибхаша » примерно 1530 года нашей эры. Описано несколько бесконечных рядов, включая ряды для синуса (который Нилакантха приписывает Мадхаве из Сангамаграмы ), косинуса и арктангенса, которые теперь иногда называют рядами Мадхавы . Ряд арктангенса иногда называют рядом Грегори или рядом Грегори – Лейбница. [66] Мадхава использовал бесконечные ряды для оценки π до 11 цифр около 1400 года. [68]
В 1593 году Франсуа Вьет опубликовал то, что сейчас известно как формула Вьета , бесконечное произведение (а не бесконечная сумма , которая чаще используется в вычислениях π ): [69] [70] [71]
В 1655 году Джон Уоллис опубликовал то, что сейчас известно как произведение Уоллиса , также бесконечное произведение: [69]
В 1660-х годах английский учёный Исаак Ньютон и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц открыли исчисление , что привело к разработке множества бесконечных рядов для аппроксимации числа π . Сам Ньютон использовал арксинусный ряд для вычисления 15-значного приближения числа π в 1665 или 1666 годах, написав: «Мне стыдно сказать вам, до скольких цифр я провел эти вычисления, не имея в то время других дел». [72]
В 1671 году Джеймс Грегори и независимо Лейбниц в 1673 году открыли разложение арктангенса в ряд Тейлора : [ 66] [73] [74]
Этот ряд, иногда называемый рядом Грегори-Лейбница , равен при оценке с помощью . [74] Но для , он сходится непрактично медленно (то есть приближается к ответу очень постепенно), требуя примерно в десять раз больше членов для вычисления каждой дополнительной цифры. [75]
В 1699 году английский математик Абрахам Шарп использовал ряд Грегори-Лейбница для вычисления числа π до 71 цифры, побив предыдущий рекорд в 39 цифр, который был установлен с помощью полигонального алгоритма. [76]
В 1706 году Джон Мачин использовал ряд Грегори-Лейбница для создания алгоритма, который сходился гораздо быстрее: [3] [77] [78]
С помощью этой формулы Мачин достиг 100 цифр числа π . [79] Другие математики создали варианты, теперь известные как формулы Мачина , которые использовались для установки нескольких последовательных рекордов по вычислению цифр числа π . [80] [79]
Исаак Ньютон ускорил сходимость ряда Грегори-Лейбница в 1684 г. (в неопубликованной работе; другие независимо обнаружили результат): [81]
Леонард Эйлер популяризировал эту серию в своем учебнике по дифференциальному исчислению 1755 года, а позже использовал ее с формулами, подобными машинам, в том числе с помощью которых он вычислил 20 цифр числа π за один час. [82]
Машиноподобные формулы оставались самым известным методом расчета π даже в эпоху компьютеров и использовались для установления рекордов в течение 250 лет, кульминацией которых стало 620-значное приближение в 1946 году Дэниела Фергюсона - лучшее приближение, достигнутое без посторонней помощи. счетного устройства. [83]
В 1844 году рекорд был установлен Захариасом Дазе , который применил подобную Машину формулу для вычисления в уме 200 десятичных знаков числа π по указанию немецкого математика Карла Фридриха Гаусса . [84]
В 1853 году британский математик Уильям Шэнкс вычислил число π до 607 цифр, но допустил ошибку в 528-й цифре, в результате чего все последующие цифры оказались неверными. Хотя в 1873 году он вычислил еще 100 цифр, доведя общее количество до 707, его предыдущая ошибка также сделала все новые цифры неверными. [85]
Некоторые бесконечные ряды для π сходятся быстрее других. Учитывая выбор двух бесконечных рядов для π , математики обычно будут использовать тот, который сходится быстрее, потому что более быстрая сходимость уменьшает объем вычислений, необходимых для вычисления π с любой заданной точностью. [86] Простой бесконечный ряд для π — это ряд Грегори–Лейбница : [87]
По мере того, как к сумме добавляются отдельные члены этого бесконечного ряда, общая сумма постепенно приближается к π и – при достаточном количестве членов – может приблизиться к π настолько , насколько это необходимо. Однако он сходится довольно медленно – после 500 000 членов он дает только пять правильных десятичных цифр π . [88]
Бесконечный ряд для π (опубликованный Нилакантой в 15 веке), который сходится быстрее, чем ряд Грегори – Лейбница: [89] [90]
В следующей таблице сравниваются скорости сходимости этих двух рядов:
После пяти членов сумма ряда Грегори-Лейбница находится в пределах 0,2 от правильного значения π , тогда как сумма ряда Нилаканты находится в пределах 0,002 от правильного значения. Ряд Нилаканты сходится быстрее и более полезен для вычисления цифр числа π . Ряды, которые сходятся еще быстрее, включают ряд Мачина и ряд Чудновского , последний дает 14 правильных десятичных цифр за член. [86]
Не все математические достижения, связанные с π , были направлены на повышение точности приближений. Когда Эйлер в 1735 году решил Базельскую задачу , найдя точное значение суммы обратных квадратов, он установил связь между π и простыми числами , что впоследствии способствовало разработке и изучению дзета -функции Римана : [91]
Швейцарский учёный Иоганн Генрих Ламберт в 1768 году доказал, что число π иррационально , то есть оно не равно частному двух целых чисел. [20] В доказательстве Ламберта использовалось представление касательной функции в виде цепной дроби. [92] Французский математик Адриен-Мари Лежандр в 1794 году доказал, что π 2 также иррационально. В 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеманн доказал, что число π трансцендентно , [93] подтвердив гипотезу Лежандра и Эйлера. [94] [95] Харди и Райт заявляют, что «доказательства были впоследствии изменены и упрощены Гильбертом, Гурвицем и другими авторами». [96]
В самых ранних обычаях греческая буква π использовалась для обозначения полупериметра ( полупериферия на латыни) круга [8] и объединялась в пропорциях с δ (для диаметра или полудиаметра) или ρ (для радиуса ) для образования констант круга. [97] [98] [99] [100] (До этого математики иногда использовали вместо них такие буквы, как c или p . [101] ) Первое зарегистрированное использование - это « » Оттреда для выражения соотношения периферии и диаметра в 1647 г. и более поздние издания Clavis Mathematicae . [102] [101] Бэрроу также использовал « » для обозначения константы 3,14... , [103] в то время как Грегори вместо этого использовал « » для обозначения 6,28... . [104] [99]
Самое раннее известное использование одной только греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру было осуществлено валлийским математиком Уильямом Джонсом в его работе 1706 года Synopsis Palmariorum Matheseos ; или Новое введение в математику . [3] [105] Греческая буква появляется на стр. 243 во фразе « Периферия ( π )», рассчитанной для круга радиуса один. Однако Джонс пишет, что его уравнения для π взяты из «готового пера поистине гениального мистера Джона Мэчина », что приводит к предположению, что Мачин, возможно, использовал греческую букву до Джонса. [101] Обозначение Джонса не было сразу принято другими математиками, а обозначение дробей все еще использовалось даже в 1767 году. [97] [106]
Эйлер начал использовать однобуквенную форму, начиная с своего «Эссе, объясняющего свойства воздуха» 1727 года , хотя в этой и некоторых более поздних работах он использовал π = 6,28... , отношение периферии к радиусу. [107] [108] Эйлер впервые использовал π = 3,14... в своей работе «Механика» 1736 года , [109] и продолжил в своей широко читаемой работе 1748 года « Introductio in analysin infinitorum» (он писал: «ради краткости мы напишем это число как π ; таким образом, π равно половине длины окружности радиуса 1 "). [110] Поскольку Эйлер активно переписывался с другими математиками в Европе, использование греческой буквы быстро распространилось, и впоследствии эта практика получила повсеместное распространение в западном мире , [101] хотя определение все еще варьировалось между 3,14... и 6,28. ... еще в 1761 году. [111]
Итерационный алгоритм Гаусса – Лежандра :
инициализироватьИтерироватьТогда оценка для π дается выражением
Развитие компьютеров в середине 20-го века снова произвело революцию в поиске цифр числа π . Математики Джон Ренч и Леви Смит в 1949 году с помощью настольного калькулятора достигли 1120 цифр. [112] Используя бесконечный ряд обратного тангенса (арктана), команда под руководством Джорджа Рейтвизнера и Джона фон Неймана в том же году достигла 2037 цифр с помощью расчета, который занял 70 часов компьютерного времени на компьютере ENIAC . [113] [114] Рекорд, всегда основанный на арктанном ряду, неоднократно побивался (3089 цифр в 1955 году, [115] 7480 цифр в 1957 году; 10 000 цифр в 1958 году; 100 000 цифр в 1961 году), пока в 1961 году не был достигнут 1 миллион цифр. 1973. [113]
Два дополнительных события, произошедшие примерно в 1980 году, еще раз ускорили возможность вычисления π . Во-первых, открытие новых итерационных алгоритмов вычисления π , которые были намного быстрее, чем бесконечные ряды; и, во-вторых, изобретение быстрых алгоритмов умножения , которые могли очень быстро умножать большие числа. [116] Такие алгоритмы особенно важны в современных вычислениях π , поскольку большая часть времени компьютера посвящена умножению. [117] К ним относятся алгоритм Карацубы , умножение Тума-Кука и методы, основанные на преобразовании Фурье . [118]
Итеративные алгоритмы были независимо опубликованы в 1975–1976 годах физиком Юджином Саламином и учёным Ричардом Брентом . [119] Они позволяют избежать зависимости от бесконечных рядов. Итерационный алгоритм повторяет определенное вычисление, каждая итерация использует выходные данные предыдущих шагов в качестве входных данных и выдает результат на каждом шаге, который сходится к желаемому значению. На самом деле этот подход был изобретен более 160 лет назад Карлом Фридрихом Гауссом в том, что сейчас называется методом среднего арифметического геометрического (AGM-метод) или алгоритмом Гаусса-Лежандра . [119] В модификации Саламина и Брента его также называют алгоритмом Брента-Саламина.
Итеративные алгоритмы широко использовались после 1980 года, поскольку они быстрее, чем алгоритмы бесконечных рядов: в то время как бесконечные ряды обычно увеличивают количество правильных цифр аддитивно в последовательных терминах, итерационные алгоритмы обычно умножают количество правильных цифр на каждом шаге. Например, алгоритм Брента-Саламина удваивает количество цифр на каждой итерации. В 1984 году братья Джон и Питер Борвейн разработали итерационный алгоритм, который увеличивает количество цифр на каждом шаге в четыре раза; а в 1987 году — тот, который увеличивает количество цифр в пять раз на каждом этапе. [120] Итеративные методы использовались японским математиком Ясумасой Канадой, чтобы установить несколько рекордов по вычислению числа π в период с 1995 по 2002 год. [121] За такую быструю сходимость приходится платить: итеративные алгоритмы требуют значительно больше памяти, чем бесконечные ряды. [121]
Для большинства численных вычислений, включающих π , несколько цифр обеспечивают достаточную точность. По мнению Йорга Арндта и Кристофа Хенеля, тридцати девяти цифр достаточно для выполнения большинства космологических вычислений, поскольку именно такая точность необходима для расчета окружности наблюдаемой Вселенной с точностью до одного атома. Принимая во внимание дополнительные цифры, необходимые для компенсации ошибок округления в вычислениях , Арндт приходит к выводу, что нескольких сотен цифр будет достаточно для любого научного применения. Несмотря на это, люди усердно работали над вычислением числа π до тысяч и миллионов цифр. [122] Эти усилия могут быть частично приписаны человеческому стремлению бить рекорды, и такие достижения с π часто попадают в заголовки газет по всему миру. [123] [124] Они также имеют практическую пользу, например, тестирование суперкомпьютеров , тестирование алгоритмов численного анализа (включая высокоточные алгоритмы умножения ); и в самой чистой математике, предоставляя данные для оценки случайности цифр π . [125]
Современные π -калькуляторы не используют исключительно итерационные алгоритмы. В 1980-х и 1990-х годах были открыты новые бесконечные ряды, которые работают так же быстро, как итеративные алгоритмы, но при этом проще и требуют меньше памяти. [121] Быстрые итерационные алгоритмы появились в 1914 году, когда индийский математик Шриниваса Рамануджан опубликовал десятки инновационных формул для числа π , отличавшихся элегантностью, математической глубиной и быстрой сходимостью. [126] Одна из его формул, основанная на модульных уравнениях , такова:
Этот ряд сходится гораздо быстрее, чем большинство арктанцевых рядов, включая формулу Мачина. [127] Билл Госпер был первым, кто использовал его для достижения успехов в вычислении числа π , установив рекорд в 17 миллионов цифр в 1985 году. [128] Формулы Рамануджана предвосхитили современные алгоритмы, разработанные братьями Борвейн ( Джонатан и Питер ) и Братья Чудновские . [129] Формула Чудновского , разработанная в 1987 г., имеет вид
Он производит около 14 цифр π за термин [130] и использовался для нескольких рекордных вычислений π , в том числе первого, превысившего в 1989 году 1 миллиард (10 9 ) цифр братьями Чудновскими, 10 триллионов (10 13 ) цифр. в 2011 году Александром Йи и Сигэру Кондо, [131] и 100 триллионов цифр Эммой Харукой Ивао в 2022 году . [132] Похожие формулы см. также в ряду Рамануджана-Сато .
В 2006 году математик Саймон Плуфф использовал алгоритм целочисленных отношений PSLQ [133] для создания нескольких новых формул для π , соответствующих следующему шаблону:
где q — e π (постоянная Гельфонда), k — нечетное число , а a , b , c — определенные рациональные числа, вычисленные Плуффом. [134]
Методы Монте-Карло , которые оценивают результаты нескольких случайных испытаний, могут использоваться для создания аппроксимаций π . [135] Игла Бюффона — один из таких приемов: если иглу длиной ℓ бросить n раз на поверхность, на которой проведены параллельные линии на расстоянии t единиц друг от друга, и если x из этих раз она останавливается, пересекая линию ( x > 0 ), то можно аппроксимировать π на основе подсчетов: [136]
Другой метод Монте-Карло для вычисления числа π — нарисовать круг, вписанный в квадрат, и случайным образом расставить точки в квадрате. Отношение точек внутри круга к общему количеству точек будет примерно равно π/4 . [137]
Другой способ вычислить π с использованием вероятности — начать со случайного блуждания , генерируемого последовательностью (честных) подбрасываний монеты: независимые случайные величины X k такие, что X k ∈ {−1,1} с равными вероятностями. Соответствующее случайное блуждание
так что для каждого n W n получается из сдвинутого и масштабированного биномиального распределения . При изменении n W n определяет (дискретный) случайный процесс . Тогда π можно вычислить по формуле [138]
Этот метод Монте-Карло не зависит от какого-либо отношения к окружностям и является следствием центральной предельной теоремы , обсуждаемой ниже.
Эти методы Монте-Карло для аппроксимации числа π очень медленны по сравнению с другими методами и не дают никакой информации о точном количестве получаемых цифр. Таким образом, они никогда не используются для аппроксимации числа π , когда требуется скорость или точность. [139]
В 1995 году были открыты два алгоритма, которые открыли новые возможности исследования π . Их называют алгоритмами крана, потому что, подобно воде, капающей из крана , они выдают однозначные числа π , которые не используются повторно после расчета. [140] [141] В этом отличие от бесконечных рядов или итеративных алгоритмов, которые сохраняют и используют все промежуточные цифры до тех пор, пока не будет получен окончательный результат. [140]
Математики Стэн Вагон и Стэнли Рабиновиц разработали простой алгоритм втулки в 1995 году. [141] [142] [143] Его скорость сравнима с алгоритмами арктанга, но не так быстро, как итеративные алгоритмы. [142]
Другой алгоритм патрубка, алгоритм извлечения цифр BBP , был открыт в 1995 году Саймоном Плуффом: [144] [145]
Эта формула, в отличие от других, предшествующих ей, может дать любую отдельную шестнадцатеричную цифру числа π , не вычисляя все предыдущие цифры. [144] Отдельные двоичные цифры могут быть извлечены из отдельных шестнадцатеричных цифр, а восьмеричные цифры могут быть извлечены из одной или двух шестнадцатеричных цифр. Важным применением алгоритмов извлечения цифр является проверка новых утверждений о вычислениях записи π : после того, как заявлена новая запись, десятичный результат преобразуется в шестнадцатеричный, а затем алгоритм извлечения цифр используется для вычисления нескольких случайных шестнадцатеричных цифр ближе к концу; если они совпадают, это дает меру уверенности в том, что все вычисления верны. [131]
Между 1998 и 2000 годами проект распределенных вычислений PiHex использовал формулу Белларда (модификация алгоритма BBP) для вычисления квадриллионного (10 15 -го) бита числа π , который оказался равен 0. [146] В сентябре 2010 года Yahoo ! Сотрудник использовал приложение Hadoop компании на тысяче компьютеров в течение 23 дней, чтобы вычислить 256 бит числа π в двухквадриллионном (2×10 15 -й) бите, который также оказывается нулевым. [147]
В 2022 году Плуфф нашел алгоритм с основанием 10 для вычисления цифр числа π . [148]
Поскольку число π тесно связано с кругом, оно встречается во многих формулах из области геометрии и тригонометрии, особенно в тех, которые касаются кругов, сфер или эллипсов. Другие отрасли науки, такие как статистика, физика, анализ Фурье и теория чисел, также включают π в некоторые из своих важных формул.
π появляется в формулах для площадей и объемов геометрических фигур, основанных на кругах, таких как эллипсы , сферы , конусы и торы . Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных формул, в которых используется π . [149]
Некоторые из приведенных выше формул являются частными случаями объема n -мерного шара и площади поверхности его границы, ( n −1)-мерной сферы , приведенных ниже.
Помимо кругов, существуют и другие кривые постоянной ширины . По теореме Барбье периметр каждой кривой постоянной ширины равен π , умноженному на ее ширину. Треугольник Рело (образованный пересечением трех кругов, радиусы которых являются сторонами равностороннего треугольника ) имеет наименьшую возможную площадь при своей ширине, а круг - наибольшую. Существуют также некруговые гладкие и даже алгебраические кривые постоянной ширины. [150]
Определенные интегралы , описывающие окружность, площадь или объем фигур, созданных кругами, обычно имеют значения, включающие π . Например, интеграл, определяющий половину площади круга радиуса один, имеет вид: [151]
В этом интеграле функция представляет высоту полукруга над осью ( квадратный корень является следствием теоремы Пифагора ), а интеграл вычисляет площадь под полукругом.
Тригонометрические функции основаны на углах, и математики обычно используют радианы в качестве единиц измерения. π играет важную роль в углах, измеряемых в радианах , которые определяются так, что полный круг охватывает угол в 2 π радиан. Угловая мера 180° равна π радиан, а 1° = π /180 радиан. [152]
Общие тригонометрические функции имеют периоды, кратные π ; например, синус и косинус имеют период 2 π , [153] поэтому для любого угла θ и любого целого числа k , [153]
Многие появления числа π в формулах математики и естественных наук связаны с его тесной связью с геометрией. Однако π появляется и во многих естественных ситуациях, по-видимому, не имеющих ничего общего с геометрией.
Во многих приложениях оно играет выдающуюся роль собственного значения . Например, идеализированную вибрирующую струну можно смоделировать как график функции f на единичном интервале [0, 1] с фиксированными концами f (0) = f (1) = 0 . Моды колебаний струны являются решениями дифференциального уравнения , или . Таким образом , λ является собственным значением оператора второй производной и согласно теории Штурма – Лиувилля ограничено возможностью принимать только определенные конкретные значения. Оно должно быть положительным, поскольку оператор отрицательно определен , поэтому удобно писать λ = ν 2 , где ν > 0 называется волновым числом . Тогда f ( x ) = sin( π x ) удовлетворяет граничным условиям и дифференциальному уравнению с ν = π . [154]
Значение π фактически является наименьшим из таких значений волнового числа и связано с основной формой колебаний струны. Один из способов показать это — оценить энергию , которая удовлетворяет неравенству Виртингера : [155] для функции с f (0) = f (1) = 0 и f , f ′ обе интегрируемы с квадратом , мы имеем:
с равенством именно тогда, когда f кратно sin(π x ) . Здесь π появляется как оптимальная константа в неравенстве Виртингера, и отсюда следует, что это наименьшее волновое число, если использовать вариационную характеристику собственного значения. Как следствие, π — наименьшее сингулярное значение оператора производной в пространстве функций на [0, 1], обращающихся в нуль в обоих концах ( пространство Соболева ).
Число π , которое служит, появляется в аналогичных задачах на собственные значения в многомерном анализе. Как упоминалось выше, ее можно охарактеризовать через роль лучшей константы в изопериметрическом неравенстве : площадь A , ограниченная плоской жордановой кривой с периметром P , удовлетворяет неравенству
и равенство явно достигается для круга, так как в этом случае A = π r 2 и P = 2π r . [157]
В конечном итоге, как следствие изопериметрического неравенства, π появляется в оптимальной константе для критического неравенства Соболева в n измерениях, что, таким образом, характеризует роль π и во многих физических явлениях, например, в классической теории потенциала . [158] [159] [160] В двух измерениях критическое неравенство Соболева имеет вид
для f гладкая функция с компактным носителем в R 2 является градиентом f и относится соответственно к L 2 и L 1 -норме . Неравенство Соболева эквивалентно изопериметрическому неравенству (в любом измерении) с теми же лучшими константами.
Неравенство Виртингера также обобщается на многомерные неравенства Пуанкаре , которые обеспечивают наилучшие константы для энергии Дирихле n - мерной мембраны. В частности, π — наибольшая константа такая, что
для всех выпуклых подмножеств G в R n диаметра 1 и интегрируемых с квадратом функций u на G с нулевым средним значением. [161] Точно так же, как неравенство Виртингера является вариационной формой проблемы собственных значений Дирихле в одном измерении, неравенство Пуанкаре является вариационной формой проблемы собственных значений Неймана в любом измерении.
Константа π также появляется как критический спектральный параметр в преобразовании Фурье . Это интегральное преобразование , которое преобразует комплекснозначную интегрируемую функцию f на действительной прямой в функцию, определяемую как:
Хотя существует несколько различных соглашений о преобразовании Фурье и обратном ему, любое такое соглашение должно где-то включать π . Однако приведенное выше определение является наиболее каноническим, дающим единственный унитарный оператор в L 2 , который также является алгебраическим гомоморфизмом L 1 в L ∞ . [162]
Принцип неопределенности Гейзенберга также содержит число π . Принцип неопределенности дает точную нижнюю границу степени, в которой можно локализовать функцию как в пространстве, так и по частоте: с нашими соглашениями о преобразовании Фурье
Физические последствия, касающиеся неопределенности при одновременном наблюдении положения и импульса квантово -механической системы, обсуждаются ниже. Появление π в формулах анализа Фурье в конечном итоге является следствием теоремы Стоуна–фон Неймана , утверждающей единственность представления Шрёдингера группы Гейзенберга . [163]
В областях вероятности и статистики нормальное распределение часто используется как простая модель сложных явлений; например, ученые обычно предполагают, что ошибка наблюдения в большинстве экспериментов подчиняется нормальному распределению. [164] Функция Гаусса , которая представляет собой функцию плотности вероятности нормального распределения со средним значением µ и стандартным отклонением σ , естественно содержит π : [165]
Коэффициент делает площадь под графиком f равной единице, как того требует распределение вероятностей. Это следует из замены переменных в интеграле Гаусса : [165]
который говорит, что площадь под основной колоколообразной кривой на рисунке равна квадратному корню из π .
Центральная предельная теорема объясняет центральную роль нормального распределения и, следовательно , π в вероятности и статистике. Эта теорема в конечном итоге связана со спектральной характеристикой π как собственного значения, связанной с принципом неопределенности Гейзенберга, и с тем фактом, что равенство в принципе неопределенности выполняется только для функции Гаусса. [166] Аналогично, π — это уникальная константа, которая делает гауссово нормальное распределение e −π x 2 равным собственному преобразованию Фурье. [167] Действительно, согласно Хоу (1980), «весь процесс» установления фундаментальных теорем анализа Фурье сводится к интегралу Гаусса. [163]
Константа π появляется в формуле Гаусса – Бонне , которая связывает дифференциальную геометрию поверхностей с их топологией . В частности, если компактная поверхность Σ имеет гауссовую кривизну K , то
где χ (Σ) — эйлерова характеристика , являющаяся целым числом. [168] Примером является площадь поверхности сферы S кривизны 1 (так что ее радиус кривизны , который совпадает с ее радиусом, также равен 1.) Эйлерова характеристика сферы может быть вычислена из ее групп гомологии и равна оказалось равным двум. Таким образом, мы имеем
воспроизводя формулу площади поверхности сферы радиуса 1.
Константа появляется во многих других интегральных формулах топологии, в частности, в тех, которые включают характеристические классы через гомоморфизм Черна – Вейля . [169]
Одним из ключевых инструментов комплексного анализа является контурное интегрирование функции по положительно ориентированной ( спрямляемой ) жордановой кривой γ . Форма интегральной формулы Коши гласит, что если точка z 0 находится внутри γ , то [170]
Хотя кривая γ не является окружностью и, следовательно, не имеет какой-либо очевидной связи с константой π , стандартное доказательство этого результата использует теорему Мореры , из которой следует, что интеграл инвариантен относительно гомотопии кривой, так что его можно деформируется в окружность, а затем явно интегрируется в полярных координатах. В более общем смысле верно, что если спрямляемая замкнутая кривая γ не содержит z 0 , то указанный выше интеграл в 2π i раз превышает число витков кривой.
Общий вид интегральной формулы Коши устанавливает связь между значениями комплексной аналитической функции f ( z ) на жордановой кривой γ и значением f ( z ) в любой внутренней точке z0 кривой γ : [ 171]
при условии, что f ( z ) аналитична в области, ограниченной γ , и непрерывно продолжается до γ . Интегральная формула Коши является частным случаем теоремы о вычетах , согласно которой если g ( z ) — мероморфная функция, область, заключенная в γ , и непрерывна в окрестности γ , то
где сумма представляет собой вычеты в полюсах g ( z ) .
Константа π повсеместно встречается в векторном исчислении и теории потенциала , например, в законе Кулона , [172] законе Гаусса , уравнениях Максвелла и даже уравнениях поля Эйнштейна . [173] [174] Возможно, самым простым примером этого является двумерный ньютоновский потенциал , представляющий потенциал точечного источника в начале координат, связанное с ним поле имеет единичный поток наружу через любую гладкую и ориентированную замкнутую поверхность, окружающую источник:
В более высоких измерениях коэффициенты π присутствуют из-за нормализации на n-мерный объем единичной n сферы . Например, в трех измерениях ньютоновский потенциал равен: [175]
При математическом изучении дифференциальной геометрии кривых полная кривизна погруженной плоской кривой представляет собой интеграл кривизны вдоль кривой , взятый по длине дуги :
Функция факториала — это произведение всех натуральных чисел до n . Гамма -функция расширяет концепцию факториала (обычно определяемого только для неотрицательных целых чисел) на все комплексные числа, за исключением отрицательных действительных целых чисел, с единицей . Когда гамма-функция оценивается как полуцелые числа, результат содержит π . Например, и . [176]
Гамма-функция определяется разработкой продукта Вейерштрасса : [177]
где γ — постоянная Эйлера–Машерони . Вычисленное при z = 1/2 и возведенное в квадрат уравнение Γ(1/2) 2 = π сводится к формуле произведения Уоллиса. Гамма-функция также связана с дзета-функцией Римана и тождествами для функционального определителя , в котором константа π играет важную роль.
Гамма-функция используется для вычисления объема V n ( r ) n -мерного шара радиуса r в евклидовом n -мерном пространстве и площади поверхности S n −1 ( r ) его границы ( n −1 )-мерная сфера : [178]
Далее, из функционального уравнения следует, что
Гамма-функция может использоваться для создания простой аппроксимации факториала n ! для больших n : это известно как приближение Стирлинга . [179] Эквивалентно,
В качестве геометрического применения приближения Стирлинга пусть Δ n обозначает стандартный симплекс в n -мерном евклидовом пространстве, а ( n + 1)Δ n обозначает симплекс, все стороны которого увеличены в n + 1 раз . Затем
Гипотеза Эрхарта об объеме состоит в том, что это (оптимальная) верхняя граница объема выпуклого тела , содержащего только одну точку решетки . [180]
Дзета -функция Римана ζ ( s ) используется во многих областях математики. При оценке при s = 2 это можно записать как
Поиск простого решения для этого бесконечного ряда был знаменитой математической задачей, называемой Базельской проблемой . Леонард Эйлер решил ее в 1735 году, показав, что она равна π 2 /6 . [91] Результат Эйлера приводит к результату теории чисел , согласно которому вероятность того, что два случайных числа являются относительно простыми (то есть не имеют общих множителей), равна 6/π 2 . [181] [182] Эта вероятность основана на наблюдении, что вероятность того, что любое число делится на простое число p , равна 1/ p (например, каждое 7-е целое число делится на 7). Следовательно, вероятность того, что два числа оба являются делится на это простое число, равно 1/ p 2 , а вероятность того, что хотя бы одно из них не делится на это простое число, равна 1 - 1/ p 2 . Для различных простых чисел эти события делимости взаимно независимы; поэтому вероятность того, что два числа являются относительно простыми, определяется произведением всех простых чисел: [183]
Эту вероятность можно использовать вместе с генератором случайных чисел для аппроксимации числа π с использованием подхода Монте-Карло. [184]
Решение Базельской проблемы подразумевает, что геометрически полученная величина π глубоко связана с распределением простых чисел. Это частный случай гипотезы Вейля о числах Тамагавы , которая утверждает равенство подобных таких бесконечных произведений арифметических величин, локализованных в каждом простом числе p , и геометрической величины: обратной объему некоторого локально симметричного пространства . В случае Базельской задачи это гиперболическое 3-многообразие SL 2 ( R ) / SL 2 ( Z ) . [185]
Дзета-функция также удовлетворяет функциональному уравнению Римана, которое включает в себя π , а также гамма-функцию:
Кроме того, производная дзета-функции удовлетворяет условию
Следствием этого является то, что π можно получить из функционального определителя гармонического осциллятора . Этот функциональный определитель можно вычислить посредством разложения произведения, и он эквивалентен формуле произведения Уоллиса. [186] Расчеты могут быть переработаны в квантовой механике , в частности, в вариационном подходе к спектру атома водорода . [187]
Константа π также естественным образом появляется в рядах Фурье периодических функций . Периодические функции — это функции на группе T = R / Z дробных частей действительных чисел. Разложение Фурье показывает, что комплекснозначная функция f на T может быть записана как бесконечная линейная суперпозиция унитарных характеров T . То есть непрерывные групповые гомоморфизмы из T в группу окружностей U (1) комплексных чисел с единичным модулем. Это теорема, что каждый характер T является одной из комплексных экспонент .
На T существует единственный характер с точностью до комплексного сопряжения, который является групповым изоморфизмом. Используя меру Хаара на группе окружностей, константа π равна половине величины производной Радона – Никодима этого характера. Остальные символы имеют производные, величины которых являются целыми положительными кратными 2 π . [19] В результате константа π является единственным числом таким, что группа T , снабженная своей мерой Хаара, двойственна по Понтрягину решетке целых кратных 2 π . [189] Это версия одномерной формулы суммирования Пуассона .
Константа π глубоко связана с теорией модулярных форм и тэта-функций . Например, алгоритм Чудновского существенным образом задействует j-инвариант эллиптической кривой .
Модульные формы — это голоморфные функции в верхней полуплоскости , характеризующиеся своими свойствами преобразования относительно модулярной группы (или ее различных подгрупп), решетки в группе . Примером может служить тета-функция Якоби.
это своего рода модульная форма, называемая формой Якоби . [190] Иногда это пишут в терминах нома .
Константа π — это уникальная константа, которая делает тэта-функцию Якоби автоморфной формой , что означает, что она преобразуется определенным образом. Некоторые тождества справедливы для всех автоморфных форм. Примером является
из чего следует, что θ преобразуется как представление дискретной группы Гейзенберга . Общие модулярные формы и другие тэта-функции также включают π , опять-таки из-за теоремы Стоуна-фон Неймана . [190]
Распределение Коши
представляет собой функцию плотности вероятности . Полная вероятность равна единице благодаря интегралу:
Энтропия Шеннона распределения Коши равна ln(4π) , что также включает π .
Распределение Коши играет важную роль в теории потенциала, поскольку это простейшая мера Фюрстенберга , классическое ядро Пуассона , связанное с броуновским движением в полуплоскости. [191] Сопряженные гармонические функции , а также преобразование Гильберта связаны с асимптотикой ядра Пуассона. Преобразование Гильберта H — это интегральное преобразование, определяемое главным значением Коши сингулярного интеграла.
Константа π — это уникальный (положительный) нормализующий фактор, такой, что H определяет линейную комплексную структуру в гильбертовом пространстве интегрируемых с квадратом вещественных функций на действительной прямой. [192] Преобразование Гильберта, как и преобразование Фурье, можно охарактеризовать исключительно с точки зрения его свойств преобразования в гильбертовом пространстве L2 ( R ) : с точностью до нормировочного множителя это единственный ограниченный линейный оператор, который коммутирует с положительными расширениями . и против поездок на работу со всеми отражениями реальной линии. [193] Константа π является уникальным нормировочным множителем, который делает это преобразование унитарным.
Появление числа π во фрактале , называемом множеством Мандельброта , было обнаружено Дэвидом Боллом в 1991 году . [194] Он исследовал поведение множества Мандельброта вблизи «перешейка» при (-0,75, 0) . Когда количество итераций до расхождения для точки (−0,75, ε ) умножается на ε , результат приближается к π , когда ε приближается к нулю. Точка (0,25 + ε , 0) на вершине большой «долины» в правой части множества Мандельброта ведет себя аналогично: число итераций до тех пор, пока дивергенция, умноженная на квадратный корень из ε , стремится к π . [194] [195]
Пусть V — множество всех дважды дифференцируемых вещественных функций , удовлетворяющих обыкновенному дифференциальному уравнению . Тогда V — двумерное вещественное векторное пространство с двумя параметрами, соответствующими паре начальных условий дифференциального уравнения. Для любого пусть будет функционалом оценки, который сопоставляет каждому значение функции f в реальной точке t . Тогда для каждого t ядро является одномерным линейным подпространством V . Следовательно, определяет функцию от действительной прямой до действительной проективной прямой . Эта функция периодическая, и величину π можно охарактеризовать как период этого отображения. [196] Это примечательно тем, что в этом контексте естественным образом появляется константа π , а не 2 π .
Хотя число π не является физической константой , оно регулярно появляется в уравнениях, описывающих фундаментальные принципы Вселенной, часто из-за связи π с кругом и сферическими системами координат . Простая формула из области классической механики дает приблизительный период Т простого маятника длины L , качающегося с небольшой амплитудой ( g — ускорение свободного падения Земли ): [197]
Одной из ключевых формул квантовой механики является принцип неопределенности Гейзенберга , который показывает, что неопределенность в измерении положения частицы (Δx ) и импульса (Δp ) не может одновременно быть сколь угодно малой (где h — планковская константа ): [198]
Тот факт, что π примерно равно 3, играет роль в относительно длительном времени жизни ортопозитрония . Время жизни, обратное низшему порядку постоянной тонкой структуры α , равно [199]
π присутствует в некоторых формулах проектирования конструкций, таких как формула потери устойчивости , выведенная Эйлером, которая дает максимальную осевую нагрузку F , которую может выдержать длинная тонкая колонна длиной L , модуль упругости E и момент инерции площади I , которые могут нести без потери устойчивости. : [200]
Область гидродинамики содержит π в законе Стокса , который аппроксимирует силу трения F , действующую на небольшие сферические объекты радиуса R , движущиеся со скоростью v в жидкости с динамической вязкостью η : [201]
В электромагнетике константа проницаемости вакуума ц 0 появляется в уравнениях Максвелла , описывающих свойства электрических и магнитных полей и электромагнитного излучения . До 20 мая 2019 года он определялся именно как
В идеальных условиях (равномерный пологий склон на однородно эродируемом субстрате) извилистость извилистой реки приближается к π . Извилистость — это соотношение фактической длины и расстояния по прямой от истока до устья. Более быстрые течения вдоль внешних краев излучин реки вызывают большую эрозию, чем вдоль внутренних, тем самым выдвигая изгибы еще дальше и увеличивая общую извилистость реки. Однако эта извилистость в конечном итоге приводит к тому, что река местами разворачивается и «замыкается», образуя при этом старичное озеро . Баланс между этими двумя противоположными факторами приводит к среднему соотношению π между фактической длиной и прямым расстоянием между источником и устьем. [202] [203]
Пифилология — это практика запоминания большого количества цифр числа π , [204] и мировые рекорды хранятся в Книге рекордов Гиннеса . Рекорд запоминания цифр числа π , сертифицированный Книгой рекордов Гиннеса, составляет 70 000 цифр, он был произнесен в Индии Раджвиром Миной за 9 часов 27 минут 21 марта 2015 года. [205] В 2006 году Акира Харагути , японский инженер на пенсии, заявил произнес 100 000 десятичных знаков, но это утверждение не было подтверждено Книгой рекордов Гиннеса. [206]
Один из распространенных методов — запомнить рассказ или стихотворение, в котором длины слов представляют собой цифры числа π : в первом слове три буквы, во втором — одна, в третьем — четыре, в четвертом — одна, в пятом — пять и скоро. Такие средства запоминания называются мнемотехникой . Ранний пример мнемоники числа «пи», первоначально придуманной английским ученым Джеймсом Джинсом , звучит так: «Как мне хочется выпить, конечно, алкоголика, после тяжелых лекций по квантовой механике». [204] Когда используется стихотворение, его иногда называют стихотворением . [207] Стихи для запоминания числа π написаны не только на английском, но и на нескольких языках. [204] Рекордные π - памятники обычно не полагаются на стихи, а вместо этого используют такие методы, как запоминание числовых шаблонов и метод локусов . [208]
Некоторые авторы использовали цифры π , чтобы создать новую форму ограниченного письма , где длины слов должны представлять цифры π . Таким образом, Кадейская каденция содержит первые 3835 цифр числа π, [ 209 ] а полная книга Not a Wake содержит 10 000 слов, каждое из которых представляет одну цифру числа π . [210]
Возможно, из-за простоты определения и повсеместного присутствия в формулах, π было представлено в популярной культуре больше, чем другие математические конструкции. [211]
Во Дворце открытий (музее науки в Париже) есть круглая комната, известная как комната Пи . На его стене начертано 707 цифр числа π . Цифры представляют собой большие деревянные символы, прикрепленные к куполообразному потолку. Цифры были основаны на расчете 1873 года английского математика Уильяма Шэнкса , который включал ошибку, начинающуюся с 528-й цифры. Ошибка была обнаружена в 1946 г. и исправлена в 1949 г. [212]
В романе Карла Сагана «Контакт» 1985 года предполагается, что создатель Вселенной спрятал послание глубоко внутри цифр π . Эта часть истории была исключена из экранизации романа. [213] [214] Цифры π также были включены в текст песни «Pi» из альбома Кейт Буш «Aerial» 2005 года . [215] В эпизоде «Звездного пути» 1967 года « Волк в загоне » вышедший из-под контроля компьютер удерживается с помощью инструкции «Вычислить до последней цифры значение π ». [46]
В Соединенных Штатах День Пи выпадает на 14 марта (в американском стиле пишется 3/14) и популярен среди студентов. [46] Число π и его цифровое представление часто используются самопровозглашенными « фанатами математики » для шуток среди математически и технологически мыслящих групп. Приветствие колледжа , которое по-разному приписывают Массачусетскому технологическому институту или Политехническому институту Ренсселера, включает «3.14159». [216] [217] День Пи в 2015 году был особенно значимым, потому что дата и время 14.03.15 9:26:53 отражали гораздо больше цифр числа Пи. [218] [219] В тех частях мира, где даты обычно отмечаются в формате день/месяц/год, 22 июля представляет собой «День приближения числа Пи», поскольку 22/7 = 3,142857. [220]
Некоторые предложили заменить π на τ = 2 π , [221] утверждая, что τ , как число радиан за один оборот или отношение длины окружности к ее радиусу, более естественно, чем π , и упрощает многие формулы. [222] [223] Такое использование τ не вошло в основную математику, [224] но с 2010 года это привело к тому, что люди празднуют День двух Пи или День Тау 28 июня. [225]
В 1897 году математик-любитель попытался убедить законодательный орган штата Индиана принять закон штата Индиана о Пи , который описывал метод квадратуры круга и содержал текст, подразумевающий различные неправильные значения числа π , включая 3,2. Законопроект печально известен как попытка установить значение математической константы законодательным указом. Законопроект был принят Палатой представителей Индианы, но отклонен Сенатом и, таким образом, не стал законом. [226]
В современной интернет-культуре отдельные лица и организации часто отдают дань уважения числу π . Например, ученый-компьютерщик Дональд Кнут позволил номерам версий своей программы TeX приблизиться к π . Версии: 3, 3.1, 3.14 и т. д. [227] τ был добавлен в несколько языков программирования в качестве предопределенной константы. [228] [229]
Существуют различные другие способы определения
длин
или
площадей
определенных
кривых линий
или
плоскостей
, которые могут очень облегчить практику; как, например, в
круге
диаметр равен окружности от 1 до
3,14159 и
т. д.
=
π
. Эту
серию
(среди других, предназначенную для той же цели и основанную на том же принципе) я получил от превосходного аналитика и моего очень уважаемого друга мистера
Джона Мэчина
; и посредством него
число
Ван Сеулена
или
число, указанное в ст. 64.38. может быть проверено со всей желаемой легкостью и быстротой.
Перепечатано в Смите, Дэвиде Юджине (1929). «Уильям Джонс: первое использование π для обозначения соотношения кругов». Справочник по математике . МакГроу-Хилл. стр. 346–347.
дельта
.
π
:: полудиаметр. полупериферия
С логической точки зрения на современном этапе это неудовлетворительно, поскольку мы еще не обсуждали понятие длины дуги.
{{cite journal}}
: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)Ньютон, Исаак (1971). Уайтсайд, Дерек Томас (ред.). Математические статьи Исаака Ньютона . Том. 4, 1674–1684. Издательство Кембриджского университета. стр. 526–653.
Эйлер, Леонард (1755). «§2.2.30». Institutiones Calculi Differentialis (на латыни). Academiae Imperialis Scientiarium Petropolitanae. п. 318. Е 212.
Эйлер, Леонард (1798) [написано в 1779 году]. «Investigatio quarundam serierum, quae adrationem peripheriae Circuli ad Diametrum Vero Proxime Definiendam Maxime Sunt Accommodatae». Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitinae . 11 : 133–149, 167–168. Е 705.
Чиен-Ли, Хван (2004). «88.38 Некоторые наблюдения о методе арктангенсов для расчета π ». Математический вестник . 88 (512): 270–278. дои : 10.1017/S0025557200175060. S2CID 123532808.
Чиен-Ли, Хван (2005). «89.67 Элементарный вывод ряда Эйлера для арктангенса». Математический вестник . 89 (516): 469–470. дои : 10.1017/S0025557200178404. S2CID 123395287.
отношение длины круга к его диаметру было представлено в дробной форме с помощью двух букв... Дж. А. Сегнер... в 1767 году он представил 3,14159... через δ : π , как это сделал Огтред более чем веком ранее
Примечательно, что эти буквы
никогда не
используются отдельно, то есть
π
не
используется
для обозначения «Полупериферии».
Суматур пропорционально радиусам и периферии,
I : π
Английский перевод Яна Брюса. Архивировано 10 июня 2016 года в Wayback Machine : « π принимается за отношение радиуса к периферии [обратите внимание, что в этой работе эйлерово π вдвое превышает наше π .]»
Автомобиль, так что π la окружность круга, до района est
= 1
Английский перевод Каджори, Флориан (1913). «История экспоненциальных и логарифмических понятий». Американский математический ежемесячник . 20 (3): 75–84. дои : 10.2307/2973441. JSTOR 2973441.
Пусть
π
— длина окружности (!) круга единичного радиуса.
Обозначение
1:
π
rationem диаметр и периферия.
Английский перевод Яна Брюса. Архивировано 10 июня 2016 года в Wayback Machine : «Пусть 1: π обозначает отношение диаметра к длине окружности».
{{cite book}}
: CS1 maint: numeric names: authors list (link)Si autem
π
noteteripheriam circuli, диаметр cuius eſt
2
См. теорему Барбье, следствие 5.1.1, с. 98; Треугольники Рело, стр. 3, 10; гладкие кривые, такие как аналитическая кривая Рабиновица, § 5.3.3, стр. 111–112.
Почти аутическое удовлетворение обсессивно-компульсивного математика, очарованного числом «Пи» (которое дает возможность услышать, как Буш медленно поет огромные фрагменты рассматриваемого числа длиной в несколько десятков цифр).