Теорема Тейлора

Приближение функции усеченным степенным рядом

Экспоненциальная функция (красная) и соответствующий ей полином Тейлора четвертой степени (пунктирная зеленая линия) вокруг начала координат. ${\textstyle y=e^{x}}$

В исчислении теорема Тейлора дает приближение -раз дифференцируемой функции вокруг заданной точки полиномом степени , называемым полиномом Тейлора -го порядка . Для гладкой функции полином Тейлора является усечением в порядке ряда Тейлора функции. Полином Тейлора первого порядка является линейным приближением функции, а полином Тейлора второго порядка часто называют квадратичным приближением . ^[1] Существует несколько версий теоремы Тейлора, некоторые из которых дают явные оценки погрешности приближения функции ее полиномом Тейлора. ${\textstyle k}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle k}$

Теорема Тейлора названа в честь математика Брука Тейлора , который сформулировал ее версию в 1715 году ^[2], хотя более ранняя версия результата была уже упомянута в 1671 году Джеймсом Грегори ^[3] .

Теорема Тейлора преподается на вводных курсах исчисления и является одним из центральных элементарных инструментов в математическом анализе . Она дает простые арифметические формулы для точного вычисления значений многих трансцендентных функций, таких как показательная функция и тригонометрические функции . Она является отправной точкой изучения аналитических функций и является фундаментальной в различных областях математики, а также в численном анализе и математической физике . Теорема Тейлора также обобщается на многомерные и векторные функции. Она обеспечила математическую основу для некоторых знаковых ранних вычислительных машин: Разностная машина Чарльза Бэббиджа вычисляла синусы, косинусы, логарифмы и другие трансцендентные функции путем численного интегрирования первых 7 членов их рядов Тейлора.

Мотивация

График (синий) с его линейной аппроксимацией (красный) при . ${\textstyle f(x)=e^{x}}$ ${\textstyle P_{1}(x)=1+x}$ ${\textstyle a=0}$

Если вещественная функция дифференцируема в точке , то она имеет линейное приближение вблизи этой точки. Это означает, что существует функция h ₁ ( x ) такая, что ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle x=a}$

$${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),\quad \lim _{x\to a}h_{1}(x)=0.}$$

Здесь

$${\displaystyle P_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)}$$

является линейным приближением для x вблизи точки a , график которого является касательной к графику при x = a . Ошибка приближения равна: ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle y=P_{1}(x)}$ ${\textstyle y=f(x)}$ $${\displaystyle R_{1}(x)=f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a).}$$

По мере того как x стремится к  a, эта ошибка стремится к нулю гораздо быстрее, чем , что дает полезное приближение. ${\displaystyle f'(a)(x{-}a)}$ ${\displaystyle f(x)\approx P_{1}(x)}$

График (синий) с его квадратичной аппроксимацией (красный) при . Обратите внимание на улучшение аппроксимации. ${\textstyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle P_{2}(x)=1+x+{\dfrac {x^{2}}{2}}}$ ${\textstyle a=0}$

Для лучшего приближения к можно использовать квадратичный полином вместо линейной функции: ${\textstyle f(x)}$

$${\displaystyle P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}.}$$

Вместо того чтобы просто сопоставлять одну производную от при , этот полином имеет те же самые первые и вторые производные, что очевидно при дифференцировании. ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle x=a}$

Теорема Тейлора гарантирует, что квадратичное приближение в достаточно малой окрестности , точнее линейного приближения. В частности, ${\textstyle x=a}$

$${\displaystyle f(x)=P_{2}(x)+h_{2}(x)(x-a)^{2},\quad \lim _{x\to a}h_{2}(x)=0.}$$

Здесь ошибка в аппроксимации равна

$${\displaystyle R_{2}(x)=f(x)-P_{2}(x)=h_{2}(x)(x-a)^{2},}$$

который, учитывая предельное поведение , стремится к нулю быстрее, чем когда x стремится к  a . ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle (x-a)^{2}}$

Аппроксимация (синего) его полиномами Тейлора порядка с центром в (красном) и (зеленом). Аппроксимации вообще не улучшаются за пределами и , соответственно. ${\textstyle f(x)={\dfrac {1}{1+x^{2}}}}$ ${\textstyle P_{k}}$ ${\textstyle k=1,\ldots ,16}$ ${\textstyle x=0}$ ${\textstyle x=1}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\textstyle (1-{\sqrt {2}},1+{\sqrt {2}})}$

Аналогично, мы могли бы получить еще лучшие приближения к f, если бы использовали полиномы более высокой степени, поскольку тогда мы можем сопоставить еще больше производных с f в выбранной базовой точке.

В общем случае ошибка приближения функции полиномом степени k будет стремиться к нулю гораздо быстрее, чем при стремлении  x к a . Однако существуют функции, даже бесконечно дифференцируемые, для которых увеличение степени аппроксимирующего полинома не увеличивает точность приближения: мы говорим, что такая функция не является аналитической при x = a : она (локально) не определяется своими производными в этой точке. ${\displaystyle (x-a)^{k}}$

Теорема Тейлора имеет асимптотическую природу: она только говорит нам, что ошибка в приближении полиномом Тейлора -го порядка P k _{стремится} к нулю быстрее, чем любой ненулевой полином -й степени , как . Она не говорит нам, насколько велика ошибка в любой конкретной окрестности центра расширения, но для этой цели существуют явные формулы для остаточного члена (приведенные ниже), которые справедливы при некоторых дополнительных предположениях регулярности относительно f . Эти улучшенные версии теоремы Тейлора обычно приводят к равномерным оценкам ошибки приближения в малой окрестности центра расширения, но оценки не обязательно справедливы для окрестностей, которые слишком велики, даже если функция f является аналитической . В этой ситуации может потребоваться выбрать несколько полиномов Тейлора с различными центрами расширения, чтобы иметь надежные приближения Тейлора исходной функции (см. анимацию справа.) ${\textstyle R_{k}}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle x\to a}$

Остаточный член можно использовать несколькими способами:

1. Оцените погрешность для полинома P _k ( x ) степени k, оценивающего на заданном интервале ( a – r , a + r ). (Зная интервал и степень, находим погрешность.) ${\textstyle f(x)}$
2. Найдите наименьшую степень k, для которой полином P _k ( x ) приближается с точностью до заданного допуска погрешности на заданном интервале ( a − r , a + r ). (Зная интервал и допуск погрешности, мы находим степень.) ${\textstyle f(x)}$
3. Найдите наибольший интервал ( a − r , a + r ), на котором P _k ( x ) приближается с заданной погрешностью. (Учитывая степень и погрешность, мы находим интервал.) ${\textstyle f(x)}$

Теорема Тейлора с одной действительной переменной

Формулировка теоремы

Точная формулировка самой базовой версии теоремы Тейлора выглядит следующим образом:

Теорема Тейлора ^{[4] [5] [6]}  —  Пусть k  ≥ 1 — целое число и пусть функция f  : R → R дифференцируема k раз в точке a ∈ R. Тогда существует функция h _k  : R → R такая , что

$${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},}$$и это называется формой Пеано остатка . $${\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}$$

Полином, появляющийся в теореме Тейлора, является полиномом Тейлора -го порядка. ${\textstyle {\boldsymbol {k}}}$

$${\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$$

функции f в точке a . Полином Тейлора является единственным полиномом «наилучшего асимптотического соответствия» в том смысле, что если существует функция h _k  : R → R и полином -го порядка p такие, что ${\textstyle k}$

$${\displaystyle f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,}$$

тогда p  =  P _k . Теорема Тейлора описывает асимптотическое поведение остаточного члена

$${\displaystyle R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),}$$

что является ошибкой аппроксимации при аппроксимации f ее полиномом Тейлора. Используя обозначение с маленькой буквой «о» , утверждение в теореме Тейлора читается как

$${\displaystyle R_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),\quad x\to a.}$$

Явные формулы для остатка

При более сильных предположениях о регулярности функции f существует несколько точных формул для остаточного члена R _k полинома Тейлора, наиболее распространенными из которых являются следующие.

Формы среднего значения остатка  —  Пусть f  : R → R будет k  + 1 раз дифференцируемой на открытом интервале с f ^{( k )} непрерывной на замкнутом интервале между и . ^[7] Тогда ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{L})}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}}$$

для некоторого действительного числа между и . Это форма Лагранжа ^[8] остатка. ${\textstyle \xi _{L}}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

Сходным образом,

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{C})}{k!}}(x-\xi _{C})^{k}(x-a)}$$

для некоторого действительного числа между и . Это форма Коши ^[9] остатка. ${\textstyle \xi _{C}}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

Оба можно рассматривать как частные случаи следующего результата: Рассмотрим ${\displaystyle p>0}$

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{S})}{k!}}(x-\xi _{S})^{k+1-p}{\frac {(x-a)^{p}}{p}}}$$для некоторого действительного числа между и . Это форма Шлемильха остатка (иногда называемая формой Шлемильха- Роша ). Выбор — форма Лагранжа, в то время как выбор — форма Коши. ${\textstyle \xi _{S}}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle p=k+1}$ ${\textstyle p=1}$

Эти уточнения теоремы Тейлора обычно доказываются с помощью теоремы о среднем значении , откуда и название. Кроме того, обратите внимание, что это именно теорема о среднем значении , когда . Также можно найти другие подобные выражения. Например, если G ( t ) непрерывна на замкнутом интервале и дифференцируема с ненулевой производной на открытом интервале между и , то ${\textstyle k=0}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}}$$

для некоторого числа между и . Эта версия охватывает формы Лагранжа и Коши остатка как особые случаи и доказывается ниже с использованием теоремы Коши о среднем значении . Форма Лагранжа получается взятием , а форма Коши получается взятием . ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle G(t)=(x-t)^{k+1}}$ ${\displaystyle G(t)=t-a}$

Утверждение для интегральной формы остатка является более продвинутым, чем предыдущие, и требует понимания теории интегрирования Лебега для полной общности. Однако оно справедливо также в смысле интеграла Римана при условии, что ( k  + 1)-я производная функции f непрерывна на замкнутом интервале [ a , x ].

Интегральная форма остатка ^[10]  —  Пусть абсолютно непрерывна на замкнутом интервале между и . Тогда ${\textstyle f^{(k)}}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle R_{k}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt.}$$

Ввиду абсолютной непрерывности f ^{( k )} на замкнутом интервале между и , ее производная f ^{( k +1)} существует как L ¹ -функция, и результат может быть доказан формальным вычислением с использованием основной теоремы исчисления и интегрирования по частям . ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

Оценки для остатка

Часто на практике бывает полезно оценить остаточный член, появляющийся в приближении Тейлора, а не иметь точную формулу для него. Предположим, что f является ( k + 1) -раз непрерывно дифференцируемой в интервале I, содержащем a . Предположим, что существуют действительные константы q и Q такие, что

$${\displaystyle q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q}$$

на протяжении I. Тогда остаточный член удовлетворяет неравенству ^[11]

$${\displaystyle q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},}$$

если x > a , и аналогичная оценка если x < a . Это простое следствие формы Лагранжа остатка. В частности, если

$${\displaystyle |f^{(k+1)}(x)|\leq M}$$

на интервале I = ( a − r , a + r ) с некоторыми , то ${\displaystyle r>0}$

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq M{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq M{\frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}}$$

для всех x ∈( a − r , a + r ). Второе неравенство называется равномерной оценкой , поскольку оно выполняется равномерно для всех x на интервале ( a − r , a + r ).

Пример

Аппроксимация (синего) его полиномами Тейлора порядка с центром в (красном). ${\textstyle e^{x}}$ ${\displaystyle P_{k}}$ ${\textstyle k=1,\ldots ,7}$ ${\textstyle x=0}$

Предположим, что мы хотим найти приближенное значение функции на интервале , гарантируя, что ошибка в приближении не превысит 10−5 ^. В этом примере мы делаем вид, что знаем только следующие свойства показательной функции: ${\textstyle f(x)=e^{x}}$ ${\textstyle [-1,1]}$

Из этих свойств следует, что для всех , и в частности, . Следовательно, полином Тейлора -го порядка от при и его остаточный член в форме Лагранжа определяются как ${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle f^{(k)}(0)=1}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle 0}$

$${\displaystyle P_{k}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad R_{k}(x)={\frac {e^{\xi }}{(k+1)!}}x^{k+1},}$$

где — некоторое число между 0 и x . Поскольку e ^x увеличивается на ( ★ ), мы можем просто использовать для для оценки остатка на подынтервале . Чтобы получить верхнюю границу для остатка на , мы используем свойство для для оценки ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle e^{x}\leq 1}$ ${\textstyle x\in [-1,0]}$ ${\displaystyle [-1,0]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\textstyle e^{\xi }<e^{x}}$ ${\textstyle 0<\xi <x}$

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {e^{\xi }}{2}}x^{2}<1+x+{\frac {e^{x}}{2}}x^{2},\qquad 0<x\leq 1}$$

используя разложение Тейлора второго порядка. Затем мы решаем для e ^x, чтобы вывести, что

$${\displaystyle e^{x}\leq {\frac {1+x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}=2{\frac {1+x}{2-x^{2}}}\leq 4,\qquad 0\leq x\leq 1}$$

просто максимизируя числитель и минимизируя знаменатель . Объединяя эти оценки для e ^x, мы видим, что

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq {\frac {4|x|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq {\frac {4}{(k+1)!}},\qquad -1\leq x\leq 1,}$$

поэтому требуемая точность, безусловно, достигается, когда

$${\displaystyle {\frac {4}{(k+1)!}}<10^{-5}\quad \Longleftrightarrow \quad 4\cdot 10^{5}<(k+1)!\quad \Longleftrightarrow \quad k\geq 9.}$$

(См. факториал или вычислите вручную значения и .) В заключение, теорема Тейлора приводит к приближению ${\textstyle 9!=362880}$ ${\textstyle 10!=3628800}$

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{9}}{9!}}+R_{9}(x),\qquad |R_{9}(x)|<10^{-5},\qquad -1\leq x\leq 1.}$$

Например, это приближение дает десятичное выражение с точностью до пяти знаков после запятой. ${\displaystyle e\approx 2.71828}$

Отношение к аналитичности

Разложения Тейлора действительных аналитических функций

Пусть I ⊂ R — открытый интервал . По определению функция f  : I → R является действительно аналитической , если она локально определяется сходящимся степенным рядом . Это означает, что для каждого a  ∈  I существует некоторое r  > 0 и последовательность коэффициентов c _k  ∈  R, такие, что ( a − r , a + r ) ⊂ I и

$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots ,\qquad |x-a|<r.}$$

В общем случае радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формуле Коши–Адамара

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{k\to \infty }|c_{k}|^{\frac {1}{k}}.}$$

Этот результат основан на сравнении с геометрическим рядом , и тот же метод показывает, что если степенной ряд, основанный на a, сходится для некоторого b ∈ R , он должен сходиться равномерно на замкнутом интервале , где . Здесь рассматривается только сходимость степенного ряда, и вполне может быть, что ( a − R , a + R ) выходит за пределы области I функции f . ${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$ ${\textstyle r_{b}=\left\vert b-a\right\vert }$

Полиномы Тейлора действительной аналитической функции f в точке a — это просто конечные усечения

$${\displaystyle P_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}c_{j}(x-a)^{j},\qquad c_{j}={\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}}$$

его локально определяющего степенного ряда, а соответствующие остаточные члены локально задаются аналитическими функциями

$${\displaystyle R_{k}(x)=\sum _{j=k+1}^{\infty }c_{j}(x-a)^{j}=(x-a)^{k}h_{k}(x),\qquad |x-a|<r.}$$

Здесь функции

$${\displaystyle {\begin{aligned}&h_{k}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\[1ex]&h_{k}(x)=(x-a)\sum _{j=0}^{\infty }c_{k+1+j}\left(x-a\right)^{j}\end{aligned}}}$$

также являются аналитическими, поскольку их определяющие степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Предполагая, что [ a − r , a + r ] ⊂ I и r  <  R , все эти ряды сходятся равномерно на ( a − r , a + r ) . Естественно, в случае аналитических функций можно оценить остаточный член по хвосту последовательности производных f′ ( a ) в центре разложения, но с использованием комплексного анализа возникает и другая возможность, которая описана ниже. ${\textstyle R_{k}(x)}$

Теорема Тейлора и сходимость рядов Тейлора

Ряд Тейлора функции f будет сходиться в некотором интервале, в котором все ее производные ограничены и не растут слишком быстро при стремлении k к бесконечности. (Однако, даже если ряд Тейлора сходится, он может не сходиться к f , как объясняется ниже; в таком случае f называется неаналитическим . )

Можно вспомнить ряд Тейлора

$${\displaystyle f(x)\approx \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots }$$

бесконечно много раз дифференцируемой функции f  : R → R как ее "многочлен Тейлора бесконечного порядка" в точке a . Теперь оценки остатка подразумевают, что если для любого r известно , что производные функции f ограничены по ( a  −  r , a  +  r ), то для любого порядка k и для любого r  > 0 существует константа M _k,r > 0 такая, что

для каждого x  ∈ ( a  −  r , a  +  r ). Иногда константы M _k,r можно выбрать таким образом, что M _k,r ограничено сверху, для фиксированного r и всех k . Тогда ряд Тейлора функции f равномерно сходится к некоторой аналитической функции

$${\displaystyle {\begin{aligned}&T_{f}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&T_{f}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\left(x-a\right)^{k}\end{aligned}}}$$

(Сходимость также достигается, даже если M _k,r не ограничено сверху, при условии, что оно растет достаточно медленно.)

Предельная функция T _f по определению всегда аналитична, но она не обязательно равна исходной функции f , даже если f бесконечно дифференцируема. В этом случае мы говорим, что f является неаналитической гладкой функцией , например, плоской функцией :

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Повторно используя цепное правило методом математической индукции , можно показать, что для любого порядка  k ,

$${\displaystyle f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k}}}\cdot e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}}$$

для некоторого полинома p _k степени 2( k − 1). Функция стремится к нулю быстрее, чем любой полином как , поэтому f бесконечно много раз дифференцируема и f ^{( k )} (0) = 0 для каждого положительного целого числа k . Все вышеприведенные результаты справедливы в этом случае: ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}}$ ${\textstyle x\to 0}$

• Ряд Тейлора функции f равномерно сходится к нулевой функции T _f ( x ) = 0, которая является аналитической со всеми коэффициентами, равными нулю.
• Функция f не равна этому ряду Тейлора и, следовательно, неаналитична.
• Для любого порядка k  ∈  N и радиуса r  > 0 существует M _k,r  > 0, удовлетворяющее оценке остатка ( ★★ ) выше.

Однако по мере увеличения k при фиксированном r значение M _k,r растет быстрее, чем r ^k , и ошибка не стремится к нулю .

Теорема Тейлора в комплексном анализе

Теорема Тейлора обобщается на функции f  : C → C , которые являются комплексно дифференцируемыми в открытом подмножестве U  ⊂  C комплексной плоскости . Однако ее полезность затмевается другими общими теоремами комплексного анализа . А именно, более сильные версии связанных результатов могут быть выведены для комплексно дифференцируемых функций f  :  U  →  C с использованием интегральной формулы Коши следующим образом.

Пусть r  > 0, такой, что замкнутый круг B ( z ,  r ) ∪  S ( z ,  r ) содержится в U. Тогда интегральная формула Коши с положительной параметризацией γ ( t ) = z + re ^it окружности S ( z , r ) с дает ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw,\quad f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\,dw,\quad \ldots ,\quad f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,dw.}$$

Здесь все подынтегральные функции непрерывны на окружности S ( z ,  r ), что оправдывает дифференцирование под знаком интеграла. В частности, если f один раз комплексно дифференцируема на открытом множестве U , то она на самом деле бесконечно много раз комплексно дифференцируема на U . Также получаются оценки Коши ^[12]

$${\displaystyle |f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}}\,dw={\frac {k!M_{r}}{r^{k}}},\quad M_{r}=\max _{|w-c|=r}|f(w)|}$$

для любых z  ∈  U и r  > 0 таких, что B ( z ,  r ) ∪  S ( c ,  r ) ⊂  U. Эти оценки подразумевают, что комплексный ряд Тейлора

$${\displaystyle T_{f}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(c)}{k!}}(z-c)^{k}}$$

из f сходится равномерно на любом открытом круге с в некоторую функцию T _f . Кроме того, используя формулы контурного интеграла для производных f ^{( k )} ( c ), ${\textstyle B(c,r)\subset U}$ ${\textstyle S(c,r)\subset U}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{f}(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z-c)^{k}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{k+1}}}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z-c}{w-c}}\right)^{k}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\left({\frac {1}{1-{\frac {z-c}{w-c}}}}\right)\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw=f(z),\end{aligned}}}$$

поэтому любая комплексная дифференцируемая функция f в открытом множестве U  ⊂  C на самом деле является комплексной аналитической . Все, что здесь сказано для действительных аналитических функций, справедливо и для комплексных аналитических функций с заменой открытого интервала I на открытое подмножество U  ∈  C и a -центрированными интервалами ( a  −  r ,  a  +  r ) на c -центрированные диски B ( c ,  r ). В частности, разложение Тейлора справедливо в виде

$${\displaystyle f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),\quad P_{k}(z)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {f^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},}$$

где остаточный член R _k является комплексно-аналитическим. Методы комплексного анализа дают некоторые мощные результаты относительно разложений Тейлора. Например, используя интегральную формулу Коши для любой положительно ориентированной жордановой кривой , которая параметризует границу области , можно получить выражения для производных f ^{( j )} ( c ), как указано выше, и слегка изменив вычисление для T _f ( z ) = f ( z ) , можно прийти к точной формуле ${\textstyle \gamma }$ ${\textstyle \partial W\subset U}$ ${\textstyle W\subset U}$

$${\displaystyle R_{k}(z)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(z-c)^{j}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{j+1}}}\,dw={\frac {(z-c)^{k+1}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)\,dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)}},\qquad z\in W.}$$

Важной особенностью здесь является то, что качество аппроксимации полиномом Тейлора на области определяется значениями самой функции f на границе . Аналогично, применяя оценки Коши к выражению ряда для остатка, получаем равномерные оценки ${\textstyle W\subset U}$ ${\textstyle \partial W\subset U}$

$${\displaystyle |R_{k}(z)|\leq \sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {M_{r}|z-c|^{j}}{r^{j}}}={\frac {M_{r}}{r^{k+1}}}{\frac {|z-c|^{k+1}}{1-{\frac {|z-c|}{r}}}}\leq {\frac {M_{r}\beta ^{k+1}}{1-\beta }},\qquad {\frac {|z-c|}{r}}\leq \beta <1.}$$

Пример

Комплексный график . Модуль показан высотой, а аргумент — цветом: голубой =  , синий =  , фиолетовый =  , красный =  , желтый =  , зеленый =  . ${\textstyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{3}}}$ ${\textstyle {\frac {2\pi }{3}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle {\frac {4\pi }{3}}}$ ${\textstyle {\frac {5\pi }{3}}}$

Функция

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}}$$

является действительно аналитической , то есть локально определяется своим рядом Тейлора. Эта функция была построена выше, чтобы проиллюстрировать тот факт, что некоторые элементарные функции не могут быть аппроксимированы полиномами Тейлора в окрестностях центра расширения, которые слишком велики. Такое поведение легко понять в рамках комплексного анализа. А именно, функция f расширяется до мероморфной функции

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}\\&f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}\end{aligned}}}$$

на компактифицированной комплексной плоскости. Он имеет простые полюса в и , и он аналитичен в других местах. Теперь его ряд Тейлора с центром в z ₀ сходится на любом диске B ( z ₀ , r ) с r < | z  −  z ₀ |, где тот же ряд Тейлора сходится при z  ∈  C . Следовательно, ряд Тейлора функции f с центром в 0 сходится на B (0, 1) и не сходится ни для какого z ∈ C с | z | > 1 из-за полюсов в i и − i . По той же причине ряд Тейлора функции f с центром в 1 сходится на и не сходится ни для какого z  ∈  C с . ${\textstyle z=i}$ ${\textstyle z=-i}$ ${\textstyle B(1,{\sqrt {2}})}$ ${\textstyle \left\vert z-1\right\vert >{\sqrt {2}}}$

Обобщения теоремы Тейлора

Дифференцируемость высшего порядка

Функция f : R ⁿ → R дифференцируема в точке a ∈ R n ^тогда и только тогда, когда существуют линейный функционал L  : R ⁿ → R и функция h  : R ⁿ → R такие, что

$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+L({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+h({\boldsymbol {x}})\lVert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}\rVert ,\qquad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h({\boldsymbol {x}})=0.}$$

Если это так, то есть ( однозначно определенный) дифференциал f в точке a . Более того, тогда частные производные f существуют в a , а дифференциал f в a задается выражением ${\textstyle L=df({\boldsymbol {a}})}$

$${\displaystyle df({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {v}})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})v_{n}.}$$

Введение в многоиндексную нотацию

$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},\quad \alpha !=\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!,\quad {\boldsymbol {x}}^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}$$

для α ∈ N ⁿ и x ∈ R ⁿ . Если все частные производные -го порядка функции f  : R ⁿ → R непрерывны в точке a ∈ R ⁿ , то по теореме Клеро можно изменить порядок смешанных производных в точке a , поэтому запись ${\textstyle k}$

$${\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},\qquad |\alpha |\leq k}$$

для частных производных более высокого порядка оправдано в этой ситуации. То же самое верно, если все частные производные ( k − 1 )-го порядка функции f существуют в некоторой окрестности a и дифференцируемы в точке a . ^[13] Тогда мы говорим, что f является k раз дифференцируемой в точке  a .

Теорема Тейлора для многомерных функций

Используя обозначения предыдущего раздела, получаем следующую теорему.

Многомерная версия теоремы Тейлора ^[14]  —  Пусть f  : R ⁿ → R — k -кратно непрерывно дифференцируемая функция в точке a ∈ R ⁿ . Тогда существуют функции h _α  : R ⁿ → R , где такие, что ${\displaystyle |\alpha |=k,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha },\\&{\mbox{and}}\quad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})=0.\end{aligned}}}$$

Если функция f  : R ⁿ → R является k + 1 раз непрерывно дифференцируемой в замкнутом шаре для некоторого , то можно вывести точную формулу для остатка в терминах частных производных ( k +1 )-го порядка от f в этой окрестности. ^[15] А именно, ${\displaystyle B=\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:\left\|\mathbf {a} -\mathbf {y} \right\|\leq r\}}$ ${\displaystyle r>0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big )}\,dt.\end{aligned}}}$$

В этом случае в силу непрерывности частных производных ( k +1 )-го порядка в компактном множестве B сразу получаются равномерные оценки

$${\displaystyle \left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.}$$

Пример в двух измерениях

Например, полином Тейлора третьего порядка гладкой функции равен, обозначая , ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {v}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{}&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{2}}{2!}}\\&+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{2}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{3}}{3!}}\end{aligned}}}$$

Доказательства

Доказательство теоремы Тейлора с одной действительной переменной

Пусть ^[16]

$${\displaystyle h_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&x\not =a\\0&x=a\end{cases}}}$$

где, как и в формулировке теоремы Тейлора,

$${\displaystyle P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.}$$

Достаточно показать, что

$${\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}$$

Доказательство здесь основано на повторном применении правила Лопиталя . Обратите внимание, что для каждого , . Следовательно, каждая из первых производных числителя в обращается в нуль при , и то же самое верно для знаменателя. Кроме того, поскольку условие, что функция должна быть дифференцируема в точке, требует дифференцируемости вплоть до порядка в окрестности указанной точки (это верно, поскольку дифференцируемость требует, чтобы функция была определена во всей окрестности точки), числитель и его производные дифференцируемы в окрестности . Очевидно, что знаменатель также удовлетворяет указанному условию и, кроме того, не обращается в нуль, если , поэтому все условия, необходимые для правила Лопиталя, выполнены, и его использование оправдано. Так что ${\textstyle j=0,1,...,k-1}$ ${\displaystyle f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)}$ ${\textstyle k-1}$ ${\displaystyle h_{k}(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle k-1}$ ${\textstyle k-2}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x=a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d}{dx}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d}{dx}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&=\cdots \\[1ex]&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}{\frac {f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-P^{(k)}(a))=0\end{aligned}}}$$

где предпоследнее равенство следует из определения производной при . ${\textstyle x=a}$

Альтернативное доказательство теоремы Тейлора с одной действительной переменной

Пусть — любая непрерывная действительная функция, которую нужно аппроксимировать полиномом Тейлора. ${\displaystyle f(x)}$

Шаг 1: Пусть и будут функциями. Положим и будем ${\textstyle F}$ ${\textstyle G}$ ${\textstyle F}$ ${\textstyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x)=(x-a)^{n}\end{aligned}}}$$

Шаг 2: Свойства и : ${\textstyle F}$ ${\textstyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(a)&=f(a)-f(a)-f'(a)(a-a)-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)(a-a)^{n-1}}{(n-1)!}}=0\\G(a)&=(a-a)^{n}=0\end{aligned}}}$$

Сходным образом,

$${\displaystyle {\begin{aligned}F'(a)=f'(a)-f'(a)-{\frac {2f''(a)(a-a)}{1!}}-...-{\frac {f^{(n-2)}(a)(n-1)(a-a)^{n-2}}{(n-1)!}}=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G'(a)&=n(a-a)^{n-1}=0\\&\qquad \vdots \\G^{(n-1)}(a)&=F^{(n-1)}(a)=0\end{aligned}}}$$

Шаг 3: использование теоремы Коши о среднем значении

Пусть и будут непрерывными функциями на . Так как , то мы можем работать с интервалом . Пусть и будут дифференцируемы на . Предположим для всех . Тогда существует такое, что ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a<x<b}$ ${\displaystyle [a,x]}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle (a,x)}$ ${\displaystyle g_{1}'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x\in (a,b)}$ ${\displaystyle c_{1}\in (a,x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f_{1}(x)-f_{1}(a)}{g_{1}(x)-g_{1}(a)}}={\frac {f_{1}'(c_{1})}{g_{1}'(c_{1})}}\end{aligned}}}$$

Примечание: в и так ${\displaystyle G'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle F(a),G(a)=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}\end{aligned}}}$$

для некоторых . ${\displaystyle c_{1}\in (a,x)}$

Это также можно выполнить для : ${\displaystyle (a,c_{1})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}={\frac {F'(c_{1})-F'(a)}{G'(c_{1})-G'(a)}}={\frac {F''(c_{2})}{G''(c_{2})}}\end{aligned}}}$$

для некоторых . Это может быть продолжено до . ${\displaystyle c_{2}\in (a,c_{1})}$ ${\displaystyle c_{n}}$

Это дает раздел в : ${\displaystyle (a,b)}$

$${\displaystyle a<c_{n}<c_{n-1}<\dots <c_{1}<x}$$

с

$${\displaystyle {\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}=\dots ={\frac {F^{(n)}(c_{n})}{G^{(n)}(c_{n})}}.}$$

Набор : ${\displaystyle c=c_{n}}$

$${\displaystyle {\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}}$$

Шаг 4: Верните на место

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}{(x-a)^{n}}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}\end{aligned}}}$$

По правилу степеней, повторяющиеся производные от , , так что: ${\displaystyle (x-a)^{n}}$ ${\displaystyle G^{(n)}(c)=n(n-1)...1}$

$${\displaystyle {\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}={\frac {f^{(n)}(c)}{n(n-1)\cdots 1}}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}.}$$

Это приводит к:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}}.}$$

Переставляя, получаем:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}},}$$

или потому что в конечном итоге: ${\displaystyle c_{n}=a}$

$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.}$$

Вывод для форм среднего значения остатка

Пусть G — любая вещественная функция, непрерывная на замкнутом интервале между и и дифференцируемая с ненулевой производной на открытом интервале между и , и определим ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle F(t)=f(t)+f'(t)(x-t)+{\frac {f''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}.}$$

Для . Тогда, по теореме Коши о среднем значении , ${\displaystyle t\in [a,x]}$

для некоторых на открытом интервале между и . Обратите внимание, что здесь числитель — это в точности остаток полинома Тейлора для . Вычислить ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle F(x)-F(a)=R_{k}(x)}$ ${\textstyle y=f(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F'(t)={}&f'(t)+{\big (}f''(t)(x-t)-f'(t){\big )}+\left({\frac {f^{(3)}(t)}{2!}}(x-t)^{2}-{\frac {f^{(2)}(t)}{1!}}(x-t)\right)+\cdots \\&\cdots +\left({\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}-{\frac {f^{(k)}(t)}{(k-1)!}}(x-t)^{k-1}\right)={\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},\end{aligned}}}$$

вставьте его в ( ★★★ ) и переставьте члены, чтобы найти, что

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}.}$$

Это форма остаточного члена, упомянутая после фактического утверждения теоремы Тейлора с остатком в форме среднего значения. Форма Лагранжа остатка находится выбором , а форма Коши — выбором . ${\displaystyle G(t)=(x-t)^{k+1}}$ ${\displaystyle G(t)=t-a}$

Замечание. Используя этот метод, можно также восстановить интегральную форму остатка, выбрав

$${\displaystyle G(t)=\int _{a}^{t}{\frac {f^{(k+1)}(s)}{k!}}(x-s)^{k}\,ds,}$$

но требования к f, необходимые для использования теоремы о среднем значении, слишком сильны, если кто-то стремится доказать утверждение в случае, когда f ^{( k )} является только абсолютно непрерывным . Однако, если вместо интеграла Лебега использовать интеграл Римана , предположения не могут быть ослаблены.

Вывод для интегральной формы остатка

Ввиду абсолютной непрерывности на замкнутом интервале между и , ее производная существует как -функция, и мы можем использовать фундаментальную теорему исчисления и интегрирования по частям . Это же доказательство применимо к интегралу Римана, предполагая, что непрерывна на замкнутом интервале и дифференцируема на открытом интервале между и , и это приводит к тому же результату, что и при использовании теоремы о среднем значении . ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle f^{(k+1)}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$

Основная теорема исчисления гласит, что

$${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}\,f'(t)\,dt.}$$

Теперь мы можем интегрировать по частям и снова использовать основную теорему исчисления, чтобы увидеть, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\Big (}xf'(x)-af'(a){\Big )}-\int _{a}^{x}tf''(t)\,dt\\&=f(a)+x\left(f'(a)+\int _{a}^{x}f''(t)\,dt\right)-af'(a)-\int _{a}^{x}tf''(t)\,dt\\&=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{x}\,(x-t)f''(t)\,dt,\end{aligned}}}$$

что в точности является теоремой Тейлора с остатком в интегральной форме в случае . Общее утверждение доказывается с помощью индукции . Предположим, что ${\displaystyle k=1}$

Интегрируя оставшийся член по частям, приходим к

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt=&-\left[{\frac {f^{(k+1)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}\right]_{a}^{x}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}\,dt\\=&\ {\frac {f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)!}}(x-t)^{k+1}\,dt.\end{aligned}}}$$

Подстановка этого в формулу ( eq1 ) показывает, что если это справедливо для значения , то это также должно справедливо для значения . Следовательно, поскольку это справедливо для , это должно справедливо для каждого положительного целого числа . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k}$

Вывод остатка многомерных полиномов Тейлора

Мы доказываем частный случай, где имеет непрерывные частные производные вплоть до порядка в некотором замкнутом шаре с центром . Стратегия доказательства заключается в применении однопеременного случая теоремы Тейлора к ограничению на отрезок прямой, примыкающий к и . ^[17] Параметризуем отрезок прямой между и с помощью Мы применяем однопеременную версию теоремы Тейлора к функции : ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}(t)={\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})}$ ${\displaystyle g(t)=f({\boldsymbol {u}}(t))}$

$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=g(1)=g(0)+\sum _{j=1}^{k}{\frac {1}{j!}}g^{(j)}(0)\ +\ \int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{k}}{k!}}g^{(k+1)}(t)\,dt.}$$

Применение цепного правила для нескольких переменных дает

$${\displaystyle {\begin{aligned}g^{(j)}(t)&={\frac {d^{j}}{dt^{j}}}f({\boldsymbol {u}}(t))\\&={\frac {d^{j}}{dt^{j}}}f({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))\\&=\sum _{|\alpha |=j}\left({\begin{matrix}j\\\alpha \end{matrix}}\right)(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }\end{aligned}}}$$

где - коэффициент полинома . Поскольку , то получаем: ${\displaystyle {\tbinom {j}{\alpha }}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{j!}}{\tbinom {j}{\alpha }}={\tfrac {1}{\alpha !}}}$

$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+\sum _{1\leq |\alpha |\leq k}{\frac {1}{\alpha !}}(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k+1}{\frac {k+1}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }\int _{0}^{1}(1-t)^{k}(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))\,dt.}$$

Смотрите также

• Математический портал

• Лемма Адамара
• Ряд Лорана  – Степенной ряд с отрицательными степенями
• Аппроксимация Паде  – «наилучшее» приближение функции рациональной функцией заданного порядка.
• Ряд Ньютона  – Дискретный аналог производнойPages displaying short descriptions of redirect targets
• Теория приближений  – Теория получения приемлемо близких неточных математических вычислений.
• Аппроксимация функции  – Аппроксимация произвольной функции с помощью хорошо себя ведущей функции.

Сноски

1. (2013). «Линейная и квадратичная аппроксимация» Получено 6 декабря 2018 г.
2. Тейлор, Брук (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa [ Прямой и обратный методы приращения ] (на латыни). Лондон. п. 21–23 (т. VII, Фем. 3, Кор. 2).Перевод на английский язык: Struik, DJ (1969). A Source Book in Mathematics 1200–1800 . Кембридж, Массачусетс: Harvard University Press. С. 329–332.
3. Клайн 1972, стр. 442, 464.
4. Дженокки, Анджело; Пеано, Джузеппе (1884), Calcolo Differentziale e principii di Calcolo Integrale , (N. 67, стр. XVII–XIX): Fratelli Bocca ed.{{citation}}: CS1 maint: location (link)
5. Спивак, Майкл (1994), Calculus (3-е изд.), Хьюстон, Техас: Publish or Perish, стр. 383, ISBN 978-0-914098-89-8
6. "Формула Тейлора", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
7. Гипотеза о том, что f ( k ) непрерывна на ^{замкнутом интервале между} и не является избыточной . Хотя f является k + 1 раз  дифференцируемой на открытом интервале между и подразумевает, что f ^{( k )} непрерывна на открытом интервале между и , это не означает ^, что f ^{( k )} непрерывна на замкнутом интервале между и , т . е. это не означает, что f ( k ) непрерывна в конечных ^{точках этого} интервала . Рассмотрим , например, функцию f :  [0,1] → R, определенную как равную на и с . Она не непрерывна в 0 , но непрерывна на . Более того, можно показать, что эта функция имеет первообразную . Следовательно, эта первообразная дифференцируема на , ее производная ( функция f ) непрерывна на открытом интервале , но ее производная f не непрерывна на замкнутом интервале . Поэтому теорема в этом случае неприменима. ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle \sin(1/x)}$ ${\displaystyle (0,1]}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle [0,1]}$
8. Клайн 1998, §20.3; Апостол 1967, §7.7.
9. Апостол 1967, §7.7.
10. Апостол 1967, §7.5.
11. Апостол 1967, §7.6
12. Рудин 1987, §10.26
13. Это следует из итерационного применения теоремы о том, что если частные производные функции f существуют в окрестности a и непрерывны в a , то функция дифференцируема в a . См., например, Apostol 1974, теорема 12.11.
14. Кенигсбергский анализ 2, с. 64 и далее.
15. Фолланд, ГБ "Производные высшего порядка и формула Тейлора для нескольких переменных" (PDF) . Кафедра математики | Вашингтонский университет . Получено 21.02.2024 .
16. Штромберг 1981
17. Хёрмандер 1976, стр. 12–13.

Ссылки

• Апостол, Том (1967), Исчисление , Уайли, ISBN 0-471-00005-1.
• Апостол, Том (1974), Математический анализ , Эддисон–Уэсли.
• Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2011), Введение в реальный анализ (4-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-43331-6.
• Хёрмандер, Л. (1976), Линейные операторы с частными производными, Том 1 , Springer, ISBN 978-3-540-00662-6.
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древности до современности, Том 2 , Oxford University Press.
• Клайн, Моррис (1998), Исчисление: интуитивный и физический подход , Довер, ISBN 0-486-40453-6.
• Педрик, Джордж (1994), Первый курс анализа , Springer, ISBN 0-387-94108-8.
• Штромберг, Карл (1981), Введение в классический действительный анализ , Уодсворт, ISBN 978-0-534-98012-2.
• Рудин, Уолтер (1987), Действительный и комплексный анализ (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1.
• Тао, Теренс (2014), Анализ, Том I (3-е изд.), Hindustan Book Agency, ISBN 978-93-80250-64-9.
• Доказательство теоремы Тейлора (PDF) , Китайский университет Гонконга.

Внешние ссылки

• Теорема Тейлора в ProofWiki
• Приближение ряда Тейлора к косинусу в точке разрезания узла
• Интерактивный демонстрационный апплет тригонометрического разложения Тейлора
• Ряды Тейлора пересмотрены в Институте целостных численных методов