Тессеракт

Четырехмерный аналог куба

Крест Дали , сетка тессеракта

Тессеракт можно разложить на восемь кубов в трехмерном пространстве, так же как куб можно разложить на шесть квадратов в двухмерном пространстве.

В геометрии тессеракт или 4-куб — ​​это четырёхмерный гиперкуб , аналогичный двумерному квадрату и трёхмерному кубу . ^[1] Так же, как периметр квадрата состоит из четырёх рёбер, а поверхность куба — из шести квадратных граней , гиперповерхность тессеракта состоит из восьми кубических ячеек , встречающихся под прямым углом . Тессеракт — один из шести выпуклых правильных 4-многогранников .

Тессеракт также называется 8-ячейкой , C ₈ , (правильным) октахороном или кубической призмой . Это четырехмерный многогранник , взятый в качестве единицы измерения гиперобъема. ^[2] Коксетер называет его многогранником γ ₄ . ^[3] Термин гиперкуб без указания размерности часто рассматривается как синоним этого конкретного многогранника .

Оксфордский словарь английского языка прослеживает слово tesseract до книги Чарльза Говарда Хинтона 1888 года «Новая эра мысли» . Термин происходит от греческого téssara ( τέσσαρα «четыре») и aktís ( ἀκτίς «луч»), ссылаясь на четыре ребра от каждой вершины к другим вершинам. Хинтон первоначально писал слово как tessaract . ^[4]

Геометрия

Как правильный многогранник с тремя кубами , сложенными вместе вокруг каждого ребра, он имеет символ Шлефли {4,3,3} с гипероктаэдрической симметрией порядка 384. Построенный как 4D гиперпризма , сделанная из двух параллельных кубов, он может быть назван составным символом Шлефли {4,3} × { }, с порядком симметрии 96. Как 4-4 дуопризма , декартово произведение двух квадратов , он может быть назван составным символом Шлефли {4}×{4}, с порядком симметрии 64. Как ортотоп он может быть представлен составным символом Шлефли { } × { } × { } × { } или { } ⁴ , с порядком симметрии 16.

Поскольку каждая вершина тессеракта смежна с четырьмя ребрами, вершинная фигура тессеракта — правильный тетраэдр . Двойственный многогранник тессеракта — это 16-ячейка с символом Шлефли {3,3,4}, с которым его можно объединить, чтобы образовать соединение тессеракта и 16-ячейки.

Каждое ребро правильного тессеракта имеет одинаковую длину. Это представляет интерес при использовании тессерактов в качестве основы сетевой топологии для связи нескольких процессоров в параллельных вычислениях : расстояние между двумя узлами не превышает 4, и существует много различных путей, позволяющих сбалансировать вес.

Тессеракт ограничен восемью трехмерными гиперплоскостями . Каждая пара непараллельных гиперплоскостей пересекается, образуя 24 квадратных грани. Три куба и три квадрата пересекаются на каждом ребре. В каждой вершине сходятся четыре куба, шесть квадратов и четыре ребра. Всего тессеракт состоит из 8 кубов, 24 квадратов, 32 ребер и 16 вершин.

Координаты

Единичный тессеракт имеет длину стороны 1 и обычно принимается в качестве базовой единицы для гиперобъема в 4-мерном пространстве. Единичный тессеракт в декартовой системе координат для 4-мерного пространства имеет две противоположные вершины с координатами [0, 0, 0, 0] и [1, 1, 1, 1] и другие вершины с координатами во всех возможных комбинациях 0 и 1. Это декартово произведение замкнутого единичного интервала [0, 1] по каждой оси.

Иногда центр единичного тессеракта находится в начале координат, так что его координаты более симметричны. Это декартово произведение замкнутого интервала по каждой оси. ${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$ ${\displaystyle {\bigl [}{-{\tfrac {1}{2}}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr ]}}$

Другой удобный тессеракт — это декартово произведение замкнутого интервала [−1, 1] по каждой оси с вершинами в координатах (±1, ±1, ±1, ±1) . Этот тессеракт имеет длину стороны 2 и гиперобъем 2 ⁴ = 16 .

Сеть

Развертка многогранника называется сетью . Существует 261 различная сеть тессеракта. ^[5] Развертки тессеракта можно подсчитать, сопоставив сети с парными деревьями ( дерево вместе с совершенным паросочетанием в его дополнении ).

Строительство

Анимация изменения измерений

Построение гиперкубов можно представить следующим образом:

• Одномерное: две точки A и B можно соединить в линию, получив новый отрезок AB.
• Двумерное пространство: два параллельных отрезка AB и CD, разделенные расстоянием AB, можно соединить так, чтобы получился квадрат, углы которого обозначены как ABCD.
• 3-мерное пространство: два параллельных квадрата ABCD и EFGH, разделенные расстоянием AB, можно соединить так, чтобы получился куб, углы которого обозначены как ABCDEFGH.
• 4-мерный: Два параллельных куба ABCDEFGH и IJKLMNOP, разделенные расстоянием AB, можно соединить, чтобы получить тессеракт, с углами, обозначенными как ABCDEFGHIJKLMNOP. Однако такое параллельное расположение двух кубов, при котором их 8 соответствующих пар вершин разделены расстоянием AB, можно осуществить только в пространстве с 4 или более измерениями.

Восемь ячеек тессеракта можно рассматривать (тремя различными способами) как два взаимосвязанных кольца из четырех кубов. ^[6]

Тессеракт можно разложить на меньшие 4-многогранники. Это выпуклая оболочка соединения двух демитессерактов ( 16-ячеек ). Его также можно триангулировать на 4-мерные симплексы ( неправильные 5-ячеечные ), которые делят свои вершины с тессерактом. Известно, что существуют92 487 256 таких триангуляций ^[7] и что наименьшее количество 4-мерных симплексов в любой из них равно 16. ^[8]

Разбиение тессеракта на экземпляры его характерного симплекса (частная ортосхема с диаграммой Коксетера) является наиболее простой прямой конструкцией тессеракта из возможных. Характерная 5-ячейка 4-куба является фундаментальной областью определяющей группы симметрии тессеракта , группы, которая генерирует _{многогранники} B4 . Характерный симплекс тессеракта напрямую генерирует тессеракт посредством действий группы, отражаясь в своих собственных ограничивающих гранях (своих зеркальных стенках ).

Радиальная равносторонняя симметрия

Радиус гиперсферы , описанной около правильного многогранника, — это расстояние от центра многогранника до одной из вершин, а для тессеракта этот радиус равен длине его ребра; диаметр сферы, длина диагонали между противоположными вершинами тессеракта, в два раза больше длины ребра. Только несколько однородных многогранников обладают этим свойством, включая четырехмерный тессеракт и 24-ячейник , трехмерный кубооктаэдр и двумерный шестиугольник . В частности, тессеракт — единственный гиперкуб (кроме нульмерной точки), который является радиально равносторонним . Самая длинная диагональ от вершины к вершине -мерного гиперкуба с единичной длиной ребра равна , что для квадрата равно , для куба равно , и только для тессеракта равно длин ребер. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {n{\vphantom {t}}}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$

Осецентричный тессеракт, вписанный в 3-сферу единичного радиуса, имеет вершины с координатами ${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$

Характеристики

Доказательство без слов того, что граф гиперкуба не является планарным, с использованием теорем Куратовского или Вагнера и нахождением либо K ₅ (вверху), либо K _3,3 (внизу) подграфов

Для тессеракта с длиной стороны s :

• Гиперобъем (4D): ${\displaystyle H=s^{4}}$
• Поверхность «объема» (3D): ${\displaystyle SV=8s^{3}}$
• Диагональ лица : ${\displaystyle d_{\mathrm {2} }={\sqrt {2}}s}$
• Диагональ ячейки : ${\displaystyle d_{\mathrm {3} }={\sqrt {3}}s}$
• Диагональ из 4 клеток: ${\displaystyle d_{\mathrm {4} }=2s}$

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет тессеракт. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько каждого элемента встречается во всем тессеракте. Диагональ сводится к f-вектору (16,32,24,8).

Недиагональные числа говорят о том, сколько элементов столбца встречаются в элементе строки или рядом с ним. ^[9] Например, 2 в первом столбце второй строки указывает на то, что в каждом ребре (т. е. на его крайних точках) имеется 2 вершины; 4 во втором столбце первой строки указывает на то, что в каждой вершине сходятся 4 ребра.

Нижний ряд определяет грани, здесь кубы, имеют f-вектор (8,12,6). Следующий ряд слева от диагонали - элементы хребта (грань куба), здесь квадрат, (4,4).

Верхняя строка — f-вектор вершинной фигуры , здесь тетраэдры, (4,6,4). Следующая строка — вершинная фигура хребта, здесь треугольник, (3,3).

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Прогнозы

Тессеракты можно проецировать в трехмерное и двумерное пространство, аналогично проецированию куба в двумерное пространство.

Параллельные проекционные оболочки тессеракта (каждая ячейка нарисована гранями разного цвета, инвертированные ячейки не нарисованы)

Ромбический додекаэдр образует выпуклую оболочку вершинно-первой параллельной проекции тессеракта. Число вершин в слоях этой проекции равно 1 4 6 4 1 — четвертая строка в треугольнике Паскаля .

Параллельная проекция тессеракта в трехмерное пространство по ячейкам имеет кубическую оболочку. Ближайшие и самые дальние ячейки проецируются на куб, а оставшиеся шесть ячеек проецируются на шесть квадратных граней куба.

Параллельная проекция тессеракта гранью вперед в трехмерное пространство имеет кубоидальную оболочку. Две пары ячеек проецируются на верхнюю и нижнюю половины этой оболочки, а четыре оставшиеся ячейки проецируются на боковые грани.

Параллельная проекция тессеракта в трехмерное пространство по ребру имеет оболочку в форме шестиугольной призмы . Шесть ячеек проецируются на ромбические призмы, которые располагаются в шестиугольной призме аналогично тому, как грани трехмерного куба проецируются на шесть ромбов в шестиугольной оболочке при проекции по вершине. Две оставшиеся ячейки проецируются на основания призмы.

Вершинно -первая параллельная проекция тессеракта в трехмерное пространство имеет ромбическую додекаэдрическую оболочку. Две вершины тессеракта проецируются в начало координат. Существует ровно два способа разбиения ромбического додекаэдра на четыре конгруэнтных ромбоэдра , что дает в общей сложности восемь возможных ромбоэдров, каждый из которых является проецируемым кубом тессеракта. Эта проекция также имеет максимальный объем. Один набор векторов проекции: u = (1,1,−1,−1) , v = (−1,1,−1,1) , w = (1,−1,−1,1) .

Анимация, демонстрирующая каждый отдельный куб в проекции плоскости Коксетера B ₄ тессеракта

Ортографическая проекция плоскости Коксетера B ₄ граф со скрытыми линиями в виде пунктирных линий и тессеракт без скрытых линий.

Тесселяция

Тессеракт, как и все гиперкубы , замощает евклидово пространство . Самодвойственные тессерактические соты, состоящие из 4 тессерактов вокруг каждой грани, имеют символ Шлефли {4,3,3,4} . Следовательно, тессеракт имеет двугранный угол 90°. ^[10]

Радиальная равносторонняя симметрия тессеракта делает его мозаику уникальной правильной объемно-центрированной кубической решеткой из сфер одинакового размера в любом количестве измерений.

Связанные многогранники и соты

Тессеракт является 4-м в ряду гиперкубов :

Тессеракт (8-ячейковый) является третьим в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-мерных многогранников (в порядке размера и сложности).

Как однородная дуопризма , тессеракт существует в последовательности однородных дуопризм : { p }×{4}.

Правильный тессеракт, наряду с 16-ячейкой , существует в наборе из 15 однородных 4-многогранников с той же симметрией . Тессеракт {4,3,3} существует в последовательности правильных 4-многогранников и сот , { p ,3,3} с тетраэдрическими вершинными фигурами , {3,3}. Тессеракт также находится в последовательности правильных 4-многогранников и сот , {4,3, p } с кубическими ячейками .

Правильный комплексный многогранник ₄ {4} ₂ ,, имеет вещественное представление в виде тессеракта или 4-4 дуопризмы в 4-мерном пространстве. ₄ {4} ₂ имеет 16 вершин и 8 4-ребер. Его симметрия — ₄ [4] ₂ , порядок 32. Он также имеет конструкцию с более низкой симметрией, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, или ₄ {}× ₄ {}, с симметрией ₄ [2] ₄ , порядок 16. Это симметрия, если красные и синие 4-ребра считать различными. ^[11]

В популярной культуре

С момента своего открытия четырехмерные гиперкубы стали популярной темой в искусстве, архитектуре и научной фантастике. Известные примеры включают:

• « И он построил кривой домишко », научно-фантастический рассказ Роберта Хайнлайна 1940 года, в котором описывается здание в форме четырехмерного гиперкуба. ^[12] Этот рассказ и рассказ Мартина Гарднера «Профессор без границ», опубликованный в 1946 году, являются одними из первых в научной фантастике, знакомящих читателей с лентой Мёбиуса , бутылкой Клейна и гиперкубом (тессерактом).
• Распятие (Corpus Hypercubus) , картина маслом Сальвадора Дали 1954 года, изображающая четырехмерный гиперкуб, развернутый в трехмерный латинский крест . ^[13]
• Большая арка — памятник и здание недалеко от Парижа, Франция, строительство которого было завершено в 1989 году. По словам инженера памятника Эрика Рейтцеля , Большая арка была спроектирована так, чтобы напоминать проекцию гиперкуба. ^[14]
• Fez , видеоигра, в которой игрок играет за персонажа, который может видеть за пределами двух измерений, которые видят другие персонажи, и должен использовать эту способность для решения платформенных головоломок. В игре есть «Точка», тессеракт, который помогает игроку ориентироваться в мире и рассказывает, как использовать способности, что соответствует теме видения за пределами человеческого восприятия известного размерного пространства. ^[15]

Слово тессеракт использовалось во многих других целях в популярной культуре, в том числе в качестве сюжетного приема в произведениях научной фантастики, часто с небольшой или нулевой связью с четырехмерным гиперкубом; см. Тессеракт (значения) .

Смотрите также

• Математика и искусство

Примечания

1. "Тессеракт - 4-мерный куб". www.cut-the-knot.org . Получено 2020-11-09 .
2. Эльте, EL (1912). Полуправильные многогранники гиперпространств . Гронинген: Гронингенский университет. ISBN 1-4181-7968-X.
3. Coxeter 1973, стр. 122–123, §7.2. Иллюстрация Рис. 7.2 C .
4. "tesseract" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная редакция). Oxford University Press . 199669. (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
5. "Разворачивание 8-клеточной модели". Unfolding.apperceptual.com . Получено 21 января 2018 г. .
6. Коксетер 1970, стр. 18.
7. Pournin, Lionel (2013), «Флип-граф 4-мерного куба связан», Дискретная и вычислительная геометрия , 49 (3): 511–530, arXiv : 1201.6543 , doi : 10.1007/s00454-013-9488-y, MR  3038527, S2CID  30946324
8. Коттл, Ричард У. (1982), «Минимальная триангуляция 4-куба», Дискретная математика , 40 : 25–29, doi : 10.1016/0012-365X(82)90185-6 , MR  0676709
9. Коксетер 1973, стр. 12, §1.8 Конфигурации.
10. Коксетер 1973, стр. 293.
11. Коксетер, HSM, Правильные комплексные многогранники , второе издание, Cambridge University Press, (1991).
12. Фаулер, Дэвид (2010), «Математика в научной фантастике: математика как научная фантастика», World Literature Today , 84 (3): 48–52, doi :10.1353/wlt.2010.0188, JSTOR  27871086, S2CID  115769478
13. Кемп, Мартин (1 января 1998 г.), «Измерения Дали», Nature , 391 (27): 27, Bibcode : 1998Natur.391...27K, doi : 10.1038/34063 , S2CID  5317132
14. Урсын, Анна (2016), «Визуализация знаний и визуальная грамотность в естественнонаучном образовании», Визуализация знаний и визуальная грамотность в естественнонаучном образовании , Справочник по информационным наукам, стр. 91, ISBN 9781522504818
15. "Точка (персонаж) - Гигантская бомба". Гигантская бомба . Получено 21 января 2018 г. .

Ссылки

• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Довер. С. 122–123.
• Ф. Артур Шерк, Питер МакМаллен, Энтони К. Томпсон, Азия Айвик Вайс (1995) Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , Wiley-Interscience Publication ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , Mathematische Zeitschrift 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Документ 23) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Коксетер, HSM (1970), «Скрученные соты», Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics , 4 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество
• Джон Х. Конвей , Хайди Бергиел, Хаим Гудман-Штраус (2008) Симметрии вещей , ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 _n1 ) 
• Т. Госсет (1900) О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан.
• Холл, Т. Проктор (1893). «Проекция четырехкратных фигур на трехмерную плоскость». American Journal of Mathematics . 15 (2): 179–189. doi :10.2307/2369565. JSTOR  2369565.
• Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии (1966)
• Виктор Шлегель (1886) Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionen Körper , Варен.

Внешние ссылки

• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихоры) x4o3o3o - tes».
• Домашняя страница Кена Перлина Способ визуализации гиперкубов, Кен Перлин
• Некоторые заметки о четвертом измерении включают анимированные руководства по нескольким различным аспектам тессеракта, написанные Давиде П. Червоне.
• Анимация Тессеракта с устранением скрытого объема