ряд Тейлора

Математическое приближение функции

По мере того, как степень полинома Тейлора возрастает, он приближается к правильной функции. На этом изображении показан sin x и его приближения Тейлора полиномами степени 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 и 13 при x = 0 .

В математике ряд Тейлора или разложение Тейлора функции представляет собой бесконечную сумму членов, которые выражаются через производные функции в одной точке. Для большинства общих функций функция и сумма ее ряда Тейлора равны вблизи этой точки. Ряды Тейлора названы в честь Брука Тейлора , который ввел их в 1715 году. Ряд Тейлора также называется рядом Маклорена , когда 0 — это точка, в которой рассматриваются производные, в честь Колина Маклорена , который широко использовал этот особый случай ряда Тейлора в 18 веке.

Частичная сумма , образованная первыми n + 1 членами ряда Тейлора, является многочленом степени n , который называется n-м многочленом Тейлора функции. Многочлены Тейлора являются приближениями функции, которые становятся, как правило, более точными с ростом n . Теорема Тейлора дает количественные оценки погрешности, вносимой использованием таких приближений. Если ряд Тейлора функции сходится , ее сумма является пределом бесконечной последовательности многочленов Тейлора. Функция может отличаться от суммы своего ряда Тейлора, даже если ее ряд Тейлора сходится. Функция является аналитической в ​​точке x , если она равна сумме своего ряда Тейлора в некотором открытом интервале (или открытом круге в комплексной плоскости ), содержащем x . Это означает, что функция является аналитической в ​​каждой точке интервала (или круга).

Определение

Ряд Тейлора действительной или комплекснозначной функции f  ( x ) , которая бесконечно дифференцируема при действительном или комплексном числе a , является степенным рядом Здесь n ! обозначает факториал n . Функция f ^{( n )} ( a ) обозначает n-ю производную f , вычисленную в точке a . Производная нулевого порядка от f определяется как сама f , а ( x − a ) 0 и ⁰ ! оба определяются как 1 . Этот ряд можно записать с использованием сигма-обозначения , как в формуле с правой стороны. ^[1] При a = 0 ряд Маклорена принимает вид: ^[2] $${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}$$ $${\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f'''(0)}{3!}}x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.}$$

Примеры

Ряд Тейлора любого многочлена — это сам многочлен.

Серия «Маклорен » ⁠1/1 − х⁠ — геометрическая прогрессия

$${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots .}$$

Итак, заменив x на 1 − x , получим ряд Тейлора ⁠1/х⁠ при a = 1 есть

$${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .}$$

Интегрируя приведенный выше ряд Маклорена, мы находим ряд Маклорена ln(1 − x ) , где ln обозначает натуральный логарифм :

$${\displaystyle -x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}-\cdots .}$$

Соответствующий ряд Тейлора для ln x при a = 1 равен

$${\displaystyle (x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,}$$

и в более общем случае соответствующий ряд Тейлора для ln x в произвольной ненулевой точке a имеет вид:

$${\displaystyle \ln a+{\frac {1}{a}}(x-a)-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+\cdots .}$$

Ряд Маклорена показательной функции e ^x равен

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\end{aligned}}}$$

Вышеприведенное разложение справедливо, поскольку производная e ^x по x также равна e ^x , а e ⁰ равно 1. Это оставляет члены ( x − 0) ⁿ в числителе и n ! в знаменателе каждого члена бесконечной суммы.

История

Древнегреческий философ Зенон Элейский рассматривал проблему суммирования бесконечного ряда для достижения конечного результата, но отверг ее как невозможную; ^[3] результатом стал парадокс Зенона . Позже Аристотель предложил философское решение парадокса, но математическое содержание, по-видимому, оставалось нерешенным, пока его не принял Архимед , как это было до Аристотеля досократиком-атомистом Демокритом . Именно с помощью метода исчерпывания Архимеда можно было выполнить бесконечное число прогрессивных подразделений для достижения конечного результата. ^[4] Лю Хуэй независимо использовал аналогичный метод несколько столетий спустя. ^[5]

В XIV веке самые ранние примеры конкретных рядов Тейлора (но не общего метода) были даны индийским математиком Мадхавой из Сангамаграмы . ^[6] Хотя никаких записей о его работе не сохранилось, труды его последователей в керальской школе астрономии и математики предполагают, что он нашел ряд Тейлора для тригонометрических функций синуса , косинуса и арктангенса (см. ряд Мадхавы ). В течение следующих двух столетий его последователи разработали дальнейшие разложения рядов и рациональные приближения.

В конце 1670 года Джеймсу Грегори в письме от Джона Коллинза было показано несколько рядов Маклорена ( ${\textstyle \sin x,}$ и ), полученных Исааком Ньютоном , и сказано, что Ньютон разработал общий метод разложения функций в ряды. Ньютон на самом деле использовал громоздкий метод, включающий длинное деление рядов и почленное интегрирование, но Грегори не знал об этом и решил открыть общий метод для себя. В начале 1671 года Грегори открыл что-то вроде общего ряда Маклорена и отправил письмо Коллинзу, включающее ряды для (интеграла ), ( интеграла sec , обратной функции Гудермана ) и (функции Гудермана). Однако, думая, что он просто переработал метод Ньютона, Грегори никогда не описывал, как он получил эти ряды, и можно только сделать вывод, что он понял общий метод, изучив черновики, которые он нацарапал на обороте другого письма от 1671 года. ^[7] ${\textstyle \cos x,}$ ${\textstyle \arcsin x,}$ ${\textstyle x\cot x}$ ${\textstyle \arctan x,}$ ${\textstyle \tan x,}$ ${\textstyle \sec x,}$ ${\textstyle \ln \,\sec x}$ ${\displaystyle \tan }$ ${\textstyle \ln \,\tan {\tfrac {1}{2}}{{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi +x{\bigr )}}}$ ${\textstyle \operatorname {arcsec} {\bigl (}{\sqrt {2}}e^{x}{\bigr )},}$ ${\textstyle 2\arctan e^{x}-{\tfrac {1}{2}}\pi }$

В 1691–1692 годах Исаак Ньютон записал явное изложение рядов Тейлора и Маклорена в неопубликованной версии своей работы De Quadratura Curvarum . Однако эта работа так и не была завершена, и соответствующие разделы были исключены из частей, опубликованных в 1704 году под названием Tractatus de Quadratura Curvarum .

Лишь в 1715 году Брук Тейлор ^[8] наконец опубликовал общий метод построения этих рядов для всех функций, для которых они существуют, в честь которого эти ряды теперь и названы.

Ряд Маклорена был назван в честь Колина Маклорена , шотландского математика, опубликовавшего частный случай результата Тейлора в середине XVIII века.

Аналитические функции

Функция e ^{(−1/ x 2 )} не является аналитической при x = 0 : ряд Тейлора тождественно равен 0, хотя функция таковой не является.

Если f  ( x ) задана сходящимся степенным рядом в открытом круге с центром в точке b в комплексной плоскости (или интервале на действительной прямой), говорят, что она аналитична в этой области. Таким образом, для x в этой области f задана сходящимся степенным рядом

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.}$$

Дифференцируя по x приведенную выше формулу n раз, а затем полагая x = b, получаем:

$${\displaystyle {\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}}$$

и поэтому разложение в степенной ряд согласуется с рядом Тейлора. Таким образом, функция является аналитической в ​​открытом круге с центром в точке b тогда и только тогда, когда ее ряд Тейлора сходится к значению функции в каждой точке круга.

Если f  ( x ) равна сумме своего ряда Тейлора для всех x в комплексной плоскости, она называется целой . Многочлены, экспоненциальная функция e ^x и тригонометрические функции синус и косинус являются примерами целых функций. Примерами функций, которые не являются целыми, являются квадратный корень , логарифм , тригонометрическая функция тангенс и ее обратная функция arctan . Для этих функций ряды Тейлора не сходятся, если x далеко от b . То есть ряд Тейлора расходится в точке x , если расстояние между x и b больше радиуса сходимости . Ряд Тейлора можно использовать для вычисления значения целой функции в каждой точке, если значение функции и всех ее производных известны в одной точке.

Использование ряда Тейлора для аналитических функций включает:

1. Частичные суммы ( полиномы Тейлора ) ряда могут быть использованы в качестве приближений функции. Эти приближения хороши, если включено достаточно много членов.
2. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов можно выполнять почленно, поэтому это особенно просто.
3. Аналитическая функция однозначно продолжается до голоморфной функции на открытом круге в комплексной плоскости . Это делает аппарат комплексного анализа доступным.
4. (Усеченный) ряд можно использовать для численного вычисления значений функции (часто путем преобразования полинома в форму Чебышева и его оценки с помощью алгоритма Кленшоу ).
5. Алгебраические операции могут быть легко выполнены на представлении степенного ряда; например, формула Эйлера следует из разложений в ряд Тейлора для тригонометрических и показательных функций. Этот результат имеет фундаментальное значение в таких областях, как гармонический анализ .
6. Приближения, использующие первые несколько членов ряда Тейлора, могут сделать возможными решения неразрешимых иным образом задач для ограниченной области; этот подход часто используется в физике.

Ошибка аппроксимации и сходимость

Функция синуса (синяя) хорошо аппроксимируется ее полиномом Тейлора степени 7 (розовая) для полного периода с центром в начале координат.

Полиномы Тейлора для ln(1 + x ) обеспечивают точные приближения только в диапазоне −1 < x ≤ 1. При x > 1 полиномы Тейлора более высокой степени обеспечивают худшие приближения.

Приближения Тейлора для ln(1 + x ) (черные). При x > 1 приближения расходятся.

На рисунке изображена точная аппроксимация sin x вокруг точки x = 0. Розовая кривая — это полином седьмой степени:

$${\displaystyle \sin {x}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!}$$

Погрешность этого приближения не превышает | x | ⁹  / 9! . Для полного цикла с центром в начале координат ( −π < x < π ) погрешность меньше 0,08215. В частности, для −1 < x < 1 погрешность меньше 0,000003.

Напротив, также показано изображение функции натурального логарифма ln(1 + x ) и некоторых ее полиномов Тейлора около a = 0. Эти приближения сходятся к функции только в области −1 < x ≤ 1 ; за пределами этой области полиномы Тейлора более высокой степени являются худшими приближениями для функции.

Ошибка , возникающая при аппроксимации функции ее полиномом Тейлора n -й степени, называется остатком или невязкой и обозначается функцией R _n ( x ) . Теорему Тейлора можно использовать для получения границы размера остатка .

В общем случае ряды Тейлора не обязательно должны сходиться . Фактически, множество функций со сходящимся рядом Тейлора является скудным множеством в пространстве Фреше гладких функций . Даже если ряд Тейлора функции f сходится, его предел не обязательно должен быть равен значению функции f  ( x ) . Например, функция

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0\\[3mu]0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

бесконечно дифференцируема при x = 0 и имеет там все производные, равные нулю. Следовательно, ряд Тейлора функции f  ( x ) около x = 0 тождественно равен нулю. Однако f  ( x ) не является нулевой функцией, поэтому не равна своему ряду Тейлора около начала координат. Таким образом, f  ( x ) является примером неаналитической гладкой функции .

В реальном анализе этот пример показывает, что существуют бесконечно дифференцируемые функции f  ( x ) , ряды Тейлора которых не равны f  ( x ), даже если они сходятся. Напротив, голоморфные функции, изучаемые в комплексном анализе, всегда обладают сходящимся рядом Тейлора, и даже ряд Тейлора мероморфных функций , которые могут иметь особенности, никогда не сходятся к значению, отличному от самой функции. Однако комплексная функция e ^{−1/ z 2} не стремится к 0, когда z стремится к 0 вдоль мнимой оси, поэтому она не является непрерывной в комплексной плоскости, и ее ряд Тейлора не определен в точке 0.

В более общем смысле, любая последовательность действительных или комплексных чисел может появляться как коэффициенты в ряде Тейлора бесконечно дифференцируемой функции, определенной на действительной прямой, следствие леммы Бореля . В результате радиус сходимости ряда Тейлора может быть равен нулю. Существуют даже бесконечно дифференцируемые функции, определенные на действительной прямой, ряды Тейлора которых имеют радиус сходимости 0 всюду. ^[9]

Функция не может быть записана в виде ряда Тейлора с центром в сингулярности ; в этих случаях часто все еще можно добиться разложения в ряд, если допустить также отрицательные степени переменной x ; см. ряд Лорана . Например, f  ( x ) = e ^{−1/ x 2} можно записать в виде ряда Лорана.

Обобщение

Обобщение ряда Тейлора сходится к значению самой функции для любой ограниченной непрерывной функции на (0,∞) , и это можно сделать, используя исчисление конечных разностей . В частности, следующая теорема, принадлежащая Эйнару Хилле , что для любого t > 0 , ^[10]

$${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).}$$

Здесь Δ^н
_чявляется n- м оператором конечной разности с шагом h . Ряд является в точности рядом Тейлора, за исключением того, что вместо дифференцирования появляются разделенные разности: ряд формально похож на ряд Ньютона . Когда функция f аналитична в точке a , члены ряда сходятся к членам ряда Тейлора и в этом смысле обобщают обычный ряд Тейлора.

В общем случае для любой бесконечной последовательности a _i справедливо следующее тождество степенного ряда:

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.}$$

Так, в частности,

$${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}}{j!}}.}$$

Ряд справа представляет собой ожидаемое значение f  ( a + X ) , где X — случайная величина, распределенная по закону Пуассона , которая принимает значение jh с вероятностью e ^{− t / h} · ⁠ ( т / ч ) ^дж/дж !⁠ . Следовательно,

$${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).}$$

Закон больших чисел подразумевает, что тождество выполняется. ^[11]

Список рядов Маклорена некоторых общих функций

Далее следует несколько важных расширений ряда Маклорена. Все эти расширения справедливы для комплексных аргументов x .

Экспоненциальная функция

Показательная функция e ^x (синего цвета) и сумма первых n + 1 членов ее ряда Тейлора в точке 0 (красного цвета).

Экспоненциальная функция (с основанием e ) имеет ряд Маклорена ^[12] ${\displaystyle e^{x}}$

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots .}$$Он сходится для всех x .

Экспоненциальная производящая функция чисел Белла является экспоненциальной функцией предшественника экспоненциальной функции:

$${\displaystyle \exp(\exp {x}-1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}$$

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм (с основанием e ) имеет ряд Маклорена ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}$$

Последняя серия известна как серия Меркатора , названная в честь Николаса Меркатора (так как она была опубликована в его трактате 1668 года Logarithmotechnia ). ^[14] Оба эти ряда сходятся при . (Кроме того, ряд для ln(1 − x ) сходится при x = −1 , а ряд для ln(1 + x ) сходится при x = 1 .) ^[13] ${\displaystyle |x|<1}$

Геометрический ряд

Геометрическая прогрессия и ее производные имеют ряды Маклорена

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}}$$

Все они сходятся для . Это частные случаи биномиального ряда, приведенные в следующем разделе. ${\displaystyle |x|<1}$

Биномиальный ряд

Биномиальный ряд — это степенной ряд

$${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}$$

коэффициенты которого являются обобщенными биномиальными коэффициентами ^[15]

$${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}$$

(Если n = 0 , это произведение является пустым произведением и имеет значение 1.) Оно сходится для любого действительного или комплексного числа α . ${\displaystyle |x|<1}$

Когда α = −1 , это по сути бесконечная геометрическая прогрессия, упомянутая в предыдущем разделе. Особые случаи α = ⁠1/2⁠ и α = − ⁠1/2⁠ дать функцию квадратного корня и ее обратную функцию : ^[16]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

Если оставить только линейный член , то это упрощается до биномиального приближения .

Тригонометрические функции

Обычные тригонометрические функции и их обратные функции имеют следующий ряд Маклорена: ^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}$$

Все углы выражены в радианах . Числа B _{k ,} появляющиеся в разложениях tan x, являются числами Бернулли . E _k в разложении sec x являются числами Эйлера . ^[18]

Гиперболические функции

Гиперболические функции имеют ряды Маклорена, тесно связанные с рядами для соответствующих тригонометрических функций: ^[19]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}}$$

Числа B _{k ,} появляющиеся в ряду для tanh x, являются числами Бернулли . ^[19]

Полилогарифмические функции

Полилогарифмы имеют следующие определяющие тождества :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}x^{n}\\{\text{Li}}_{3}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}x^{n}\end{aligned}}}$$

Хи-функции Лежандра определяются следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\\chi _{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$

А формулы, представленные ниже, называются обратными тангенсами интегралов :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ti}}_{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\{\text{Ti}}_{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$

В статистической термодинамике эти формулы имеют большое значение.

Эллиптические функции

Полные эллиптические интегралы первого рода K и второго рода E можно определить следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}K(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\\{\frac {2}{\pi }}E(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{(1-2n)16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\end{aligned}}}$$

Тета -функции Якоби описывают мир эллиптических модулярных функций и имеют следующие ряды Тейлора:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}\end{aligned}}}$$

Регулярная последовательность чисел раздела P(n) имеет следующую производящую функцию:

$${\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}}$$

Строгая последовательность чисел разбиения Q(n) имеет следующую производящую функцию:

$${\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}}$$

Расчет ряда Тейлора

Существует несколько методов вычисления ряда Тейлора большого числа функций. Можно попытаться использовать определение ряда Тейлора, хотя это часто требует обобщения формы коэффициентов в соответствии с легко очевидным шаблоном. В качестве альтернативы можно использовать такие манипуляции, как подстановка, умножение или деление, сложение или вычитание стандартных рядов Тейлора, чтобы построить ряд Тейлора функции, в силу того, что ряд Тейлора является степенным рядом. В некоторых случаях можно также вывести ряд Тейлора, многократно применяя интегрирование по частям . Особенно удобно использовать системы компьютерной алгебры для вычисления ряда Тейлора.

Первый пример

Чтобы вычислить полином Маклорена 7-й степени для функции

$${\displaystyle f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )},}$$

можно сначала переписать функцию как

$${\displaystyle f(x)={\ln }{\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )},}$$

композиция двух функций и ряд Тейлора для натурального логарифма (используя обозначение O большое ) ${\displaystyle x\mapsto \ln(1+x)}$ ${\displaystyle x\mapsto \cos x-1.}$

$${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+O{\left(x^{4}\right)}}$$

и для функции косинуса

$${\displaystyle \cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O{\left(x^{8}\right)}.}$$

Первые несколько членов второй серии можно подставить в каждый член первой серии. Поскольку первый член второй серии имеет степень 2, трех членов первой серии достаточно, чтобы получить полином 7-й степени:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+O{\left((\cos x-1)^{4}\right)}\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O{\left(x^{8}\right)}.\end{aligned}}\!}$$

Так как косинус — четная функция , то коэффициенты при всех нечетных степенях равны нулю.

Второй пример

Предположим, что нам нужен ряд Тейлора в точке 0 функции

$${\displaystyle g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}.\!}$$

Ряд Тейлора для показательной функции имеет вид

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots ,}$$

и ряд для косинуса:

$${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots .}$$

Предположим, что ряд для их частного равен

$${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots }$$

Умножая обе части на знаменатель и затем разлагая в ряд, получаем ${\displaystyle \cos x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\[5mu]&=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \end{aligned}}}$$

Сравнивая коэффициенты с коэффициентами ${\displaystyle g(x)\cos x}$ ${\displaystyle e^{x},}$

$${\displaystyle c_{0}=1,\ \ c_{1}=1,\ \ c_{2}-{\tfrac {1}{2}}c_{0}={\tfrac {1}{2}},\ \ c_{3}-{\tfrac {1}{2}}c_{1}={\tfrac {1}{6}},\ \ c_{4}-{\tfrac {1}{2}}c_{2}+{\tfrac {1}{24}}c_{0}={\tfrac {1}{24}},\ \ldots .}$$

Коэффициенты ряда для можно, таким образом, вычислять по одному, что равносильно делению ряда для и : ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle \cos x}$

$${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\tfrac {2}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{4}+\cdots .}$$

Третий пример

Здесь мы используем метод, называемый "косвенным расширением", чтобы разложить заданную функцию. Этот метод использует известное разложение Тейлора показательной функции. Чтобы разложить (1 + x ) e ^x в ряд Тейлора по x , мы используем известный ряд Тейлора функции e ^x :

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots .}$$

Таким образом,

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n!}}+{\frac {1}{(n-1)!}}\right)x^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

Ряды Тейлора как определения

Классически алгебраические функции определяются алгебраическим уравнением, а трансцендентные функции (включая рассмотренные выше) определяются некоторым свойством, которое для них выполняется, например, дифференциальным уравнением . Например, показательная функция — это функция, которая равна своей собственной производной всюду и принимает значение 1 в начале координат. Однако можно с таким же успехом определить аналитическую функцию ее рядом Тейлора.

Ряды Тейлора используются для определения функций и « операторов » в различных областях математики. В частности, это справедливо в областях, где классические определения функций не работают. Например, с помощью рядов Тейлора можно расширить аналитические функции до наборов матриц и операторов, таких как матричная экспонента или матричный логарифм .

В других областях, таких как формальный анализ, удобнее работать непосредственно с самими степенными рядами . Таким образом, можно определить решение дифференциального уравнения как степенной ряд, который, как можно надеяться доказать, является рядом Тейлора искомого решения.

Ряд Тейлора с несколькими переменными

Ряд Тейлора также может быть обобщен на функции более чем одной переменной с помощью ^[20]

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}}$$

Например, для функции , которая зависит от двух переменных x и y , ряд Тейлора второго порядка относительно точки ( a , b ) имеет вид ${\displaystyle f(x,y)}$

$${\displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}}$$

где нижние индексы обозначают соответствующие частные производные .

Ряд Тейлора второго порядка по нескольким переменным

Разложение в ряд Тейлора второго порядка скалярной функции более чем одной переменной можно записать компактно как

$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,}$$

где D f  ( a ) — градиент f, вычисленный при x = a , а D ² f  ( a ) — матрица Гессе . Применяя многоиндексную запись, ряд Тейлора для нескольких переменных становится

$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a} ),}$$

что следует понимать как еще более сокращенную многоиндексную версию первого уравнения этого параграфа, имеющую полную аналогию со случаем с одной переменной.

Пример

Аппроксимация ряда Тейлора второго порядка (оранжевый цвет) функции f  ( x , y ) = e ^x ln(1 + y ) вокруг начала координат.

Чтобы вычислить разложение в ряд Тейлора второго порядка вокруг точки ( a , b ) = (0, 0) функции $${\displaystyle f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),}$$

сначала вычисляются все необходимые частные производные:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}}\\[6pt]f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}}$$

Оценка этих производных в начале координат дает коэффициенты Тейлора

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\\f_{y}(0,0)&=1\\f_{xx}(0,0)&=0\\f_{yy}(0,0)&=-1\\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.\end{aligned}}}$$

Подставим эти значения в общую формулу

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)=&f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\\&{}+{\frac {1}{2!}}\left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)\right)+\cdots \end{aligned}}}$$

производит

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\big )}+\cdots \\&=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots \end{aligned}}}$$

Поскольку ln(1 + y ) аналитичен по | y | < 1 , то имеем

$${\displaystyle e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots ,\qquad |y|<1.}$$

Сравнение с рядом Фурье

Тригонометрический ряд Фурье позволяет выразить периодическую функцию (или функцию, определенную на замкнутом интервале [ a , b ] ) как бесконечную сумму тригонометрических функций ( синусов и косинусов ). В этом смысле ряд Фурье аналогичен ряду Тейлора, поскольку последний позволяет выразить функцию как бесконечную сумму степеней . Тем не менее, эти два ряда отличаются друг от друга в нескольких важных вопросах:

• Конечные усечения ряда Тейлора функции f  ( x ) около точки x = a все в точности равны f в a . Напротив, ряд Фурье вычисляется путем интегрирования по всему интервалу, поэтому, как правило, не существует такой точки, где все конечные усечения ряда являются точными.
• Вычисление ряда Тейлора требует знания функции на произвольной малой окрестности точки, тогда как вычисление ряда Фурье требует знания функции на всем интервале ее области определения . В определенном смысле можно сказать, что ряд Тейлора является «локальным», а ряд Фурье — «глобальным».
• Ряд Тейлора определяется для функции, которая имеет бесконечно много производных в одной точке, тогда как ряд Фурье определяется для любой интегрируемой функции . В частности, функция может быть нигде не дифференцируемой. (Например, f  ( x ) может быть функцией Вейерштрасса .)
• Сходимость обоих рядов имеет совершенно разные свойства. Даже если ряд Тейлора имеет положительный радиус сходимости, полученный ряд может не совпадать с функцией; но если функция аналитическая, то ряд сходится поточечно к функции и равномерно на каждом компактном подмножестве интервала сходимости. Что касается ряда Фурье, если функция квадратично интегрируема , то ряд сходится в квадратичном среднем , но для обеспечения поточечной или равномерной сходимости необходимы дополнительные требования (например, если функция периодическая и класса C ¹ , то сходимость равномерная).
• Наконец, на практике требуется аппроксимировать функцию конечным числом членов, скажем, полиномом Тейлора или частичной суммой тригонометрического ряда соответственно. В случае ряда Тейлора ошибка очень мала в окрестности точки, где она вычисляется, в то время как она может быть очень большой в отдаленной точке. В случае ряда Фурье ошибка распределена по области определения функции.

Смотрите также

• Математический портал

• Асимптотическое расширение
• Полином Ньютона
• Аппроксимация Паде – наилучшее приближение рациональной функцией
• Ряд Пюизё  – степенной ряд с рациональными показателями
• Теория приближения
• Аппроксимация функции

Примечания

1. Баннер 2007, стр. 530.
2. Томас и Финни 1996, см. §8.9.
3. Линдберг 2007, стр. 33.
4. Клайн 1990, стр. 35–37.
5. Бойер и Мерцбах 1991, стр. 202–203.
6. Дэни 2012.
7. • Тернбулл 1939, стр. 168–174
   • Рой 1990
   • Малет 1993
8. • Taylor 1715, стр. 21–23, см. Prop. VII, Thm. 3, Cor. 2. См. Struik 1969, стр. 329–332 для английского перевода и Bruce 2007 для повторного перевода.
   • Фейгенбаум 1985
9. Рудин 1980, стр. 418, см. Упражнение 13.
10. • Феллер 2003, стр. 230–232
    • Хилле и Филлипс 1957, стр. 300–327.
11. Феллер 2003, стр. 231.
12. Абрамовиц и Стигун 1970, стр. 69.
13. • Билодо, Ти и Кео 2010, стр. 252
    • Абрамовиц и Стигун 1970, стр. 15
14. Хофманн 1939.
15. Абрамовиц и Стигун 1970, стр. 14.
16. Абрамовиц и Стигун 1970, стр. 15.
17. Абрамовиц и Стигун 1970, стр. 75, 81.
18. Абрамовиц и Стигун 1970, стр. 75.
19. Абрамовиц и Стегун 1970, стр. 85.
20. • Хёрмандер 2002, см. формулу. 1.1.7 и 1.1.7'
    • Колк и Дуистермаат 2010, с. 59–63

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен А. (1970). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications . Девятое издание.
• Баннер, Адриан (2007). Спасатель исчисления: все инструменты, необходимые для преуспевания в исчислении. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13088-0.
• Билодо, Джеральд; Ти, Пол; Кио, GE (2010). Введение в анализ . Издательство Jones & Bartlett. ISBN 978-0-7637-7492-9.
• Бойер, К.; Мерцбах, У. (1991). История математики (2-е изд.). John Wiley and Sons. ISBN 0-471-09763-2.
• Брюс, Ян (2007). «Methodus Incrementorum Directa & Inversa]». 17 Centurymaths.com .
• Дэни, С.Г. (2012). «Древнеиндийская математика – Конспект». Резонанс . 17 (3): 236–246. дои : 10.1007/s12045-012-0022-y. S2CID  120553186.
• Фейгенбаум, Л. (1985). «Брук Тейлор и метод приращений». Архив истории точных наук . 34 (1–2): 1–140. doi :10.1007/bf00329903. S2CID  122105736.
• Феллер, Уильям (2003) [1971]. Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Том 2 (3-е изд.). Wiley. ISBN 9789971512989. OCLC  818811840.
• Гринберг, Майкл (1998). Advanced Engineering Mathematics (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-321431-1.
• Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1957). Функциональный анализ и полугруппы . Публикации AMS Colloquium. Том 31. Американское математическое общество.
• Хофманн, Йозеф Эренфрид (1939). «Об открытии логарифмического ряда и его развитии в Англии вплоть до Котса». National Mathematics Magazine . 14 (1): 33–45. doi :10.2307/3028095. JSTOR  3028095.
• Хермандер, Ларс (2002) [1990]. "1. Тестовые функции §1.1. Обзор дифференциального исчисления". Анализ операторов частных дифференциальных уравнений . Том 1 (2-е изд.). Springer. doi :10.1007/978-3-642-61497-2_2. ISBN 978-3-642-61497-2.
• Клайн, М. (1990). Математическая мысль от древности до современности . Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 0-19-506135-7.
• Kolk, Johan AC; Duistermaat, JJ (2010). "Разложение Тейлора по нескольким переменным". Распределения: Теория и приложения . Birkhauser. doi :10.1007/978-0-8176-4675-2_6. ISBN 978-0-8176-4672-1.
• Линдберг, Дэвид (2007). Начало западной науки (2-е изд.). Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-48205-7.
• Malet, Antoni (1993). «Джеймс Грегори о касательных и правиле «Тейлора» для разложений рядов». Архив истории точных наук . 46 (2): 97–137. doi :10.1007/BF00375656. JSTOR  41133959. S2CID  120101519.
• Рой, Ранджан (1990). «Открытие формулы ряда для π Лейбницем, Грегори и Нилакантой» (PDF) . Mathematics Magazine . 63 (5): 291–306. doi :10.1080/0025570X.1990.11977541. Архивировано из оригинала (PDF) 2023-03-14 . Получено 2023-02-18 .
• —— (2021) [2011]. Серии и продукты в развитии математики . Том 1 (2-е изд.). Cambridge University Press.
• Рудин, Уолтер (1980). Действительный и комплексный анализ . Нью-Дели: McGraw-Hill. ISBN 0-07-099557-5.
• Struik, DJ (1969). Справочник по математике 1200–1800. Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-82355-6.
• Тейлор, Брук (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa [ Прямой и обратный методы приращения ] (на латыни). Лондон.
• Томас, Джордж Б. младший; Финни, Росс Л. (1996). Исчисление и аналитическая геометрия (9-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-53174-7.
• Тернбулл, Герберт Уэстрэн, ред. (1939). Джеймс Грегори; Трехсотлетний мемориальный том . G. Bell & Sons.

Внешние ссылки

• «Ряд Тейлора», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Серия Тейлора». Математический мир .