S-дуальность

В теоретической физике S -дуальность (сокращение от сильно-слабая дуальность, или дуальность Сена ) — это эквивалентность двух физических теорий, которые могут быть либо квантовыми теориями поля , либо теориями струн . S-дуальность полезна для проведения вычислений в теоретической физике, поскольку она связывает теорию, в которой вычисления сложны, с теорией, в которой они проще. ^[1]

В квантовой теории поля S-дуальность обобщает общеизвестный факт из классической электродинамики , а именно инвариантность уравнений Максвелла относительно взаимозамены электрических и магнитных полей . Одним из самых ранних известных примеров S-дуальности в квантовой теории поля является дуальность Монтонена–Олива , которая связывает две версии квантовой теории поля, называемой N = 4 суперсимметричной теорией Янга–Миллса . Недавняя работа Антона Капустина и Эдварда Виттена предполагает, что дуальность Монтонена–Олива тесно связана с исследовательской программой в математике, называемой геометрической программой Ленглендса . Другой реализацией S-дуальности в квантовой теории поля является дуальность Зайберга , которая связывает две версии теории, называемой N = 1 суперсимметричной теорией Янга–Миллса .

Также существует множество примеров S-дуальности в теории струн. Существование этих дуальностей струн подразумевает, что, казалось бы, различные формулировки теории струн на самом деле физически эквивалентны. Это привело к осознанию в середине 1990-х годов, что все пять последовательных теорий суперструн являются просто различными предельными случаями одной одиннадцатимерной теории, называемой M-теорией . ^[2]

Обзор

В квантовой теории поля и теории струн константа связи — это число, которое контролирует силу взаимодействий в теории. Например, сила гравитации описывается числом, называемым постоянной Ньютона , которое появляется в законе тяготения Ньютона , а также в уравнениях общей теории относительности Альберта Эйнштейна . Аналогично, сила электромагнитной силы описывается константой связи, которая связана с зарядом, переносимым одним протоном .

Для вычисления наблюдаемых величин в квантовой теории поля или теории струн физики обычно применяют методы теории возмущений . В теории возмущений величины, называемые амплитудами вероятности , которые определяют вероятность возникновения различных физических процессов, выражаются в виде сумм бесконечного числа членов , где каждый член пропорционален степени константы связи : $g$

A=A_{0}+A_{1}g+A_{2}g^{2}+A_{3}g^{3}+\dots

Для того чтобы такое выражение имело смысл, константа связи должна быть меньше 1, чтобы высшие степени стали пренебрежимо малыми, а сумма была конечной. Если константа связи не меньше 1, то члены этой суммы будут становиться все больше и больше, и выражение дает бессмысленный бесконечный ответ. В этом случае говорят, что теория сильно связана , и нельзя использовать теорию возмущений для предсказаний. $g$

Для некоторых теорий S-дуальность обеспечивает способ выполнения вычислений при сильной связи путем перевода этих вычислений в другие вычисления в слабо связанной теории. S-дуальность является частным примером общего понятия дуальности в физике. Термин дуальность относится к ситуации, когда две, казалось бы, разные физические системы оказываются эквивалентными нетривиальным образом. Если две теории связаны дуальностью, это означает, что одна теория может быть преобразована каким-то образом так, что в итоге она станет выглядеть точно так же, как другая теория. Тогда говорят, что две теории дуальны друг другу при преобразовании. Иными словами, две теории являются математически разными описаниями одних и тех же явлений.

S-дуальность полезна, поскольку она связывает теорию с константой связи с эквивалентной теорией с константой связи . Таким образом, она связывает сильно связанную теорию (где константа связи намного больше 1) со слабо связанной теорией (где константа связи намного меньше 1 и вычисления возможны). По этой причине S-дуальность называется сильно-слабой дуальностью . $g$ $1/g$ $g$ $1/g$

В квантовой теории поля

Симметрия уравнений Максвелла

В классической физике поведение электрического и магнитного поля описывается системой уравнений, известной как уравнения Максвелла . Работая на языке векторного исчисления и предполагая, что нет никаких электрических зарядов или токов , эти уравнения можно записать ^[3]

{\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}

Здесь — вектор (или, точнее, векторное поле , величина и направление которого могут меняться от точки к точке в пространстве), представляющий электрическое поле, — вектор, представляющий магнитное поле, — время, — скорость света . Другие символы в этих уравнениях относятся к дивергенции и ротору , которые являются концепциями из векторного исчисления. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $t$ $c$

Важным свойством этих уравнений ^[4] является их инвариантность относительно преобразования, одновременно заменяющего электрическое поле магнитным полем и заменяющего на : $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $-1/c^{2}\mathbf {E}$

{\begin{aligned}\mathbf {E} &\rightarrow \mathbf {B} \\\mathbf {B} &\rightarrow -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} .\end{aligned}}

Другими словами, если задана пара электрических и магнитных полей, которые решают уравнения Максвелла, можно описать новую физическую установку, в которой эти электрические и магнитные поля по сути поменяются местами, и новые поля снова дадут решение уравнений Максвелла. Эта ситуация является самым основным проявлением S-дуальности в теории поля.

Двойственность Монтонена–Олива

В квантовой теории поля электрические и магнитные поля объединены в единое целое, называемое электромагнитным полем , и это поле описывается специальным типом квантовой теории поля, называемой калибровочной теорией или теорией Янга–Миллса . В калибровочной теории физические поля обладают высокой степенью симметрии , которую можно математически понять с помощью понятия группы Ли . Эта группа Ли известна как калибровочная группа . Электромагнитное поле описывается очень простой калибровочной теорией, соответствующей абелевой калибровочной группе U(1) , но существуют и другие калибровочные теории с более сложными неабелевыми калибровочными группами . ^[5]

Естественно спросить, есть ли аналог в калибровочной теории симметрии, меняющей местами электрические и магнитные поля в уравнениях Максвелла. Ответ был дан в конце 1970-х годов Клаусом Монтоненом и Дэвидом Оливом , ^[6] основываясь на более ранних работах Питера Годдарда , Джин Нюйтс и Олива. ^[7] Их работа дает пример S-дуальности, теперь известной как дуальность Монтонена–Олива . Дуальность Монтонена–Олива применяется к очень специальному типу калибровочной теории, называемой N = 4 суперсимметричной теорией Янга–Миллса , и она гласит, что две такие теории могут быть эквивалентны в определенном точном смысле. ^[1] Если одна из теорий имеет калибровочную группу , то дуальная теория имеет калибровочную группу , где обозначает дуальную группу Ленглендса , которая в общем случае отличается от . ^[8] $G$ ${^{L}}G$ ${^{L}}G$ $G$

Важной величиной в квантовой теории поля является комплексифицированная константа связи. Это комплексное число, определяемое формулой ^[9]

\tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}

где — угол тета , величина, появляющаяся в лагранжиане , определяющем теорию, ^[9] и — константа связи. Например, в теории Янга–Миллса, описывающей электромагнитное поле, это число — просто элементарный заряд, переносимый одним протоном. ^[1] В дополнение к обмену калибровочными группами двух теорий, дуальность Монтонена–Олива преобразует теорию с комплексифицированной константой связи в теорию с комплексифицированной константой . ^[9] $\theta$ $g$ $g$ $e$ $\tau$ $-1/\tau$

Отношение к программе Ленглендса

Геометрическое соответствие Ленглендса — это отношение между абстрактными геометрическими объектами, связанными с алгебраической кривой, такой как эллиптические кривые, показанные выше.

В математике классическое соответствие Ленглендса представляет собой набор результатов и гипотез, связывающих теорию чисел с разделом математики, известным как теория представлений . ^[10] Сформулированное Робертом Ленглендсом в конце 1960-х годов, соответствие Ленглендса связано с важными гипотезами в теории чисел, такими как гипотеза Таниямы–Шимуры , которая включает Великую теорему Ферма как частный случай. ^[10]

Несмотря на свою важность в теории чисел, установление соответствия Ленглендса в контексте теории чисел оказалось чрезвычайно сложным. ^[10] В результате некоторые математики работали над связанной гипотезой, известной как геометрическое соответствие Ленглендса . Это геометрическая переформулировка классического соответствия Ленглендса, которая получается путем замены числовых полей, появляющихся в исходной версии, на функциональные поля и применения методов из алгебраической геометрии . ^[10]

В статье 2007 года Антон Капустин и Эдвард Виттен предположили, что геометрическое соответствие Ленглендса можно рассматривать как математическое утверждение дуальности Монтонена–Оливе. ^[11] Начав с двух теорий Янга–Миллса, связанных S-дуальностью, Капустин и Виттен показали, что можно построить пару квантовых теорий поля в двумерном пространстве-времени . Анализируя, что эта размерная редукция делает с определенными физическими объектами, называемыми D-бранами , они показали, что можно восстановить математические ингредиенты геометрического соответствия Ленглендса. ^[12] Их работа показывает, что соответствие Ленглендса тесно связано с S-дуальностью в квантовой теории поля, с возможными приложениями в обоих предметах. ^[10]

Двойственность Зейберга

Другая реализация S-дуальности в квантовой теории поля — это дуальность Зайберга , впервые введенная Натаном Зайбергом около 1995 года. ^[13] В отличие от дуальности Монтонена–Олива, которая связывает две версии максимально суперсимметричной калибровочной теории в четырехмерном пространстве-времени, дуальность Зайберга связывает менее симметричные теории, называемые N=1 суперсимметричными калибровочными теориями . Две теории N=1, появляющиеся в дуальности Зайберга, не идентичны, но они порождают одну и ту же физику на больших расстояниях. Подобно дуальности Монтонена–Олива, дуальность Зайберга обобщает симметрию уравнений Максвелла, которая меняет местами электрические и магнитные поля.

В теории струн

До середины 1990-х годов физики, работавшие над теорией струн , считали, что существует пять различных версий теории: тип I , тип IIA , тип IIB и два варианта гетеротической теории струн ( SO(32) и E ₈ ×E ₈ ). Различные теории допускают различные типы струн, а частицы, возникающие при низких энергиях, демонстрируют различные симметрии.

В середине 1990-х годов физики заметили, что эти пять теорий струн на самом деле связаны весьма нетривиальными дуальностями. Одной из таких дуальностей является S-дуальность. Существование S-дуальности в теории струн было впервые предложено Ашоком Сеном в 1994 году. ^[14]^{[ неудачная проверка ]} Было показано, что теория струн типа IIB с константой связи эквивалентна посредством S-дуальности той же теории струн с константой связи . Аналогично, теория струн типа I с константой связи эквивалентна гетеротической теории струн SO(32) с константой связи . $g$ $1/g$ $g$ $1/g$

Существование этих дуальностей показало, что пять теорий струн на самом деле не все были отдельными теориями. В 1995 году на конференции по теории струн в Университете Южной Калифорнии Эдвард Виттен сделал удивительное предположение, что все пять этих теорий были просто различными пределами единой теории, теперь известной как М-теория . ^[15] Предложение Виттена было основано на наблюдении, что гетеротические теории струн типа IIA и E ₈ ×E ₈ тесно связаны с гравитационной теорией, называемой одиннадцатимерной супергравитацией . Его заявление привело к шквалу работ, теперь известной как вторая суперструнная революция .

Смотрите также

Примечания

^ abc Френкель (2009, стр. 2)
^ Цвибах (2009, стр. 325)
^ Гриффитс (1999, стр. 326)
^ Гриффитс (1999, стр. 327)
^ Для введения в квантовую теорию поля в целом, включая основы калибровочной теории, см. Zee (2010)
^ Монтонен и Олив (1977)
^ Годдард, Нюйтс и Олив (1977)
^ Френкель (2009, стр. 5)
^ abc Френкель (2009, стр. 12)
^ abcde Френкель (2007)
^ Капустин и Виттен (2007)
^ Аспинуолл и др. (2009, стр. 415)
^ Зайберг (1995)
^ Дилип Джаткар. "Ашок Сен и S-Двойственность". bhavana.org.in . Архивировано из оригинала 6 августа 2023 г. . Получено 6 августа 2023 г. .
^ Виттен 1995

Ссылки

Аспинуолл, Пол; Бриджленд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл; Гросс, Марк; Капустин, Антон; Мур, Грегори; Сигал, Грэм; Сендрёй, Балаж; Уилсон, PMH, ред. (2009). Дирихле-браны и зеркальная симметрия . Математические монографии Клэя . Том 4. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3848-8.
Френкель, Эдвард (2007). "Лекции по программе Ленглендса и конформной теории поля". Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II . Springer: 387–533. arXiv : hep-th/0512172 . Bibcode :2005hep.th...12172F. doi :10.1007/978-3-540-30308-4_11. ISBN 978-3-540-30307-7. S2CID 119611071.
Френкель, Эдвард (2009). "Калибровочная теория и дуальность Ленглендса" (PDF) . Семинар Бурбаки . arXiv : 0906.2747 . MR 2648685. Zbl 1209.22009.
Годдард, Питер; Найтс, Джин; Олив, Дэвид (1977). "Калибровочные теории и магнитный заряд" (PDF) . Ядерная физика Б . 125 (1): 1–28. Bibcode :1977NuPhB.125....1G. doi :10.1016/0550-3213(77)90221-8.
Гриффитс, Дэвид (1999). Введение в электродинамику . Нью-Джерси: Prentice-Hall. ISBN 9780138053260.
Капустин, Антон; Виттен, Эдвард (2007). «Электромагнитная дуальность и геометрическая программа Ленглендса». Сообщения по теории чисел и физике . 1 (1): 1–236. arXiv : hep-th/0604151 . Bibcode :2007CNTP....1....1K. doi :10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1. S2CID 30505126.
Монтонен, Клаус; Олив, Дэвид (1977). «Магнитные монополи как калибровочные частицы?». Physics Letters B. 72 ( 1): 117–120. Bibcode : 1977PhLB...72..117M. doi : 10.1016/0370-2693(77)90076-4.
Seiberg, Nathan (1995). «Электромагнитная дуальность в суперсимметричных неабелевых калибровочных теориях». Nuclear Physics B . 435 (1): 129–146. arXiv : hep-th/9411149 . Bibcode :1995NuPhB.435..129S. doi :10.1016/0550-3213(94)00023-8. S2CID 18466754.
Сен, Ашок (1994). «Дуальность сильной-слабой связи в четырехмерной теории струн». International Journal of Modern Physics A . 9 (21): 3707–3750. arXiv : hep-th/9402002 . Bibcode :1994IJMPA...9.3707S. doi :10.1142/S0217751X94001497. S2CID 16706816.
Виттен, Эдвард (13–18 марта 1995 г.). «Некоторые проблемы сильной и слабой связи». Труды конференции Strings '95: Перспективы будущего в теории струн . World Scientific. doi :10.1142/2943. ISBN 978-981-02-2472-1.
Виттен, Эдвард (1995). «Динамика теории струн в различных измерениях». Nuclear Physics B. 443 ( 1): 85–126. arXiv : hep-th/9503124 . Bibcode : 1995NuPhB.443...85W. doi : 10.1016/0550-3213(95)00158-O. S2CID 16790997.
Зи, Энтони (2010). Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14034-6.
Цвибах, Бартон (2009). Первый курс теории струн . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88032-9.