Сетевой синтез

A design technique for linear electrical circuits

Синтез сетей — это метод проектирования линейных электрических цепей . Синтез начинается с заданной функции импеданса частоты или частотной характеристики , а затем определяет возможные сети, которые дадут требуемую реакцию. Метод следует сравнить с анализом сетей , в котором рассчитывается реакция (или другое поведение) данной цепи. До синтеза сетей был доступен только анализ сетей, но для этого требуется, чтобы уже было известно, какая форма цепи должна быть проанализирована. Нет гарантии, что выбранная цепь будет максимально соответствовать желаемой реакции или что цепь будет максимально простой. Синтез сетей напрямую решает обе эти проблемы. Синтез сетей исторически был связан с синтезом пассивных сетей, но не ограничивался такими цепями.

Область была основана Вильгельмом Кауэром после прочтения статьи Рональда М. Фостера 1924 года «Теорема о реактивном сопротивлении» . Теорема Фостера предоставила метод синтеза LC-цепей с произвольным числом элементов с помощью разложения функции импеданса в парциальную дробь. Кауэр распространил метод Фостера на RC- и RL-цепи , нашел новые методы синтеза и методы, которые могли синтезировать общую RLC-цепь . Другие важные достижения до Второй мировой войны принадлежат Отто Бруну и Сиднею Дарлингтону . В 1940-х годах Рауль Ботт и Ричард Даффин опубликовали метод синтеза, который в общем случае не требовал трансформаторов (исключение которых беспокоило исследователей в течение некоторого времени). В 1950-х годах было приложено много усилий для минимизации числа элементов, необходимых для синтеза, но с ограниченным успехом. До 2000-х годов в этой области мало что было сделано, пока проблема минимизации снова не стала активной областью исследований, но по состоянию на 2023 год она все еще остается нерешенной проблемой.

Основным применением сетевого синтеза является проектирование фильтров сетевого синтеза , но это не единственное его применение. Среди прочих — сети согласования импеданса , сети с задержкой по времени , направленные ответвители и эквалайзер . В 2000-х годах сетевой синтез начал применяться как в механических, так и в электрических системах, особенно в гонках Формулы-1 .

Обзор

Синтез сети — это проектирование электрической сети, которая ведет себя предписанным образом без каких-либо предубеждений относительно формы сети. Обычно требуется синтезировать импеданс с использованием пассивных компонентов. То есть сеть, состоящая из сопротивлений (R), индуктивностей (L) и емкостей (C). Такие сети всегда имеют импеданс, обозначаемый , в виде рациональной функции комплексной частотной переменной s . То есть импеданс представляет собой отношение двух полиномов по s . ^[1] ${\displaystyle Z(s)}$

Существует три основных направления исследований в области сетевого синтеза: аппроксимация требования рациональной функцией, синтез этой функции в сеть и определение эквивалентов синтезированной сети. ^[2]

Приближение

Идеализированная предписанная функция редко может быть точно описана полиномами. Поэтому невозможно синтезировать сеть, чтобы точно ее воспроизвести. ^[3] Простым и распространенным примером является фильтр «кирпичная стена» . Это идеальный отклик фильтра нижних частот , но его кусочно-непрерывный отклик невозможно представить полиномами из-за разрывов. Чтобы преодолеть эту трудность, находится рациональная функция, которая близко приближает предписанную функцию с помощью теории приближения . ^[4] В общем, чем ближе требуется приближение, тем выше степень полинома и тем больше элементов потребуется в сети. ^[5]

Для этой цели в сетевом синтезе используется множество полиномов и функций. Выбор зависит от того, какие параметры предписанной функции разработчик хочет оптимизировать. ^[6] Одними из самых первых были полиномы Баттерворта , которые приводят к максимально плоскому отклику в полосе пропускания. ^[7] Распространенным выбором является приближение Чебышева , в котором разработчик указывает, насколько отклик полосы пропускания может отклоняться от идеала в обмен на улучшение других параметров. ^[8] Другие приближения доступны для оптимизации временной задержки, согласования импеданса , спада и многих других требований. ^[9]

Реализация

При наличии рациональной функции обычно необходимо определить, реализуема ли функция как дискретная пассивная сеть. Все такие сети описываются рациональной функцией, но не все рациональные функции реализуемы как дискретная пассивная сеть. ^[10] Исторически синтез сетей был связан исключительно с такими сетями. Современные активные компоненты сделали это ограничение менее значимым во многих приложениях, ^[11] но на более высоких радиочастотах пассивные сети по-прежнему являются технологией выбора. ^[12] Существует простое свойство рациональных функций, которое предсказывает, реализуема ли функция как пассивная сеть. Как только определено, что функция реализуема, существует ряд алгоритмов, которые будут синтезировать сеть из нее. ^[13]

Эквивалентность

Реализация сети из рациональной функции не является уникальной. Одна и та же функция может реализовывать множество эквивалентных сетей. Известно, что аффинные преобразования матрицы импеданса, сформированные при сеточном анализе сети, являются матрицами импеданса эквивалентных сетей (дополнительная информация в Analogue filter § Realisability and equivalence ). ^[14] Известны и другие преобразования импеданса , но вопрос о том, существуют ли дополнительные классы эквивалентности , которые еще предстоит открыть, остается открытым. ^[15]

Основная область исследований в области сетевого синтеза заключается в поиске реализации, которая использует минимальное количество элементов. Этот вопрос не был полностью решен для общего случая, ^[16] но решения доступны для многих сетей с практическими приложениями. ^[17]

История

Вильгельм Кауэр

Область сетевого синтеза была основана немецким математиком и ученым Вильгельмом Кауэром (1900–1945). Первый намек на теорию пришел от американского математика Рональда М. Фостера (1896–1998), когда он опубликовал теорему о реактивном сопротивлении в 1924 году. Кауэр сразу же осознал важность этой работы и приступил к ее обобщению и расширению. Его диссертация в 1926 году была посвящена «Реализации импедансов заданной частотной зависимости» и является началом этой области. Наиболее подробная работа Кауэра была проделана во время Второй мировой войны , но он был убит незадолго до ее окончания. Его работа не могла быть широко опубликована во время войны, и только в 1958 году его семья собрала его статьи и опубликовала их для всего мира. Тем временем в Соединенных Штатах был достигнут прогресс на основе довоенных публикаций Кауэра и материалов, захваченных во время войны. ^[18]

Английский математик-самоучка и ученый Оливер Хевисайд (1850–1925) был первым, кто показал, что импеданс RLC-сети всегда является рациональной функцией частотного оператора, но не предоставил метода реализации сети из рациональной функции. ^[19] Кауэр нашел необходимое условие для того, чтобы рациональная функция была реализуема как пассивная сеть. Южноафриканец Отто Брюн (1901–1982) позже ввел термин положительно-действительная функция (PRF) для этого условия. Кауэр постулировал, что PRF является необходимым и достаточным условием, но не смог этого доказать, и предложил это в качестве исследовательского проекта Брюну, который в то время был его аспирантом в Соединенных Штатах. ^[20] Брюн опубликовал недостающее доказательство в своей докторской диссертации 1931 года . ^[21]

Рауль Ботт

Реализация Фостера была ограничена LC-сетями и имела одну из двух форм: либо несколько последовательных LC-цепей параллельно, либо несколько параллельных LC-цепей последовательно. Метод Фостера заключался в расширении до частичных дробей . Кауэр показал, что метод Фостера можно распространить на RL- и RC-сети. Кауэр также нашел другой метод; расширение до непрерывной дроби , что приводит к лестничной сети , снова в двух возможных формах. ^[22] В общем, PRF будет представлять RLC-сеть; при наличии всех трех видов элементов реализация становится сложнее. И Кауэр, и Брюн использовали идеальные трансформаторы в своих реализациях RLC-сетей. Необходимость включения трансформаторов нежелательна при практической реализации схемы. ^[23] ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle Z(s)}$

Метод реализации, не требующий трансформаторов, был предложен в 1949 году венгерско-американским математиком Раулем Боттом (1923–2005) и американским физиком Ричардом Даффином (1909–1996). ^[24] Метод Ботта и Даффина обеспечивает расширение путем повторного применения теоремы Ричардса , результата 1947 года, полученного американским физиком и прикладным математиком Полом И. Ричардсом (1923–1978). ^[25] Полученные сети Ботта-Даффина имеют ограниченное практическое применение (по крайней мере, для рациональных функционалов высокой степени ), поскольку число требуемых компонентов растет экспоненциально с ростом степени. ^[26] Ряд вариаций исходного метода Ботта-Даффина все уменьшают число элементов в каждой секции с шести до пяти, но все еще с экспоненциально растущим общим числом. ^[27] Среди работ, достигших этого, можно назвать Pantell (1954), Reza (1954), Storer (1954) и Fialkow & Gest (1955). ^[28] По состоянию на 2010 год не было никаких дальнейших значительных успехов в синтезе рациональных функций. ^[29]

В 1939 году американский инженер-электрик Сидней Дарлингтон показал, что любой PRF может быть реализован как двухпортовая сеть, состоящая только из элементов L и C и нагруженная на выходе резистором . То есть, в любой сети требуется только один резистор, остальные компоненты не имеют потерь. Теорема была независимо открыта как Кауэром, так и Джованни Коччи. ^[30] Следствие — найти синтез PRF с использованием элементов R и C с только одной катушкой индуктивности — является нерешенной проблемой в теории сетей. ^[31] Еще одна нерешенная проблема — найти доказательство гипотезы Дарлингтона (1955) о том, что любая RC-цепь с двумя портами и общим выводом может быть реализована как последовательно-параллельная сеть. ^[32] Важным соображением в практических сетях является минимизация количества компонентов, особенно намотанных компонентов — катушек индуктивности и трансформаторов. Несмотря на огромные усилия, приложенные к минимизации, ^[33] общая теория минимизации так и не была открыта, как это было сделано для булевой алгебры цифровых схем . ^[34]

Кауэр использовал эллиптические рациональные функции для получения приближений к идеальным фильтрам. ^[35] Частным случаем эллиптических рациональных функций являются полиномы Чебышева , созданные Пафнутием Чебышевым (1821–1894), и они являются важной частью теории приближений . ^[36] Полиномы Чебышева широко используются для проектирования фильтров. В 1930 году британский физик Стивен Баттерворт (1885–1958) разработал фильтр Баттерворта , также известный как максимально плоский фильтр, с использованием полиномов Баттерворта . ^[37] Работа Баттерворта была полностью независима от Кауэра, но позже было обнаружено, что полиномы Баттерворта были предельным случаем полиномов Чебышева. ^[38] Еще раньше (1929) и снова независимо американский инженер и ученый Эдвард Лоури Нортон (1898–1983) спроектировал максимально плоский механический фильтр с откликом, полностью аналогичным электрическому фильтру Баттерворта. ^[39]

В 2000-х годах интерес к дальнейшему развитию теории синтеза сетей получил толчок, когда теория начала применяться к большим механическим системам. ^[40] Нерешенная проблема минимизации гораздо важнее в механической области, чем в электрической из-за размера и стоимости компонентов. ^[41] В 2017 году исследователи из Кембриджского университета, ограничившись рассмотрением биквадратных рациональных функций , определили, что реализации Ботта-Даффина таких функций для всех последовательно-параллельных сетей и большинства произвольных сетей имели минимальное количество реактивных сопротивлений (Hughes, 2017). Они нашли этот результат удивительным, поскольку он показал, что метод Ботта-Даффина не был таким уж неминимальным, как считалось ранее. ^[42] Это исследование частично было сосредоточено на пересмотре Каталога Ладенхейма . Это перечисление всех различных сетей RLC с не более чем двумя реактивными сопротивлениями и тремя сопротивлениями. Эдвард Ладенхейм выполнил эту работу в 1948 году, будучи студентом Фостера. Актуальность каталога заключается в том, что все эти сети реализуются биквадратными функциями. ^[43]

Приложения

Наиболее широко используемым применением сетевого синтеза является проектирование фильтров обработки сигналов . Современные конструкции таких фильтров почти всегда представляют собой некоторую форму фильтра сетевого синтеза . ^[44]

Хендрик Боде

Другое применение — проектирование цепей согласования импеданса . Для согласования импеданса на одной частоте требуется только тривиальная сеть — обычно один компонент. Однако для согласования импеданса в широком диапазоне требуется более сложная сеть, даже в случае, если сопротивления источника и нагрузки не меняются с частотой. Выполнение этого с пассивными элементами и без использования трансформаторов приводит к конструкции, похожей на фильтр. Кроме того, если нагрузка не является чистым сопротивлением , то можно достичь идеального соответствия только на нескольких дискретных частотах; соответствие по всему диапазону в целом должно быть приближено. ^[45] Сначала проектировщик задает диапазон частот, в котором должна работать согласующая сеть, а затем проектирует полосовой фильтр для этого диапазона. Единственное существенное различие между стандартным фильтром и согласующей сетью заключается в том, что импедансы источника и нагрузки не равны. ^[46]

Между фильтрами и согласующими цепями существуют различия, в которых параметры важны. Если только сеть не имеет двойной функции, проектировщик не слишком обеспокоен поведением согласующей цепи импеданса за пределами полосы пропускания . Не имеет значения, является ли переходная полоса не очень узкой или что полоса задерживания имеет плохое затухание . Фактически, попытка улучшить полосу пропускания сверх того, что строго необходимо, снизит точность согласования импеданса. При заданном количестве элементов в сети сужение проектной полосы пропускания улучшает согласование и наоборот. Ограничения согласующих цепей импеданса были впервые исследованы американским инженером и ученым Хендриком Уэйдом Боде в 1945 году, а принцип, согласно которому они обязательно должны быть фильтроподобными, был установлен итало-американским ученым-компьютерщиком Робертом Фано в 1950 году. ^[47] Одним из параметров в полосе пропускания, который обычно устанавливается для фильтров, является максимальное вносимое затухание . Для согласующих цепей импеданса лучшее согласование может быть получено путем установки также минимального затухания. То есть усиление никогда не достигает единицы ни в одной точке. ^[48]

Сети с задержкой по времени могут быть разработаны с помощью сетевого синтеза с фильтроподобными структурами. Невозможно разработать сеть с задержкой, которая имеет постоянную задержку на всех частотах в полосе. Приближение к этому поведению должно использоваться ограниченным заданной полосой пропускания. Заданная задержка будет иметь место максимум на конечном числе точечных частот. Фильтр Бесселя имеет максимально плоскую временную задержку. ^[49]

Применение сетевого синтеза не ограничивается электрической областью. Его можно применять к системам в любой энергетической области, которые можно представить в виде сети линейных компонентов. В частности, сетевой синтез нашел применение в механических сетях в механической области. Рассмотрение механического сетевого синтеза привело Малкольма С. Смита к предложению нового механического сетевого элемента, инертатора , который аналогичен электрическому конденсатору. ^[50] Механические компоненты со свойством инертности нашли применение в подвесках гоночных автомобилей Формулы-1 . ^[51]

Методы синтеза

Синтез начинается с выбора метода аппроксимации, который обеспечивает рациональную функцию , аппроксимирующую требуемую функцию сети. Если функция должна быть реализована с пассивными компонентами, функция также должна соответствовать условиям положительно-действительной функции (PRF). ^[52] Используемый метод синтеза зависит отчасти от того, какая форма сети требуется, и отчасти от того, сколько видов элементов необходимо в сети. Сеть из одного элемента является тривиальным случаем, сводящимся к сопротивлению одного элемента. Сеть из двух элементов (LC, RC или RL) может быть синтезирована с помощью синтеза Фостера или Кауэра. Сеть из трех элементов (сеть RLC) требует более продвинутой обработки, такой как синтез Бруна или Ботта-Даффина. ^[53]

Какие именно элементы и сколько их видов требуются, можно определить, изучив полюса и нули (совместно называемые критическими частотами) функции. ^[54] Требования к критическим частотам приведены для каждого вида сети в соответствующих разделах ниже.

Способствовать синтезу

Синтез Фостера в его первоначальной форме может быть применен только к LC-сетям. PRF представляет собой двухэлементную LC-сеть, если критические частоты всех существуют на оси комплексной плоскости ( s -плоскости ) и будут чередоваться между полюсами и нулями. Должна быть одна критическая частота в начале координат и на бесконечности, все остальные должны быть в сопряженных парах . должно быть отношением четного и нечетного полинома, а их степени должны отличаться ровно на единицу. Эти требования являются следствием теоремы Фостера о реактивном сопротивлении . ^[55] ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle i\omega }$ ${\displaystyle s=\sigma +i\omega }$ ${\displaystyle Z(s)}$

Фостер I форма

Пример реализации формы Фостера I

Первая форма Фостера (форма Фостера I) синтезируется как набор параллельных LC-цепей, соединенных последовательно. Например, ${\displaystyle Z(s)}$

${\displaystyle Z(s)={\frac {9s^{5}+30s^{3}+24s}{18s^{4}+36s^{2}+8}}}$

можно разложить на простейшие дроби следующим образом:

${\displaystyle Z(s)={s \over 2}+{\frac {(25+11{\sqrt {5}})s}{5(9+3{\sqrt {5}})s^{2}+20}}+{\frac {(25-11{\sqrt {5}})s}{5(9-3{\sqrt {5}})s^{2}+20}}\approx {s \over 2}+{\frac {2.48s}{3.93s^{2}+1}}+{\frac {0.020s}{0.573s^{2}+1}}}$

Первый член представляет собой последовательную индуктивность, следствие наличия полюса в бесконечности. Если бы у него был полюс в начале координат, это представляло бы последовательный конденсатор. Остальные два члена представляют собой сопряженные пары полюсов на оси. Каждый из этих членов может быть синтезирован как параллельная LC-цепь путем сравнения с выражением импеданса для такой цепи, ^[56] ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle i\omega }$

${\displaystyle Z_{LC}(s)={\frac {Ls}{LCs^{2}+1}}}$

Полученная схема показана на рисунке.

Форма Фостера II

Пример реализации формы Фостера II

Форма Фостера II синтезируется как набор последовательных LC-цепей параллельно. Используется тот же метод расширения в частичные дроби, что и для формы Фостера I, но применяется к проводимости , , вместо . Используя тот же пример PRF, что и раньше, ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle Y(s)}$ ${\displaystyle Z(s)}$

${\displaystyle Y(s)={1 \over Z(s)}={\frac {18s^{4}+36s^{2}+8}{9s^{5}+30s^{3}+24s}}}$

Разложенный на простейшие дроби,

${\displaystyle Y(s)\simeq {1 \over 3s}+{\frac {2.498s}{0.6346s^{2}+1}}+{\frac {1.415s}{0.4719s^{2}+1}}}$

Первый член представляет собой шунтирующий индуктор, следствие наличия полюса в начале координат (или, что эквивалентно, имеет ноль в начале координат). Если бы у него был полюс в бесконечности, это представляло бы шунтирующий конденсатор. Остальные два члена представляют собой сопряженные пары полюсов на оси. Каждый из этих членов может быть синтезирован как последовательная LC-цепь путем сравнения с выражением проводимости для такой цепи, ^[57] ${\displaystyle Y(s)}$ ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle i\omega }$

${\displaystyle Y_{LC}(s)={\frac {Cs}{LCs^{2}+1}}}$

Полученная схема показана на рисунке.

Расширение до сетей RC или RL

Синтез Фостера может быть распространен на любую сеть из двух элементов. Например, члены дробной части сети RC в форме Фостера I будут представлять элементы R и C параллельно. В этом случае дробные части будут иметь вид, ^[58]

${\displaystyle Z_{RC}(s)={\frac {R}{RCs+1}}}$

Другие формы и типы элементов следуют по аналогии. Как и в случае с LC-сетью, PRF можно проверить, является ли она RC- или RL-сетью, изучив критические частоты. Все критические частоты должны находиться на отрицательной действительной оси и чередоваться между полюсами и нулями, и их должно быть равное количество. Если критическая частота, ближайшая к началу координат или равная ему, является полюсом, то PRF является RC-сетью, если она представляет собой , или RL-сетью, если она представляет собой . Наоборот, если критическая частота, ближайшая к началу координат или равная ему, является нулем. Эти расширения теории также применимы к формам Кауэра, описанным ниже. ^[59] ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle Y(s)}$

Иммитанс

В синтезе Фостера выше, расширение функции является той же процедурой как в форме Фостера I, так и в форме Фостера II. Удобно, особенно в теоретических работах, рассматривать их вместе как иммитанс, а не отдельно как импеданс или адмиттанс. Необходимо только объявить, представляет ли функция импеданс или адмиттанс в точке, где должна быть реализована фактическая схема. Иммитанс также может использоваться таким же образом с формами Кауэра I и Кауэра II и другими процедурами. ^[60]

Синтез Кауэра

Синтез Кауэра является альтернативным синтезом синтезу Фостера, и условия, которым должен соответствовать PRF, точно такие же, как и для синтеза Фостера. Как и в случае синтеза Фостера, существуют две формы синтеза Кауэра, и обе могут быть расширены до сетей RC и RL.

Форма Кауэра I

Пример реализации формы Кауэра I

Форма Кауэра I расширяется в цепную дробь . Используя тот же пример, что и для формы Фостера I, ${\displaystyle Z(s)}$

${\displaystyle Z(s)=0.5s+{\cfrac {1}{1.5s+{\cfrac {1}{2s+{\cfrac {1}{1.5s+{\cfrac {1}{0.5s}}}}}}}}}$

или, в более компактной записи,

${\displaystyle Z(s)=[0.5s;1.5s,2s,1.5s,0.5s].}$

Члены этого расширения могут быть непосредственно реализованы как значения компонентов лестничной сети, как показано на рисунке. ^[61] Данная PRF может иметь знаменатель, который имеет большую степень, чем числитель. В таких случаях вместо этого расширяется мультипликативная обратная функция. То есть, если функция представляет , то вместо этого расширяется и наоборот. ^[62] ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle Y(s)}$

Форма Кауэра II

Пример реализации формы Кауэра II

Форма Кауэра II расширяется точно так же, как и форма Кауэра I, за исключением того, что в разложении непрерывной дроби первым извлекается член самой низкой степени, а не член самой высокой степени, как это делается в форме Кауэра I. ^[63] Пример, используемый для формы Кауэра I и форм Фостера, при расширении в форму Кауэра II приводит к тому, что некоторые элементы имеют отрицательные значения. ^[64] Следовательно, эта конкретная PRF не может быть реализована в пассивных компонентах как форма Кауэра II без включения трансформаторов или взаимных индуктивностей . ^[65] ${\displaystyle Z(s)}$

Основная причина того, что пример не может быть реализован как форма Кауэра II, заключается в том, что эта форма имеет топологию верхних частот . Первый элемент, извлеченный в непрерывной дроби, — это последовательный конденсатор. Это делает невозможным реализацию нуля в начале координат. Форма Кауэра I, с другой стороны, имеет топологию нижних частот и, естественно, имеет ноль в начале координат. ^[66] Однако этой функции можно реализовать как форму Кауэра II, поскольку первый извлеченный элемент — это шунтирующий индуктор. Это дает полюс в начале координат для , но это переводится в необходимый ноль в начале координат для . Расширение непрерывной дроби имеет вид: ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle Y(s)}$ ${\displaystyle Y(s)}$ ${\displaystyle Z(s)}$

${\displaystyle Y(s)\simeq \left[{1 \over 3s};{1 \over 1.083s},{1 \over 0.2175s},{1 \over 1.735s}\right]}$

а реализованная сеть показана на рисунке.

Синтез Бруна

Синтез Бруна может синтезировать любую произвольную PRF, поэтому в общем случае приведет к сети из 3 элементов (т.е. RLC). Полюса и нули могут находиться в любом месте левой половины комплексной плоскости. ^[67] Метод Бруна начинается с некоторых предварительных шагов для устранения критических частот на мнимой оси, как в методе Фостера. Эти предварительные шаги иногда называют преамбулой Фостера . ^[68] Затем следует цикл шагов для создания каскада секций Бруна. ^[69]

Удаление критических частот на мнимой оси

Полюса и нули на оси представляют элементы L и C, которые можно извлечь из PRF. В частности, ${\displaystyle j\omega }$

• полюс в начале координат представляет собой последовательный конденсатор
• полюс на бесконечности представляет собой последовательную индуктивность
• ноль в начале координат представляет собой шунтирующий индуктор
• ноль на бесконечности представляет собой шунтирующий конденсатор
• пара полюсов представляет собой параллельную LC-цепь резонансной частоты, соединенную последовательно ${\displaystyle s=\pm i\omega _{c}}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$
• пара нулей представляет собой последовательную LC-цепь резонансной частоты в шунте ${\displaystyle s=\pm i\omega _{c}}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$

После этих извлечений остаток PRF не имеет критических частот на мнимой оси и известен как минимальная реактивность , минимальная реактивная функция . Синтез Бруна начинается именно с такой функции. ^[70]

Общая схема метода

Суть метода Бруна заключается в создании сопряженной пары нулей на оси путем извлечения действительной и мнимой частей функции на этой частоте, а затем извлечения пары нулей как резонансного контура. Это первый участок Бруна синтезированной сети. Полученный остаток представляет собой другую минимальную функцию реактивного сопротивления, которая на две степени ниже. Затем цикл повторяется, каждый цикл создает еще один участок Бруна конечной сети, пока не останется только постоянное значение (сопротивление). ^[71] Синтез Бруна является каноническим, то есть количество элементов в конечной синтезированной сети равно количеству произвольных коэффициентов в функции импеданса. Поэтому количество элементов в синтезированной схеме не может быть уменьшено дальше. ^[72] ${\displaystyle i\omega }$

Удаление минимального сопротивления

Извлечение минимального сопротивления

Функция минимального реактивного сопротивления будет иметь минимальную действительную часть, , на некоторой частоте . Это сопротивление может быть извлечено из функции, оставляя остаток другой PRF, называемой минимальной положительно-действительной функцией , или просто минимальной функцией . ^[73] Например, функция минимального реактивного сопротивления ${\displaystyle R_{\text{min}}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle Z(s)={\frac {3s^{2}+3s+6}{2s^{2}+s+2}}}$

имеет и . Минимальная функция, , поэтому, ${\displaystyle \omega _{\text{min}}={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle R_{\text{min}}=1}$ ${\displaystyle Z_{1}(s)}$

${\displaystyle Z_{1}(s)=Z(s)-R_{\text{min}}={\frac {s^{2}+2s+4}{2s^{2}+s+2}}}$

Удаление отрицательной индуктивности или емкости

Извлечение отрицательной индуктивности

Так как не имеет действительной части, то можно записать: ${\displaystyle Z_{1}(i\omega _{0})}$

${\displaystyle Z_{1}(i\omega _{0})=iX\ .}$

Для примера функции,

${\displaystyle Z_{1}(i\omega _{0})=-i{\sqrt {2}}=iX\ .}$

В этом случае отрицательно, и мы интерпретируем его как реактивное сопротивление отрицательной индуктивности, . Таким образом, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{1}}$

${\displaystyle iX=i\omega _{0}L_{1}}$и

${\displaystyle L_{1}=-1}$

после подстановки значений и . Затем эта индуктивность извлекается из , оставляя другую PRF, , ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle iX}$ ${\displaystyle Z_{1}(s)}$ ${\displaystyle Z_{2}(s)}$

${\displaystyle Z_{2}(s)=Z_{1}(s)-sL_{1}={\frac {2s^{3}+2s^{2}+4s+4}{2s^{2}+s+2}}\ .}$^[74]

Причина извлечения отрицательного значения заключается в том, что является PRF, чего бы не было, если бы было положительным. Это гарантирует, что также будет PRF (потому что сумма двух PRF также является PRF). ^[75] В случаях, когда является положительным значением, вместо этого используется функция проводимости и извлекается отрицательная емкость. ^[76] Как реализуются эти отрицательные значения, объясняется в следующем разделе. ${\displaystyle -sL_{1}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}(s)}$ ${\displaystyle X}$

Удаление сопряженной пары нулей

Извлечение пары нулей

И действительная, и мнимая части были удалены на предыдущих шагах. Это оставляет пару нулей в at , как показано путем факторизации примера функции; ^[77] ${\displaystyle Z(i\omega _{0})}$ ${\displaystyle Z_{2}(s)}$ ${\displaystyle \pm i\omega _{0}}$

${\displaystyle Z_{2}(s)={\frac {2s^{3}+2s^{2}+4s+4}{2s^{2}+s+2}}={\frac {(s^{2}+2)(2s+2)}{2s^{2}+s+2}}\ .}$

Поскольку такая пара нулей представляет собой шунтирующий резонансный контур, мы извлекаем ее как пару полюсов из функции проводимости,

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{2}(s)&={1 \over Z_{2}(s)}={\frac {2s^{2}+s+2}{(s^{2}+2)(2s+2)}}\\&={1 \over {2s+2}}+{\frac {s/2}{s^{2}+2}}\\&=Y_{3}(s)+{\frac {s/2}{s^{2}+2}}\\\end{aligned}}}$

Самый правый член — это извлеченный резонансный контур с и . ^[78] Синтезированная на данный момент сеть показана на рисунке. ${\displaystyle L_{2}=2}$ ${\displaystyle C_{2}=1/4}$

Удаление полюса на бесконечности

Извлечение полюса на бесконечности

${\displaystyle Z_{3}(s)}$должен иметь полюс в бесконечности, поскольку он был создан там путем извлечения отрицательной индуктивности. Этот полюс теперь может быть извлечен как положительная индуктивность. ^[79]

${\displaystyle Z_{3}(s)={1 \over Y_{3}(s)}=2s+2=Z_{4}(s)+2s.}$

Таким образом, как показано на рисунке. ${\displaystyle L_{3}=2}$

Замена отрицательной индуктивности трансформатором

Устраните отрицательную индуктивность с помощью трансформатора

Отрицательная индуктивность не может быть реализована напрямую с помощью пассивных компонентов. Однако «тройник» индукторов может быть преобразован во взаимно связанные индукторы, которые поглощают отрицательную индуктивность. ^[80] При коэффициенте связи , равном единице (плотно связанные), взаимная индуктивность, , в рассматриваемом примере равна 2,0. ${\displaystyle M}$

Промыть и повторить.

В общем случае, будет еще одна минимальная функция реактивного сопротивления, и цикл Бруна затем повторяется для извлечения еще одного участка Бруна ^[81]. В рассматриваемом примере исходная PRF имела степень 2, поэтому после ее уменьшения на две степени остается только постоянный член, который, тривиально, синтезируется как сопротивление. ${\displaystyle Z_{4}(s)}$

ПоложительныйХ

На втором этапе цикла было упомянуто, что отрицательное значение элемента должно быть извлечено, чтобы гарантировать остаток PRF. Если положительно, извлеченный элемент должен быть шунтирующим конденсатором вместо последовательной индуктивности, если элемент должен быть отрицательным. Он извлекается из проводимости вместо импеданса . Топология схемы, полученная на четвертом этапе цикла, представляет собой Π (пи) конденсаторов плюс индуктивность вместо тройника индукторов плюс конденсатор. Можно показать, что эта Π конденсаторов плюс индуктивность является эквивалентной схемой тройника индукторов плюс конденсатор. Таким образом, допустимо извлечь положительную индуктивность, а затем продолжить, как если бы это была PRF, даже если это не так. Правильный результат все равно будет получен, и остаточная функция будет PRF, поэтому ее можно подать в следующий цикл. ^[82] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{1}(s)}$ ${\displaystyle Z_{1}(s)}$ ${\displaystyle Z_{2}(s)}$

Синтез Ботта-Даффина

Пример синтеза Ботта-Даффина, этапы 1 и 2

Пример синтеза Ботта-Даффина, этапы 3 и 4

Синтез Ботта-Даффина начинается, как и синтез Бруна, путем удаления всех полюсов и нулей на оси. Затем вызывается теорема Ричардса , которая утверждает, что для ${\displaystyle i\omega }$

${\displaystyle R(s)={\frac {kZ(s)-sZ(k)}{kZ(k)-sZ(s)}}}$

если — ЧПИ, то — ЧПИ для всех действительных положительных значений . ^[83] ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle R(s)}$ ${\displaystyle k}$

Создание субъекта выражения приводит к ^[84] ${\displaystyle Z(s)}$

${\displaystyle Z(s)=\left({\frac {R(s)}{Z(k)}}+{\frac {k}{sZ(k)}}\right)^{-1}+\left({\frac {1}{Z(k)R(s)}}+{\frac {s}{kZ(k)}}\right)^{-1}}$

Пример одного цикла синтеза Ботта-Даффина показан на рисунках. Четыре члена в этом выражении — это, соответственно, PRF ( на схеме), индуктивность, , параллельно ей, другой PRF ( на схеме) и емкость, , параллельно ей. Затем пара критических частот на оси извлекается из каждого из двух новых PRF (подробности здесь не приводятся), каждый из которых реализован как резонансный контур. Два остаточных PRF ( и на схеме) на два градуса ниже, чем . ^[85] Затем та же процедура многократно применяется к новым сгенерированным PRF, пока не останется только один элемент. ^[86] Поскольку количество сгенерированных PRF удваивается с каждым циклом, количество синтезированных элементов будет расти экспоненциально. Хотя метод Ботта-Даффина избегает использования трансформаторов и может быть применен к любому выражению, которое можно реализовать как пассивную сеть, он имеет ограниченное практическое применение из-за большого количества требуемых компонентов. ^[87] ${\displaystyle Z_{2}(s)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Z_{1}(s)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle i\omega }$ ${\displaystyle Y_{3}(s)}$ ${\displaystyle Z_{4}(s)}$ ${\displaystyle Z(s)}$

синтез Байярда

Синтез Байярда — это метод синтеза в пространстве состояний , основанный на процедуре факторизации Гаусса . Этот метод возвращает синтез с использованием минимального количества резисторов и не содержит гираторов . Однако метод не является каноническим и, в общем случае, возвращает неминимальное количество элементов реактивного сопротивления. ^[88]

синтез Дарлингтона

Синтез Дарлингтона начинается с другой точки зрения по сравнению с методами, обсуждавшимися до сих пор, которые все начинаются с предписанной рациональной функции и реализуют ее как однопортовое сопротивление. Синтез Дарлингтона начинается с предписанной рациональной функции, которая является желаемой передаточной функцией двухпортовой сети . Дарлингтон показал, что любая PRF может быть реализована как двухпортовая сеть, используя только элементы L и C с одним резистором, завершающим выходной порт. ^[89] Метод Дарлингтона и связанные с ним методы называются методом вносимых потерь . ^[90] Метод может быть распространен на многопортовые сети, где каждый порт завершается одним резистором. ^[91]

Метод Дарлингтона, в общем, потребует трансформаторов или связанных индукторов. Однако, большинство распространенных типов фильтров могут быть построены методом Дарлингтона без этих нежелательных особенностей. ^[92]

Активные и цифровые реализации

Пример фильтра нижних частот ячейки Саллена-Ки

Если снять требование использовать только пассивные элементы, то реализация может быть значительно упрощена. Усилители могут использоваться для буферизации частей сети друг от друга, чтобы они не взаимодействовали. ^[93] Каждая буферизованная ячейка может напрямую реализовать пару полюсов рациональной функции. Тогда нет необходимости в каком-либо итеративном расширении функции. Первый пример такого рода синтеза принадлежит Стивену Баттерворту в 1930 году. ^[94] Фильтр Баттерворта, который он создал, стал классикой проектирования фильтров, но чаще реализовывался с чисто пассивными, а не активными компонентами. Более общеприменимые конструкции такого рода включают топологию Саллена–Ки, созданную Р. П. Салленом и Э. Л. Ки в 1955 году в лаборатории Линкольна Массачусетского технологического института , и биквадратный фильтр . ^[95] Как и подход Дарлингтона, Баттерворт и Саллен-Ки начинают с заданной передаточной функции, а не с импеданса. Главным практическим преимуществом активной реализации является то, что она позволяет полностью избежать использования намотанных компонентов (трансформаторов и индукторов). ^[96] Они нежелательны по производственным причинам. ^[97] Еще одной особенностью активных конструкций является то, что они не ограничиваются PRF. ^[98]

Цифровые реализации, как и активные схемы, не ограничиваются PRF и могут реализовать любую рациональную функцию, просто запрограммировав ее. Однако функция может быть нестабильной. То есть, она может привести к колебаниям . PRF гарантированно стабильны, но другие функции могут быть нет. Устойчивость рациональной функции можно определить, исследуя полюса и нули функции и применяя критерий устойчивости Найквиста . ^[99]

Ссылки

1. Аатре, стр. 259
2. Э. Кауэр и др. , стр. 4
3. Сторер, стр.3
4. Робертсон и др. , стр. 107
5. Робертсон и др. , стр. 108
6. Паарман, стр. 15
7. Робертсон и др. , стр. 107
8. Шеной, стр. 4, 18
9. Паарман, стр. 15–16
10. Бакши и Читоде, стр. 6-1
11. Андерсон и Вонгпанитлерд, стр. 509
12. Ванхаммар, стр. 10
13. Бакши и Читоде, стр. 6-1
14. Э. Кауэр и др. , стр.4
15. Хьюз и др. , стр. 288
16. Хьюз и др. , стр. 288
17. Бакши и Читоде, стр. 6-1
18. Э. Кауэр и др. , стр. 3-4
19. Калман, стр. 4
20. Э. Кауэр и др. , стр. 6-7
21. Калман, стр. 6
22. Калман, стр. 4
23. Хаббард, стр. 3
24. Хаббард, стр. 3
25. Крыло, стр. 122
26. Калман, стр. 7
27. Чен и Смит, стр. 38
28. Чен и Смит, стр. 38, 50.
29. • Крыло, стр. 128
    • Кальман, стр. 10
30. Э. Кауэр и др. , стр. 7
31. Крыло, стр. 128
32. Белевич, стр. 854
33. Ли, стр. 756-757.
34. Калман, стр. 10
35. Э. Кауэр и др. , стр. 5
36. Свонсон, стр. 58
37. Маккарти, стр. 51
38. Свонсон, стр. 58
39. Дарлингтон, стр. 7
40. Чэнь и Ху, стр. 8
41. Чен и Смит, стр. 35
42. Хьюз и др. , стр. 286
43. Хьюз и др. , стр. 287–288.
44. Аванг, стр. 227
45. Маттеи и др. , стр. 3-5
46. Маттеи и др. , стр. 681
47. Маттеи и др. , стр. 5
48. Маттеи и др. , стр. 121
49. Ванхаммар, стр. 58
50. Чен и Смит, стр. 35
51. Чэнь и Ху, стр. 8
52. Бакши и Бакши, с. 3-13–3-14
53. Крыло, стр. 115
54. • Бакши и Бакши, с. 3–23, 3–30–3–31, 3–37
    • Крыло, стр. 115
55. Бакши и Бакши, стр. 3-23–3-24
56. Крыло, стр. 115-116
57. Крыло, стр. 115-116
58. Бакши и Бакши, стр. 3-31, 3-33
59. Бакши и Бакши, стр. 3-30–3-31, 3-37
60. Гош и Чакроборти, стр. 771
61. Бакши и Бакши, стр. 3-28–3-29
62. Бакши и Бакши, стр. 3-21
63. Бакши и Бакши, стр. 3-29
64. Бакши и Бакши, стр. 3-21
65. Хоупис и Любельфельд, стр. 183
66. Бакши и Бакши, стр. 3-30
67. Крыло, стр. 115
68. Хьюз и др. , стр. 283
69. Карлин и Чиваллери, стр. 254
70. • Крыло, стр. 115-116
    • Гош и Чакроборти, стр. 792-793.
71. Крыло, стр. 117-118
72. Крыло, стр. 122
73. • Крыло, стр. 116
    • Гош и Чакроборти, стр. 793
74. Крыло, стр. 116-117
75. Крыло, стр. 117
76. Крыло, стр. 119
77. Крыло, стр. 117
78. Крыло, стр. 117
79. Крыло, стр. 117
80. Крыло, стр. 117-118
81. Крыло, стр. 117, 120
82. Крыло, стр. 121
83. Крыло, стр. 122
84. Хьюз и др. , стр. 284
85. Хьюз и др. , стр. 284–285.
86. • Крыло, стр. 122–126
    • Юла, стр. 65–66
87. Калман, стр. 7
88. Андерсон и Вонгпанитлерд, стр. 427
89. Э. Кауэр и др. , стр. 7
90. Сисодия, стр. 5.13
91. Белевич, стр. 853
92. Крыло, стр. 164
93. Белевич, стр. 852
94. Белевич, стр. 850
95. Глиссон, стр. 727
96. Вайсбанд и др. , стр. 280
97. Комер и Комер, стр. 435
98. Крыло, стр. 91
99. Чао и Атанс, стр. 524

Библиография

Источники

• Аатре, Васудев К., Теория сетей и проектирование фильтров , New Age International, 1986 ISBN  0852260148 .
• Андерсон, Брайан DO; Вонгпанитлерд, Сумет, Сетевой анализ и синтез: современный системный теоретический подход , Courier Corporation, 2013 ISBN 0486152170 . 
• Аванг, Заики, Проектирование микроволновых систем , Springer, 2013 ISBN 9789814451246 . 
• Бакши, У.А.; Бакши, А.В., Анализ цепей - II , Технические публикации, 2009 ISBN 9788184315974 . 
• Бакши, У.А.; Читоде, Дж.С., Анализ линейных систем , Технические публикации, 2009 ISBN 8184317409 . 
• Белевич, Витольд , «Краткое изложение истории теории цепей», Труды ИРЭ , т. 50, вып. 5, стр. 848–855, май 1962 г.
• Карлин, Герберт Дж.; Чиваллери, Пьер Паоло, Проектирование широкополосных схем , CRC Press, 1997 ISBN 9780849378973 . 
• Кауэр, Эмиль; Матис, Вольфганг; Паули, Райнер, «Жизнь и творчество Вильгельма Кауэра (1900 – 1945)», Труды Четырнадцатого международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000) , Перпиньян, июнь 2000 г.
• Чао, Алан; Атанс, Майкл, «Устойчивость и устойчивость к неструктурированной неопределенности для линейных систем, инвариантных по времени», гл. 30 в книге Левин, Уильям С., The Control Handbook , CRC Press, 1996 ISBN 0849385709 . 
• Чэнь, Майкл ZQ; Ху, Иньлун, Инертный генератор и его применение в системах контроля вибрации , Springer, 2019 ISBN 981107089X . 
• Чен, Майкл ZQ; Смит, Малкольм К. , «Электрический и механический пассивный сетевой синтез», стр. 35–50 в, Блондель, Винсент Д.; Бойд, Стивен П.; Кимуру, Хиденори (редакторы), Последние достижения в области обучения и управления , Springer, 2008 ISBN 9781848001541 . 
• Комер, Дэвид Дж.; Комер, Дональд Т., Advanced Electronic Circuit Design , Wiley, 2003 ISBN 0471228281 . 
• Дарлингтон, Сидней «История синтеза сетей и теории фильтров для цепей, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов», IEEE Transactions: Circuits and Systems , т. 31, стр. 3–13, 1984.
• Гош, С. П., Чакроборти, А. К., Сетевой анализ и синтез , Tata McGraw Hill, 2010 ISBN 9781259081422 . 
• Глиссон, Тилдон Х., Введение в анализ и проектирование схем , Springer, 2011 ISBN ISBN 9048194431 . 
• Хоупис, Константин Х.; Любельфельд, Ежи, Импульсные схемы , Саймон и Шустер, 1970 OCLC  637996615.
• Хаббард, Джон Х. , «Синтез электрических цепей Ботта-Даффина», стр. 33–40, Котюга, П. Роберт (редактор), « Празднование математического наследия Рауля Ботта» , Американское математическое общество, 2010 ISBN 9780821883815 . 
• Хьюз, Тимоти Х.; Морелли, Алессандро; Смит, Малкольм К. , «Синтез электрических сетей: обзор последних работ», стр. 281–293 в, Темпо, Р.; Юркович, С.; Мисра, П. (редакторы), Новые приложения теории управления и систем , Springer, 2018 ISBN 9783319670676 . 
• Калман, Рудольф , «Старые и новые направления исследований в теории систем», стр. 3–13 в, Виллемс, Ян; Хара, Синдзи; Охта, Ёсито; Фудзиока, Хисая (редакторы), Перспективы в математической теории систем, управлении и обработке сигналов , Springer, 2010 ISBN 9783540939177 . 
• Ли, Томас Х. , Планарная микроволновая техника , Cambridge University Press, 2004 ISBN 0521835267 . 
• Маттеи, Джордж Л.; Янг, Лео ; Джонс, EMT, Микроволновые фильтры, сети согласования импеданса и структуры связи , McGraw-Hill 1964 LCCN  64-7937.
• Паарманн, Ларри Д., Проектирование и анализ аналоговых фильтров , Springer Science & Business Media, 2001 ISBN 0792373731 . 
• Робертсон, Иан; Сомджит, Нутапонг; Чонгчеавчамнан Митчай, Разработка микроволновых и миллиметровых волн для беспроводной связи , John Wiley & Sons, 2016 ISBN 1118917219 . 
• Шеной, Белль А., Аппроксимация величины и задержки одномерных и двумерных цифровых фильтров , Springer, 2012 ISBN 3642585736 . 
• Сисодия, М.Л.; Гупта, Виджай Лакшми, Микроволны: Введение в схемы, устройства и антенны , New Age International, 2007 ISBN 8122413382 . 
• Сторер, Джеймс Эдвард, Пассивный сетевой синтез , McGraw-Hill, 1957 OCLC  435995425.
• Свонсон, Дэвид К., Обработка сигналов для интеллектуальных сенсорных систем с помощью MATLAB , CRC Press, 2012 ISBN 1420043056 . 
• Вайсбанд, Инна П.; Якушокас, Ренатас, Попович, Михаил; Межиба, Андрей В.; Кёсе, Сельчук; Фридман Эби Г., On-Chip Power Delivery and Management , Springer, 2016 ISBN 3319293958 . 
• Ванхаммар, Ларс , Аналоговые фильтры с использованием MATLAB , Springer, 2009 ISBN 0387927670 . 
• Юла, Данте К., Теория и синтез линейных пассивных сетей, инвариантных по времени , Cambridge University Press, 2015 ISBN 1107122864 . 
• Уинг, Омар, Классическая теория цепей , Springer, 2008 ISBN 0387097406 . 

Первичные документы

• Ботт, Рауль ; Даффин, Ричард , «Синтез импеданса без использования трансформаторов», Журнал прикладной физики , т. 20, вып. 8, стр. 816, август 1949 г.
• Боде, Хендрик , Анализ сетей и проектирование усилителей с обратной связью , стр. 360–371, D. Van Nostrand Company, 1945 OCLC  1078811368.
• Брюн, Отто , «Синтез конечной двухполюсной сети, полное сопротивление которой является заданной функцией частоты», MIT Journal of Mathematics and Physics , т. 10, стр. 191–236, апрель 1931 г.
• Баттерворт, Стивен , «О теории фильтрующих усилителей», Experimental Wireless and the Wireless Engineer , т. 7, № 85, стр. 536–541, октябрь 1930 г.
• Кауэр, Вильгельм , «Die Verwirklichung der Wechselstromwiderstände vorgeschriebener Frequenzabhängigkeit» (Реализация импедансов заданной частотной зависимости), Archiv für Elektrotechnik , vol. 17, стр. 355–388, 1926 г. (на немецком языке).
• Кауэр, Вильгельм, "Vierpole mit vorgeschriebenem D ̈ampfungs-verhalten", Telegraphen-, Fernsprech-, Funk- und Fern-sehtechnik , vol. 29, стр. 185–192, 228–235. 1940 г. (на немецком языке).
• Кокчи, Джованни, «Rappresentazione di bipoli qualsiasi con Quadripoli di pure reattanze chiusi su сопротивления», Alta Frequenza , vol. 9, стр. 685–698, 1940 (на итальянском языке).
• Дарлингтон, Сидней , «Синтез реактивных 4-полюсных конденсаторов, которые обеспечивают заданные характеристики вносимых потерь: включая специальные приложения для проектирования фильтров», MIT Journal of Mathematics and Physics , т. 18, стр. 257–353, апрель 1939 г.
• Фано, Роберт , «Теоретические ограничения широкополосного согласования произвольных импедансов», Журнал Института Франклина , т. 249, вып. 1, стр. 57–83, январь 1950 г.
• Фиалко, Аарон; Герст, Ирвинг, «Синтез импеданса без взаимной связи», Quarterly of Applied Mathematics , т. 12, № 4, стр. 420–422, 1955
• Хьюз, Тимоти Х., «Почему реализации RLC определенных импедансов требуют гораздо больше элементов хранения энергии, чем ожидалось», IEEE Transactions on Automatic Control , т. 62, вып. 9, стр. 4333–4346, сентябрь 2017 г.
• Хьюз, Тимоти Х., «Пассивность и электрические цепи: поведенческий подход», IFAC-PapersOnLine , т. 50, вып. 1, стр. 15500–15505, июль 2017 г.
• Ладенхейм, Эдвард Л., Синтез биквадратных импедансов , магистерская диссертация, Политехнический институт Бруклина, Нью-Йорк, 1948.
• Пантелл, Р. Х., «Новый метод синтеза импеданса возбуждающей точки», Труды IRE , т. 42, вып. 5, стр. 861, 1954.
• Реза, Ф.М., «Мостовой эквивалент цикла Бруна, завершенного резистором», Труды IRE , т. 42, вып. 8, стр. 1321, 1954.
• Ричардс, Пол И. , «Специальный класс функций с положительной действительной частью в полуплоскости», Duke Mathematical Journal , т. 14, № 3, 777–786, 1947.
• Саллен, Р. П.; Кей, Э. Л., «Практический метод проектирования активных RC-фильтров», Труды IRE по теории цепей , т. 2, вып. 1, стр. 74–85, март 1955 г.
• Смит, Малкольм К. , «Синтез механических сетей: инертный», IEEE Transactions on Automatic Control , т. 47, вып. 10, стр. 1648–1662, октябрь 2002 г.
• Сторер, Дж. Э., «Взаимосвязь между синтезом импеданса Ботта-Даффина и Пантелла», Труды IRE , т. 42, вып. 9, стр. 1451, сентябрь 1954 г.