Алгебраическая теория чисел

Титульный лист первого издания Disquisitiones Arithmeticae , одной из основополагающих работ современной алгебраической теории чисел.

Алгебраическая теория чисел — это раздел теории чисел , который использует методы абстрактной алгебры для изучения целых , рациональных чисел и их обобщений. Теоретико-числовые вопросы выражаются в терминах свойств алгебраических объектов, таких как поля алгебраических чисел и их кольца целых чисел , конечные поля и функциональные поля . Эти свойства, такие как то, допускает ли кольцо уникальную факторизацию , поведение идеалов и группы полей Галуа , могут решить вопросы первостепенной важности в теории чисел, такие как существование решений диофантовых уравнений .

История алгебраической теории чисел

Диофант

Истоки алгебраической теории чисел можно отнести к диофантовым уравнениям, ^{[1] названным в честь}александрийского математика III века Диофанта , который изучал их и разработал методы решения некоторых видов диофантовых уравнений. Типичная диофантова задача — найти два целых числа x и y, такие, что их сумма и сумма квадратов равны двум заданным числам A и B соответственно:

A=x+y\

B=x^{2}+y^{2}.\

Диофантовы уравнения изучаются уже тысячи лет. Например, решения квадратного диофантова уравнения
x ² + y ² = z ² даются тройками Пифагора , первоначально решенными вавилонянами ( ок. 1800 г. до н. э. ). ^[2] Решения линейных диофантовых уравнений, таких как 26 x + 65 y = 13, можно найти с помощью алгоритма Евклида (ок. 5 века до н. э.). ^[3]

Основным трудом Диофанта была « Арифметика» , от которой сохранилась лишь часть.

Ферма

Великая теорема Ферма была впервые высказана Пьером де Ферма в 1637 году, как известно, на полях экземпляра «Арифметики» , где он утверждал, что у него есть доказательство, которое было слишком большим, чтобы поместиться на полях. Ни одно успешное доказательство не было опубликовано до 1995 года, несмотря на усилия бесчисленных математиков в течение прошедших 358 лет. Нерешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в 19 веке и доказательство теоремы модульности в 20 веке.

Гаусс

Одна из основополагающих работ алгебраической теории чисел, Disquisitiones Arithmeticae ( лат . «Арифметические исследования» ) — учебник по теории чисел, написанный на латыни ^[4] Карлом Фридрихом Гауссом в 1798 году, когда Гауссу был 21 год, и впервые опубликованный в 1801 году, когда ему было 24 года. В этой книге Гаусс объединяет результаты теории чисел, полученные такими математиками, как Ферма, Эйлер , Лагранж и Лежандр , и добавляет важные новые собственные результаты. До публикации Disquisitiones теория чисел представляла собой набор изолированных теорем и гипотез. Гаусс свел работы своих предшественников вместе со своей собственной оригинальной работой в систематическую структуру, заполнил пробелы, исправил необоснованные доказательства и расширил тему во многих отношениях.

« Дискусства» стали отправной точкой для работы других европейских математиков девятнадцатого века, включая Эрнста Куммера , Питера Густава Лежена Дирихле и Рихарда Дедекинда . Многие из аннотаций, данных Гауссом, по сути, являются анонсами его дальнейших исследований, некоторые из которых остались неопубликованными. Его современникам они, должно быть, казались особенно загадочными; теперь мы можем считать их содержащими зародыши теорий L-функций и, в частности, комплексного умножения .

Дирихле

В нескольких статьях 1838 и 1839 годов Питер Густав Лежен Дирихле доказал формулу числа первого класса для квадратичных форм (позже уточненную его учеником Леопольдом Кронекером ). Формула, которую Якоби назвал результатом, «затрагивающим всю человеческую сообразительность», открыла путь к аналогичным результатам, касающимся более общих числовых полей . ^[5] На основе своих исследований структуры единичной группы квадратичных полей он доказал теорему Дирихле о единице , фундаментальный результат в теории алгебраических чисел. ^[6]

Впервые он использовал принцип «ячейки» , основной аргумент счета, в доказательстве теоремы в диофантовом приближении , позже названной в его честь аппроксимационной теоремой Дирихле . Он опубликовал важные вклады в последнюю теорему Ферма, для которой доказал случаи n = 5 и n = 14, а также в биквадратичный закон взаимности . ^[5] Проблема делителей Дирихле , для которой он нашел первые результаты, до сих пор остается нерешенной проблемой в теории чисел, несмотря на более поздние вклады других исследователей.

Дедекинд

Изучение Ричардом Дедекиндом работ Лежена Дирихле привело его к более позднему изучению полей и идеалов алгебраических чисел. В 1863 году он опубликовал лекции Лежена Дирихле по теории чисел под названием Vorlesungen über Zahlentheorie («Лекции по теории чисел»), о которых было написано следующее:

«Хотя книга, несомненно, основана на лекциях Дирихле, и хотя сам Дедекинд на протяжении всей своей жизни называл эту книгу книгой Дирихле, сама книга была полностью написана Дедекиндом, по большей части после смерти Дирихле». (Эдвардс, 1983)

Издания Vorlesungen 1879 и 1894 годов включали дополнения, вводящие понятие идеала, фундаментальное для теории колец . (Слово «Кольцо», введенное позже Гильбертом , не появляется в работе Дедекинда.) Дедекинд определил идеал как подмножество набора чисел, состоящее из целых алгебраических чисел , которые удовлетворяют полиномиальным уравнениям с целыми коэффициентами. Концепция получила дальнейшее развитие в руках Гильберта и, особенно, Эмми Нётер . Идеалы обобщают идеальные числа Эрнста Эдуарда Куммера , разработанные в рамках попытки Куммера в 1843 году доказать Великую теорему Ферма.

Гильберт

Дэвид Гильберт объединил область алгебраической теории чисел в своем трактате 1897 года Zahlbericht (буквально «отчет о числах»). Он также решил важную проблему теории чисел, сформулированную Уорингом в 1770 году. Как и в случае с теоремой о конечности, он использовал доказательство существования, которое показывает, что для проблемы должны быть решения, а не предоставляет механизм для получения ответов. ^[7] Тогда у него было мало публикаций по этому вопросу; но появление модульных форм Гильберта в диссертации студента означает, что его имя в дальнейшем привязывается к основной области.

Он сделал ряд гипотез по теории полей классов . Эти концепции оказали большое влияние, и его собственный вклад сохранился в названиях поля классов Гильберта и символа Гильберта в теории полей локальных классов . Результаты были в основном подтверждены к 1930 году, после работы Тейджи Такаги . ^[8]

Артин

Эмиль Артин установил закон взаимности Артина в серии статей (1924; 1927; 1930). Этот закон представляет собой общую теорему теории чисел, которая составляет центральную часть глобальной теории полей классов. ^[9] Термин « закон взаимности » относится к длинному ряду более конкретных теоретико-числовых утверждений, которые он обобщил, от квадратичного закона взаимности и законов взаимности Эйзенштейна и Куммера до формулы произведения Гильберта для символа нормы . Результат Артина обеспечил частичное решение девятой проблемы Гильберта .

Современная теория

Примерно в 1955 году японские математики Горо Симура и Ютака Танияма заметили возможную связь между двумя, казалось бы, совершенно разными ветвями математики: эллиптическими кривыми и модульными формами . Полученная в результате теорема о модулярности (в то время известная как гипотеза Таниямы-Шимуры) утверждает, что каждая эллиптическая кривая является модулярной , а это означает, что ей может быть сопоставлена уникальная модульная форма .

Первоначально это было отвергнуто как маловероятное или весьма спекулятивное, но к нему отнеслись более серьезно, когда теоретик чисел Андре Вейль нашел доказательства, подтверждающие это, но не нашел доказательств; в результате «поразительную» гипотезу ^[10] часто называли гипотезой Таниямы–Шимуры–Вейля. Это стало частью программы Ленглендса — списка важных гипотез, нуждающихся в доказательстве или опровержении.

С 1993 по 1994 год Эндрю Уайлс предоставил доказательство теоремы модульности для полустабильных эллиптических кривых , что вместе с теоремой Рибе обеспечило доказательство Великой теоремы Ферма. Почти каждый математик того времени ранее считал Великую теорему Ферма и теорему модульности либо невозможными, либо практически невозможными для доказательства, даже с учетом самых передовых разработок. Уайлс впервые объявил о своем доказательстве в июне 1993 года ^[11] в версии, которая вскоре была признана имеющей серьезный пробел в ключевом пункте. Доказательство было исправлено Уайлсом, частично в сотрудничестве с Ричардом Тейлором , а окончательная, широко принятая версия была выпущена в сентябре 1994 года и официально опубликована в 1995 году. Доказательство использует многие методы алгебраической геометрии и теории чисел и имеет множество разветвлений в эти разделы математики. Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категории схем и теория Ивасавы , а также другие методы 20-го века , недоступные Ферма.

Основные понятия

Ошибка уникальной факторизации

Важным свойством кольца целых чисел является то, что оно удовлетворяет фундаментальной теореме арифметики о том, что каждое (положительное) целое число имеет факторизацию в произведение простых чисел , и эта факторизация уникальна с точностью до порядка множителей. Это больше не может быть верно в кольце целых чисел $O$ поля алгебраических чисел $K$ .

Простой элемент — это элемент $p$ из $O$ такой, что если $p$ делит произведение $ab$ , то он делит один из множителей $a$ или $b$ . Это свойство тесно связано с простотой целых чисел, поскольку любое положительное целое число, удовлетворяющее этому свойству, равно либо $1$ , либо простому числу. Однако он строго слабее. Например, $-2$ не является простым числом, поскольку оно отрицательное, но это простой элемент. Если факторизация на простые элементы разрешена, то даже в целых числах существуют альтернативные факторизации, такие как

6=2\cdot 3=(-2)\cdot (-3).

В общем, если $u$ — единица , то есть число с мультипликативным обратным числом в $O$ , и если $p$ — простой элемент, то $up$ также является простым элементом. Такие числа, как $p$ и $up$ , называются ассоциированными . В целых числах простые числа $p$ и $- p$ ассоциированы, но только одно из них положительно. Требование, чтобы простые числа были положительными, позволяет выбрать уникальный элемент из набора связанных простых элементов. Однако когда K не является рациональным числом, аналога положительности не существует. Например, в целых гауссовых числах $Z [i]$ , ^[12] числа $1 + 2 i$ и $-2 + i$ ассоциированы, поскольку последнее является произведением первых на $i$ , но невозможно выделить одно из них как будучи более каноничным, чем другой. Это приводит к таким уравнениям, как

5=(1+2i)(1-2i)=(2+i)(2-i),

которые доказывают, что в $Z [i]$ неверно, что факторизации уникальны вплоть до порядка факторов. По этой причине принимается определение уникальной факторизации, используемое в уникальных областях факторизации (UFD). Ожидается, что в UFD простые элементы, встречающиеся при факторизации, будут уникальными только с точностью до единиц и их порядка.

Однако даже с этим более слабым определением многие кольца целых чисел в полях алгебраических чисел не допускают однозначной факторизации. Существует алгебраическое препятствие, называемое группой идеальных классов. Когда группа идеальных классов тривиальна, кольцо представляет собой UFD. Когда это не так, существует различие между простым элементом и неприводимым элементом . Неприводимый элемент $x$ — это такой элемент, что если $x = yz$ , то либо $y$ , либо $z$ являются единицей. Это элементы, которые невозможно учитывать дальше. Каждый элемент из O допускает факторизацию на неприводимые элементы, но может допускать более одного элемента. Это связано с тем, что, хотя все простые элементы неприводимы, некоторые неприводимые элементы могут не быть простыми. Например, рассмотрим кольцо $Z [\sqrt -5]$ . ^[13] В этом кольце числа $3$ , $2 + \sqrt -5$ и $2 - \sqrt -5$ неприводимые. Это означает, что число $9$ имеет две факторизации на неприводимые элементы:

9=3^{2}=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).

Это уравнение показывает, что $3$ делит произведение $(2 + \sqrt -5)(2 - \sqrt -5) = 9$ . Если бы $3$ было простым элементом, то оно делило бы $2 + \sqrt -5$ или $2 - \sqrt -5$ , но это не так, поскольку все элементы, делящиеся на $3$ , имеют форму $3 a + 3 b \sqrt -5$ . Аналогично, $2 + \sqrt -5$ и $2 - \sqrt -5$ делят произведение $32$ , но ни один из этих элементов не делит само число $3$ , поэтому ни один из них не является простым. Поскольку нет никакого смысла, в котором элементы $3$ , $2 + \sqrt -5$ и $2 - \sqrt -5$ могут быть эквивалентны, уникальная факторизация в $Z [\sqrt -5]$ невозможна . В отличие от ситуации с подразделениями, где уникальность можно исправить, ослабив определение, преодоление этой неудачи требует нового взгляда.

Факторизация на простые идеалы

Если $I$ — идеал в $O$ , то всегда существует факторизация

I={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}},

где каждый является простым идеалом и где это выражение уникально с точностью до порядка множителей. В частности, это верно, если $I$ — главный идеал, порожденный одним элементом. Это самый сильный смысл, в котором кольцо целых чисел общего числового поля допускает уникальную факторизацию. На языке теории колец это говорит, что кольца целых чисел являются дедекиндовыми областями . ${\mathfrak {p}}_{i}$

Когда $O$ является UFD, каждый простой идеал порождается простым элементом. В противном случае существуют простые идеалы, которые не порождены простыми элементами. Например, в $Z [\sqrt -5] идеал$ $(2, 1 + \sqrt -5)$ является простым идеалом, который не может быть порожден одним элементом.

Исторически идее разделения идеалов на простые идеалы предшествовало введение Эрнстом Куммером идеальных чисел. Это числа, лежащие в расширении поля $E$ поля $K.$ Это поле расширения теперь известно как поле класса Гильберта. По теореме о главном идеале каждый простой идеал $O$ порождает главный идеал кольца целых чисел $E.$ Генератор этого главного идеала называется идеальным числом. Куммер использовал их в качестве замены неудачной факторизации в круговых полях . В конечном итоге это привело к тому, что Ричард Дедекинд представил предшественника идеалов и доказал уникальную факторизацию идеалов.

Идеал, который является простым в кольце целых чисел в одном числовом поле, может не быть простым при расширении на большее числовое поле. Рассмотрим, например, простые числа. Соответствующие идеалы $p Z$ являются простыми идеалами кольца $Z$ . Однако, когда этот идеал расширяется до гауссовых целых чисел, чтобы получить $p Z [i]$ , он может быть простым, а может и не быть. Например, факторизация $2 = (1 + i)(1 - i)$ означает, что

2\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i]\cdot (1-i)\mathbf {Z} [i]=((1+i)\mathbf {Z} [i])^{2};

обратите внимание, что, поскольку $1 + i = (1 - i) \cdot i$ , идеалы, порожденные $1 + i$ и $1 - i$ , одинаковы. Полный ответ на вопрос, какие идеалы остаются простыми в гауссовских целых числах, дает теорема Ферма о суммах двух квадратов . Из этого следует , что для нечетного простого числа $p$ $p Z [i]$ является простым идеалом, если $p \equiv 3 (mod 4)$ , и не является простым идеалом, если $p \equiv 1 (mod 4)$ . Это, вместе с наблюдением, что идеал $(1 + i) Z [i]$ является простым, дает полное описание простых идеалов в гауссовских целых числах. Обобщение этого простого результата на более общие кольца целых чисел является основной проблемой теории алгебраических чисел. Теория полей классов достигает этой цели, когда K является абелевым расширением Q ( то есть расширением Галуа с абелевой группой Галуа).

Идеальная группа класса

Уникальная факторизация терпит неудачу тогда и только тогда, когда существуют простые идеалы, которые не являются главными. Объект, который измеряет неспособность простых идеалов быть главными, называется группой идеальных классов. Определение группы классов идеалов требует расширения набора идеалов в кольце целых алгебраических чисел так, чтобы они допускали групповую структуру. Это достигается путем обобщения идеалов до дробных идеалов . Дробный идеал — это аддитивная подгруппа $J$ группы $K$ , замкнутая относительно умножения на элементы из $O$ , что означает, что xJ $\subseteq J,$ если $x \in O.$ Все идеалы $О$ также являются дробными идеалами. Если $I$ и $J$ — дробные идеалы, то множество $IJ$ всех произведений элемента из $I$ и элемента из $J$ также является дробным идеалом. Эта операция превращает множество ненулевых дробных идеалов в группу. Групповая идентичность — это идеал $(1) = O$ , а обратная $J$ — это (обобщенный) идеальный фактор :

J^{-1}=(O:J)=\{x\in K:xJ\subseteq O\}.

Главные дробные идеалы, то есть идеалы вида $Ox$ , где $x \in K \times$ , образуют подгруппу группы всех ненулевых дробных идеалов. Фактор группы ненулевых дробных идеалов по этой подгруппе является группой классов идеалов. Два дробных идеала $I$ и $J$ представляют один и тот же элемент группы классов идеалов тогда и только тогда, когда существует элемент $x \in K$ такой, что $xI = J$ . Следовательно, группа идеальных классов делает два дробных идеала эквивалентными, если один из них так же близок к главному, как и другой. Группу идеальных классов обычно обозначают $Cl K$ , $Cl O$ или $Pic O$ (последнее обозначение отождествляет ее с группой Пикара в алгебраической геометрии).

Количество элементов в группе классов называется номером класса K. Номер класса $Q (\sqrt -5)$ равен 2. Это означает, что существует только два идеальных класса: класс главных дробных идеалов и класс неглавного дробного идеала, такого как $(2, 1 + \sqrt -5)$ .

Идеальная группа классов имеет другое описание в терминах делителей . Это формальные объекты, представляющие возможные факторизации чисел. Группа дивизоров $Div K$ определяется как свободная абелева группа , порожденная простыми идеалами $O$ . Существует групповой гомоморфизм из $K \times$ , ненулевых элементов $K$ с точностью до умножения, в $Div K$ . Предположим, что $x \in K$ удовлетворяет условию

(x)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}}.

Тогда $div x$ определяется как делитель

\operatorname {div} x=\sum _{i=1}^{t}e_{i}[{\mathfrak {p}}_{i}].

Ядро div — это группа единиц в $O$ , а коядро — $идеальная группа$ классов . На языке гомологической алгебры это говорит о том, что существует точная последовательность абелевых групп (записанная мультипликативно),

1\to O^{\times }\to K^{\times }{\xrightarrow {\text{div}}}\operatorname {Div} K\to \operatorname {Cl} K\to 1.

Реальные и сложные вложения

Некоторые числовые поля, такие как $Q (\sqrt 2)$ , могут быть указаны как подполя действительных чисел. Другие, такие как $Q (\sqrt -1)$ , не могут. Абстрактно такая спецификация соответствует гомоморфизму полей $K \to R$ или $K \to C$ . Они называются действительными вложениями и комплексными вложениями соответственно.

Вещественное квадратичное поле $Q (\sqrt a)$ с $a \in Q, a > 0$ и $a$ не идеальным квадратом , называется так потому, что оно допускает два вещественных вложения, но не допускает комплексных вложений. Это гомоморфизмы полей, которые переводят $\sqrt a$ в $\sqrt a$ и в $-\sqrt a$ соответственно. Двойственным образом мнимое квадратичное поле $Q (\sqrt - a)$ не допускает вещественных вложений, но допускает сопряженную пару комплексных вложений. Одно из этих вложений переводит $\sqrt - a$ в $\sqrt - a$ , а другое отправляет его в его комплексно-сопряженное выражение $-\sqrt - a$ .

Обычно количество вещественных вложений $K$ обозначается $r 1$ , а количество сопряженных пар комплексных вложений обозначается $r 2$ . Сигнатурой K $является$ пара ( $r$ $1$ $,$ $r$ $2$ $)$ . _ Это теорема, что $r$ $1$ $+ 2$ r $2$ $=$ $d$ $,$ где $d$ — степень $K.$

Рассмотрение всех вложений одновременно определяет функцию , или, что то же самое, это называется вложением Минковского . $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}$ $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {R} ^{2r_{2}}.$

Подпространство кодомена, фиксированное комплексным сопряжением, представляет собой вещественное векторное пространство размерности $d$ , называемое пространством Минковского . Поскольку вложение Минковского определяется гомоморфизмами полей, умножение элементов $K$ на элемент $x \in K$ соответствует умножению на диагональную матрицу во вложении Минковского. Скалярное произведение в пространстве Минковского соответствует форме следа . $\langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)$

Образ $O$ при вложении Минковского представляет собой $d$ -мерную решетку . Если $B$ — базис этой решетки, $то$ $det B T B$ — дискриминант O. Дискриминант обозначается $Δ$ или $D$ . Кообъем изображения $О$ равен . ${\sqrt {|\Delta |}}$

Места

Реальные и сложные вложения можно поставить на один уровень с первичными идеалами, если принять точку зрения, основанную на оценках . Рассмотрим, например, целые числа. В дополнение к обычной функции абсолютного значения |·| : Q → R существуют p-адические абсолютные функции |·| _p : Q → R , определенные для каждого простого числа p , которые измеряют делимость на p . Теорема Островского утверждает, что это все возможные функции абсолютного значения на Q (с точностью до эквивалентности). Следовательно, абсолютные значения являются общим языком для описания как реального вложения Q , так и простых чисел.

Местом поля алгебраических чисел является класс эквивалентности функций абсолютного значения на K . Есть два типа мест. Для каждого простого идеала O существует -адическое абсолютное значение , и , как и p - адические абсолютные значения, оно измеряет делимость. Они называются конечными местами . Другой тип места задается с использованием вещественного или комплексного вложения K и стандартной функции абсолютного значения для R или C. Это бесконечные места . Поскольку абсолютные значения не могут отличить комплексное вложение от сопряженного, комплексное вложение и сопряженное ему определяют одно и то же место. Следовательно, имеется $r$ $1$ действительных мест и $r$ $2$ сложных мест. Поскольку места включают в себя простые числа, места иногда называют простыми числами . Когда это будет сделано, конечные места называются конечными простыми числами , а бесконечные места называются бесконечными простыми числами . Если $v$ — это оценка, соответствующая абсолютному значению, то часто пишут , что это означает, что $v$ — бесконечное место, и означает, что это конечное место. ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ $v\mid \infty$ $v\nmid \infty$

Если рассматривать все места поля вместе, получается кольцо аделей числового поля. Кольцо Адель позволяет одновременно отслеживать все доступные данные в абсолютных значениях. Это дает значительные преимущества в ситуациях, когда поведение в одном месте может влиять на поведение в других местах, как в законе взаимности Артина .

Места на бесконечности геометрически

Существует геометрическая аналогия для точек на бесконечности, которая справедлива для функциональных полей кривых. Например, пусть и — гладкая проективная алгебраическая кривая . Поле функции имеет множество абсолютных значений или мест, каждое из которых соответствует точке на кривой. Если — проективное пополнение аффинной кривой , то точки соответствуют точкам на бесконечности. Тогда пополнение в одной из этих точек дает аналог -адиков . $k=\mathbb {F} _{q}$ $X/k$ $F=k(X)$ $X$ ${\hat {X}}\subset \mathbb {A} ^{n}$ $X-{\hat {X}}$ $F$ $p$

Например, если тогда его функциональное поле изоморфно где - индетерминант и поле является полем частных многочленов в . Тогда место в точке измеряет порядок исчезновения или порядок полюса дроби многочленов в точке . Например, если , то на аффинной диаграмме это соответствует точке , оценка измеряет порядок исчезновения минус порядок исчезновения в . Поле функции завершения на месте тогда является полем степенного ряда в переменной , поэтому элемент имеет вид $X=\mathbb {P} ^{1}$ $k(t)$ $t$ $F$ $t$ $v_{p}$ $p\in X$ $p(x)/q(x)$ $p$ $p=[2:1]$ $x_{1}\neq 0$ $2\in \mathbb {A} ^{1}$ $v_{2}$ $p(x)$ $q(x)$ $2$ $v_{2}$ $k((t-2))$ $t-2$

${\begin{aligned}&a_{-k}(t-2)^{-k}+\cdots +a_{-1}(t-2)^{-1}+a_{0}+a_{1}(t-2)+a_{2}(t-2)^{2}+\cdots \\&=\sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(t-2)^{n}\end{aligned}}$

для некоторых . Для места на бесконечности это соответствует функциональному полю , которое представляет собой степенной ряд вида $k\in \mathbb {N}$ $k((1/t))$

$\sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(1/t)^{n}$

Единицы

Целые числа имеют только две единицы: $1$ и $-1$ . Другие кольца целых чисел могут содержать больше единиц. Гауссовы целые числа имеют четыре единицы: предыдущие две, а также $\pm i$ . Целые числа Эйзенштейна Z $[exp(2π i /3)]$ имеют шесть единиц. Целые числа в полях действительных квадратичных чисел имеют бесконечное число единиц. Например, в $Z [\sqrt 3]$ каждая степень числа $2 + \sqrt 3$ является единицей, и все эти степени различны.

В общем, группа единиц $O$ , обозначаемая $O \times$ , является конечно порожденной абелевой группой. Таким образом, из фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах следует, что они представляют собой прямую сумму периодической части и свободной части. Если переосмыслить это в контексте числового поля, то торсионная часть состоит из корней из единицы , лежащих в $O.$ Эта группа циклическая. Свободная часть описывается теоремой Дирихле о единице . Эта теорема гласит, что ранг свободной части равен $r 1 + r 2 - 1$ . Так, например, единственные поля, у которых ранг свободной части равен нулю, — это $Q$ и мнимые квадратичные поля. Возможна также более точная формулировка, дающая структуру O ^× ⊗ _Z Q как модуля Галуа для группы Галуа группы K / Q . ^[14]

Свободную часть единичной группы можно изучить, используя бесконечные места $K$ . Рассмотрим функцию

{\begin{cases}L:K^{\times }\to \mathbf {R} ^{r_{1}+r_{2}}\\L(x)=(\log |x|_{v})_{v}\end{cases}}

где $v$ меняется в бесконечных точках $K$ и |·| _v — абсолютное значение, связанное с $v$ . Функция $L$ является гомоморфизмом из $K \times$ в вещественное векторное пространство. Можно показать, что образ $O \times$ представляет собой решетку, охватывающую гиперплоскость, определяемую Кообъем этой решетки является регулятором числового поля. Одно из упрощений, ставших возможными при работе с кольцом аделей, состоит в том, что существует единственный объект, группа классов иделей , которая описывает как фактор по этой решетке, так и группу идеальных классов. $x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.$

Дзета-функция

Дзета -функция Дедекинда числового поля, аналогичная дзета - функции Римана , представляет собой аналитический объект, который описывает поведение простых идеалов в $K.$ Когда $K$ является абелевым расширением $Q$ , дзета-функции Дедекинда являются произведениями L-функций Дирихле , причем для каждого характера Дирихле имеется один множитель . Тривиальный характер соответствует дзета-функции Римана. Когда $K$ является расширением Галуа , дзета-функция Дедекинда является L-функцией Артина регулярного представления группы Галуа $K$ и имеет факторизацию в терминах неприводимых представлений Артина группы Галуа.

Дзета-функция связана с другими инвариантами, описанными выше, формулой номера класса .

Локальные поля

Заполнение числового поля K в месте w дает полное поле . Если оценка является архимедовой, получается R или C , если она неархимедова и лежит над простым числом p рациональных чисел, то получается конечное расширение - полное дискретнозначное поле с конечным полем вычетов. Этот процесс упрощает арифметику поля и позволяет локально изучать проблемы. Например, теорему Кронекера–Вебера легко вывести из аналогичного локального утверждения. Философия изучения локальных полей в значительной степени мотивирована геометрическими методами. В алгебраической геометрии многообразия обычно изучаются локально в точке путем локализации к максимальному идеалу. Глобальную информацию затем можно восстановить путем склейки локальных данных. Этот дух принят в алгебраической теории чисел. Учитывая простое число в кольце целых алгебраических чисел в числовом поле, желательно изучать поле локально в этом простом числе. Следовательно, кольцо целых алгебраических чисел локализуется по этому простому числу, а затем дополняется поле дробей во многом в духе геометрии. $K_{w}/\mathbf {Q} _{p}:$

Основные результаты

Конечность группы классов

Одним из классических результатов теории алгебраических чисел является то, что группа идеальных классов поля алгебраических чисел K конечна. Это следствие теоремы Минковского , поскольку существует только конечное число интегральных идеалов с нормой меньше фиксированного положительного целого числа ^[15], ^{стр. 78} . Порядок группы классов называется номером класса и часто обозначается буквой h .

Теорема Дирихле о единице

Теорема Дирихле о единицах дает описание структуры мультипликативной группы единиц O ^× кольца целых чисел O . В частности, оно утверждает, что O ^× изоморфно G × Z ^r , где G — конечная циклическая группа, состоящая из всех корней из единицы из O , и r = r ₁ + r ₂ − 1 (где r ₁ (соответственно r ₂ ) обозначает количество вещественных вложений (соответственно пар сопряженных невещественных вложений) K ). Другими словами, O ^× — конечно порожденная абелева группа ранга r ₁ + r _{2 − 1}, кручение которой состоит из корней из единицы из O .

Законы взаимности

В терминах символа Лежандра закон квадратичной взаимности для положительных нечетных простых чисел гласит:

\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.

Закон взаимности является обобщением закона квадратичной взаимности .

Существует несколько различных способов выражения законов взаимности. Ранние законы взаимности, обнаруженные в 19 веке, обычно выражались в терминах символа степенного вычета ( p / q ), обобщающего квадратичный символ взаимности , который описывает, когда простое число является вычетом n-й степени по модулю другого простого числа, и давали соотношение между ( p / q ) и ( q / p ). Гильберт переформулировал законы взаимности так, что произведение символов Гильберта ( a , b / p ) по p , принимающих значения в корнях из единицы, равно 1. Переформулированный закон взаимности Артина утверждает, что символ Артина из идеалов (или ideles) к элементам группы Галуа тривиально на некоторой подгруппе. Несколько более поздних обобщений выражают законы взаимности, используя когомологии групп или представления адельных групп или алгебраических K-групп, и их связь с исходным квадратичным законом взаимности может быть трудно увидеть.

Формула номера класса

Формула числа классов связывает многие важные инварианты числового поля со специальным значением его дзета-функции Дедекинда.

Связанные области

Алгебраическая теория чисел взаимодействует со многими другими математическими дисциплинами. Он использует инструменты гомологической алгебры . По аналогии между функциональными и числовыми полями, он опирается на методы и идеи алгебраической геометрии. Более того, изучение многомерных схем над Z вместо числовых колец называется арифметической геометрией . Алгебраическая теория чисел также используется при изучении арифметических гиперболических 3-многообразий .

Смотрите также

Примечания

^ Старк, стр. 145–146.
^ Аксель, стр. 14–15.
^ Старк, стр. 44–47.
^ Гаусс, Карл Фридрих; Уотерхаус, Уильям К. (2018) [1966], Disquisitiones Arithmeticae, Springer, ISBN 978-1-4939-7560-0
^ ab Эльстродт, Юрген (2007), «Жизнь и творчество Густава Лежена Дирихле (1805–1859)» (PDF) , Clay Mathematics Proceedings , заархивировано из оригинала (PDF) 22 мая 2021 г. , получено 12 мая 2007 г. -25
^ Канемицу, Сигэру; Чаохуа Цзя (2002), Теоретико-числовые методы: будущие тенденции , Springer, стр. 271–4, ISBN 978-1-4020-1080-4
^ Рид, Констанс (1996), Гилберт , Спрингер , ISBN 0-387-94674-8
^ Эта работа сделала Такаги первым японским математиком международного уровня.
^ Хассе, Хельмут (2010) [1967], «История теории поля классов», в Касселсе, JWS ; Фрелих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел (2-е изд.), Лондон: 9780950273426, стр. 266–279, MR 0215665.
^ Сингх, Саймон (1997), Последняя теорема Ферма , Четвертое сословие, ISBN 1-85702-521-0
↑ Колата, Джина (24 июня 1993 г.). «Наконец-то крик «Эврика!» В вековой математической тайне». Нью-Йорк Таймс . Проверено 21 января 2013 г.
^ Эти обозначения указывают на кольцо, полученное из Z присоединением к Z элемента i .
^ Эти обозначения указывают на кольцо, полученное из Z присоединением к Z элемента $\sqrt -5$ .
^ См. предложение VIII.8.6.11 Нойкирха, Шмидта и Вингберга, 2000 г.
^ Штейн. «Вычислительное введение в алгебраическую теорию чисел» (PDF) .

Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, МР 1737196, Збл 0948.11001

дальнейшее чтение

Вводные тексты

Стейн, Уильям (2012), Алгебраическая теория чисел, вычислительный подход (PDF)
Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (2013), Классическое введение в современную теорию чисел , том. 84, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 978-1-4757-2103-4
Стюарт, Ян ; Талл, Дэвид (2015), Алгебраическая теория чисел и Великая теорема Ферма, CRC Press, ISBN 978-1-4987-3840-8

Промежуточные тексты

Маркус, Дэниел А. (2018), Числовые поля (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3-319-90233-3

Тексты для выпускников

Касселс, JWS ; Фрелих, Альбрехт , ред. (2010) [1967], Алгебраическая теория чисел (2-е изд.), Лондон: 9780950273426, MR 0215665
Фрелих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин Дж. (1993), Алгебраическая теория чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 27, Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-43834-9, МР 1215934
Ланг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел , Тексты для аспирантов по математике , вып. 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-94225-4, МР 1282723
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. МР 1697859. Збл 0956.11021.

Внешние ссылки

СМИ, связанные с алгебраической теорией чисел, на Викискладе?
«Алгебраическая теория чисел», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]