Алгебраическая структура

Набор с операциями, подчиняющимися заданным аксиомам

В математике алгебраическая структура состоит из непустого множества A (называемого базовым множеством , несущим множеством или доменом ), набора операций над A (обычно это бинарные операции, такие как сложение и умножение) и конечного набора тождеств (известных как аксиомы ), которым эти операции должны удовлетворять.

Алгебраическая структура может быть основана на других алгебраических структурах с операциями и аксиомами, включающими несколько структур. Например, векторное пространство включает вторую структуру, называемую полем , и операцию, называемую скалярным умножением, между элементами поля (называемые скалярами ) и элементами векторного пространства (называемые векторами ).

Абстрактная алгебра — это название, которое обычно дается изучению алгебраических структур. Общая теория алгебраических структур была формализована в универсальной алгебре . Теория категорий — это другая формализация, которая включает также другие математические структуры и функции между структурами одного типа ( гомоморфизмы ).

В универсальной алгебре алгебраическая структура называется алгеброй ; [ ^1] этот термин может быть неоднозначным, поскольку в других контекстах алгебра — это алгебраическая структура, которая является векторным пространством над полем или модулем над коммутативным кольцом .

Совокупность всех структур данного типа (те же операции и те же законы) называется многообразием в универсальной алгебре; этот термин также используется с совершенно другим значением в алгебраической геометрии , как сокращение от алгебраическое многообразие . В теории категорий совокупность всех структур данного типа и гомоморфизмов между ними образуют конкретную категорию .

Введение

Сложение и умножение являются прототипическими примерами операций , которые объединяют два элемента множества для получения третьего элемента того же множества. Эти операции подчиняются нескольким алгебраическим законам. Например, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c и a ( bc ) = ( ab ) c являются ассоциативными законами , а a + b = b + a и ab = ba являются коммутативными законами . Многие системы, изучаемые математиками, имеют операции, которые подчиняются некоторым, но не обязательно всем, законам обычной арифметики. Например, возможные перемещения объекта в трехмерном пространстве можно объединить, выполнив первое перемещение объекта, а затем второе перемещение из его нового положения. Такие перемещения, формально называемые жесткими движениями , подчиняются ассоциативному закону, но не удовлетворяют коммутативному закону.

Множества с одной или несколькими операциями, которые подчиняются определенным законам, называются алгебраическими структурами . Когда новая проблема включает в себя те же законы, что и такая алгебраическая структура, все результаты, которые были доказаны с использованием только законов структуры, могут быть напрямую применены к новой проблеме.

В полной общности алгебраические структуры могут включать произвольный набор операций, включая операции, объединяющие более двух элементов (операции с более высокой арностью ), и операции, которые принимают только один аргумент ( унарные операции ) или даже ноль аргументов ( нульарные операции ). Перечисленные ниже примеры ни в коем случае не являются полным списком, но включают наиболее распространенные структуры, изучаемые в курсах бакалавриата.

Общие аксиомы

Эквациональные аксиомы

Аксиома алгебраической структуры часто имеет форму тождества , то есть уравнения , в котором обе стороны знака равенства являются выражениями , включающими операции алгебраической структуры и переменные . Если переменные в тождестве заменить произвольными элементами алгебраической структуры, равенство должно остаться верным. Вот несколько общих примеров.

Коммутативность

Операция коммутативна , если для любых x и y в алгебраической структуре. ${\displaystyle *}$ $${\displaystyle x*y=y*x}$$

Ассоциативность

Операция ассоциативна , если для любых x , y и z в алгебраической структуре. ${\displaystyle *}$ $${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$$

Левая дистрибутивность

Операция является дистрибутивной слева относительно другой операции, если для каждых x , y и z в алгебраической структуре (вторая операция здесь обозначается как , поскольку во многих общих примерах второй операцией является сложение). ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle +}$ $${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z)}$$ ${\displaystyle +}$

Правая дистрибутивность

Операция является праводистрибутивной относительно другой операции , если для любых x , y и z в алгебраической структуре. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle +}$ $${\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x)}$$

Распределяемость

Операция дистрибутивна по отношению к другой операции , если она является как левой, так и правой дистрибутивностью. Если операция коммутативна, то левая и правая дистрибутивность эквивалентны дистрибутивности. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle *}$

Экзистенциальные аксиомы

Некоторые общие аксиомы содержат экзистенциальное предложение . В общем случае такого предложения можно избежать, вводя дополнительные операции и заменяя экзистенциальное предложение тождеством, включающим новую операцию. Точнее, рассмотрим аксиому вида «для всех X существует y такой, что », где X — это k - кортеж переменных. Выбор конкретного значения y для каждого значения X определяет функцию , которую можно рассматривать как операцию арности k , и аксиома становится тождеством ${\displaystyle f(X,y)=g(X,y)}$ ${\displaystyle \varphi :X\mapsto y,}$ ${\displaystyle f(X,\varphi (X))=g(X,\varphi (X)).}$

Введение такой вспомогательной операции несколько усложняет формулировку аксиомы, но имеет некоторые преимущества. При наличии конкретной алгебраической структуры доказательство того, что экзистенциальная аксиома выполняется, обычно состоит из определения вспомогательной функции, дополненного простыми проверками. Кроме того, при вычислениях в алгебраической структуре обычно явно используются вспомогательные операции. Например, в случае чисел аддитивная инверсия обеспечивается операцией унарного минуса ${\displaystyle x\mapsto -x.}$

Также, в универсальной алгебре , многообразие — это класс алгебраических структур, которые разделяют одни и те же операции и одни и те же аксиомы, с условием, что все аксиомы являются тождествами. То, что предшествует, показывает, что экзистенциальные аксиомы вышеуказанной формы принимаются в определении многообразия.

Вот некоторые из наиболее распространенных экзистенциальных аксиом.

Элемент идентичности

Бинарная операция имеет элемент тождества, если существует элемент e такой, что для всех x в структуре. Здесь вспомогательная операция — это операция арности ноль, которая имеет e в качестве своего результата. ${\displaystyle *}$ $${\displaystyle x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*x=x}$$

Обратный элемент

Для бинарной операции , которая имеет единичный элемент e , элемент x является обратимым , если он имеет обратный элемент, то есть если существует элемент такой, что Например, группа представляет собой алгебраическую структуру с бинарной операцией, которая является ассоциативной, имеет единичный элемент и для которой все элементы обратимы. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \operatorname {inv} (x)}$ $${\displaystyle \operatorname {inv} (x)*x=e\quad {\text{and}}\quad x*\operatorname {inv} (x)=e.}$$

Неэквациональные аксиомы

Аксиомами алгебраической структуры может быть любая формула первого порядка , то есть формула, включающая логические связки (такие как «и» , «или» и «не» ) и логические квантификаторы ( ), которые применяются к элементам (а не к подмножествам) структуры. ${\displaystyle \forall ,\exists }$

Такой типичной аксиомой является инверсия в полях . Эта аксиома не может быть сведена к аксиомам предыдущих типов. (из этого следует, что поля не образуют многообразия в смысле универсальной алгебры .) Можно утверждать: «Каждый ненулевой элемент поля обратим »; или, что то же самое: структура имеет унарную операцию inv такую, что

${\displaystyle \forall x,\quad x=0\quad {\text{or}}\quad x\cdot \operatorname {inv} (x)=1.}$

Операцию inv можно рассматривать либо как частичную операцию , которая не определена для x = 0 ; либо как обычную функцию, значение которой при 0 является произвольным и не должно использоваться.

Общие алгебраические структуры

Один комплект с операциями

Простые структуры : без бинарных операций :

• Множество : вырожденная алгебраическая структура S, не имеющая операций.

Групповые структуры : одна бинарная операция. Бинарная операция может быть обозначена любым символом или без символа (сопоставление), как это делается для обычного умножения действительных чисел.

• Группа : моноид с унарной операцией (обратной), порождающей обратные элементы .
• Абелева группа : группа, бинарная операция которой коммутативна .

Кольцевые структуры или рингоиды : две бинарные операции, часто называемые сложением и умножением , при этом умножение распределяется по сложению.

• Кольцо : полукольцо, аддитивный моноид которого является абелевой группой.
• Деление кольца : нетривиальное кольцо, в котором определено деление на ненулевые элементы.
• Коммутативное кольцо : кольцо, в котором операция умножения коммутативна.
• Поле : коммутативное кольцо с делением (т.е. коммутативное кольцо, которое содержит мультипликативный обратный элемент для каждого ненулевого элемента).

Решетчатые структуры : две или более бинарных операций, включая операции, называемые встреча и соединение , связанные законом поглощения . ^[2]

• Полная решетка : решетка, в которой существуют произвольные пересечения и соединения .
• Ограниченная решетка : решетка с наибольшим элементом и наименьшим элементом.
• Распределительная решетка : решетка, в которой каждое из meet и join распределяет по другому. Множество степеней при объединении и пересечении образует распределительную решетку.
• Булева алгебра : дополненная дистрибутивная решетка. Любое из встреч или объединений может быть определено в терминах другого и дополнения.

Два комплекта с операциями

• Модуль : абелева группа M и кольцо R, действующие как операторы на M. Члены R иногда называются скалярами , а бинарная операция скалярного умножения — это функция R  ×  M → M , которая удовлетворяет нескольким аксиомам. С учетом операций кольца эти системы имеют по крайней мере три операции.
• Векторные пространства : модули, в которых кольцо R является полем или, в некоторых контекстах, телом .

• Алгебра над полем : модуль над полем, который также несет операцию умножения, совместимую со структурой модуля. Это включает дистрибутивность по сложению и линейность относительно умножения.
• Пространство внутреннего произведения : векторное пространство V типа F с определенной билинейной формой V × V → F .

Гибридные структуры

Алгебраические структуры также могут сосуществовать с добавленной структурой неалгебраической природы, такой как частичный порядок или топология . Добавленная структура должна быть совместима, в некотором смысле, с алгебраической структурой.

• Топологическая группа : группа с топологией, совместимой с групповой операцией.
• Группа Ли : топологическая группа с совместимой структурой гладкого многообразия .
• Упорядоченные группы , упорядоченные кольца и упорядоченные поля : каждый тип структуры с совместимым частичным порядком .
• Архимедова группа : линейно упорядоченная группа, для которой выполняется свойство Архимеда .
• Топологическое векторное пространство : векторное пространство, M которого имеет совместимую топологию.
• Нормированное векторное пространство : векторное пространство с совместимой нормой . Если такое пространство является полным (как метрическое пространство), то оно называется банаховым пространством .
• Гильбертово пространство : пространство внутреннего произведения действительных или комплексных чисел, внутреннее произведение которого порождает структуру банахова пространства.
• Алгебра вершинных операторов
• Алгебра фон Неймана : *-алгебра операторов в гильбертовом пространстве, снабженная слабой операторной топологией .

Универсальная алгебра

Алгебраические структуры определяются через различные конфигурации аксиом . Универсальная алгебра абстрактно изучает такие объекты. Одна из основных дихотомий — между структурами, которые аксиоматизируются полностью тождествами , и структурами, которые таковыми не являются. Если все аксиомы, определяющие класс алгебр, являются тождествами, то этот класс является многообразием ( не путать с алгебраическими многообразиями алгебраической геометрии ).

Тождества — это уравнения, сформулированные с использованием только операций, допускаемых структурой, и переменных, которые молчаливо универсально квантифицированы по соответствующей вселенной . Тождества не содержат связок , экзистенциально квантифицированных переменных или отношений любого вида, кроме разрешенных операций. Изучение многообразий является важной частью универсальной алгебры . Алгебраическая структура в многообразии может пониматься как фактор-алгебра терм-алгебры (также называемой «абсолютно свободной алгеброй »), деленная на отношения эквивалентности, порожденные набором тождеств. Таким образом, набор функций с заданными сигнатурами порождает свободную алгебру, терм-алгебру T. Учитывая набор эквациональных тождеств (аксиом), можно рассмотреть их симметричное транзитивное замыкание E. Фактор-алгебра T / E тогда является алгебраической структурой или многообразием. Так, например, группы имеют сигнатуру, содержащую два оператора: оператор умножения m , принимающий два аргумента, и обратный оператор i , принимающий один аргумент, и элемент тождества e , константу, которую можно считать оператором, принимающим ноль аргументов. При наличии (счетного) набора переменных x , y , z и т. д. термин алгебра представляет собой совокупность всех возможных терминов, включающих m , i , e и переменные; так, например, m ( i ( x ), m ( x , m ( y , e ))) будет элементом термин алгебра. Одной из аксиом, определяющих группу, является тождество m ( x , i ( x )) = e ; другой является m ( x , e ) = x . Аксиомы можно представить в виде деревьев. Эти уравнения индуцируют классы эквивалентности на свободной алгебре; тогда фактор-алгебра имеет алгебраическую структуру группы.

Некоторые структуры не образуют разновидностей, потому что:

1. Необходимо, чтобы 0 ≠ 1, где 0 — аддитивный элемент тождества , а 1 — мультипликативный элемент тождества, но это нетождество;
2. Такие структуры, как поля, имеют некоторые аксиомы, которые справедливы только для ненулевых членов S. Чтобы алгебраическая структура была многообразием, ее операции должны быть определены для всех членов S ; частичных операций быть не может.

Структуры, аксиомы которых неизбежно включают нетождества, являются одними из самых важных в математике, например, поля и деления . Структуры с нетождествами представляют проблемы, многообразия — нет. Например, прямое произведение двух полей не является полем, потому что , но поля не имеют делителей нуля . ${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$

Теория категорий

Теория категорий — еще один инструмент для изучения алгебраических структур (см., например, Mac Lane 1998). Категория — это совокупность объектов с ассоциированными морфизмами. Каждая алгебраическая структура имеет свое собственное понятие гомоморфизма , а именно любую функцию, совместимую с операцией(ями), определяющей структуру. Таким образом, каждая алгебраическая структура порождает категорию . Например, категория групп имеет все группы как объекты и все гомоморфизмы групп как морфизмы. Эту конкретную категорию можно рассматривать как категорию множеств с добавленной теоретико-категорной структурой. Аналогично, категория топологических групп (чьи морфизмы являются непрерывными гомоморфизмами групп) является категорией топологических пространств с дополнительной структурой. Забывающий функтор между категориями алгебраических структур «забывает» часть структуры.

В теории категорий существуют различные концепции, которые пытаются охватить алгебраический характер контекста, например:

• алгебраическая категория
• по существу алгебраическая категория
• презентабельная категория
• локально презентабельная категория
• монадические функторы и категории
• всеобщее свойство .

Различные значения слова «структура»

В небольшом злоупотреблении обозначениями слово «структура» может также относиться только к операциям над структурой, а не к самому базовому множеству. Например, предложение «Мы определили кольцевую структуру на множестве » означает, что мы определили кольцевые операции на множестве . В качестве другого примера, группу можно рассматривать как множество , снабженное алгебраической структурой, а именно операцией . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle +}$

Смотрите также

• Математический портал

• Свободный объект
• Математическая структура
• Подпись (логика)
• Структура (математическая логика)

Примечания

1. PM Cohn. (1981) Универсальная алгебра , Springer, стр. 41.
2. Кольцеобразные структуры и решетки можно четко различить, несмотря на то, что оба имеют две определяющие бинарные операции. В случае кольцеобразных структур эти две операции связаны распределительным законом ; в случае решеток они связаны законом поглощения . Кольцеобразные структуры также склонны иметь числовые модели , в то время как решетки склонны иметь теоретико-множественные модели.

Ссылки

• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгофф, Гарретт (1999), Алгебра (2-е изд.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2
• Мишель, Энтони Н.; Хергет, Чарльз Дж. (1993), Прикладная алгебра и функциональный анализ , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-67598-5
• Беррис, Стэнли Н.; Санкаппанавар, Х.П. (1981), Курс универсальной алгебры, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-90578-3

Теория категорий

• Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2
• Тейлор, Пол (1999), Практические основы математики , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63107-5

Внешние ссылки

• Структуры алгебры Джипсена. Включает множество структур, не упомянутых здесь.
• Страница Mathworld, посвященная абстрактной алгебре.
• Стэнфордская энциклопедия философии : Алгебра Воана Пратта .