Спиновая структура

В дифференциальной геометрии спиновая структура на ориентируемом римановом многообразии ( M , g ) позволяет определить ассоциированные спинорные расслоения , что приводит к появлению понятия спинора в дифференциальной геометрии.

Спиновые структуры имеют широкое применение в математической физике , в частности в квантовой теории поля , где они являются важным компонентом в определении любой теории с незаряженными фермионами . Они представляют также чисто математический интерес в дифференциальной геометрии , алгебраической топологии и теории К. Они составляют основу спиновой геометрии .

Обзор

В геометрии и теории поля математики задаются вопросом, допускает ли данное ориентированное риманово многообразие ( M , g ) спиноры . Один из способов решения этой проблемы — потребовать, чтобы M имел спиновую структуру. ^{[1] [2] [3]} Это не всегда возможно, поскольку потенциально существует топологическое препятствие для существования спиновых структур. Спиновые структуры будут существовать тогда и только тогда, когда второй класс Стифеля–Уитни w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) группы M обращается в нуль. Более того, если w ₂ ( M ) = 0, то на множество классов изоморфизма спиновых структур на M действует свободно и транзитивно со стороны H ¹ ( M , Z ₂ ). Поскольку многообразие M предполагается ориентированным, первый класс Стифеля–Уитни w ₁ ( M ) ∈ H ¹ ( M , Z ₂ ) многообразия M также обращается в нуль. (Классы Стифеля–Уитни w _i ( M ) ∈ H ⁱ ( M , Z ₂ ) многообразия M определяются как классы Стифеля–Уитни его касательного расслоения TM .)

Тогда расслоение спиноров π _S : S → M над M является комплексным векторным расслоением , связанным с соответствующим главным расслоением π _P : P → M спиновых реперов над M и спиновым представлением его структурной группы Spin( n ) в пространстве спиноров Δ _n . Расслоение S называется спинорным расслоением для данной спиновой структуры на M .

Точное определение спиновой структуры на многообразии стало возможным только после введения понятия расслоения ; Андре Хэфлигер (1956) обнаружил топологическое препятствие существованию спиновой структуры на ориентируемом римановом многообразии, а Макс Каруби (1968) распространил этот результат на неориентируемый псевдориманов случай. ^{[4] [5]}

Спиновые структуры на римановых многообразиях

Определение

Спиновая структура на ориентируемом римановом многообразии с ориентированным векторным расслоением является эквивариантным подъемом расслоения ортонормированных реперов относительно двойного накрытия . Другими словами, пара представляет собой спиновую структуру на SO( n )-главном расслоении , когда ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$ ${\displaystyle \rho :\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle (P_{\operatorname {Spin} },\phi )}$ ${\displaystyle \pi :P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$

а) является главным Spin( n )-расслоением над и ${\displaystyle \pi _{P}:P_{\operatorname {Spin} }\rightarrow M}$ ${\displaystyle M}$

б) является эквивариантным 2-кратным накрывающим отображением таким, что ${\displaystyle \phi :P_{\operatorname {Spin} }\rightarrow P_{\operatorname {SO} }(E)}$

${\displaystyle \pi \circ \phi =\pi _{P}\quad }$и для всех и . ${\displaystyle \quad \phi (pq)=\phi (p)\rho (q)\quad }$ ${\displaystyle p\in P_{\operatorname {Spin} }}$ ${\displaystyle q\in \operatorname {Spin} (n)}$

Две спиновые структуры , находящиеся на одном и том же ориентированном римановом многообразии, называются «эквивалентными», если существует Spin( n )-эквивариантное отображение такое, что ${\displaystyle (P_{1},\phi _{1})}$ ${\displaystyle (P_{2},\phi _{2})}$ ${\displaystyle f:P_{1}\rightarrow P_{2}}$

${\displaystyle \phi _{2}\circ f=\phi _{1}\quad }$и для всех и . ${\displaystyle \quad f(pq)=f(p)q\quad }$ ${\displaystyle p\in P_{1}}$ ${\displaystyle q\in \operatorname {Spin} (n)}$

В данном случае и — два эквивалентных двойных накрытия. ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$

Определение спиновой структуры on как спиновой структуры на главном расслоении принадлежит Андре Хефлигеру (1956). ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$

Препятствие

Хефлигер ^[1] нашел необходимые и достаточные условия существования спиновой структуры на ориентированном римановом многообразии ( M , g ). Препятствием для спиновой структуры является некий элемент [ k ] из H ² ( M , Z ₂ ). Для спиновой структуры класс [ k ] является вторым классом Стифеля–Уитни w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) из M . Следовательно, спиновая структура существует тогда и только тогда, когда второй класс Стифеля–Уитни w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) группы M обращается в нуль.

Спиновые структуры на векторных расслоениях

Пусть M — паракомпактное топологическое многообразие , а E — ориентированное векторное расслоение на M размерности n , снабженное слоеной метрикой . Это означает, что в каждой точке M слой E является пространством внутреннего продукта . Спинорное расслоение E — это рецепт последовательного сопоставления спинового представления каждой точке M. Существуют топологические препятствия для того, чтобы это сделать, и, следовательно, данное расслоение E не может допускать ни одного спинорного расслоения. В этом случае говорят, что расслоение E имеет спин .

Это можно сделать строгим с помощью языка главных расслоений . Совокупность ориентированных ортонормированных фреймов векторного расслоения образует расслоение фреймов P _SO ( E ), которое является главным расслоением под действием специальной ортогональной группы SO( n ). Спиновая структура для P _SO ( E ) — это подъем P _SO ( E ) до главного расслоения P _Spin ( E ) под действием спиновой группы Spin ( n ), под которым мы подразумеваем, что существует отображение расслоения  : P _Spin ( E ) → P _SO ( E ) такой, что ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (pg)=\phi (p)\rho (g)}$, для всех p ∈ P _Spin ( E ) и g ∈ Spin( n ) ,

где ρ  : Spin( n ) → SO( n ) — отображение групп, представляющее спиновую группу как двойное накрытие SO( n ).

В частном случае, когда E является касательным расслоением TM над базовым многообразием M , если спиновая структура существует, то говорят, что M является спиновым многообразием . Эквивалентно, M является спином , если главный расслоение SO( n ) ортонормированных базисов касательных слоев M является фактором Z ₂ главного спинового расслоения.

Если многообразие имеет клеточное разложение или триангуляцию , спиновую структуру можно эквивалентно рассматривать как гомотопический класс тривиализации касательного расслоения над 1- скелетом , который продолжается над 2-скелетом. Если размерность меньше 3, сначала берут сумму Уитни с тривиальным линейным расслоением.

Препятствие и классификация

Для ориентируемого векторного расслоения спиновая структура существует тогда и только тогда, когда второй класс Стифеля–Уитни обращается в нуль. Это результат Армана Бореля и Фридриха Хирцебруха . ^[6] Кроме того, в случае спина число спиновых структур находится в биекции с . Эти результаты могут быть легко доказаны ^{[7] , стр. 110-111,} используя аргумент спектральной последовательности для соответствующего основного -bundle . Обратите внимание, что это дает расслоение ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle w_{2}(E)}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle P_{E}\to M}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (n)\to P_{E}\to M}$

следовательно, можно применить спектральную последовательность Серра . Из общей теории спектральных последовательностей существует точная последовательность

${\displaystyle 0\to E_{3}^{0,1}\to E_{2}^{0,1}\xrightarrow {d_{2}} E_{2}^{2,0}\to E_{3}^{2,0}\to 0}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2}^{0,1}&=H^{0}(M,H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2))=H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)\\E_{2}^{2,0}&=H^{2}(M,H^{0}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2))=H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$

Кроме того, при некоторой фильтрации на , следовательно, получаем отображение ${\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=E_{3}^{0,1}}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)/F^{1}(H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2))}$ ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to E_{3}^{0,1}}$

давая точную последовательность

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)\to H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}$

Теперь спиновая структура — это в точности двойное покрытие вписывания в коммутативную диаграмму. ${\displaystyle P_{E}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spin} (n)&\to &{\tilde {P}}_{E}&\to &M\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {SO} (n)&\to &P_{E}&\to &M\end{matrix}}}$

где две левые вертикальные карты являются картами двойного покрытия. Теперь двойные покрытия находятся в биекции с индексными подгруппами , которые находятся в биекции с набором групповых морфизмов . Но, исходя из теоремы Гуревича и замены коэффициентов, это именно группа когомологий . Применяя тот же аргумент к , нетривиальное накрытие соответствует , а отображение в в точности соответствует второму классу Штифеля-Уитни, следовательно . Если он исчезает, то прообраз под картой ${\displaystyle P_{E}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi _{1}(P_{E})}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\pi _{1}(E),\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle 1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)=\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle w_{2}(1)=w_{2}(E)}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

представляет собой набор двойных накрытий, дающих спиновые структуры. Теперь это подмножество можно отождествить с , показывая, что эта последняя группа когомологий классифицирует различные спиновые структуры векторного расслоения . Это можно сделать, рассмотрев длинную точную последовательность гомотопических групп расслоения ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle E\to M}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))\to \pi _{1}(P_{E})\to \pi _{1}(M)\to 1}$

и применив , задав последовательность групп когомологий ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle 0\to H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

Поскольку ядро ​​и прообраз которого находятся в биекции с ядром, мы получаем желаемый результат. ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle 1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

Замечания по классификации

Когда спиновые структуры существуют, неэквивалентные спиновые структуры на многообразии имеют взаимно однозначное соответствие (не каноническое) с элементами из H ¹ ( M , Z ₂ ), которое по теореме об универсальных коэффициентах изоморфно H ₁ ( M , З ₂ ). Точнее, пространство классов изоморфизма спиновых структур является аффинным пространством над H ¹ ( M , Z ₂ ).

Интуитивно понятно, что для каждого нетривиального цикла на M спиновая структура соответствует двоичному выбору того, переключает ли часть расслоения SO( N ) листы, когда кто-то окружает цикл. Если w ₂ ^[8] обращается в нуль, то этот выбор можно распространить на двухскелет , а затем (по теории препятствий ) они могут автоматически распространиться на все M . В физике элементарных частиц это соответствует выбору периодических или антипериодических граничных условий для фермионов , обходящих каждую петлю. Обратите внимание, что на комплексном многообразии второй класс Стифеля-Уитни можно вычислить как первый класс Черна . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{mod }}2}$

Примеры

1. Риманова поверхность рода g допускает 2 ^{2 g} неэквивалентных спиновых структур; см. тэта-характеристику .
2. Если H ² ( M , Z ₂ ) исчезает, M является спином . Например, Sn для всех ^{является} спином . (Обратите внимание, что S ² также является спином , но по другим причинам; см. ниже.) ${\displaystyle n\neq 2}$
3. Комплексная проективная плоскость CP ² не является спиновой .
4. В более общем смысле, все четномерные комплексные проективные пространства CP ^{2 n} не являются спиновыми .
5. Все нечетномерные комплексные проективные пространства CP ²ⁿ⁺¹ являются спиновыми .
6. Все компактные ориентируемые многообразия размерности 3 или меньше являются спиновыми .
7. Все многообразия Калаби–Яу имеют спин .

Характеристики

• Â Род спинового многообразия является целым числом и четным числом, если, кроме того, размерность равна 4 по модулю 8.

  В общем случае род Â является рациональным инвариантом, определенным для любого многообразия, но, вообще говоря, не является целым числом.

  Первоначально это было доказано Хирцебрухом и Борелем , и может быть доказано с помощью теоремы об индексе Атьи-Зингера , реализуя род Â как индекс оператора Дирака - оператор Дирака представляет собой квадратный корень из оператора второго порядка и существует благодаря спиновая структура представляет собой «квадратный корень». Это был мотивирующий пример для теоремы об индексе.

Структуры спина C

Структура спина ^C аналогична структуре спина на ориентированном римановом многообразии ^[9] , но использует группу спина ^C , которая вместо этого определяется точной последовательностью

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

Чтобы мотивировать это, предположим, что κ  : Spin( n ) → U( N ) — комплексное спинорное представление. Центр U( N ) состоит из диагональных элементов, происходящих из включения i  : U(1) → U( N ) , т. е. скалярных кратных единицы. Таким образом, существует гомоморфизм

${\displaystyle \kappa \times i\colon {\mathrm {Spin} }(n)\times {\mathrm {U} }(1)\to {\mathrm {U} }(N).}$

В ядре всегда будет элемент (−1,−1). Факторизируя по модулю этот элемент, мы получаем группу Spin ^C ( n ). Это испорченный продукт

${\displaystyle {\mathrm {Spin} }^{\mathbb {C} }(n)={\mathrm {Spin} }(n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}{\mathrm {U} }(1)\,,}$

^{где U(1) =} SO(2) = S1 . Другими словами, группа Spin ^{C (} n ) является центральным расширением SO( n ) посредством S1 .

С другой стороны, Spin ^C ( n ) — это факторгруппа, полученная из Spin( n ) × Spin(2) _по нормали Z2 , которая порождается парой накрывающих преобразований для расслоений Spin( n ) → SO( n ) и Spin(2) → SO(2) соответственно. Это делает группу Spin ^C одновременно расслоением над окружностью со слоем Spin( n ) и расслоением над SO( n ) со слоем в виде окружности. ^{[10] [11]}

Фундаментальная группа π ₁ (Spin ^C ( n )) изоморфна Z , если n ≠ 2, и Z ⊕ Z , если n = 2.

Если многообразие имеет клеточное разложение или триангуляцию , структуру спина ^C можно эквивалентно рассматривать как гомотопический класс комплексной структуры над 2- скелетом , который простирается над 3-скелетом. Как и в случае со спиновыми структурами, берется сумма Уитни с тривиальным линейным расслоением, если многообразие нечетномерно.

Еще одно определение состоит в том, что спиновая структура ^C на многообразии N представляет собой комплексное линейное расслоение L над N вместе со спиновой структурой на T N ⊕ L .

Препятствие

Структура спина ^C существует, когда расслоение ориентируемо и второй класс Стифеля–Уитни расслоения E находится в образе отображения H ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z /2 Z ) (другими словами , третий целочисленный класс Штифеля–Уитни исчезает). В этом случае говорят, что E — это спин ^C. Интуитивно понятно, что подъем дает класс Чженя квадрата U(1)-части любого полученного расслоения спина ^C. По теореме Хопфа и Хирцебруха замкнутые ориентируемые 4-многообразия всегда допускают структуру спина ^C.

Классификация

Когда многообразие вообще содержит структуру со спином ^C , набор структур со спином ^C образует аффинное пространство. Более того, множество спиновых ^C- структур обладает свободным транзитивным действием H ² ( M , Z ) . Таким образом, спиновые ^C -структуры соответствуют элементам из H ² ( M , Z ) , хотя и не естественным образом.

Геометрическая картина

Это имеет следующую геометрическую интерпретацию, принадлежащую Эдварду Виттену . Когда структура спина ^C не равна нулю, это расслоение квадратных корней имеет нецелый класс Черна, что означает, что оно не удовлетворяет условию тройного перекрытия . В частности, произведение функций перехода на трехстороннем пересечении не всегда равно единице, как это требуется для главного расслоения . Вместо этого иногда это -1.

Этот сбой происходит точно в тех же пересечениях, что и тождественный сбой в тройных произведениях переходных функций затрудненного спинового пучка . Следовательно, тройные произведения функций перехода полного расслоения спина ^c , которые являются произведениями тройного произведения расслоений компонент спина и U(1), равны либо 1 ² = 1 , либо (−1) ² = 1 , и поэтому расслоение со спином ^C удовлетворяет условию тройного перекрытия и, следовательно, является допустимым расслоением.

Детали

Приведенную выше интуитивную геометрическую картину можно конкретизировать следующим образом. Рассмотрим короткую точную последовательность 0 → Z → Z → Z ₂ → 0 , где вторая стрелка — это умножение на 2, а третья — приведение по модулю 2. Это индуцирует длинную точную последовательность на когомологиях, которая содержит

${\displaystyle \dots \longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} ){\stackrel {2}{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} _{2}){\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{3}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow \dots ,}$

где вторая стрелка индуцируется умножением на 2, третья индуцируется ограничением по модулю 2, а четвертая представляет собой ассоциированный гомоморфизм Бокштейна β .

^{Препятствием} существованию спинового расслоения _{является} элемент w2 из H2 ( M , Z2 ₎ . Это отражает тот факт, что всегда можно локально поднять расслоение SO(n) до спинового расслоения, но необходимо выбрать подъем Z ₂ для каждой переходной функции, что является выбором знака. Подъема не существует, когда произведение этих трех знаков в тройном перекрытии равно −1, что дает картину когомологий Чеха для w ₂ .

Чтобы устранить это препятствие, нужно тензорировать это спиновое расслоение с помощью U(1)-расслоения с тем же препятствием w ₂ . Обратите внимание, что это злоупотребление словом «расслоение» , поскольку ни спиновое расслоение, ни расслоение U(1) не удовлетворяют условию тройного перекрытия, и поэтому ни одно из них на самом деле не является расслоением.

Законное расслоение U(1) классифицируется по классу Чженя , который является элементом H2 ⁽ M , Z ) . Идентифицируйте этот класс с первым элементом в точной последовательности, указанной выше. Следующая стрелка удваивает этот класс Черна, и поэтому допустимые пакеты будут соответствовать четным элементам во втором H ² ( M , Z ) , а нечетные элементы будут соответствовать пакетам, которые не удовлетворяют условию тройного перекрытия. Препятствие тогда классифицируется по неспособности элемента во втором H ² ( M , Z ) находиться в образе стрелки, что, по точности, классифицируется по его изображению в H ² ( M , Z ₂ ) под следующая стрелка.

Чтобы устранить соответствующее препятствие в спиновом пучке, это изображение должно быть w ₂ . В частности, если w ₂ не входит в образ стрелки, то не существует расслоения U(1) с препятствием, равным w ₂ , и поэтому препятствие нельзя устранить. По точности w2 находится в образе предыдущей стрелки только в том случае, если она находится в ядре следующей стрелки, которая, как мы напомним, является _{гомоморфизмом} Бокштейна β. То есть условие устранения препятствия

${\displaystyle W_{3}=\beta w_{2}=0}$

где мы воспользовались тем, что третий целочисленный класс Штифеля–Уитни W ₃ является Бокштейном второго класса Штифеля–Уитни w ₂ (это можно принять за определение W ₃ ).

Интегральные лифты классов Штифеля – Уитни.

Этот аргумент также показывает, что второй класс Стифеля–Уитни определяет элементы не только когомологий Z ₂ , но и целых когомологий еще одной более высокой степени. Фактически это справедливо для всех даже классов Стифеля–Уитни. Традиционно используется прописная буква W для получившихся классов нечетной степени, которые называются целыми классами Стифеля – Уитни, и обозначаются их степенью (которая всегда нечетна).

Примеры

1. Все ориентированные гладкие многообразия размерности 4 или меньше имеют спин ^{C. [12]}
2. Все почти комплексные многообразия имеют спин ^C.
3. Все спиновые многообразия имеют спин ^C.

Приложение к физике элементарных частиц

В физике элементарных частиц теорема о спин-статистике подразумевает, что волновая функция незаряженного фермиона представляет собой сечение соответствующего векторного расслоения , связанного с подъемом спина расслоения SO( N ) E . Следовательно, выбор спиновой структуры является частью данных, необходимых для определения волновой функции, и часто необходимо суммировать эти варианты в статистической сумме . Во многих физических теориях E является касательным расслоением , но для фермионов в мировых объёмах D-бран в теории струн это нормальное расслоение .

В квантовой теории поля заряженные спиноры представляют собой секции связанных пучков спина ^c , и, в частности, никакие заряженные спиноры не могут существовать в пространстве, которое не является спином ^c . Исключением являются некоторые теории супергравитации , где дополнительные взаимодействия подразумевают, что другие поля могут отменить третий класс Стифеля – Уитни. Математическое описание спиноров в супергравитации и теории струн представляет собой особенно тонкую открытую проблему, которая недавно рассматривалась в литературе. ^{[13] [14]} Оказывается, что стандартное понятие спиновой структуры слишком ограничительно для приложений к супергравитации и теории струн, и что правильным понятием спинорной структуры для математической формулировки этих теорий является «липшицева структура». ^{[13] [15]}

Смотрите также

• Метаплектическая структура
• Пакет ортонормированных рамок
• Спинор

Рекомендации

1. Хефлигер, А. (1956). «Расширение структурной группы космического волокна». ЧР акад. наук. Париж . 243 : 558–560.
2. Дж. Милнор (1963). «Спиновые структуры на многообразиях». L'Enseignement Mathématique . 9 : 198–203.
3. Лихнерович, А. (1964). «Champs spinoriels et propagateurs en relativité générale». Бык. Соц. Математика. о . 92 : 11–100. дои : 10.24033/bsmf.1604 .
4. Каруби, М. (1968). «Алгебра Клиффорда и К-теория». Анна. наук. Эк. Норма. Супер . 1 (2): 161–270. дои : 10.24033/asens.1163 .
5. Алагия, HR; Санчес, CU (1985), «Спиновые структуры на псевдоримановых многообразиях» (PDF) , Revista de la Unión Matemática Argentina , 32 : 64–78
6. Борель, А.; Хирцебрух, Ф. (1958). «Характеристические классы и однородные пространства I». Американский журнал математики . 80 (2): 97–136. дои : 10.2307/2372795. JSTOR  2372795.
7. Пати, Вишвамбхар. «Эллиптические комплексы и теория индекса» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 20 августа 2018 г.
8. «Спиновое многообразие и второй класс Штифеля-Уитни». Математика.Stachexchange .
9. Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . п. 391. ИСБН 978-0-691-08542-5.
10. Р. Гомпф (1997). « Спин ^c –структуры и гомотопические эквивалентности ». Геометрия и топология . 1 : 41–50. arXiv : математика/9705218 . Бибкод : 1997math......5218G. дои : 10.2140/gt.1997.1.41. S2CID  6906852.
11. Фридрих, Томас (2000). Операторы Дирака в римановой геометрии . Американское математическое общество . п. 26. ISBN 978-0-8218-2055-1.
12. Гомпф, Роберт Э.; Стипсич, Андрас И. (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби . Американское математическое общество . стр. 55–58, 186–187. ISBN 0-8218-0994-6.
13. Лазароиу, К.; Шахбази, CS (2019). «Настоящие пинорные расслоения и настоящие липшицевы структуры». Азиатский математический журнал . 23 (5): 749–836. arXiv : 1606.07894 . doi :10.4310/AJM.2019.v23.n5.a3. S2CID  119598006..
14. Лазароиу, К.; Шахбази, CS (2019). «О спиновой геометрии супергравитации и теории струн». Геометрические методы в физике XXXVI . Тенденции в математике. стр. 229–235. arXiv : 1607.02103 . дои : 10.1007/978-3-030-01156-7_25. ISBN 978-3-030-01155-0. S2CID  104292702.
15. Фридрих, Томас; Траутман, Анджей (2000). «Спиновые пространства, группы Липшица и спинорные расслоения». Анналы глобального анализа и геометрии . 18 (3): 221–240. arXiv : math/9901137 . дои : 10.1023/А: 1006713405277. S2CID  118698159.

дальнейшее чтение

• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08542-5.
• Фридрих, Томас (2000). Операторы Дирака в римановой геометрии . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-2055-1.
• Каруби, Макс (2008). К-теория . Спрингер. стр. 212–214. ISBN 978-3-540-79889-7.
• Греуб, Вернер; Петри, Герберт-Райнер (2006) [1978]. «О снятии структурных группировок». Дифференциальные геометрические методы в математической физике II . Конспект лекций по математике. Том. 676. Шпрингер-Верлаг. стр. 217–246. дои : 10.1007/BFb0063673. ISBN 9783540357216.
• Скорпан, Александру (2005). «4.5 Примечания Спиновые структуры, определение группы структур; Эквивалентность определений». Дикий мир 4-многообразий . Американское математическое общество. стр. 174–189. ISBN 9780821837498.

Внешние ссылки

• Кое-что о спиновых структурах от Свена-С. Порст — это краткое введение в структуры ориентации и вращения для студентов-математиков.