Тетраэдр

Многогранник с четырьмя гранями

В геометрии тетраэдр ( мн. ч. : тетраэдры или тетраэдры ), также известный как треугольная пирамида , представляет собой многогранник, состоящий из четырёх треугольных граней , шести прямых рёбер и четырёх вершин . Тетраэдр является простейшим из всех обычных выпуклых многогранников . ^[1]

Тетраэдр является трехмерным случаем более общей концепции евклидова симплекса и поэтому может также называться 3-симплексом .

Тетраэдр — это один из видов пирамиды , представляющий собой многогранник с плоским многоугольным основанием и треугольными гранями, соединяющими основание с общей точкой. В случае тетраэдра основанием является треугольник ( любая из четырех граней может считаться основанием), поэтому тетраэдр также известен как «треугольная пирамида».

Как и все выпуклые многогранники , тетраэдр можно сложить из одного листа бумаги. Он имеет две такие развертки . ^[1]

Для любого тетраэдра существует сфера (называемая описанной сферой ), на которой лежат все четыре вершины, и еще одна сфера ( вписанная сфера ), касающаяся граней тетраэдра. ^[2]

Правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр — это тетраэдр, в котором все четыре грани являются равносторонними треугольниками . Другими словами, все его грани имеют одинаковый размер и форму (конгруэнтны), а все ребра имеют одинаковую длину. Выпуклый многогранник, в котором все его грани являются равносторонними треугольниками, называется дельтаэдром . Существует восемь выпуклых дельтаэдров, один из которых является правильным тетраэдром. ^[3]

Правильный тетраэдр также является одним из пяти правильных Платоновых тел , набора многогранников, в которых все их грани являются правильными многоугольниками . ^[4] Известное с античности, Платоново тело названо в честь греческого философа Платона , который связывал эти четыре тела с природой. Правильный тетраэдр считался классическим элементом огня , из-за его интерпретации его самого острого угла как наиболее проницательного. ^[5]

Правильный тетраэдр является самодвойственным, то есть его двойственным является другой правильный тетраэдр. Сложная фигура, включающая два таких двойственных тетраэдра, образует звездчатый октаэдр или звездчатый октаэдр . Его внутренняя часть является октаэдром , и соответственно, правильный октаэдр является результатом отрезания от правильного тетраэдра четырех правильных тетраэдров половинного линейного размера (т. е. спрямления тетраэдра).

Тетраэдр еще связан с двумя другими телами: При усечении тетраэдр становится усеченным тетраэдром . Двойственным к этому телу является триакистетраэдр , правильный тетраэдр с четырьмя треугольными пирамидами, прикрепленными к каждой из его граней. т.е. его клеетоп .

Правильные тетраэдры сами по себе не образуют мозаику (не заполняют пространство), но если их чередовать с правильными октаэдрами в соотношении два тетраэдра к одному октаэдру, они образуют чередующиеся кубические соты , которые являются мозаикой. Некоторые тетраэдры, которые не являются правильными, включая ортосхему Шлефли и тетраэдр Хилла , могут образовывать мозаику.

Измерение

3D модель правильного тетраэдра

Учитывая, что правильный тетраэдр с длиной ребра . Площадь поверхности правильного тетраэдра в четыре раза больше площади равностороннего треугольника: ^[6] Высота правильного тетраэдра равна . ^[7] Объем правильного тетраэдра можно определить аналогично другим пирамидам: треть основания и его высота. Поскольку основание является равносторонним, оно равно: ^[6] Его объем также можно получить, разрезав куб на три части. ^[8] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=4\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\right)=a^{2}{\sqrt {3}}\approx 1.732a^{2}.}$$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {6}}{3}}a}$ $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\right)\cdot {\frac {\sqrt {6}}{3}}a={\frac {a^{3}}{6{\sqrt {2}}}}\approx 0.118a^{3}.}$$

Его двугранный угол — угол между двумя плоскостями — и его угол между линиями из центра правильного тетраэдра между двумя вершинами ^[a] соответственно: ^[9] $${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)&=\arctan \left(2{\sqrt {2}}\right)\approx 70.529^{\circ },\\\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&=2\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 109.471^{\circ }.\end{aligned}}}$$

Правильный тетраэдр ABCD и описанная им сфера

Радиусы его описанной сферы , вписанной сферы , средней сферы и внешной сферы равны: ^[6] Для правильного тетраэдра с длиной стороны , радиусом описанной сферы и расстояниями от произвольной точки в трехмерном пространстве до его четырех вершин это: ^[10] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {M} }}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {E} }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}R={\frac {\sqrt {6}}{4}}a,&\qquad r={\frac {1}{3}}R={\frac {a}{\sqrt {24}}},\\r_{\mathrm {M} }={\sqrt {rR}}={\frac {a}{\sqrt {8}}},&\qquad r_{\mathrm {E} }={\frac {a}{\sqrt {6}}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d_{i}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+{\frac {16R^{4}}{9}}&=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2},\\4\left(a^{4}+d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}\right)&=\left(a^{2}+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

По отношению к плоскости основания наклон грани (2 √ 2 ) вдвое больше, чем у ребра ( √ 2 ), что соответствует тому факту, что горизонтальное расстояние, пройденное от основания до вершины вдоль ребра, вдвое больше, чем по медиане грани . Другими словами, если C — центроид основания, то расстояние от C до вершины основания вдвое больше, чем от C до середины ребра основания. Это следует из того факта, что медианы треугольника пересекаются в его центроиде, и эта точка делит каждую из них на два отрезка, один из которых вдвое длиннее другого (см. доказательство ).

Его телесный угол при вершине, опирающейся на грань, равен приблизительно 0,55129 стерадиана , 1809,8 квадратных градусов или 0,04387 спата . $${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-3\arcsin \left({\frac {1}{3}}\right)\\&=3\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)-\pi \end{aligned}}}$$

Декартовы координаты

Один из способов построения правильного тетраэдра — использование следующих декартовых координат , определяющих четыре вершины тетраэдра с длиной ребра 2, центром в начале координат и двухуровневыми ребрами: $${\displaystyle \left(\pm 1,0,-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad \left(0,\pm 1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$$

Симметрично выраженные в виде 4 точек на единичной сфере , с центром тяжести в начале координат, с нижней гранью, параллельной плоскости , вершины имеют вид: с длиной ребра . ${\displaystyle xy}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\sqrt {\frac {8}{9}}},0,-{\frac {1}{3}}\right),&\quad \left(-{\sqrt {\frac {2}{9}}},{\sqrt {\frac {2}{3}}},-{\frac {1}{3}}\right),\\\left(-{\sqrt {\frac {2}{9}}},-{\sqrt {\frac {2}{3}}},-{\frac {1}{3}}\right),&\quad (0,0,1)\end{aligned}}}$$ ${\textstyle {\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}}$

Правильный тетраэдр можно вложить в куб двумя способами так, чтобы каждая вершина была вершиной куба, а каждое ребро — диагональю одной из граней куба. Для одного такого вложения декартовы координаты вершин равны Это дает тетраэдр с длиной ребра , центрированный в начале координат. Для другого тетраэдра (который является двойственным к первому) поменяйте все знаки. Объединенные вершины этих двух тетраэдров являются вершинами куба, демонстрируя, что правильный тетраэдр — это 3- демикуб , многогранник, который является чередованием куба. Эта форма имеет диаграмму Коксетера $${\displaystyle {\begin{aligned}(1,1,1),&\quad (1,-1,-1),\\(-1,1,-1),&\quad (-1,-1,1).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$ и символ Шлефли . ${\displaystyle \mathrm {h} \{4,3\}}$

Симметрия

Куб и тетраэдр

Вершины куба можно сгруппировать в две группы по четыре, каждая из которых образует правильный тетраэдр, показывая один из двух тетраэдров в кубе. Симметрии правильного тетраэдра соответствуют половине симметрий куба: те, которые отображают тетраэдры в себя, а не друг в друга. Тетраэдр — единственное Платоново тело, которое не отображается в себя инверсией точек .

Собственные вращения (вращение порядка 3 на вершине и грани и порядка 2 на двух ребрах) и плоскость отражения (через две грани и одно ребро) в группе симметрии правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр имеет 24 изометрии, образуя группу симметрии, известную как полная тетраэдрическая симметрия . Эта группа симметрии изоморфна симметрической группе . Их можно классифицировать следующим образом: ${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle S_{4}}$

• Он имеет вращательную тетраэдрическую симметрию . Эта симметрия изоморфна знакопеременной группе — тождественному и 11 собственным вращениям — со следующими классами сопряженности (в скобках даны перестановки вершин или, соответственно, граней и единичное кватернионное представление ): ${\displaystyle \mathrm {T} }$ ${\displaystyle A_{4}}$
  • идентичность (идентичность; 1)
  • вращение вокруг оси, проходящей через вершину, перпендикулярной к противоположной плоскости, на угол ±120°: 4 оси, по 2 на ось, вместе 8 ((1 2 3) и т. д.; ⁠1 ± и ± дж ± к/2⁠ )
  • поворот на угол 180° таким образом, что ребро отображается на противоположное ребро: 3 ((1 2)(3 4) и т.д.; i , j , k )
• отражения в плоскости, перпендикулярной ребру: 6
• отражения в плоскости в сочетании с поворотом на 90° вокруг оси, перпендикулярной плоскости: 3 оси, по 2 на ось, всего 6; эквивалентно, это повороты на 90° в сочетании с инверсией ( x отображается в − x ): повороты соответствуют поворотам куба вокруг осей, расположенных лицом к лицу

Ортогональные проекции правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр имеет две специальные ортогональные проекции , одна из которых центрирована на вершине или, что эквивалентно, на грани, а другая центрирована на ребре. Первая соответствует плоскости Коксетера A ₂ .

Поперечное сечение правильного тетраэдра

Центральное сечение правильного тетраэдра представляет собой квадрат .

Два перекрещивающихся перпендикулярных противоположных ребра правильного тетраэдра определяют набор параллельных плоскостей. Когда одна из этих плоскостей пересекает тетраэдр, результирующее поперечное сечение представляет собой прямоугольник . [ ^11] Когда пересекающая плоскость находится вблизи одного из ребер, прямоугольник длинный и узкий. Когда он находится на полпути между двумя ребрами, пересечение представляет собой квадрат . Соотношение сторон прямоугольника меняется на противоположное, когда вы проходите эту среднюю точку. Для пересечения квадрата в средней точке результирующая граничная линия пересекает каждую грань тетраэдра аналогичным образом. Если тетраэдр разделить пополам на этой плоскости, обе половины становятся клиньями .

Тетрагональный двуклиноид, рассматриваемый ортогонально двум зеленым ребрам.

Это свойство применимо также к тетрагональным двуклиноидам при применении к двум специальным парам ребер.

Сферическая мозаика

Тетраэдр также может быть представлен в виде сферической мозаики и спроецирован на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является конформной , сохраняющей углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются как дуги окружностей на плоскость.

Спиральная укладка

Одиночная 30-тетраэдрическая кольцевая спираль Бурдейка-Коксетера внутри 600-ячеечной структуры , видимая в стереографической проекции

Правильные тетраэдры можно сложить лицом к лицу в хиральную апериодическую цепь, называемую спиралью Бурдейка–Коксетера .

В четырех измерениях все выпуклые правильные 4-мерные многогранники с тетраэдрическими ячейками ( 5-ячеечные , 16-ячеечные и 600-ячеечные ) могут быть построены как мозаики 3-мерной сферы с помощью этих цепей, которые становятся периодическими в трехмерном пространстве граничной поверхности 4-мерного многогранника.

Неправильные тетраэдры

Тетраэдры, не имеющие четырех равносторонних граней, классифицируются и именуются в соответствии с имеющимися у них симметриями.

Если все три пары противоположных рёбер тетраэдра перпендикулярны , то он называется ортоцентрическим тетраэдром . Когда перпендикулярна только одна пара противоположных рёбер, он называется полуортоцентрическим тетраэдром .

Изодинамический тетраэдр — это тетраэдр, в котором чевианы , соединяющие вершины с инцентрами противоположных граней, совпадают .

Изогонический тетраэдр имеет совпадающие чевианы, которые соединяют вершины с точками контакта противоположных граней с вписанной сферой тетраэдра.

Трехпрямоугольный тетраэдр

Рисунок Кеплера, изображающий правильный тетраэдр, вписанный в куб, и один из четырех окружающих его трипрямоугольных тетраэдров, заполняющих куб.

В трипрямоугольном тетраэдре три угла грани при одной вершине являются прямыми углами , как в углу куба.

Кеплер открыл связь между кубом, правильным тетраэдром и трипрямоугольным тетраэдром. ^[12]

Дисфеноид

Заполняющий пространство тетраэдрический двуклиноид внутри куба. Два ребра имеют двугранные углы 90°, а четыре ребра имеют двугранные углы 60°.

Дисфеноид — это тетраэдр с четырьмя конгруэнтными треугольниками в качестве граней; треугольники обязательно имеют все острые углы. Правильный тетраэдр — это частный случай дисфеноида. Другие названия для той же формы включают бисфеноид, равнобедренный тетраэдр и равносторонний тетраэдр.

Ортосхемы

Куб, разрезанным на шесть характерных ортосхем.

3-ортосхема — это тетраэдр, все четыре грани которого — прямоугольные треугольники . 3-ортосхема не является дисфеноидом, поскольку его противоположные ребра не имеют одинаковой длины. Невозможно построить дисфеноид с гранями в виде прямоугольных треугольников или тупоугольных треугольников.

Ортосхема — это неправильный симплекс , который является выпуклой оболочкой дерева , в котором все ребра взаимно перпендикулярны. В 3-мерной ортосхеме дерево состоит из трех перпендикулярных ребер, соединяющих все четыре вершины в линейном пути, который делает два прямоугольных поворота. 3-ортосхема — это тетраэдр, имеющий два прямых угла в каждой из двух вершин, поэтому другое его название — бипрямоугольный тетраэдр . Его также называют квадрипрямоугольным тетраэдром, потому что он содержит четыре прямых угла. ^[13]

Коксетер также называет четырехпрямоугольные тетраэдры «характеристическими тетраэдрами» из-за их интегральной связи с правильными многогранниками и их группами симметрии. ^[14] Например, особый случай 3-ортосхемы с перпендикулярными ребрами одинаковой длины характерен для куба , что означает, что куб можно разбить на экземпляры этой ортосхемы. Если его три перпендикулярных ребра имеют единичную длину, его оставшиеся ребра имеют длину √ 2 и одно — длину √ 3 , поэтому все его ребра являются ребрами или диагоналями куба. Кубможно разбить на шесть таких 3-ортосхемчетырьмя различными способами, причем все шесть окружают одну и ту же диагональ куба √ 3. Куб также можно разрезать на 48 меньших экземпляров этой же характерной 3-ортосхемы (только одним способом, всеми его плоскостями симметрии одновременно). Характерный тетраэдр куба является примером геронова тетраэдра .

Каждый правильный многогранник, включая правильный тетраэдр, имеет свою характерную ортосхему . Существует 3-ортосхема, которая является «характеристическим тетраэдром правильного тетраэдра». Правильный тетраэдрподразделяется на 24 экземпляра своего характерного тетраэдраего плоскостями симметрии. 24 характерных тетраэдра правильного тетраэдра встречаются в двух зеркальных формах, по 12 в каждой.

Если правильный тетраэдр имеет длину ребра 𝒍 = 2, шесть ребер его характеристического тетраэдра имеют длины , , вокруг его внешней прямоугольной грани (ребра, противоположные характеристическим углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[b] плюс , , (ребра, являющиеся характеристическими радиусами правильного тетраэдра). Путь из 3 ребер вдоль ортогональных ребер ортосхемы — это , , , сначала от вершины тетраэдра к центру ребра тетраэдра, затем поворот на 90° к центру грани тетраэдра, затем поворот на 90° к центру тетраэдра. Ортосхема имеет четыре разнородные прямоугольные треугольные грани. Внешняя грань — треугольник 60-90-30, который составляет одну шестую грани тетраэдра. Три грани внутри тетраэдра: прямоугольный треугольник с ребрами , , , прямоугольный треугольник с ребрами , , , и прямоугольный треугольник с ребрами , , . ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$

Тетраэдры, заполняющие пространство

Заполняющий пространство тетраэдр упакован непосредственно конгруэнтными или энантиоморфными ( зеркальными изображениями ) копиями самого себя в мозаичное пространство. ^[16] Куб можно разбить на шесть 3-ортосхем, три левосторонних и три правосторонних (по одной на каждой грани куба), и кубы могут заполнять пространство, поэтому характерная 3-ортосхема куба является заполняющим пространство тетраэдром в этом смысле. (Характерная ортосхема куба является одним из тетраэдров Хилла , семейства заполняющих пространство тетраэдров. Все заполняющие пространство тетраэдры являются ножницеобразно конгруэнтными кубу.)

Дисфеноид может быть заполняющим пространство тетраэдром в прямом смысле конгруэнтности, как в дисфеноидных тетраэдрических сотах . Правильные тетраэдры, однако, не могут заполнять пространство сами по себе (более того, они не являются ножницеобразно-конгруэнтными ни одному другому многограннику, который может заполнять пространство, см. третью проблему Гильберта ). Тетраэдрально-октаэдрические соты заполняют пространство чередующимися ячейками правильных тетраэдров и ячейками правильных октаэдров в соотношении 2:1.

Фундаментальные домены

Для евклидова 3-пространства существует 3 простых и связанных тетраэдра Гурса. Их можно рассматривать как точки на кубе и внутри него.

Неправильный тетраэдр, который является фундаментальной областью ^[17] группы симметрии , является примером тетраэдра Гурса . Тетраэдры Гурса генерируют все правильные многогранники (и многие другие однородные многогранники) путем зеркальных отражений, процесс, называемый калейдоскопическим построением Витхоффа .

Для многогранников конструкция Витхоффа располагает три зеркала под углом друг к другу, как в калейдоскопе . В отличие от цилиндрического калейдоскопа, зеркала Витхоффа расположены на трех гранях тетраэдра Гурса таким образом, что все три зеркала пересекаются в одной точке. ( Диаграмма Коксетера-Дынкина сгенерированного многогранника содержит три узла, представляющих три зеркала. Двугранный угол между каждой парой зеркал закодирован в диаграмме, как и местоположение одной генерирующей точки , которая умножается на зеркальные отражения в вершинах многогранника.)

Среди тетраэдров Гурса, которые генерируют трехмерные соты , мы можем распознать ортосхему (характерный тетраэдр куба), двойную ортосхему (характерный тетраэдр куба, гранью связанный со своим зеркальным изображением), и заполняющий пространство дисфеноид, изображенный выше. ^[14] Дисфеноид является двойной ортосхемой, гранью связанной со своим зеркальным изображением (четверная ортосхема). Таким образом, все три этих тетраэдра Гурса и все многогранники, которые они генерируют путем отражений, могут быть разложены на характерные тетраэдры куба .

Изометрии неправильных тетраэдров

Изометрии неправильного (неотмеченного) тетраэдра зависят от геометрии тетраэдра, возможны 7 случаев. В каждом случае образуется 3-мерная точечная группа . Две другие изометрии (C ₃ , [3] ⁺ ) и (S ₄ , [2 ⁺ ,4 ⁺ ]) могут существовать, если включена маркировка грани или ребра. Ниже приведены тетраэдрические диаграммы для каждого типа с ребрами, окрашенными изометрической эквивалентностью, и серым цветом для уникальных ребер.

Подразделение и классы подобия

Подразделение тетраэдра — это процесс, используемый в вычислительной геометрии и 3D-моделировании для деления тетраэдра на несколько меньших тетраэдров. Этот процесс повышает сложность и детализацию тетраэдральных сеток, что особенно полезно в численном моделировании, анализе конечных элементов и компьютерной графике. Одним из часто используемых методов подразделения является метод бисекции самого длинного ребра (LEB) , который определяет самое длинное ребро тетраэдра и делит его пополам в его средней точке, создавая два новых меньших тетраэдра. Когда этот процесс повторяется несколько раз, деля пополам все тетраэдры, созданные в каждой предыдущей итерации, процесс называется итеративным LEB.

Класс подобия — это набор тетраэдров с одинаковой геометрической формой, независимо от их конкретного положения, ориентации и масштаба. Таким образом, любые два тетраэдра, принадлежащие к одному и тому же классу подобия, могут быть преобразованы друг в друга с помощью аффинного преобразования. Результат наличия ограниченного числа классов подобия в методах итеративного подразделения имеет важное значение для вычислительного моделирования и имитации. Он уменьшает изменчивость форм и размеров генерируемых тетраэдров, предотвращая образование крайне нерегулярных элементов, которые могут поставить под угрозу результаты моделирования.

Было показано, что итеративный LEB правильного тетраэдра производит только 8 классов подобия. Более того, в случае почти равносторонних тетраэдров, где их два самых длинных ребра не соединены друг с другом, а соотношение между их самым длинным и самым коротким ребром меньше или равно , итеративный LEB производит не более 37 классов подобия. ^[18] ${\displaystyle {\sqrt {3/2}}}$

Общие свойства

Объем

Объем тетраэдра можно получить многими способами. Его можно получить, используя формулу объема пирамиды: где - площадь основания , а - высота от основания до вершины. Это применимо для каждого из четырех вариантов основания, поэтому расстояния от вершин до противоположных граней обратно пропорциональны площадям этих граней. Другой способ - разрезать треугольную призму на три части. ^[19] $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Ah.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h}$

Учитывая вершины тетраэдра в следующем: Объем тетраэдра может быть установлен в терминах определителя , ^[20] или любой другой комбинации пар вершин, которые образуют односвязный граф . Сравнивая эту формулу с той, которая используется для вычисления объема параллелепипеда , мы заключаем, что объем тетраэдра равен ⁠ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=(a_{1},a_{2},a_{3}),\\\mathbf {b} &=(b_{1},b_{2},b_{3}),\\\mathbf {c} &=(c_{1},c_{2},c_{3}),\\\mathbf {d} &=(d_{1},d_{2},d_{3}).\end{aligned}}}$$ ${\textstyle {\frac {1}{6}}\det(\mathbf {a} -\mathbf {d} ,\mathbf {b} -\mathbf {d} ,\mathbf {c} -\mathbf {d} )}$1/6⁠ объема любого параллелепипеда, имеющего с ним три общих сходящихся ребра.

Абсолютное значение скалярного тройного произведения можно представить в виде следующих абсолютных значений определителей:

${\displaystyle 6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{Vmatrix}}}$ или где выражены как векторы строк или столбцов.  ${\displaystyle 6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{Vmatrix}}}$   ${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\\\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3}),\\\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3}),\end{cases}}}$ 

Следовательно

${\displaystyle 36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}}$ где  ${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma },\\\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos {\alpha },\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos {\beta }.\end{cases}}}$

где , , и , что дает ${\displaystyle a={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} \end{Vmatrix}}}$ ${\displaystyle b={\begin{Vmatrix}\mathbf {b} \end{Vmatrix}}}$ ${\displaystyle c={\begin{Vmatrix}\mathbf {c} \end{Vmatrix}}}$

${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,}$

где α , β , γ — углы плоскости, возникающие в вершине d . Угол α — это угол между двумя ребрами, соединяющими вершину d с вершинами b и c . Угол β делает это для вершин a и c , тогда как γ определяется положением вершин a и b .

Если мы не требуем, чтобы d = 0, то

${\displaystyle 6\cdot V=\left|\det \left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\1&1&1&1\end{matrix}}\right)\right|\,.}$

Зная расстояния между вершинами тетраэдра, объем можно вычислить с помощью определителя Кэли–Менгера :

${\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}}$

где индексы i , j ∈ {1, 2, 3, 4} представляют вершины { a , b , c , d } и d _ij — попарное расстояние между ними, т. е. длина ребра, соединяющего две вершины. Отрицательное значение определителя означает, что тетраэдр не может быть построен с заданными расстояниями. Эта формула, иногда называемая формулой Тартальи , по сути, принадлежит художнику Пьеро делла Франческа в 15 веке как трехмерный аналог формулы Герона 1 века для площади треугольника. ^[21]

Пусть , , и будут длинами трех ребер, которые сходятся в точке, а , , и будут длинами противоположных ребер. Объем тетраэдра равен: ^[22] где В приведенной выше формуле используются шесть длин ребер, а в следующей формуле используются три длины ребер и три угла. ^[22] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}-c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2},\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}}}$$

Шесть длин ребер Тетраэдра

Объем тетраэдра можно определить с помощью формулы Герона. Предположим , что , , , . , и являются длинами ребер тетраэдра, как на следующем изображении. Здесь первые три образуют треугольник с противолежащим , противолежащим , и противолежащим . Тогда, где и ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-p+q+r+s)\,(p-q+r+s)\,(p+q-r+s)\,(p+q+r-s)}}{192\,u\,v\,w}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p={\sqrt {xYZ}},&\quad q={\sqrt {yZX}},\\r={\sqrt {zXY}},&\quad s={\sqrt {xyz}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X=(w-U+v)(U+v+w),&\quad x=(U-v+w)(v-w+U),\\Y=(u-V+w)(V+w+u),&\quad y=(V-w+u)(w-u+V),\\Z=(v-W+u)(W+u+v),&\quad z=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$$

Любая плоскость, содержащая бимедиану (соединительную линию середин противоположных рёбер) тетраэдра, делит объём тетраэдра пополам. ^[23]

Для тетраэдров в гиперболическом пространстве или в трехмерной эллиптической геометрии двугранные углы тетраэдра определяют его форму и, следовательно, его объем. В этих случаях объем задается формулой Мураками–Яно , в честь Джуна Мураками и Масакадзу Яно. ^[24] Однако в евклидовом пространстве масштабирование тетраэдра изменяет его объем, но не его двугранные углы, поэтому такой формулы не может существовать.

Любые два противоположных ребра тетраэдра лежат на двух скрещивающихся прямых , а расстояние между ребрами определяется как расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Пусть будет расстоянием между скрещивающимися прямыми, образованными противоположными ребрами и как вычислено здесь . Тогда другая формула для объема тетраэдра задается как ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {b} -\mathbf {c} }$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} )|}{6}}.}$$

Свойства, аналогичные свойствам треугольника

Тетраэдр имеет много свойств, аналогичных свойствам треугольника, включая вписанную сферу, описанную сферу, срединный тетраэдр и внесферы. Он имеет соответствующие центры, такие как инцентр, описанный центр, вневписанные центры, центр Шпикера и точки, такие как центроид. Однако, как правило, нет ортоцентра в смысле пересекающихся высот. ^[25]

Гаспар Монж нашел центр, который существует в каждом тетраэдре, теперь известный как точка Монжа : точка, где пересекаются шесть средних плоскостей тетраэдра. Средняя плоскость определяется как плоскость, которая ортогональна ребру, соединяющему любые две вершины, которое также содержит центроид противоположного ребра, образованного соединением двух других вершин. Если высоты тетраэдра пересекаются, то точка Монжа и ортоцентр совпадают, давая класс ортоцентрического тетраэдра .

Ортогональная линия, опущенная из точки Монжа на любую грань, пересекает эту грань в средней точке отрезка между ортоцентром этой грани и основанием высоты, опущенной из противоположной вершины.

Отрезок прямой, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называется медианой , а отрезок прямой, соединяющий середины двух противоположных ребер, называется бимедианой тетраэдра. Следовательно, в тетраэдре четыре медианы и три бимедианы. Все эти семь отрезков пересекаются в точке, называемой центроидом тетраэдра. ^[26] Кроме того, четыре медианы делятся в соотношении 3:1 центроидом (см. теорему Коммандино ). Центроид тетраэдра — это середина между его точкой Монжа и центром описанной окружности. Эти точки определяют линию Эйлера тетраэдра, которая аналогична линии Эйлера треугольника.

Окружность девяти точек общего треугольника имеет аналог в описанной сфере срединного тетраэдра тетраэдра. Это сфера из двенадцати точек , и помимо центроидов четырех граней опорного тетраэдра, она проходит через четыре замещающие точки Эйлера , на расстоянии одной трети пути от точки Монжа к каждой из четырех вершин. Наконец, она проходит через четыре базовые точки ортогональных линий, опущенных из каждой точки Эйлера к грани, не содержащей вершину, которая породила точку Эйлера. ^[27]

Центр T двенадцатиточечной сферы также лежит на прямой Эйлера. В отличие от своего треугольного аналога, этот центр лежит на одной трети пути от точки Монжа M к центру описанной окружности. Кроме того, ортогональная прямая, проходящая через T к выбранной грани, копланарна с двумя другими ортогональными прямыми к той же грани. Первая — ортогональная прямая, проходящая через соответствующую точку Эйлера к выбранной грани. Вторая — ортогональная прямая, проходящая через центроид выбранной грани. Эта ортогональная прямая, проходящая через центр двенадцати точек, лежит посередине между ортогональной прямой точки Эйлера и центроидальной ортогональной прямой. Более того, для любой грани двенадцатиточечный центр лежит в средней точке соответствующей точки Эйлера и ортоцентра для этой грани.

Радиус двенадцатиконечной сферы составляет одну треть радиуса описанной окружности опорного тетраэдра.

Существует соотношение между углами, образованными гранями общего тетраэдра, которое задается формулой ^[28]

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,}$

где α _ij — угол между гранями i и j .

Геометрическая медиана координат вершины тетраэдра и его изогонического центра связаны при обстоятельствах, аналогичных тем, которые наблюдаются для треугольника. Лоренц Линделёф обнаружил, что любому заданному тетраэдру соответствует точка, теперь известная как изогонический центр, O , в которой телесные углы, стягиваемые гранями, равны, имеют общее значение π sr , и в которой углы, стягиваемые противоположными ребрами, равны. ^[29] Телесный угол π sr составляет одну четверть от угла, стягиваемого всем пространством. Когда все телесные углы в вершинах тетраэдра меньше π sr, O лежит внутри тетраэдра, и поскольку сумма расстояний от O до вершин минимальна, O совпадает с геометрической медианой , M , вершин. В случае, если телесный угол в одной из вершин, v , равен точно π sr, то O и M совпадают с v . Однако, если тетраэдр имеет вершину v с телесным углом больше π sr, M по-прежнему соответствует v , но O лежит вне тетраэдра.

Геометрические соотношения

Тетраэдр — это 3- симплекс . В отличие от других Платоновых тел, все вершины правильного тетраэдра равноудалены друг от друга (это единственно возможное расположение четырех равноудаленных точек в 3-мерном пространстве, например, в электромагнетизме см. задачу Томсона ).

Вышеуказанное вложение делит куб на пять тетраэдров, один из которых правильный. Фактически, пять — это минимальное количество тетраэдров, необходимое для составления куба. Чтобы увидеть это, начиная с базового тетраэдра с 4 вершинами, каждый добавленный тетраэдр добавляет максимум 1 новую вершину, поэтому нужно добавить как минимум еще 4, чтобы получился куб с 8 вершинами.

Вписывание тетраэдров внутрь правильного соединения из пяти кубов дает еще два правильных соединения, содержащих пять и десять тетраэдров.

Правильные тетраэдры не могут сами по себе замостить пространство , хотя этот результат кажется достаточно вероятным, чтобы Аристотель утверждал, что это возможно. Однако два правильных тетраэдра можно объединить с октаэдром, получив ромбоэдр , который может замостить пространство как тетраэдрально-октаэдрические соты .

С другой стороны, известно несколько неправильных тетраэдров, копии которых могут замостить пространство, например, характерная ортосхема куба и дисфеноид дисфеноидных тетраэдрических сот . Полный список остается открытой проблемой. ^[30]

Если ослабить требование, чтобы все тетраэдры имели одинаковую форму, можно замостить пространство, используя только тетраэдры многими различными способами. Например, можно разделить октаэдр на четыре одинаковых тетраэдра и снова объединить их с двумя правильными. (В качестве примечания: эти два вида тетраэдров имеют одинаковый объем.)

Тетраэдр уникален среди однородных многогранников тем, что не имеет параллельных граней.

Закон синусов для тетраэдров и пространство всех форм тетраэдров

Следствием обычного закона синусов является то, что в тетраэдре с вершинами O , A , B , C мы имеем

${\displaystyle \sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.\,}$

Можно рассматривать две стороны этой тождественности как соответствующие ориентации поверхности по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Помещение любой из четырех вершин в роль O дает четыре таких тождества, но не более трех из них являются независимыми: если перемножить стороны «по часовой стрелке» трех из них и вывести произведение, равное произведению сторон «против часовой стрелки» тех же трех тождеств, а затем общие множители из обеих сторон сократить, то результатом будет четвертое тождество.

Три угла являются углами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда их сумма равна 180° (π радиан). Какое условие на 12 углов необходимо и достаточно для того, чтобы они были 12 углами некоторого тетраэдра? Очевидно, что сумма углов любой стороны тетраэдра должна быть 180°. Поскольку таких треугольников четыре, то существует четыре таких ограничения на суммы углов, и число степеней свободы тем самым уменьшается с 12 до 8. Четыре соотношения, заданные этим законом синусов, еще больше уменьшают число степеней свободы с 8 до не 4, а 5, поскольку четвертое ограничение не является независимым от первых трех. Таким образом, пространство всех форм тетраэдров является 5-мерным. ^[31]

Закон косинусов для тетраэдров

Пусть , , , будут точками тетраэдра. Пусть будет площадью грани, противолежащей вершине , а пусть будет двугранным углом между двумя гранями тетраэдра, смежными с ребром . Закон косинусов для тетраэдра, который связывает площади граней тетраэдра с двугранными углами относительно вершины, задается следующим соотношением: ^[32] ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \theta _{ij}}$ ${\displaystyle P_{i}P_{j}}$ $${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})}$$

Внутренняя точка

Пусть P — любая внутренняя точка тетраэдра объёма V , вершинами которого являются A , B , C и D , а площади противоположных граней — F _a , F _b , F _c и F _d . Тогда ^{[33] : стр.62, №1609}

${\displaystyle PA\cdot F_{\mathrm {a} }+PB\cdot F_{\mathrm {b} }+PC\cdot F_{\mathrm {c} }+PD\cdot F_{\mathrm {d} }\geq 9V.}$

Для вершин A , B , C и D , внутренней точки P и оснований J , K , L и M перпендикуляров из P к граням, и предположим, что грани имеют равные площади, тогда ^{[33] : стр.226, №215}

${\displaystyle PA+PB+PC+PD\geq 3(PJ+PK+PL+PM).}$

Внутренний радиус

Обозначая радиус вписанной окружности тетраэдра как r , а радиусы вписанных окружностей его треугольных граней как r _i для i = 1, 2, 3, 4, имеем ^{[33] : стр.81, № 1990}

${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\leq {\frac {2}{r^{2}}},}$

с равенством тогда и только тогда, когда тетраэдр правильный.

Если A ₁ , A ₂ , A ₃ и A ₄ обозначают площадь каждой грани, то значение r определяется как

${\displaystyle r={\frac {3V}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}}$.

Эта формула получается путем деления тетраэдра на четыре тетраэдра, вершинами которых являются три точки одной из исходных граней и инцентр. Поскольку четыре подтетраэдра заполняют объем, то имеем . ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{1}r+{\frac {1}{3}}A_{2}r+{\frac {1}{3}}A_{3}r+{\frac {1}{3}}A_{4}r}$

Радиус окружности

Обозначим радиус описанной окружности тетраэдра как R. Пусть a , b , c — длины трех ребер, которые сходятся в вершине, а A , B , C — длины противоположных ребер. Пусть V — объем тетраэдра. Тогда ^{[34] [35]}

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {(aA+bB+cC)(aA+bB-cC)(aA-bB+cC)(-aA+bB+cC)}}{24V}}.}$

Окружнойцентр

Центр описанной окружности тетраэдра можно найти как пересечение трех биссекторных плоскостей. Биссекторная плоскость определяется как плоскость с центром на ребре тетраэдра и ортогональная ему. При таком определении центр описанной окружности C тетраэдра с вершинами x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ можно сформулировать как произведение матрицы и вектора: ^[36]

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{-1}B&{\text{where}}&\ &A=\left({\begin{matrix}\left[x_{1}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{2}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{3}-x_{0}\right]^{T}\end{matrix}}\right)&\ &{\text{and}}&\ &B={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\|x_{1}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{2}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{3}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}$

В отличие от центроида, центр описанной окружности не всегда может лежать внутри тетраэдра. Аналогично тупоугольному треугольнику, центр описанной окружности находится снаружи объекта для тупоугольного тетраэдра.

Центроид

Центр масс тетраэдра можно вычислить как среднее арифметическое его четырех вершин, см. Центроид .

Лица

Сумма площадей любых трех граней больше площади четвертой грани. ^{[33] : стр.225, №159}

Целочисленные тетраэдры

Существуют тетраэдры, имеющие целочисленные длины ребер, площади граней и объем. Они называются героновскими тетраэдрами . Один пример имеет одно ребро 896, противоположное ребро 990 и четыре других ребра 1073; две грани являются равнобедренными треугольниками с площадями436 800 , а два других — равнобедренные с площадями47 120 , а объем124 185 600 . ^[37]

Тетраэдр может иметь целый объем и последовательные целые числа в качестве ребер, примером может служить тетраэдр с ребрами 6, 7, 8, 9, 10 и 11 и объемом 48. ^[38]

Связанные многогранники и соединения

Правильный тетраэдр можно рассматривать как треугольную пирамиду .

Правильный тетраэдр можно рассматривать как вырожденный многогранник, однородную двуугольную антипризму , в которой базовые многоугольники являются приведенными двуугольниками .

Правильный тетраэдр можно рассматривать как вырожденный многогранник, однородный двойственный двуугольный трапецоэдр , содержащий 6 вершин, в двух наборах коллинеарных ребер.

Процесс усечения, примененный к тетраэдру, производит ряд однородных многогранников . Усечение ребер до точек производит октаэдр как выпрямленный тетраэдр. Процесс завершается как биректификация, сводящая исходные грани к точкам и снова производящая самодвойственный тетраэдр.

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3, n }, продолжающейся в гиперболическую плоскость .

Тетраэдр топологически связан с серией правильных многогранников и мозаик с вершинными фигурами порядка 3 .

• Соединения тетраэдров
• 
  Два тетраэдра в кубе
• 
  Соединение пяти тетраэдров
• 
  Соединение десяти тетраэдров

Интересный многогранник можно построить из пяти пересекающихся тетраэдров . Это соединение пяти тетраэдров известно уже сотни лет. Оно регулярно встречается в мире оригами . Соединение двадцати вершин образует правильный додекаэдр . Существуют как левосторонние , так и правосторонние формы, которые являются зеркальными отражениями друг друга. Наложение обеих форм дает соединение десяти тетраэдров , в котором десять тетраэдров расположены как пять пар звездчатых октаэдров . Звездчатая октаэдр — это соединение двух тетраэдров в двойственном положении, и ее восемь вершин определяют куб как их выпуклую оболочку.

Квадратный осоэдр — еще один многогранник с четырьмя гранями, но у него нет треугольных граней.

Многогранник Силасси и тетраэдр — единственные два известных многогранника, в которых каждая грань имеет общее ребро с каждой другой гранью. Кроме того, многогранник Часара (который сам является двойственным многограннику Силасси) и тетраэдр — единственные два известных многогранника, в которых каждая диагональ лежит на сторонах.

Приложения

Численный анализ

Нерегулярный объем в пространстве можно аппроксимировать нерегулярной триангулированной поверхностью и нерегулярными тетраэдрическими элементами объема.

В численном анализе сложные трехмерные формы обычно разбиваются на или аппроксимируются полигональной сеткой нерегулярных тетраэдров в процессе составления уравнений для конечно-элементного анализа, особенно при численном решении уравнений в частных производных . Эти методы широко применяются в практических приложениях в вычислительной гидродинамике , аэродинамике , электромагнитных полях , гражданском строительстве , химической инженерии , военно-морской архитектуре и машиностроении и смежных областях.

Структурная инженерия

Тетраэдр с жесткими ребрами изначально жесткий. По этой причине его часто используют для придания жесткости каркасным конструкциям, таким как пространственные каркасы .

Авиация

На некоторых аэродромах большая рамка в форме тетраэдра с двумя сторонами, покрытыми тонким материалом, устанавливается на вращающемся стержне и всегда указывает на ветер. Она сделана достаточно большой, чтобы ее было видно с воздуха, и иногда подсвечивается. Ее цель — служить ориентиром для пилотов, указывающих направление ветра. ^[39]

Химия

Ион аммония является тетраэдрическим

Расчет центрального угла с помощью скалярного произведения

Форма тетраэдра наблюдается в природе в ковалентно связанных молекулах. Все sp ³ -гибридизованные атомы окружены атомами (или неподеленными электронными парами ) в четырех углах тетраэдра. Например, в молекуле метана ( CH
₄) или ион аммония ( NH⁺
₄), четыре атома водорода окружают центральный атом углерода или азота с тетраэдрической симметрией. По этой причине один из ведущих журналов по органической химии называется Tetrahedron . Центральный угол между любыми двумя вершинами идеального тетраэдра равен arccos(− ⁠1/3⁠ ), или приблизительно 109,47°. ^[40]

Вода , Н
₂O , также имеет тетраэдрическую структуру с двумя атомами водорода и двумя неподеленными парами электронов вокруг центральных атомов кислорода. Однако его тетраэдрическая симметрия не идеальна, поскольку неподеленные пары отталкиваются сильнее, чем одиночные связи O–H.

Диаграммы состояния четверичных смесей химических веществ графически изображаются в виде тетраэдров.

Однако в технике связи четвертичные фазовые диаграммы графически представляются на двумерной плоскости.

Существуют молекулы, форма которых основана на четырех соседних атомах, связи которых образуют стороны тетраэдрической структуры, такие как аллотроп белого фосфора ^[41] и тетра -трет -бутилтетраэдран, известное производное гипотетического тетраэдрана .

Электричество и электроника

Если шесть одинаковых резисторов спаять вместе , чтобы сформировать тетраэдр, то сопротивление, измеренное между любыми двумя вершинами, будет равно половине сопротивления одного резистора. ^[42]

Поскольку кремний является наиболее распространенным полупроводником, используемым в твердотельной электронике , а валентность кремния равна четырем , тетраэдрическая форма четырех химических связей в кремнии оказывает сильное влияние на то, как образуются кристаллы кремния и какие формы они принимают.

Цветовое пространство

Тетраэдры используются в алгоритмах преобразования цветового пространства специально для случаев, когда ось яркости диагонально сегментирует цветовое пространство (например, RGB, CMY). ^[43]

Игры

4-гранные игральные кости

В царской игре Ура , датируемой 2600 годом до нашей эры, использовался набор четырехгранных игральных костей.

Особенно в ролевых играх это тело известно как 4-гранный кубик , один из наиболее распространенных многогранных кубиков , с выпавшим числом, появляющимся вокруг дна или на верхней вершине. Некоторые головоломки, похожие на кубик Рубика, являются тетраэдрическими, например, Пираминкс и Пираморфикс .

Геология

Тетраэдрическая гипотеза , первоначально опубликованная Уильямом Лотианом Грином для объяснения образования Земли, ^[44] была популярна в начале 20-го века. ^{[45] [46]}

Популярная культура

Тетраэдрические объекты

Стэнли Кубрик изначально предполагал, что монолит в фильме «Космическая одиссея 2001 года» будет тетраэдром, согласно Марвину Мински , когнитивному ученому и эксперту по искусственному интеллекту , который консультировал Кубрика по компьютеру HAL 9000 и другим аспектам фильма. Кубрик отказался от идеи использования тетраэдра, поскольку посетитель, увидевший отснятый материал, не узнал, что это такое, и он не хотел, чтобы в фильме было что-то, чего не поняли бы обычные люди. ^[47]

Тетраэдр с правильными гранями — это решение старой головоломки, требующей сформировать четыре равносторонних треугольника, используя шесть целых спичек. Решение размещает спички вдоль граней тетраэдра. ^[48]

Тетраэдрический граф

Скелет тетраэдра (состоящий из вершин и ребер) образует граф с 4 вершинами и 6 ребрами. Это частный случай полного графа , K ₄ , и графа колеса , W ₄ . ^[49] Это один из 5 платоновых графов , каждый из которых является скелетом своего платонового тела .

Смотрите также

• спираль Бурдейка-Коксетера
• Конфигурация Мёбиуса
• Кэлтроп
• Демигиперкуб и симплекс – n -мерные аналоги
• Пентахорон – 4-мерный аналог
• Синергетика (Фуллер)
• Тетраэдрический воздушный змей
• Тетраэдрическое число
• Упаковка тетраэдра
• Треугольная дипирамида – построена путем соединения двух тетраэдров вдоль одной грани.
• Трехпрямоугольный тетраэдр
• Ортосхема

Примечания

1. Это также угол между границами Плато в вершине. В химии он называется тетраэдрическим углом связи . Этот угол (в радианах) также является длиной дуги окружности на единичной сфере, полученной при центральном проецировании одного ребра тетраэдра на сферу.
2. (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы меняем соглашения Коксетера на противоположные и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдр». Математический мир .
2. Форд, Уолтер Бертон; Аммерман, Чарльз (1913), Плоская и стереометрическая геометрия, Macmillan, стр. 294–295
3. Канди 1952.
4. Шавинина 2013, стр. 333.
5. Кромвель 1997, стр. 55.
6. Coxeter 1948, Таблица I(i).
7. Келлер, Юрген, «Тетраэдр», Mathematische Basteleien, 2001.
8. Альсина и Нельсен 2015, с. 68.
9. • Коксетер 1948 Таблица I(i).
   • Бриттин 1945
10. Парк 2016.
11. «Сечения тетраэдра».
12. Кеплер 1619, стр. 181.
13. Coxeter, HSM (1989). «Трисекция ортосхемы». Computers Math. Applic . 17 (1–3): 59–71. doi : 10.1016/0898-1221(89)90148-X .
14. Coxeter 1973, стр. 71–72, §4.7 Характерные тетраэдры.
15. Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(i); «Тетраэдр, 𝛼 ₃ ».
16. Коксетер 1973, стр. 33–34, §3.1 Конгруэнтные преобразования.
17. Коксетер 1973, стр. 63, §4.3 Группы вращения в двух измерениях; понятие фундаментальной области .
18. Трухильо-Пино, Агустин; Суарес, Хосе Пабло; Падрон, Мигель А. (2024). «Конечное число классов подобия в бисекции самого длинного ребра почти равносторонних тетраэдров». Прикладная математика и вычисления . 472 : 128631. doi : 10.1016/j.amc.2024.128631 . ISSN  0096-3003.
19. Альсина и Нельсен 2015, с. 67.
20. Фекете 1985, стр. 68.
21. «Объемы симплексов и определитель Кэли-Менгера», MathPages.com
22. Kahan 2012, стр. 11.
23. Боттема 1969.
24. Мураками и Яно 2005.
25. Хавличек, Ганс; Вайс, Гюнтер (2003). «Высоты тетраэдра и бесследовые квадратичные формы» (PDF) . American Mathematical Monthly . 110 (8): 679–693. arXiv : 1304.0179 . doi :10.2307/3647851. JSTOR  3647851.
26. Лёнг, Кам-тим; и Суен, Сук-нам; «Векторы, матрицы и геометрия», Hong Kong University Press, 1994, стр. 53–54
27. Аутуди, Сомлак; Нью, Стивен. Различные виды центров симплексов (PDF) . Кафедра математики, Университет Чулалонгкорн, Бангкок. Архивировано из оригинала 27 февраля 2009 г.{{cite book}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
28. Оде, Дэниел (май 2011 г.). «Сферические и гиперболические определители Кэли-Менгера» (PDF) . Бюллетень AMQ.
29. Линделоф, Л. (1867). «Sur les maxima et minima d'une fonction des rayons vecteurs menés d'un point mobile à plusieurs center fixes». Acta Societatis Scientiarum Fennicae . 8 (Часть 1): 189–203.
30. Сенешаль, Марджори (1981). «Какие тетраэдры заполняют пространство?». Журнал математики . 54 (5). Математическая ассоциация Америки: 227–243. doi :10.2307/2689983. JSTOR  2689983.
31. Рассат, Андре; Фаулер, Патрик В. (2004). «Существует ли «самый хиральный тетраэдр»?». Химия: европейский журнал . 10 (24): 6575–6580. doi :10.1002/chem.200400869. PMID  15558830.
32. Ли 1997.
33. Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , [1].
34. Крелль, Алабама (1821). «Einige Bemerkungen über die dreiseitige Pyramide». Sammlung mathematischer Aufsätze u. Бемеркунген 1 (на немецком языке). Берлин: Маурер. стр. 105–132 . Проверено 7 августа 2018 г.
35. Тодхантер, И. (1886), Сферическая тригонометрия: для использования в колледжах и школах, стр. 129(Статья 163)
36. Леви, Бруно; Лю, Ян (2010), « L _p центроидальная тесселяция Вороного и ее приложения», ACM Transactions on Graphics , 29 (4): 119:1–119:11, doi :10.1145/1778765.1778856
37. «Проблема 930» (PDF) , Solutions, Crux Mathematicorum , 11 (5): 162–166, май 1985 г.
38. Вацлав Серпинский , Пифагоровые треугольники , Dover Publications, 2003 (оригинальное издание 1962 г.), стр. 107. Однако следует отметить, что Серпинский повторяет ошибочный расчет объема приведенного выше примера геронова тетраэдра.
39. Федеральное управление гражданской авиации (2009), Справочник пилота по авиационным знаниям, Издательство правительства США, стр. 13-10, ISBN 9780160876110.
40. Бриттин, У. Э. (1945). «Валентный угол тетраэдрического атома углерода». Журнал химического образования . 22 (3): 145. Bibcode : 1945JChEd..22..145B. doi : 10.1021/ed022p145.
41. "Белый фосфор". Американское химическое общество . Получено 26 мая 2024 г.
42. Klein, Douglas J. (2002). "Resistance-Distance Sum Rules" (PDF) . Croatica Chemica Acta . 75 (2): 633–649. Архивировано из оригинала (PDF) 10 июня 2007 г. Получено 15 сентября 2006 г.
43. Vondran, Gary L. (апрель 1998 г.). «Радиальные и усеченные тетраэдральные интерполяционные методы» (PDF) . Технический отчет HP . HPL-98-95: 1–32. Архивировано из оригинала (PDF) 7 июня 2011 г. . Получено 11 ноября 2009 г. .
44. Грин, Уильям Лоутиан (1875). Остатки расплавленного шара, как они показаны на рисунке Земли, вулканической деятельности и физиографии. Том. Часть I. Лондон: E. Stanford. Bibcode : 1875vmge.book.....G. OCLC  3571917.
45. Холмс, Артур (1965). Принципы физической геологии . Нельсон. стр. 32. ISBN 9780177612992.
46. Хичкок, Чарльз Генри (январь 1900 г.). Уинчелл, Ньютон Хорас (ред.). «Уильям Лоутиан Грин и его теория эволюции особенностей Земли». Американский геолог . Т. XXV. Geological Publishing Company. С. 1–10.
47. "Марвин Мински: Стэнли Кубрик отказывается от Тетраэдра". Web of Stories . Получено 20 февраля 2012 г.
48. Белл, Александр Грэм (июнь 1903 г.). «Тетраэдрический принцип в структуре воздушного змея». Scientific American . 55 (1432supp): s2294–22950. doi :10.1038/scientificamerican06131903-22947supp.
49. Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдральный граф». MathWorld .

Библиография

• Альсина, К.; Нельсен, Р.Б. (2015). Математическая космическая одиссея: объемная геометрия в 21 веке . Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-1-61444-216-5.
• Боттема, О. (1969). «Теорема Бобилье о тетраэдре». Элементы математики . 24 :6–10.
• Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники . Метуэн и Ко.
• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications .
• Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-55432-9.
• Канди, Х. Мартин (1952). «Дельтаэдры». The Mathematical Gazette . 36 (318): 263–266. doi :10.2307/3608204. JSTOR  3608204. S2CID  250435684.
• Фекете, А.Е. (1985). Настоящая линейная алгебра. ISBN Марселя Деккера Inc. 978-0-8247-7238-3.
• Кахан, В. М. (2012). Какое отношение имеет объем тетраэдра к языкам программирования? (PDF) (Диссертация). стр. 16–17.
• Кеплер, Иоганн (1619). Harmonices Mundi (Гармония мира) . Иоганн Планк.
• Ли, Джунг Рай (1997). «Закон косинусов в тетраэдре». J. Korea Soc. Math. Educ. Ser. B: Pure Appl. Math . 4 (1): 1–6.
• Мураками, Джун; Яно, Масакадзу (2005). «Об объеме гиперболического и сферического тетраэдра». Communications in Analysis and Geometry . 13 (2): 379–400. doi : 10.4310/cag.2005.v13.n2.a5 . ISSN  1019-8385. MR  2154824.
• Пак, Пу-Сун (2016). «Расстояния правильных многогранников» (PDF) . Форум Geometricorum . 16 : 227–232.
• Шавинина, Лариса В. (2013). Международный справочник Routledge по инновационному образованию . Routledge. ISBN 978-0-203-38714-6.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдр». MathWorld .
• Бесплатные бумажные модели тетраэдра и многих других многогранников
• Удивительный, заполняющий пространство, неправильный тетраэдр, который также включает описание «вращающегося кольца тетраэдров», также известного как калейдоцикл .