метрика Гёделя

Решение уравнений поля Эйнштейна

Метрика Гёделя , также известная как решение Гёделя или вселенная Гёделя , представляет собой точное решение , найденное в 1949 году Куртом Гёделем ^[1] уравнений поля Эйнштейна , в которых тензор энергии-импульса содержит два члена: первый представляет материю плотность однородного распределения закрученных пылевых частиц (см. решение для пыли ), а второе связано с отрицательной космологической постоянной (см . решение для лямбдавакуума ).

Это решение имеет много необычных свойств, в частности, существование замкнутых времяподобных кривых , которые позволяют путешествовать во времени во Вселенной, описываемой этим решением. Его определение несколько искусственное, поскольку значение космологической постоянной необходимо тщательно выбирать, чтобы оно соответствовало плотности пылинок, но это пространство-время является важным педагогическим примером.

Определение

Как и любое другое лоренцево пространство-время , решение Гёделя представляет метрический тензор в терминах карты локальных координат . Возможно, проще всего понять вселенную Гёделя, используя цилиндрическую систему координат (см. ниже), но в этой статье используется диаграмма, первоначально использованная Гёделем. На этой диаграмме метрика (или, что то же самое, элемент строки ) — это

${\displaystyle g={\frac {1}{2\omega ^{2}}}\left[-(dt+e^{x}\,dy)^{2}+dx^{2}+{\tfrac {1}{2}}e^{2x}\,dy^{2}+dz^{2}\right],\qquad -\infty <t,x,y,z<\infty ,}$

где - ненулевая действительная константа, которая определяет угловую скорость окружающих пылинок вокруг оси y , измеренную «невращающимся» наблюдателем, едущим на одной из пылинок. «Невращающийся» означает, что наблюдатель не чувствует центробежных сил, но в этой системе координат он будет вращаться вокруг оси, параллельной оси Y. В этой вращающейся системе координат пылинки остаются с постоянными значениями x , y и z . Их плотность в этой координатной диаграмме увеличивается с увеличением x , но их плотность в собственных системах отсчета везде одинакова. ${\displaystyle \omega }$

Характеристики

Чтобы исследовать свойства решения Гёделя, можно предположить, что поле кадра (двойственное кокадру, считанному из метрики, как указано выше),

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{x}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{2}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{y}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}=2\omega \,\left(\exp(-x)\,\partial _{z}-\partial _{t}\right).}$

Эта структура определяет семейство инерциальных наблюдателей, которые «движутся вместе с пылинками». Вычисление производных Ферми–Уокера по показывает, что пространственные системы отсчета вращаются с угловой скоростью . Отсюда следует, что «невращающаяся инерциальная система отсчета», движущаяся с частицами пыли, равна ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$ ${\displaystyle -\omega }$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\cos(\omega t)\,{\vec {e}}_{1}-\sin(\omega t)\,{\vec {e}}_{3}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\vec {e}}_{2}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}=\sin(\omega t)\,{\vec {e}}_{1}+\cos(\omega t)\,{\vec {e}}_{3}.}$

Тензор Эйнштейна

Компоненты тензора Эйнштейна (относительно любого кадра выше) равны

${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=\omega ^{2}\operatorname {diag} (-1,1,1,1)+2\omega ^{2}\operatorname {diag} (1,0,0,0).}$

Здесь первый член характерен для раствора в лямбдавакууме , а второй — для идеальной жидкости или раствора пыли без давления. Космологическая постоянная тщательно выбрана, чтобы частично компенсировать плотность материи пыли.

Топология

Пространство-время Гёделя — редкий пример регулярного (без особенностей) решения уравнений поля Эйнштейна . Исходная карта Гёделя геодезически полна и лишена особенностей. Следовательно, это глобальная карта, а пространство-время гомеоморфно R 4 ^и , следовательно, односвязно.

Инварианты кривизны

В любом лоренцевом пространстве-времени тензор Римана четвертого ранга является полилинейным оператором в четырехмерном пространстве касательных векторов (в каком-то событии), но линейным оператором в шестимерном пространстве бивекторов в этом событии. Соответственно, он имеет характеристический многочлен , корнями которого являются собственные значения . В гёделевском пространстве-времени эти собственные значения очень просты:

• тройное собственное значение ноль,
• двойное собственное значение , ${\displaystyle -\omega ^{2}}$
• единственное собственное значение . ${\displaystyle \omega ^{2}}$

Векторы уничтожения

Это пространство-время допускает пятимерную алгебру Ли векторов Киллинга , которая может быть порождена « переносом времени » , двумя «пространственными сдвигами» и двумя дополнительными векторными полями Киллинга: ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle \partial _{y},\;\partial _{z}}$

${\displaystyle \partial _{x}-y\,\partial _{y}}$

и

${\displaystyle -2\exp(-x)\,\partial _{t}+y\,\partial _{y}+\left(\exp(-2x)-y^{2}/2\right)\,\partial _{y}.}$

Группа изометрий действует «транзитивно» (поскольку мы можем переводить в , а с помощью четвертого вектора мы можем двигаться вдоль ), поэтому пространство-время «однородно». Однако, как можно видеть, он не «изотропен». ${\displaystyle t,y,z}$ ${\displaystyle x}$

Данные демонстраторы показывают, что срезы допускают транзитивную абелеву трехмерную группу преобразований , так что фактор решения можно переинтерпретировать как стационарное цилиндрически симметричное решение. Срезы допускают действие SL(2, R ) , а срезы допускают действие Бьянки III (ср. четвертое векторное поле Киллинга). Это можно переписать как группу симметрии, содержащую трехмерные подгруппы с примерами типов Бьянки I, III и VIII. Четыре из пяти векторов Киллинга, а также тензор кривизны не зависят от координаты y. Решение Гёделя — это декартово произведение фактора R на трёхмерное лоренцево многообразие ( сигнатура −++). ${\displaystyle x=x_{0}}$ ${\displaystyle y=y_{0}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

Можно показать, что, за исключением локальной изометрии , решение Гёделя является единственным идеальным жидким решением уравнения поля Эйнштейна, которое допускает пятимерную алгебру Ли векторов Киллинга.

Тип Петрова и разложение Бела

Тензор Вейля решения Гёделя имеет тип Петрова D. Это означает, что для правильно выбранного наблюдателя приливные силы очень близки к тем, которые ощущались бы от точечной массы в условиях ньютоновской гравитации.

Чтобы изучить приливные силы более подробно, разложение Бела тензора Римана можно вычислить на три части: приливной или электрогравитационный тензор (который представляет приливные силы), магнитогравитационный тензор (который представляет спин-спиновые силы на вращающиеся пробные частицы и другие гравитационные эффекты, аналогичные магнетизму), а также топогравитационный тензор (который представляет собой искривления пространственного сечения).

Наблюдатели, сопровождающие частицы пыли, заметили бы, что приливной тензор (относительно , ​​компоненты которого оцениваются в нашей системе отсчета) имеет вид ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle {E\left[{\vec {u}}\right]}_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=\omega ^{2}\operatorname {diag} (1,0,1).}$

То есть они измеряют изотропное приливное натяжение, ортогональное выделенному направлению . ${\displaystyle \partial _{y}}$

Гравитомагнитный тензор тождественно обращается в нуль

${\displaystyle {B\left[{\vec {u}}\right]}_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=0.}$

Это артефакт необычной симметрии этого пространства-времени, и он подразумевает, что предполагаемое «вращение» пыли не имеет гравитомагнитных эффектов, обычно связанных с гравитационным полем, создаваемым вращающейся материей.

Главные лоренцевы инварианты тензора Римана:

${\displaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=12\omega ^{4},\;R_{abcd}{{}^{\star }R}^{abcd}=0.}$

Исчезновение второго инварианта означает, что некоторые наблюдатели не измеряют гравитомагнетизм, что согласуется с только что сказанным. Тот факт, что первый инвариант ( инвариант Кречмана ) постоянен, отражает однородность пространства-времени Гёделя.

Жесткое вращение

Оба поля системы отсчета, приведенные выше, являются инерционными, но вектор завихренности времяподобной геодезической конгруэнции, определяемой времяподобными единичными векторами, равен ${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=0}$

${\displaystyle -\omega {\vec {e}}_{2}}$

Это означает, что мировые линии близлежащих частиц пыли закручиваются друг вокруг друга. Кроме того, тензор сдвига конгруэнции исчезает, поэтому пылевые частицы демонстрируют жесткое вращение. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Оптические эффекты

Если изучить световой конус прошлого данного наблюдателя, можно обнаружить, что нулевые геодезические движутся ортогонально по спирали внутрь к наблюдателю, так что, если смотреть радиально, можно увидеть другие пылинки в положениях с постепенной задержкой во времени. Однако решение стационарно, поэтому может показаться, что наблюдатель, едущий на пылинке, не увидит, как другие пылинки вращаются вокруг него самого. Однако вспомните, что хотя первый кадр, приведенный выше ( ), выглядит на диаграмме статическим, производные Ферми – Уокера показывают, что он вращается относительно гироскопов. Вторая система координат ( ) на диаграмме кажется вращающейся, но она гиростабилизирована, и невращающийся инерциальный наблюдатель, едущий на пылинке, действительно увидит, что другие пылинки вращаются по часовой стрелке с угловой скоростью вокруг его оси симметрии. Оказывается, кроме того, оптические изображения расширяются и сдвигаются в направлении вращения. ${\displaystyle \partial _{y}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{j}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{j}}$ ${\displaystyle \omega }$

Если невращающийся инерционный наблюдатель смотрит вдоль своей оси симметрии, он видит своих соосных невращающихся инерциальных коллег, очевидно, не вращающихся относительно него самого, как и следовало ожидать.

Форма абсолютного будущего

По мнению Хокинга и Эллиса, еще одной замечательной особенностью этого пространства-времени является тот факт, что, если несущественная координата y подавлена, свет, излучаемый в результате события на мировой линии данной пылевой частицы, движется по спирали наружу, образует круговой выступ, а затем по спирали внутрь. и вновь сходится в последующем событии на мировой линии исходной пылевой частицы. Это означает, что наблюдатели, смотрящие ортогонально направлению, могут видеть только конечное расстояние, а также видеть себя в более ранний момент времени. ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$

Острие представляет собой негеодезическую замкнутую нулевую кривую. (См. более подробное обсуждение ниже с использованием альтернативной диаграммы координат.)

Замкнутые времениподобные кривые

Из-за однородности пространства-времени и взаимного скручивания нашего семейства времениподобных геодезических более или менее неизбежно, что гёделевское пространство-время должно иметь замкнутые времяподобные кривые (КТК). Действительно, CTC присутствуют в каждом событии в пространстве-времени Гёделя. Эта причинная аномалия, похоже, рассматривалась как вся суть модели самим Гёделем, который, очевидно, стремился доказать, что уравнения пространства-времени Эйнштейна не согласуются с тем, что мы интуитивно понимаем под временем (т. е. что оно проходит, а прошлое не существует). существует уже давно, позиция, которую философы называют презентизмом , тогда как Гёдель, похоже, отстаивал нечто большее, похожее на философию этернализма ). ^[2]

Эйнштейн знал о решении Гёделя и прокомментировал в книге « Альберт Эйнштейн: философ-ученый» ^[3] , что если существует серия причинно связанных событий, в которых «серия замкнута сама по себе» (другими словами, замкнутая времяподобная кривая), тогда это говорит о том, что не существует хорошего физического способа определить, произошло ли данное событие в серии «раньше» или «позже», чем другое событие в серии:

В этом случае различие «раньше-позже» оставляются для точек мира, находящихся далеко друг от друга в космологическом смысле, и возникают те парадоксы относительно направления причинной связи, о которых говорил г-н Гёдель.

Такие космологические решения уравнений гравитации (с неисчезающей А-константой) были найдены г-ном Гёделем. Будет интересно взвесить, не следует ли их исключить по физическим причинам.

Глобально негиперболический

Если бы пространство-время Гёделя допускало какие-либо временные гиперсрезы без границ (например, поверхность Коши ), любой такой CTC должен был бы пересекать его нечетное количество раз, что противоречит тому факту, что пространство-время односвязно. Следовательно, это пространство-время не является глобально гиперболическим .

Цилиндрическая диаграмма

В этом разделе мы представляем еще одну координатную диаграмму для решения Гёделя, на которой легче увидеть некоторые из упомянутых выше особенностей.

Вывод

Гёдель не объяснил, как он нашел свое решение, но на самом деле существует множество возможных выводов. Мы нарисуем один из них здесь и в то же время проверим некоторые из утверждений, высказанных выше.

Начните с простой рамки на диаграмме цилиндрического типа, показывающей две неопределенные функции радиальной координаты:

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{r},\,{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{b(r)}}\,\left(-a(r)\,\partial _{t}+\partial _{\varphi }\right)}$

Здесь мы думаем о времениподобном поле единичного вектора как касательно мировых линий пылевых частиц, а их мировые линии в целом будут демонстрировать ненулевую завихренность, но исчезающие расширение и сдвиг. Потребуем, чтобы тензор Эйнштейна соответствовал члену пыли плюс члену энергии вакуума. Это эквивалентно требованию, чтобы она соответствовала идеальной жидкости; т. е. мы требуем, чтобы компоненты тензора Эйнштейна, вычисленные относительно нашей системы отсчета, принимали вид ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle G^{{\hat {i}}{\hat {j}}}=\mu \operatorname {diag} (1,0,0,0)+p\operatorname {diag} (0,1,1,1)}$

Это дает условия

${\displaystyle b^{\prime \prime \prime }={\frac {b^{\prime \prime }\,b^{\prime }}{b}},\;\left(a^{\prime }\right)^{2}=2\,b^{\prime \prime }\,b}$

Подставив их в тензор Эйнштейна, мы видим, что на самом деле теперь имеем . Очевидно, что в простейшем нетривиальном пространстве-времени, которое мы можем построить таким образом, этот коэффициент будет некоторой ненулевой, но постоянной функцией радиальной координаты. В частности, проявив немного предусмотрительности, давайте выберем . Это дает ${\displaystyle \mu =p}$ ${\displaystyle \mu =\omega ^{2}}$

${\displaystyle b(r)={\frac {\sinh({\sqrt {2}}\omega \,r)}{{\sqrt {2}}\omega }},\;a(r)={\frac {\cosh({\sqrt {2}}\omega r)}{\omega }}+c}$

Наконец, потребуем, чтобы эта система удовлетворяла

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\varphi }+O\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)}$

Это дает , и наш кадр становится ${\displaystyle c=-1/\omega }$

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {{\sqrt {2}}\omega }{\sinh({\sqrt {2}}\omega r)}}\,\partial _{\varphi }-{\frac {{\sqrt {2}}\sinh({\sqrt {2}}\omega r)}{1+\cosh({\sqrt {2}}\omega r)}}\,\partial _{t}}$

Внешний вид световых конусов

Из метрического тензора мы находим, что векторное поле , пространственноподобное для малых радиусов, становится нулевым там , где ${\displaystyle \partial _{\varphi }}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

${\displaystyle r_{c}={\frac {\operatorname {arccosh} (3)}{{\sqrt {2}}\omega }}}$

Это потому, что на этом радиусе мы обнаруживаем, что это так , и поэтому оно равно нулю. Окружность при данном t представляет собой замкнутую нулевую кривую, но не нулевую геодезическую. ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\tfrac {\omega }{2}}\,\partial _{\varphi }-\partial _{t},}$ ${\displaystyle {\tfrac {\omega }{2}}\,\partial _{\varphi }={\vec {e}}_{3}+{\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

Изучая кадр выше, мы видим, что координата несущественна; наше пространство-время является прямым произведением фактора R с сигнатурой трехмерного многообразия −++. Подавив внимание , чтобы сосредоточить наше внимание на этом тройном многообразии, давайте посмотрим, как меняется внешний вид световых конусов по мере удаления от оси симметрии : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r=0}$

Два световых конуса (с сопровождающими их векторами системы отсчёта) на цилиндрической диаграмме для решения лямбда-пылевой Гёделя. Когда мы движемся наружу от номинальной оси симметрии, конусы наклоняются вперед и расширяются . Вертикальные координатные линии (представляющие мировые линии пылевых частиц) времениподобны .

Когда мы доходим до критического радиуса, конусы касаются замкнутой нулевой кривой.

Сравнение замкнутых времяподобных кривых

На критическом радиусе векторное поле становится нулевым. Для больших радиусов это времяподобно . Таким образом, нашей оси симметрии соответствует времениподобная конгруэнция , состоящая из окружностей и соответствующая определенным наблюдателям. Однако это сравнение определяется только вне цилиндра . ${\displaystyle r=r_{c}}$ ${\displaystyle \partial _{\varphi }}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

Это не геодезическое соответствие; скорее, каждый наблюдатель в этом семействе должен поддерживать постоянное ускорение , чтобы сохранять свой курс. Наблюдателям с меньшими радиусами придется ускоряться сильнее; поскольку величина ускорения расходится, что и ожидалось, учитывая, что это нулевая кривая. ${\displaystyle r\rightarrow r_{c}}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

Нулевая геодезическая

Если мы рассмотрим световой конус прошлого события на оси симметрии, то обнаружим следующую картину:

Нулевая геодезическая движется по спирали против часовой стрелки к наблюдателю на оси симметрии. Это показывает их «сверху».

Напомним, что вертикальные координатные линии на нашей карте представляют собой мировые линии пылевых частиц, но, несмотря на их прямой вид на нашей карте , конгруэнция, образованная этими кривыми, имеет ненулевую завихренность, поэтому мировые линии фактически закручиваются друг вокруг друга . Тот факт, что нулевая геодезическая спираль направлена ​​внутрь, как показано выше, означает, что когда наш наблюдатель, глядя радиально наружу , видит близлежащие частицы пыли не в их текущих местоположениях, а в их предыдущих местоположениях. Именно этого мы и ожидали бы, если бы частицы пыли действительно вращались друг вокруг друга.

Нулевые геодезические геометрически прямые ; на рисунке они кажутся спиралями только потому, что координаты «вращаются», позволяя частицам пыли казаться неподвижными.

Абсолютное будущее

Согласно Хокингу и Эллису (см. монографию, цитируемую ниже), все световые лучи, испускаемые в результате события на оси симметрии, вновь сходятся в более позднем событии на оси, при этом нулевые геодезические образуют круговой выступ (который представляет собой нулевую кривую, но не нулевая геодезическая):

Картина Хокинга и Эллиса о расширении и сходимости света, излучаемого наблюдателем на оси симметрии.

Это означает, что в решении с лямбда-пылью Гёделя абсолютное будущее каждого события имеет характер, сильно отличающийся от того, чего мы могли бы наивно ожидать.

Космологическая интерпретация

Следуя Гёделю, мы можем интерпретировать частицы пыли как галактики, так что решение Гёделя становится космологической моделью вращающейся Вселенной . Помимо вращения, эта модель не демонстрирует расширения Хаббла , поэтому она не является реалистичной моделью Вселенной, в которой мы живем, но ее можно рассматривать как иллюстрацию альтернативной Вселенной, что в принципе допускается общей теорией относительности (если признать законность отрицательной космологической постоянной). Менее известные решения Гёделя демонстрируют как вращение, так и хаббловское расширение, а также обладают другими качествами его первой модели, но путешествие в прошлое невозможно. По мнению Стивена Хокинга , эти модели вполне могли бы быть разумным описанием Вселенной, которую мы наблюдаем , однако данные наблюдений совместимы только с очень низкой скоростью вращения. ^[4] Качество этих наблюдений постоянно улучшалось вплоть до смерти Гёделя, и он всегда спрашивал: «Вселенная уже вращается?» и вам скажут: «Нет, это не так». ^[5]

Мы видели, что наблюдатели, лежащие на оси Y (на исходной карте), видят остальную Вселенную, вращающуюся по часовой стрелке вокруг этой оси. Однако однородность пространства-времени показывает, что различается направление , а не положение этой «оси».

Некоторые интерпретировали вселенную Гёделя как контрпример надеждам Эйнштейна на то, что общая теория относительности должна демонстрировать своего рода принцип Маха , ^[4] ссылаясь на тот факт, что материя вращается (мировые линии закручиваются друг вокруг друга) таким образом, что достаточно, чтобы выделить предпочтительное направление, хотя и без выделенной оси вращения.

Другие ^{[ нужна цитата ]} считают, что принцип Маха означает некий физический закон, связывающий определение невращающихся инерциальных систем отсчета в каждом событии с глобальным распределением и движением материи повсюду во Вселенной, и говорят, что, поскольку невращающиеся инерциальные системы отсчета в точности Эта модель, связанная с вращением пыли именно так, как предполагает такой принцип Маха, действительно соответствует идеям Маха.

Известно множество других точных решений, которые можно интерпретировать как космологические модели вращающихся вселенных. ^[6]

Смотрите также

• Пыль ван Стокума , для другого решения вращающейся пыли с (истинной) цилиндрической симметрией,
• Пылевой раствор , статья о пылевых растворах в общей теории относительности.

Рекомендации

1. Гёдель, К., «Пример нового типа космологических решений уравнений поля гравитации Эйнштейна», Rev. Mod. Физ. 21 , 447, опубликовано 1 июля 1949 г.
2. Юрграу, Палле (2005). Мир без времени: забытое наследие Гёделя и Эйнштейна . Нью-Йорк: Основные книги. ISBN 0465092942.
3. Эйнштейн, Альберт (1949). «Ответ Эйнштейна на критику». Альберт Эйнштейн: философ-ученый . Издательство Кембриджского университета . Проверено 29 ноября 2012 г.
4. SW Хокинг, Вступительное примечание к 1949 и 1952 годам в Курте Гёделе, Собрание сочинений , Том II (С. Феферман и др., ред.).
5. Размышления о Курте Гёделе , Хао Ван, MIT Press, (1987), стр. 183.
6. Шепли, Лоуренс; Райан, Майкл. Однородные релятивистские космологии .

Примечания

• Г. Дауткур и М. Абдель-Мегид (2006). «Возвращение к световому конусу Вселенной Геделя». Классическая и квантовая гравитация . 23 (4): 1269–1288. arXiv : gr-qc/0511015 . Бибкод : 2006CQGra..23.1269D. дои : 10.1088/0264-9381/23/4/013. S2CID  14666907.
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; МакКаллум, Малькольм; Хоэнселерс, Корнелиус; Херлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46136-7.См. раздел 12.4 о теореме единственности.
• Хокинг, Стивен; Эллис, СКФ (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09906-4.См. раздел 5.7 для классического обсуждения CTC в пространстве-времени Гёделя. Внимание: на рис. 31 световые конусы действительно опрокидываются, но при этом расширяются, так что вертикальные координатные линии всегда времениподобны; действительно, они представляют собой мировые линии пылевых частиц, поэтому они являются времениподобными геодезическими.
• Гёдель, К. (1949). «Пример нового типа космологического решения уравнений гравитации поля Эйнштейна». Преподобный Мод. Физ . 21 (3): 447–450. Бибкод : 1949РвМП...21..447Г. дои : 10.1103/RevModPhys.21.447 .
• Вселенная Гёделя на arxiv.org.
• Вукович Р. (2014): Тензорная модель вращающейся Вселенной, упражнения по специальной теории относительности.