Разложение периодических функций в суммы более простых синусоидальных форм
Ряд Фурье ( / ˈ f ʊr i eɪ , -i ər / [1] ) — это разложение периодической функции в сумму тригонометрических функций . Ряд Фурье является примером тригонометрического ряда , но не все тригонометрические ряды являются рядами Фурье. [2] Выражая функцию в виде суммы синусов и косинусов, многие проблемы, связанные с этой функцией, становится легче анализировать, поскольку тригонометрические функции хорошо изучены. Например, ряды Фурье впервые были использованы Жозефом Фурье для поиска решений уравнения теплопроводности . Такое применение возможно, поскольку производные тригонометрических функций распадаются на простые закономерности. Ряды Фурье нельзя использовать для аппроксимации произвольных функций, поскольку большинство функций имеют в своих рядах Фурье бесконечное число членов, и эти ряды не всегда сходятся . Функции с хорошим поведением, например гладкие функции, имеют ряды Фурье, которые сходятся к исходной функции. Коэффициенты ряда Фурье определяются интегралами функции, умноженной на тригонометрические функции, описанные ниже в разделе «Общие формы ряда Фурье».
Изучение сходимости рядов Фурье сосредоточено на поведении частичных сумм , что означает изучение поведения суммы по мере того, как суммируются все больше и больше членов ряда. На рисунках ниже показаны некоторые частичные результаты рядов Фурье для компонентов прямоугольной волны .
Прямоугольная волна (представленная синей точкой) аппроксимируется своей шестой частичной суммой (представленной фиолетовой точкой), образованной суммированием первых шести членов (представленных стрелками) ряда Фурье прямоугольной волны. Каждая стрелка начинается с вертикальной суммы всех стрелок слева от нее (т. е. предыдущей частичной суммы).
Первые четыре частичные суммы ряда Фурье для прямоугольной волны . По мере добавления большего количества гармоник частичные суммы сходятся (становятся все более и более похожими) на прямоугольную волну.
Функция (красным цветом) представляет собой сумму ряда Фурье шести гармонически связанных синусоидальных волн (синим цветом). Его преобразование Фурье представляет собой представление в частотной области, которое показывает амплитуды суммированных синусоидальных волн.
Ряды Фурье тесно связаны с преобразованием Фурье , которое можно использовать для поиска информации о частоте для функций, которые не являются периодическими. Периодические функции можно отождествить с функциями на окружности, по этой причине ряды Фурье являются предметом анализа Фурье на окружности, обычно обозначаемой как или . Преобразование Фурье также является частью анализа Фурье , но оно определено для функций на .
Ряд Фурье — это непрерывная периодическая функция , созданная суммированием гармонически связанных синусоидальных функций. Он имеет несколько разных, но эквивалентных форм, показанных здесь как частичные суммы. Но теоретически индексные символы, называемые коэффициентами , и период определяют функцию следующим образом :
Ряд Фурье, амплитудно-фазовая форма
Ряд Фурье, синус-косинусная форма
Ряд Фурье, экспоненциальная форма
Гармоники индексируются целым числом, которое также является количеством циклов, которые соответствующие синусоиды делают в интервале . Следовательно, синусоиды имеют :
Очевидно, что эти ряды могут представлять функции, которые представляют собой просто сумму одной или нескольких частот гармоник. Примечательно то, что он также может представлять промежуточные частоты и/или несинусоидальные функции из-за бесконечного числа членов. Амплитудно-фазовая форма особенно полезна для понимания смысла коэффициентов ряда. (см. § Вывод). Показательную форму легче всего обобщить на комплекснозначные функции. (см. § Комплекснозначные функции)
Эквивалентность этих форм требует определенных соотношений между коэффициентами. Например, тригонометрическое тождество :
Коэффициенты могут быть заданы/предполагаемы, например, музыкальный синтезатор или временные выборки формы волны. В последнем случае экспоненциальная форма ряда Фурье синтезирует преобразование Фурье с дискретным временем , где переменная представляет частоту, а не время.
Но обычно коэффициенты определяются путем частотного/гармонического анализа данной действительной функции и представляют время :
Анализ рядов Фурье
Цель состоит в том, чтобы достичь большинства или всех значений в интервале длины. Для функций с хорошим поведением , типичных для физических процессов, обычно предполагается равенство, а условия Дирихле обеспечивают достаточные условия.
Обозначения представляют собой интегрирование по выбранному интервалу. Типичный выбор: и . Некоторые авторы определяют , потому что это упрощает аргументы синусоидальных функций за счет общности. Некоторые авторы предполагают, что она также является -периодической, и в этом случае она аппроксимирует всю функцию. Масштабный коэффициент объясняется на простом примере : для сходимости необходим только член уравнения 2 , при этом и Соответственно уравнение 5 дает :
Подстановка этого значения в уравнение 1 и сравнение с уравнением 3 в конечном итоге показывает :
Коэффициенты экспоненциальной формы
И наоборот :
Обратные отношения
Подстановка уравнения 5 в уравнение 6 также показывает : [3]
Анализ рядов Фурье
Комплексные функции
Уравнения 7 и 3 также применимы, когда является комплексной функцией. [A]
Это следует путем выражения и как отдельных вещественных рядов Фурье, и
Вывод
Коэффициенты и можно понять и вывести с точки зрения взаимной корреляции между и синусоиды на частоте . Для общей частоты и интервала анализа функция взаимной корреляции :
Вывод уравнения 1
по сути, это согласованный фильтр с шаблоном . Максимум является мерой амплитуды частоты в функции , а значение максимума определяет фазу этой частоты. На рисунке 2 показан пример прямоугольной волны (не показан), а частота — гармоники. Это также пример получения максимума всего из двух выборок вместо поиска по всей функции. Объединение уравнения 8 с уравнением 4 дает :
Производная равна нулю в фазе максимальной корреляции.
Следовательно, расчет и по уравнению 5 создает фазу максимальной корреляции компонента . А амплитуда компонента равна :
Другие распространенные обозначения
Эти обозначения недостаточны для обсуждения коэффициентов Фурье нескольких различных функций. Поэтому его обычно заменяют модифицированной формой функции ( в данном случае), такой как или , а функциональные обозначения часто заменяют индексы :
В технике, особенно когда переменная представляет время, последовательность коэффициентов называется представлением в частотной области . Квадратные скобки часто используются, чтобы подчеркнуть, что областью определения этой функции является дискретный набор частот.
Другое часто используемое представление в частотной области использует коэффициенты ряда Фурье для модуляции гребенки Дирака :
где представляет собой непрерывную частотную область. Если переменная имеет единицы секунды, она имеет единицы герцы . «Зубцы» гребенки расположены на расстоянии, кратном (то есть гармоникам ) , что называется основной частотой . можно восстановить из этого представления с помощью обратного преобразования Фурье :
Поэтому построенную функцию обычно называют преобразованием Фурье , хотя интеграл Фурье периодической функции не сходится на частотах гармоник. [Б]
Пример анализа
Рассмотрим пилообразную функцию :
В этом случае коэффициенты Фурье имеют вид
Можно показать, что ряд Фурье сходится в каждой точке , где дифференцируемо, и, следовательно :
При , ряд Фурье сходится к 0, что является полусуммой левого и правого предела s при . Это частный случай теоремы Дирихле для рядов Фурье.
Этот пример приводит к решению Базельской проблемы .
Конвергенция
Доказательство того, что ряд Фурье является допустимым представлением любой периодической функции (которая удовлетворяет условиям Дирихле ), представлено в § Теорема Фурье, доказывающая сходимость рядов Фурье.
В инженерных приложениях обычно предполагается, что ряд Фурье сходится, за исключением скачков, поскольку функции, встречающиеся в инженерии, ведут себя лучше, чем функции, встречающиеся в других дисциплинах. В частности, если непрерывен и производная (которая может существовать не везде) интегрируема с квадратом, то ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно к . [4] Если функция интегрируема с квадратом на интервале , то ряд Фурье сходится к функции почти всюду . Можно определить коэффициенты Фурье для более общих функций или распределений, и в этом случае точечная сходимость часто не удается, и обычно изучается сходимость по норме или слабая сходимость .
Четыре частичные суммы (ряд Фурье) длин 1, 2, 3 и 4 члена, показывающие, как аппроксимация прямоугольной волны улучшается по мере увеличения количества членов (анимация)
Четыре частичные суммы (ряд Фурье) длин 1, 2, 3 и 4 члена, показывающие, как приближение к пилообразной волне улучшается по мере увеличения количества членов (анимация)
Пример сходимости к несколько произвольной функции. Обратите внимание на развитие «звона» ( феномена Гиббса ) при переходах на вертикальные участки и обратно.
История
Ряд Фурье назван в честь Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768–1830), который внес важный вклад в изучение тригонометрических рядов , после предварительных исследований Леонарда Эйлера , Жана ле Рона д'Аламбера и Даниэля Бернулли . [C] Фурье ввел ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, опубликовав свои первоначальные результаты в своем « Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les Corps Solides» ( Трактат о распространении тепла в твердых телах ) 1807 года. и публикация его Théorie analytique de la chaleur ( Аналитическая теория тепла ) в 1822 году. В « Мемуаре» был представлен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт, что произвольная (сначала непрерывная [5] , а затем обобщенная на любую кусочно -гладкую [6] ) функция может быть представлена тригонометрическим рядом. Первое заявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией . [7] Ранние идеи разложения периодической функции в сумму простых осциллирующих функций относятся к III веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на деферентах и эпициклах .
Уравнение теплопроводности представляет собой уравнение в частных производных . До работы Фурье не было известно решение уравнения теплопроводности в общем случае, хотя были известны частные решения, если источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была синусоидальная или косинусоидальная волна . Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями . Идея Фурье заключалась в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию ) простых синусоидальных и косинусоидальных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений . Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.
С современной точки зрения результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позже Питер Густав Лежен Дирихле [8] и Бернхард Риман [9] [10] [11] выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.
Хотя первоначальная мотивация заключалась в решении уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы могут быть применены к широкому кругу математических и физических задач, особенно к тем, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами . Ряд Фурье имеет множество таких приложений в электротехнике , вибрационном анализе, акустике , оптике , обработке сигналов , обработке изображений , квантовой механике , эконометрике , [12] теории оболочек , [13] и т. д.
Это немедленно дает любой коэффициент a k тригонометрического ряда для φ( y ) для любой функции, имеющей такое разложение. Это работает, потому что если φ имеет такое разложение, то (при подходящих предположениях о сходимости) интеграл
j ≠ k
В этих нескольких строках, близких к современному формализму , используемому в рядах Фурье, Фурье произвел революцию как в математике, так и в физике. Хотя подобные тригонометрические ряды ранее использовались Эйлером , Даламбером , Даниэлем Бернулли и Гауссом , Фурье считал, что такие тригонометрические ряды могут представлять любую произвольную функцию. В каком смысле это на самом деле верно — вопрос довольно тонкий, и многолетние попытки прояснить эту идею привели к важным открытиям в теориях сходимости , функциональных пространств и гармонического анализа .
Когда Фурье представил позднее конкурсное эссе в 1811 году, комитет (в который, среди прочих, входили Лагранж , Лаплас , Малюс и Лежандр ) пришел к выводу: ...способ, которым автор пришел к этим уравнениям, не лишен трудностей и... его анализ по их объединению все еще оставляет желать лучшего с точки зрения общности и даже строгости . [ нужна цитата ]
Мотивация Фурье
Разложение пилообразной функции в ряд Фурье (см. выше) выглядит сложнее, чем простая формула , поэтому не сразу понятно, зачем нужен ряд Фурье. Хотя существует множество приложений, мотивацией Фурье было решение уравнения теплопроводности . Например, рассмотрим металлическую пластину в форме квадрата, стороны которого измеряются метрами, с координатами . Если внутри пластины нет источника тепла и если три из четырех сторон поддерживаются при температуре 0 градусов Цельсия, а четвертая сторона, определяемая , поддерживается при градиенте температуры в градусах Цельсия, то можно показать, что стационарное распределение тепла (или распределение тепла по истечении длительного периода времени) определяется выражением
Здесь sinh — гиперболический синус . Это решение уравнения теплопроводности получается путем умножения каждого члена уравнения 9 на . Хотя наша примерная функция, кажется, имеет излишне сложный ряд Фурье, распределение тепла нетривиально. Функцию нельзя записать в виде выражения в замкнутой форме . Этот метод решения тепловой проблемы стал возможен благодаря работе Фурье.
Анимация сложного ряда Фурье
Пример способности комплексного ряда Фурье отслеживать любую двумерную замкнутую фигуру показан в соседней анимации комплексного ряда Фурье, отслеживающей букву «е» (для экспоненты). Обратите внимание, что анимация использует переменную «t» для параметризации буквы «e» в комплексной плоскости, что эквивалентно использованию параметра «x» в подразделе этой статьи, посвященном функциям с комплексными значениями.
В задней плоскости анимации вращающиеся векторы объединяются в порядке, который чередуется между вектором, вращающимся в положительном (против часовой стрелки) направлении, и вектором, вращающимся с той же частотой, но в отрицательном (по часовой стрелке) направлении, в результате чего получается единая трассировка. рука с множеством зигзагов. Эта перспектива показывает, как добавление каждой пары вращающихся векторов (один вращается в положительном направлении, а другой вращается в отрицательном направлении) подталкивает предыдущий след (показанный светло-серой пунктирной линией) ближе к форме буквы «е». .
В передней плоскости анимации вращающиеся векторы объединяются в два набора: набор всех положительных вращающихся векторов и набор всех отрицательных вращающихся векторов (невращающийся компонент равномерно разделен между ними), в результате чего получаются две трассировки. руки вращаются в противоположных направлениях. Маленький кружок анимации обозначает среднюю точку между двумя плечами, а также среднюю точку между началом координат и текущей точкой трассировки, обозначенную знаком «+». Эта перспектива показывает, что комплексный ряд Фурье является расширением (добавлением плеча) сложного геометрического ряда, имеющего только одно плечо. Это также показывает, как две руки координируются друг с другом. Например, поскольку точка трассировки вращается в положительном направлении, рычаг отрицательного направления остается неподвижным. Аналогично, когда точка отслеживания вращается в отрицательном направлении, рычаг положительного направления остается неподвижным.
Между задней и передней плоскостями анимации находятся вращающиеся трапеции, площади которых представляют значения членов комплексного ряда Фурье. Эта перспектива показывает амплитуду, частоту и фазу отдельных членов комплексного ряда Фурье по отношению к сумме ряда, пространственно сходящейся к букве «е» в задней и передней плоскостях. Левый и правый каналы звуковой дорожки соответствуют соответственно реальному и мнимому компонентам текущей точки трассировки «+», но их частота увеличена в 3536 раз, так что основная частота анимации (n=1) представляет собой тон 220 Гц (A220 ).
Другие приложения
Другое применение — решение Базельской задачи с помощью теоремы Парсеваля . Пример обобщает, и можно вычислить ζ (2 n ) для любого положительного целого числа n .
Таблица общих рядов Фурье
Некоторые распространенные пары периодических функций и их коэффициенты ряда Фурье показаны в таблице ниже.
обозначает периодическую функцию с периодом .
обозначим коэффициенты ряда Фурье (синус-косинусной формы) периодической функции .
Таблица основных свойств
В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующий эффект в коэффициентах ряда Фурье. Обозначение:
обозначают -периодические функции или функции, определенные только для
обозначим коэффициенты ряда Фурье (экспоненциальная форма) и
Свойства симметрии
Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на четные и нечетные части , получается четыре компонента, обозначенные ниже индексами RE, RO, IE и IO. И существует взаимно однозначное соответствие между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного преобразования частоты: [18]
Отсюда выявляются различные зависимости, например:
Преобразованием действительной функции ( s RE + s RO ) является четная симметричная функция S RE + i S IO . И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает вещественную временную область.
Преобразование мнимой функции ( i s IE + i s IO ) представляет собой нечетную симметричную функцию S RO + i S IE , и обратное верно.
Преобразование четно-симметричной функции ( s RE + i s IO ) является действительной функцией S RE + S RO , и обратное верно.
Преобразование нечетно-симметричной функции ( s RO + i s IE ) является мнимозначной функцией i S IE + i S IO , и обратное верно.
также является -периодическим, с коэффициентами ряда Фурье :
Двукратно бесконечная последовательность в является последовательностью коэффициентов Фурье функции в том и только в том случае, если она является сверткой двух последовательностей в . См. [19]
Производное свойство
Мы говорим, что принадлежит if — это 2π -периодическая функция, на которой дифференцируема раз, а ее производная непрерывна.
Если , то коэффициенты Фурье производной можно выразить через коэффициенты Фурье функции по формуле .
Если , то . В частности, поскольку при фиксированном имеем as , то отсюда следует, что стремится к нулю, а это означает, что коэффициенты Фурье сходятся к нулю быстрее, чем k -я степень n при любом .
Компактные группы
Одним из интересных свойств преобразования Фурье, о котором мы упомянули, является то, что оно выполняет свертки с точечными произведениями. Если это свойство, которое мы стремимся сохранить, то можно построить ряд Фурье на любой компактной группе . Типичные примеры включают те классические группы , которые компактны. Это обобщает преобразование Фурье на все пространства формы L 2 ( G ), где G — компактная группа, таким образом, что преобразование Фурье переносит свертки в поточечные произведения. Ряд Фурье существует и сходится аналогично случаю [− π , π ] .
Альтернативным расширением компактных групп является теорема Питера-Вейля , которая доказывает результаты о представлениях компактных групп, аналогичные таковым о конечных группах.
Римановы многообразия
Если домен не является группой, то не существует внутренне определенной свертки. Однако если — компактное риманово многообразие , оно имеет оператор Лапласа–Бельтрами . Оператор Лапласа–Бельтрами — это дифференциальный оператор, соответствующий оператору Лапласа для риманова многообразия . Тогда по аналогии можно рассмотреть уравнения теплопроводности на . Поскольку Фурье пришел к своему базису, пытаясь решить уравнение теплопроводности, естественным обобщением является использование в качестве основы собственных решений оператора Лапласа – Бельтрами. Это обобщает ряды Фурье на пространства типа , где – риманово многообразие. Ряд Фурье сходится аналогично случаю . Типичным примером является сфера с обычной метрикой, и в этом случае базис Фурье состоит из сферических гармоник .
Локально компактные абелевы группы
Обсужденное выше обобщение на компактные группы не распространяется на некомпактные неабелевы группы . Однако существует прямое обобщение на локально компактные абелевы группы (LCA).
Это обобщает преобразование Фурье на или , где – группа LCA. Если компактно, то также получается ряд Фурье, который сходится аналогично случаю , но если некомпактно, то вместо этого получается интеграл Фурье . Это обобщение дает обычное преобразование Фурье , когда основная локально компактная абелева группа равна .
Расширения
Ряд Фурье по квадрату
Мы также можем определить ряд Фурье для функций двух переменных и в квадрате :
Помимо того, что ряд Фурье по квадрату полезен для решения уравнений в частных производных, таких как уравнение теплопроводности, одним из заметных применений ряда Фурье по квадрату является сжатие изображений . В частности, стандарт сжатия изображений JPEG использует двумерное дискретное косинусное преобразование — дискретную форму косинусного преобразования Фурье , которая в качестве базовой функции использует только косинус.
Для двумерных массивов с шахматным видом половина коэффициентов ряда Фурье исчезает из-за дополнительной симметрии. [20]
Ряд Фурье периодической функции решетки Браве
Трехмерная решетка Браве определяется как набор векторов вида:
Эта новая функция теперь является функцией трех переменных, каждая из которых имеет периодичность , и соответственно:
Это позволяет нам создать набор коэффициентов Фурье, каждый из которых индексируется тремя независимыми целыми числами . Далее для обозначения этих коэффициентов мы будем использовать функциональные обозначения, тогда как ранее мы использовали индексы. Если мы напишем ряд для на интервале для , мы можем определить следующее:
И тогда мы можем написать:
Дальнейшее определение:
Мы можем еще раз написать так:
Наконец, применив то же самое к третьей координате, мы определяем:
Мы пишем как:
Перестановка:
Теперь каждый вектор обратной решетки может быть записан (но это не означает, что это единственный способ записи) как , где – целые числа и – векторы обратной решетки, которые удовлетворяют ( for , и for ). Тогда для любого произвольного вектора обратной решетки и произвольного вектора положения в исходном пространстве решетки Браве их скалярное произведение равно:
Итак, ясно, что в нашем разложении сумма на самом деле ведется по векторам обратной решетки:
(может быть выгодно ради упрощения расчетов работать в такой прямоугольной системе координат, в которой так уж получилось, что она параллельна оси x , лежит в плоскости xy и имеет компоненты всех трех осей) . Знаменатель - это в точности объем примитивной элементарной ячейки, заключенной в три примитивных вектора , и . В частности, теперь мы знаем, что
Теперь мы можем записать интеграл с традиционной системой координат по объему примитивной ячейки, а не с переменными и :
Интерпретация гильбертова пространства
На языке гильбертовых пространств множество функций является ортонормированным базисом пространства интегрируемых с квадратом функций на . Это пространство на самом деле является гильбертовым пространством со скалярным произведением , заданным для любых двух элементов и следующим образом:
где находится комплексно-сопряженное число
Основной результат ряда Фурье для гильбертовых пространств можно записать как
Это в точности соответствует комплексной экспоненциальной формулировке, приведенной выше. Версия с синусами и косинусами обоснована и интерпретацией гильбертова пространства. Действительно, синусы и косинусы образуют ортогональный набор :
Эти теоремы и их неформальные вариации, в которых не указаны условия сходимости, иногда в общем называются теоремой Фурье или теоремой Фурье . [21] [22] [23] [24]
Теорема . Тригонометрический полином является единственным лучшим тригонометрическим полиномом степени, приближающей , в том смысле, что для любого тригонометрического полинома степени мы имеем:
где норма гильбертова пространства определяется как:
Теоремы сходимости
Благодаря свойству метода наименьших квадратов и полноте базиса Фурье мы получаем элементарный результат сходимости.
Теорема — Если принадлежит (интервалу длины ), то сходится к in , то есть сходится к 0 при .
Мы уже упоминали, что если непрерывно дифференцируемо, то – коэффициент Фурье производной . Это следует, по сути, из неравенства Коши–Шварца , что абсолютно суммируемо. Сумма этого ряда является непрерывной функцией, равной , поскольку ряд Фурье сходится в среднем к :
Этот результат можно легко доказать, если далее предположить, что , так как в этом случае стремится к нулю как . В более общем смысле, ряд Фурье абсолютно суммируем, поэтому сходится равномерно к при условии, что он удовлетворяет условию Гёльдера порядка . В абсолютно суммируемом случае неравенство:
доказывает равномерную сходимость.
Известны многие другие результаты, касающиеся сходимости рядов Фурье , начиная от умеренно простого результата о том, что ряд сходится, если дифференцируем при , до гораздо более сложного результата Леннарта Карлесона о том, что ряд Фурье функции фактически сходится почти всюду .
Дивергенция
Поскольку ряды Фурье обладают такими хорошими свойствами сходимости, многие часто удивляются некоторым отрицательным результатам. Например, ряд Фурье непрерывной T -периодической функции не обязательно сходится поточечно. [ нужна цитата ] Принцип равномерной ограниченности дает простое неконструктивное доказательство этого факта.
В 1922 году Андрей Колмогоров опубликовал статью под названием « Серия Фурье-Лебега, расходящаяся presque partout», в которой привел пример интегрируемой по Лебегу функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду. Позже он построил пример интегрируемой функции, ряд Фурье которой расходится всюду. [25]
^ Поскольку интеграл, определяющий преобразование Фурье периодической функции, не сходится, необходимо рассматривать периодическую функцию и ее преобразование как распределения . В этом смысле это дельта-функция Дирака , которая является примером распределения.
^ Эти слова не принадлежат строго Фурье. Хотя в цитируемой статье автором указан Фурье, в сноске указано, что статья на самом деле была написана Пуассоном (что она не была написана Фурье, это также ясно из постоянного использования третьего лица для ссылки на него) и что это , «по причинам исторического интереса», представлено так, как если бы это были оригинальные мемуары Фурье.
^ Зигмунд, А. (2002). Тригонометрическая серия (3-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN0-521-89053-5.
^ Пинкус, Аллан; Зафрани, Сами (1997). Ряд Фурье и интегральные преобразования (1-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. стр. 42–44. ISBN0-521-59771-4.
^ Толстов, Георгий П. (1976). Ряд Фурье. Курьер-Дувр. ISBN0-486-63317-9.
^ Стиллвелл, Джон (2013). «Логика и философия математики в девятнадцатом веке». В Тен, CL (ред.). Рутледж История философии . Том. VII: Девятнадцатый век. Рутледж. п. 204. ИСБН978-1-134-92880-4.
^ Фассауэр, Грег (2015). «Ряд Фурье и краевые задачи» (PDF) . Конспекты курса Math 461, глава 3 . Кафедра прикладной математики Иллинойского технологического института . Проверено 6 ноября 2020 г.
^ Каджори, Флориан (1893). История математики. Макмиллан. п. 283.
^ Лежен-Дирихле, Питер Густав (1829). «Sur la сходимость тригонометрических рядов, которые служат представителем произвольной функции между двумя заданными пределами» [О сходимости тригонометрических рядов, которые служат для представления произвольной функции между двумя заданными пределами]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (на французском языке). 4 : 157–169. arXiv : 0806.1294 .
^ Маскр, Д.; Риман, Бернхард (1867), «Посмертная диссертация о представлении функций тригонометрическими рядами», в Граттан-Гиннессе, Айвор (редактор), «Важные сочинения по западной математике 1640–1940», Elsevier (опубликовано в 2005 г.), стр. 49, ISBN9780080457444
^ Реммерт, Рейнхольд (1991). Теория комплексных функций: Чтения по математике. Спрингер. п. 29. ISBN9780387971957.
^ Нерлав, Марк; Гретер, Дэвид М.; Карвальо, Хосе Л. (1995). Анализ экономических временных рядов. Экономическая теория, эконометрика и математическая экономика . Эльзевир. ISBN0-12-515751-7.
^ Вильгельм Флюгге , Напряжения в оболочках (1973), 2-е издание. ISBN 978-3-642-88291-3 . Первоначально опубликовано на немецком языке как Statik und Dynamik der Schalen (1937).
^ Фурье, Жан-Батист-Жозеф (1888). Гастон Дарбу (ред.). Oeuvres de Fourier [ Работы Фурье ] (на французском языке). Париж: Готье-Виллар и Филс. стр. 218–219 – через Галлику.
^ Сепеси, Г. (13 февраля 2022 г.). «Непреходящий пример Зенона». На пути к науке о данных. стр. Приложение Б.
^ abcde Папула, Лотар (2009). Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler [ Математические функции для инженеров и физиков ] (на немецком языке). Vieweg+Teubner Verlag. ISBN978-3834807571.
Уильям Э. Бойс; Ричард К. ДиПрима (2005). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (8-е изд.). Нью-Джерси: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-43338-1.
Джозеф Фурье, перевод Александра Фримена (2003). Аналитическая теория тепла . Дуврские публикации. ISBN 0-486-49531-0.Полное переиздание 2003 года английского перевода Александра Фримена 1878 года работы Фурье Théorie Analytique de la Chaleur , первоначально опубликованного в 1822 году.
Энрике А. Гонсалес-Веласко (1992). «Связи в математическом анализе: случай рядов Фурье». Американский математический ежемесячник . 99 (5): 427–441. дои : 10.2307/2325087. JSTOR 2325087.
Феттер, Александр Л.; Валецка, Джон Дирк (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред. Курьер. ISBN 978-0-486-43261-8.
Феликс Кляйн , Развитие математики в XIX веке . Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Перевод М. Акермана из Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert , Springer, Берлин, 1928.
Вальтер Рудин (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-054235-Х.