Модель Бельтрами–Клейна

Модель гиперболической геометрии

Множество гиперболических прямых, проходящих через точку P, не пересекающих прямую a в модели Бельтрами-Клейна

Гиперболическая тригептагональная мозаика в проекции модели Бельтрами–Клейна

В геометрии модель Бельтрами–Клейна , также называемая проективной моделью , моделью диска Клейна и моделью Кэли–Клейна , является моделью гиперболической геометрии, в которой точки представлены точками внутри единичного диска (или n -мерного единичного шара ), а линии представлены хордами , отрезками прямых с идеальными концами на граничной сфере .

Она аналогична гномонической проекции сферической геометрии , в которой геодезические линии ( большие окружности в сферической геометрии) отображаются в прямые линии.

Эта модель не является конформной : углы не представлены точно, а окружности становятся эллипсами , все более сплющенными по мере приближения к краю. Это контрастирует с моделью диска Пуанкаре , которая является конформной. Однако линии в модели Пуанкаре представлены не отрезками прямых линий, а дугами, которые пересекают границу ортогонально .

Модель Бельтрами–Клейна названа в честь итальянского геометра Эудженио Бельтрами и немца Феликса Клейна , а «Кейли» в названии модели Кэли–Клейна относится к английскому геометру Артуру Кэли .

История

Эта модель впервые появилась для гиперболической геометрии в двух мемуарах Эудженио Бельтрами , опубликованных в 1868 году, сначала для размерности n = 2 , а затем для общего n ; эти эссе доказали равносогласованность гиперболической геометрии с обычной евклидовой геометрией . ^{[1] [2] [3]}

Работы Бельтрами оставались малоизвестными до недавнего времени, и модель была названа в честь Клейна («Модель диска Клейна»). Это произошло следующим образом. В 1859 году Артур Кэли использовал определение угла через перекрестное отношение, данное Лагерром, чтобы показать, как евклидова геометрия может быть определена с помощью проективной геометрии . ^[4] Его определение расстояния позже стало известно как метрика Кэли .

В 1869 году молодой (двадцатилетний) Феликс Клейн познакомился с работой Кэли. Он вспоминал, что в 1870 году он выступил с докладом о работе Кэли на семинаре Вейерштрасса и написал:

«Я закончил вопросом, может ли существовать связь между идеями Кэли и Лобачевского . Мне дали ответ, что эти две системы концептуально сильно разнесены». ^[5]

Позже Феликс Кляйн понял, что идеи Кэли приводят к проективной модели неевклидовой плоскости. ^[6]

Как говорит Клейн, «я позволил убедить себя этими возражениями и отложил в сторону эту уже созревшую идею». Однако в 1871 году он вернулся к этой идее, сформулировал ее математически и опубликовал. ^[7]

Формула расстояния

Функция расстояния для модели Бельтрами–Клейна — это метрика Кэли–Клейна . Если заданы две различные точки p и q в открытом единичном шаре, то единственная прямая, соединяющая их, пересекает границу в двух идеальных точках a и b , обозначим их так, чтобы точки были в следующем порядке: a , p , q , b , так что | aq | > | ap | и | pb | > | qb | .

Тогда гиперболическое расстояние между p и q равно: ${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}}$

Вертикальные полосы обозначают евклидовы расстояния между точками в модели, где ln — натуральный логарифм , а коэффициент в половину необходим для придания модели стандартной кривизны −1.

Если одна из точек является началом координат, а евклидово расстояние между точками равно r , то гиперболическое расстояние равно:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r,}$

где artanh — обратная гиперболическая функция гиперболического тангенса .

Модель диска Клейна

Прямые в проективной модели гиперболической плоскости

В двух измерениях модель Бельтрами–Клейна называется моделью диска Клейна . Это диск , а внутренняя часть диска является моделью всей гиперболической плоскости . Линии в этой модели представлены хордами граничной окружности (также называемой абсолютной ). Точки на граничной окружности называются идеальными точками ; хотя они хорошо определены , они не принадлежат гиперболической плоскости. То же самое относится и к точкам за пределами диска, которые иногда называют ультраидеальными точками .

Модель не является конформной , то есть углы искажены, а окружности на гиперболической плоскости в целом не являются круглыми в модели. Только окружности, центр которых находится в центре граничной окружности, не искажены. Все остальные окружности искажены, как и орициклы и гиперциклы

Характеристики

Хорды, пересекающиеся на граничной окружности, являются предельными параллельными линиями.

Две хорды перпендикулярны, если при продолжении за пределы диска каждая из них проходит через полюс другой. (Полюс хорды — это ультраидеальная точка: точка за пределами диска, где встречаются касательные к диску в конечных точках хорды.) Хорды, проходящие через центр диска, имеют полюс в бесконечности, ортогональный направлению хорды (это означает, что прямые углы на диаметрах не искажаются).

Построение с помощью циркуля и линейки

Вот как можно использовать построения циркуля и линейки в модели, чтобы добиться эффекта основных построений в гиперболической плоскости .

• Полюс линии . Хотя полюс не является точкой на гиперболической плоскости (это ультраидеальная точка ), большинство конструкций будут использовать полюс линии одним или несколькими способами.

Для прямой: постройте касательные к граничной окружности через идеальные (конечные) точки прямой. Точка пересечения этих касательных является полюсом.

Для диаметров диска: полюс находится на бесконечности перпендикулярно диаметру.

• Чтобы построить перпендикуляр к данной прямой через данную точку, проведите луч из полюса прямой через данную точку. Часть луча, которая находится внутри круга, является перпендикуляром.

Если линия является диаметром диска, то перпендикуляр — это хорда, которая (евклидова) перпендикулярна этому диаметру и проходит через данную точку.

• Чтобы найти середину данного сегмента : Проведите линии через A и B, которые перпендикулярны . (см. выше) Проведите линии, соединяющие идеальные точки этих линий, две из этих линий пересекут сегмент и сделают это в одной и той же точке. Эта точка является (гиперболической) серединой . ^[8] ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AB}$
• Чтобы разделить данный угол пополам : Нарисуйте лучи AB и AC. Нарисуйте касательные к окружности, где лучи пересекают граничную окружность. Нарисуйте линию из A в точку, где касательные пересекаются. Часть этой линии между A и граничной окружностью является биссектрисой. ^[9] ${\displaystyle \angle BAC}$
• Общим перпендикуляром двух прямых является хорда, которая при продолжении проходит через оба полюса хорд.

Если одна из хорд является диаметром граничной окружности, то общим перпендикуляром является хорда, перпендикулярная диаметру и которая при удлинении проходит через полюс другой хорды.

• Чтобы отразить точку P на прямой l : Из точки R на прямой l проведите луч через P. Пусть X будет идеальной точкой, в которой луч пересекает абсолют. Проведите луч из полюса прямой l через X, пусть Y будет другой идеальной точкой, пересекающей луч. Проведите отрезок RY. Отражением точки P является точка, в которой луч из полюса прямой l через P пересекает RY. ^[10]

Круги, гиперциклы и орициклы

Окружности в модели Клейна-Бельтрами гиперболической геометрии.

В то время как линии на гиперболической плоскости легко нарисовать в модели диска Клейна, с окружностями, гиперциклами и орициклами дело обстоит иначе .

Окружности (множество всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от заданной точки, ее центра) в модели становятся эллипсами, все более сплющенными по мере приближения к краю. Также углы в модели диска Клейна деформируются.

Для построений на гиперболической плоскости, содержащих окружности, гиперциклы , орициклы или непрямые углы, лучше использовать модель диска Пуанкаре или модель полуплоскости Пуанкаре .

Связь с моделью диска Пуанкаре

Комбинированные проекции из модели диска Клейна (желтая) в модель диска Пуанкаре (красная) через модель полусферы (синяя)

Модель Бельтрами–Клейна (K на рисунке) представляет собой ортографическую проекцию полусферической модели и гномоническую проекцию модели гиперболоида (Hy) с центром гиперболоида (O) в качестве центра.

Как модель диска Пуанкаре , так и модель диска Клейна являются моделями гиперболической плоскости. Преимущество модели диска Пуанкаре в том, что она конформна (окружности и углы не искажаются); недостаток в том, что линии геометрии являются дугами окружностей, ортогональными граничной окружности диска.

Две модели связаны через проекцию на модель полусферы или из нее . Модель Клейна является ортографической проекцией на модель полусферы, тогда как модель диска Пуанкаре является стереографической проекцией .

При проецировании одних и тех же линий в обеих моделях на один диск обе линии проходят через одни и те же две идеальные точки (идеальные точки остаются на тех же местах), а полюс хорды является центром окружности, содержащей дугу .

Если P — точка, находящаяся на расстоянии от центра единичной окружности в модели Бельтрами–Клейна, то соответствующая точка на модели диска Пуанкаре находится на расстоянии u на том же радиусе: ${\displaystyle s}$

${\displaystyle u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s^{2}}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s^{2}}}\right)}{s}}.}$

Наоборот, если P — точка, находящаяся на расстоянии от центра единичной окружности в модели круга Пуанкаре, то соответствующая точка модели Бельтрами–Клейна находится на расстоянии s на том же радиусе: ${\displaystyle u}$

${\displaystyle s={\frac {2u}{1+u^{2}}}.}$

Связь модели диска с моделью гиперболоида и гномонической проекцией сферы

Гномоническая проекция сферы проецируется из центра сферы на касательную плоскость. Каждый большой круг на сфере проецируется на прямую линию, но она не равноугольна. Углы не отображаются точно, а круги становятся эллипсами, все более растянутыми по мере удаления от точки касания.

Аналогично, диск Клейна (K, на рисунке) является гномонической проекцией модели гиперболоида (Hy) с центром в центре гиперболоида (O) и плоскостью проекции, касательной к гиперболоиду. ^[11]

Расстояние и метрический тензор

Правильные гиперболические додекаэдрические соты , {5,3,4}

Если заданы две различные точки U и V в открытом единичном шаре модели в евклидовом пространстве , то единственная прямая, соединяющая их, пересекает единичную сферу в двух идеальных точках A и B , помеченных так, что точки, в порядке вдоль линии, являются A , U , V , B. Принимая центр единичного шара модели за начало координат и назначая векторы положения u , v , a , b соответственно точкам U , V , A , B , мы имеем, что ‖ a − v ‖ > ‖ a − u ‖ и ‖ u − b ‖ > ‖ v − b ‖ , где ‖ · ‖ обозначает евклидову норму . Тогда расстояние между U и V в моделируемом гиперболическом пространстве выражается как

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\left\|\mathbf {v} -\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} -\mathbf {u} \right\|}{\left\|\mathbf {u} -\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} -\mathbf {v} \right\|}},}$

где для того, чтобы кривизна стала равна −1, необходим коэффициент в половину  .

Соответствующий метрический тензор определяется как ^{[12] [13]}

${\displaystyle ds^{2}=g(\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )={\frac {\left\|d\mathbf {x} \right\|^{2}}{1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}}}+{\frac {(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2}}{{\bigl (}1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}{\bigr )}^{2}}}={\frac {(1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2})\left\|d\mathbf {x} \right\|^{2}+(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2}}{{\bigl (}1-\left\|\mathbf {x} \right\|^{2}{\bigr )}^{2}}}}$

Связь с моделью гиперболоида

Частичная гиперболическая мозаика {7,3} гиперболоида, как она видна в перспективе Бельтрами-Клейна.

Анимация частичной гиперболической мозаики {7,3} гиперболоида, вращающегося в перспективе Бельтрами-Клейна.

Гиперболоидная модель — это модель гиперболической геометрии в ( n + 1) -мерном пространстве Минковского . Внутренний продукт Минковского определяется как

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots -x_{n}y_{n}\,}$

и норма на . Гиперболическая плоскость вкладывается в это пространство как векторы x с ‖ x ‖ = 1 и x ₀ («временной компонент») положительными. Внутреннее расстояние (во вложении) между точками u и v тогда задается как ${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}}$

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ).}$

Это также можно записать в однородной форме

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} \left({\frac {\mathbf {u} }{\left\|\mathbf {u} \right\|}}\cdot {\frac {\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {v} \right\|}}\right),}$

что позволяет изменять масштаб векторов для удобства.

Модель Бельтрами–Клейна получается из модели гиперболоида путем перемасштабирования всех векторов так, чтобы временная компонента была равна 1, то есть путем проецирования вложения гиперболоида через начало координат на плоскость x ₀ = 1 . Функция расстояния в ее однородной форме не изменяется. Поскольку внутренние линии (геодезические) модели гиперболоида являются пересечением вложения с плоскостями, проходящими через начало координат Минковского, внутренние линии модели Бельтрами–Клейна являются хордами сферы.

Связь с моделью шара Пуанкаре

Как модель шара Пуанкаре , так и модель Бельтрами–Клейна являются моделями n -мерного гиперболического пространства в n -мерном единичном шаре в R ⁿ . Если — вектор нормы меньше единицы, представляющий точку модели диска Пуанкаре, то соответствующая точка модели Бельтрами–Клейна задается как ${\displaystyle u}$

${\displaystyle s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.}$

Наоборот, из вектора нормы меньше единицы, представляющего точку модели Бельтрами–Клейна, соответствующая точка модели диска Пуанкаре задается выражением ${\displaystyle s}$

${\displaystyle u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s\cdot s}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s\cdot s}}\right)s}{s\cdot s}}.}$

Если заданы две точки на границе единичного круга, которые традиционно называются идеальными точками , то прямая, соединяющая их в модели Бельтрами–Клейна, является хордой между ними, тогда как в соответствующей модели Пуанкаре линия является дугой окружности на двумерном подпространстве, образованном двумя векторами граничных точек, встречающейся с границей шара под прямым углом. Две модели связаны проекцией из центра круга; луч из центра, проходящий через точку одной модельной линии, проходит через соответствующую точку линии в другой модели.

Смотрите также

• Модель полуплоскости Пуанкаре
• Модель диска Пуанкаре
• Метрика Пуанкаре
• Инверсионная геометрия

Примечания

1. Бельтрами, Эухенио (1868). «Саджио ди интерпретация неевклидовой геометрии». Джорнале ди Математик . VI : 285–315.
2. Бельтрами, Эухенио (1868). «Фундаментальная теория пространства косой кривизны». Аннали ди Математика Pura ed Applicata . Серия II. 2 : 232–255. дои : 10.1007/BF02419615. S2CID  120773141.
3. Стиллвелл, Джон (1999). Источники гиперболической геометрии (2-е печатное издание). Провиденс: Американское математическое общество. С. 7–62. ISBN 0821809229.
4. Кейли, Артур (1859). «Шестой мемуар о квантовой механике». Философские труды Королевского общества . 159 : 61–91. doi : 10.1098/rstl.1859.0004 .
5. Кляйн, Феликс (1926). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik в 19 лет. Часть 1 . Спрингер. п. 152.
6. Кляйн, Феликс (1871). «Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometry». Математические Аннален . 4 (4): 573–625. дои : 10.1007/BF02100583.
7. Шафаревич, ИР ; А.О. Ремизов (2012). Линейная алгебра и геометрия. Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.
8. гиперболический набор инструментов
9. гиперболический набор инструментов
10. Гринберг, Марвин Джей (2003). Евклидова и неевклидова геометрии: развитие и история (3-е изд.). Нью-Йорк: Freeman. С. 272–273. ISBN 9780716724469.
11. Хванг, Эндрю Д. "Аналогия сферической и гиперболической геометрии проекции". Stack Exchange . Получено 1 января 2017 г.
12. JW Cannon; WJ Floyd; R. Kenyon; WR Parry. "Гиперболическая геометрия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2020-11-01.
13. ответ от Stack Exchange

Ссылки

• Луис Сантало (1961), Geometrias no Euclidianas , EUDEBA.
• Шталь, Саул (2007), Врата в современную геометрию: полуплоскость Пуанкаре (2-е изд.), Jones & Bartlett Learning, ISBN 978-0-7637-5381-8
• Нильсен, Франк; Нок, Ричард (2009), «Гиперболические диаграммы Вороного стали проще», Международная конференция по вычислительной науке и ее приложениям 2010 г. , стр. 74–80, arXiv : 0903.3287 , doi : 10.1109/ICCSA.2010.37, ISBN 978-1-4244-6461-6, S2CID  14129082