Аналитическое продолжение

Расширение области определения аналитической функции (математика)

В комплексном анализе , разделе математики , аналитическое продолжение — это метод расширения области определения данной аналитической функции . Аналитическое продолжение часто успешно определяет дальнейшие значения функции, например, в новой области, где представление бесконечного ряда , которое изначально определяло функцию, становится расходящимся .

Однако техника пошагового продолжения может столкнуться с трудностями. Они могут иметь по существу топологическую природу, приводя к несоответствиям (определяя более одного значения). Они могут также быть связаны с наличием особенностей . Случай нескольких комплексных переменных несколько отличается, поскольку особенности тогда не обязательно должны быть изолированными точками, и его исследование стало основной причиной развития когомологий пучков .

Первоначальное обсуждение

Аналитическое продолжение натурального логарифма (мнимая часть)

Предположим, что f — аналитическая функция, определенная на непустом открытом подмножестве U комплексной плоскости . Если V — большее открытое подмножество , содержащее U , а F — аналитическая функция, определенная на V, такая, что ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

тогда F называется аналитическим продолжением f . Другими словами, ограничение F на U — это функция f, с которой мы начали.

Аналитические продолжения единственны в следующем смысле: если V — связная область двух аналитических функций F ₁ и F ₂ таких, что U содержится в V и для всех z из U

${\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z),}$

затем

${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

на всех V . Это происходит потому, что F ₁  −  F ₂ является аналитической функцией, которая обращается в нуль на открытой связной области U функции f и, следовательно, должна обращаться в нуль на всей своей области определения. Это следует непосредственно из теоремы о тождестве для голоморфных функций .

Приложения

Обычный способ определения функций в комплексном анализе заключается в том, что сначала функция задается только в небольшой области, а затем расширяется с помощью аналитического продолжения.

На практике это продолжение часто осуществляется путем установления сначала некоторого функционального уравнения на малой области, а затем использования этого уравнения для расширения области. Примерами являются дзета-функция Римана и гамма-функция .

Концепция универсального покрытия была впервые разработана для определения естественной области для аналитического продолжения аналитической функции . Идея нахождения максимального аналитического продолжения функции в свою очередь привела к развитию идеи римановых поверхностей .

Аналитическое продолжение используется в римановых многообразиях , в контексте решений уравнений Эйнштейна . Например, координаты Шварцшильда могут быть аналитически продолжены в координаты Крускала–Секереша . ^[1]

Рабочий пример

Аналитическое продолжение от U (с центром в 1) до V (с центром в a=(3+i)/2)

Начнем с конкретной аналитической функции . В этом случае она задается степенным рядом с центром в : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=1}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(z-1)^{k}.}$$

По теореме Коши–Адамара его радиус сходимости равен 1. То есть определен и аналитичен на открытом множестве , имеющем границу . Действительно, ряд расходится при . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U=\{|z-1|<1\}}$ ${\displaystyle \partial U=\{|z-1|=1\}}$ ${\displaystyle z=0\in \partial U}$

Притворимся, что мы этого не знаем , и сосредоточимся на центрировании степенного ряда в другой точке : ${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle a\in U}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}.}$$

Мы вычислим ' и определим, сходится ли этот новый степенной ряд в открытом множестве , которое не содержится в . Если это так, то мы аналитически продолжим в область, которая строго больше . ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\cup V}$ ${\displaystyle U}$

Расстояние от до равно . Возьмем ; пусть будет круг радиусом вокруг ; и пусть будет его границей. Тогда . Используя формулу дифференциации Коши для вычисления новых коэффициентов, имеем ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle \rho =1-|a-1|>0}$ ${\displaystyle 0<r<\rho }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle D\cup \partial D\subset U}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{\partial D}{\frac {(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a+re^{i\theta }-1)^{n}rie^{i\theta }d\theta }{(re^{i\theta })^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a-1+re^{i\theta })^{n}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{n-m}(re^{i\theta })^{m}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{n-m}r^{m-k}\int _{0}^{2\pi }e^{i(m-k)\theta }d\theta \\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\&=\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\\&=(-1)^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}(1-a)^{m}\\&=(-1)^{k}a^{-k-1}\end{aligned}}.}$$

Последнее суммирование получается из k- го вывода геометрической прогрессии , что дает формулу $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{k+1}}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}x^{m}.}$$

Затем, $${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a^{-k-1}(z-a)^{k}\\&={\frac {1}{a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{a}}{\frac {1}{1-\left(1-{\frac {z}{a}}\right)}}\\&={\frac {1}{z}}\\&={\frac {1}{(z+a)-a}}\end{aligned}}}$$

который имеет радиус сходимости вокруг . Если мы выберем с , то не является подмножеством и на самом деле больше по площади, чем . График показывает результат для ${\displaystyle |a|}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle |a|>1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}(3+i).}$

Мы можем продолжить процесс: выбрать , центрировать степенной ряд в , и определить, где сходится новый степенной ряд. Если область содержит точки, не входящие в , то мы аналитически продолжим еще дальше. Это можно аналитически продолжить на всю проколотую комплексную плоскость ${\displaystyle b\in U\cup V}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle U\cup V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$

В этом частном случае полученные значения совпадают, когда последовательные центры имеют положительную мнимую часть или отрицательную мнимую часть. Это не всегда так; в частности, это не так для комплексного логарифма , первообразной вышеуказанной функции. ${\displaystyle f(-1)}$

Формальное определение микроба

Определенный ниже степенной ряд обобщается идеей ростка . Общая теория аналитического продолжения и ее обобщений известна как теория пучков . Пусть

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

— степенной ряд , сходящийся в круге D _r ( z ₀ ), r > 0, определяемый соотношением

${\displaystyle D_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<r\}}$.

Обратите внимание, что без потери общности здесь и далее мы всегда будем предполагать, что было выбрано максимальное такое r , даже если это r равно ∞. Также обратите внимание, что было бы эквивалентно начать с аналитической функции, определенной на некотором малом открытом множестве. Мы говорим, что вектор

${\displaystyle g=(z_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots )}$

является ростком f . Основа g ₀ элемента g — это z ₀ , основа элемента g — это (α ₀ , α ₁ , α ₂ , ...), а вершина g 1 _{элемента} g — это α ₀ . Вершина элемента g — это значение f в точке z ₀ .

Любой вектор g = ( z ₀ , α ₀ , α ₁ , ...) является ростком, если он представляет собой степенной ряд аналитической функции вокруг z ₀ с некоторым радиусом сходимости r > 0. Поэтому мы можем с уверенностью говорить о множестве ростков . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Топология множества ростков

Пусть g и h — ростки . Если где r — радиус сходимости g , и если степенной ряд, определяемый g и h, задает идентичные функции на пересечении двух областей, то мы говорим, что h порождается (или совместим с) g , и мы пишем g ≥ h . Это условие совместимости не является ни транзитивным, ни симметричным, ни антисимметричным. Если мы расширим отношение транзитивностью , мы получим симметричное отношение, которое, следовательно, также является отношением эквивалентности на ростках (но не упорядочением). Это расширение транзитивностью является одним из определений аналитического продолжения. Отношение эквивалентности будет обозначаться . ${\displaystyle |h_{0}-g_{0}|<r}$ ${\displaystyle \cong }$

Мы можем определить топологию на . Пусть r > 0, и пусть ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle U_{r}(g)=\{h\in {\mathcal {G}}:g\geq h,|g_{0}-h_{0}|<r\}.}$

Множества U _r ( g ) для всех r > 0 и определяют базис открытых множеств для топологии на . ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Связный компонент ( т.е. класс эквивалентности) называется пучком . Отметим также, что отображение, определяемое соотношением , где r — радиус сходимости g , является картой . Набор таких карт образует атлас для , следовательно, является римановой поверхностью . иногда называется универсальной аналитической функцией . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \phi _{g}(h)=h_{0}:U_{r}(g)\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Примеры аналитического продолжения

${\displaystyle L(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(z-1)^{k}}$

представляет собой степенной ряд, соответствующий натуральному логарифму вблизи z = 1. Этот степенной ряд можно превратить в зародыш

${\displaystyle g=\left(1,0,1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},\ldots \right)}$

Этот росток имеет радиус сходимости 1, поэтому ему соответствует пучок S. Это пучок функции логарифма.

Теорема единственности для аналитических функций распространяется также на пучки аналитических функций: если пучок аналитической функции содержит нулевой росток (т. е. пучок равномерно равен нулю в некоторой окрестности), то весь пучок равен нулю. Вооружившись этим результатом, мы можем видеть, что если мы возьмем любой росток g пучка S логарифмической функции, как описано выше, и превратим его в степенной ряд f ( z ), то эта функция будет обладать свойством exp( f ( z )) = z . Если бы мы решили использовать версию теоремы об обратной функции для аналитических функций, мы могли бы построить большое разнообразие обратных функций для экспоненциального отображения, но мы бы обнаружили, что все они представлены некоторым ростком в S . В этом смысле S является «единственным истинным обратным» экспоненциального отображения.

В старой литературе пучки аналитических функций назывались многозначными функциями . См. пучок для общей концепции.

Естественная граница

Предположим, что степенной ряд имеет радиус сходимости r и определяет аналитическую функцию f внутри этого круга. Рассмотрим точки на окружности сходимости. Точка, для которой существует окрестность, на которой f имеет аналитическое продолжение, является регулярной , в противном случае сингулярной . Окружность является естественной границей, если все ее точки сингулярны.

В более общем смысле мы можем применить это определение к любой открытой связной области, на которой f является аналитической, и классифицировать точки границы области как регулярные или особые: граница области тогда является естественной границей, если все точки являются особыми, и в этом случае область является областью голоморфности .

Пример I: Функция с естественной границей в нуле (простая дзета-функция)

Ибо мы определяем так называемую простую дзета-функцию , как ${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle P(s)}$

${\displaystyle P(s):=\sum _{p\ {\text{ prime}}}p^{-s}.}$

Эта функция аналогична суммирующей форме дзета-функции Римана , поскольку она является той же суммирующей функцией , что и , за исключением индексов, ограниченных только простыми числами вместо взятия суммы по всем положительным натуральным числам . Простая дзета-функция имеет аналитическое продолжение ко всем комплексным s таким образом, что , факт, который следует из выражения логарифмами дзета- функции Римана как ${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle 0<\Re (s)<1}$ ${\displaystyle P(s)}$

${\displaystyle P(s)=\sum _{n\geq 1}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}.}$

Так как имеет простой, несъемный полюс в , то можно видеть, что имеет простой полюс в . Так как множество точек ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle s:=1}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle s:={\tfrac {1}{k}},\forall k\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \operatorname {Sing} _{P}:=\left\{k^{-1}:k\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}}$

имеет точку накопления 0 (предел последовательности как ), мы можем видеть, что ноль образует естественную границу для . Это означает, что не имеет аналитического продолжения для s слева от (или в) нуля, т. е. продолжение невозможно для , когда . В качестве замечания, этот факт может быть проблематичным, если мы выполняем комплексный контурный интеграл по интервалу, действительные части которого симметричны относительно нуля, скажем, для некоторого , где подынтегральное выражение является функцией со знаменателем, который зависит от существенным образом. ${\displaystyle k\mapsto \infty }$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle 0\geq \Re (s)}$ ${\displaystyle I_{F}\subseteq \mathbb {C} \ {\text{such that}}\ \Re (s)\in (-C,C),\forall s\in I_{F}}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle P(s)}$

Пример II: Типичный лакунарный ряд (естественная граница как подмножества единичного круга)

Для целых чисел мы определяем лакунарный ряд порядка c с помощью разложения в степенной ряд ${\displaystyle c\geq 2}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z):=\sum _{n\geq 1}z^{c^{n}},|z|<1.}$

Очевидно, поскольку существует функциональное уравнение для для любого z, удовлетворяющее заданному . Также нетрудно увидеть, что для любого целого числа , у нас есть еще одно функциональное уравнение для заданного ${\displaystyle c^{n+1}=c\cdot c^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=z^{c}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c})}$ ${\displaystyle m\geq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{m-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{m}}),\forall |z|<1.}$

Для любых положительных натуральных чисел c функция лакунарного ряда расходится при . Рассмотрим вопрос об аналитическом продолжении на другие комплексные z такие, что Как мы увидим, для любого функция расходится на корнях степени - из единицы. Следовательно, поскольку множество, образованное всеми такими корнями, плотно на границе единичного круга, не существует аналитического продолжения на комплексные z , модуль которых превышает единицу. ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|>1.}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle c^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$

Доказательство этого факта обобщается из стандартного рассуждения для случая, когда ^[2] А именно, для целых чисел пусть ${\displaystyle c:=2.}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{c,n}:=\left\{z\in \mathbb {D} \cup \partial {\mathbb {D} }:z^{c^{n}}=1\right\},}$

где обозначает открытый единичный круг в комплексной плоскости и , т. е. существуют различные комплексные числа z , которые лежат на единичной окружности или внутри нее, такие что . Теперь ключевая часть доказательства заключается в использовании функционального уравнения для того, когда нужно показать, что ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle |{\mathcal {R}}_{c,n}|=c^{n}}$ ${\displaystyle c^{n}}$ ${\displaystyle z^{c^{n}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$

${\displaystyle \forall z\in {\mathcal {R}}_{c,n},\qquad {\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{n}})=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(1)=+\infty .}$

Таким образом, для любой дуги на границе единичной окружности существует бесконечное число точек z внутри этой дуги, таких что . Это условие эквивалентно утверждению, что окружность образует естественную границу для функции при любом фиксированном выборе Следовательно, для этих функций не существует аналитического продолжения за пределы внутренней части единичной окружности. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=\infty }$ ${\displaystyle C_{1}:=\{z:|z|=1\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} \quad c>1.}$

Теорема монодромии

Теорема о монодромии дает достаточное условие существования прямого аналитического продолжения (т.е. расширения аналитической функции до аналитической функции на большем множестве).

Предположим, что — открытое множество, а f — аналитическая функция на D. Если G — односвязная область , содержащая D , такая, что f имеет аналитическое продолжение вдоль каждого пути в G , начинающегося из некоторой фиксированной точки a в D , то f имеет прямое аналитическое продолжение в G. ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$

На языке выше это означает, что если G — односвязная область, а S — пучок, множество базисных точек которого содержит G , то существует аналитическая функция f на G , ростки которой принадлежат S.

Теорема Адамара о зазоре

Для степенного ряда

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{n_{k}}}$

с

${\displaystyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {n_{k+1}}{n_{k}}}>1}$

круг сходимости является естественной границей. Такой степенной ряд называется лакунарным . Эта теорема была существенно обобщена Эженом Фабри (см. теорему Фабри о зазоре ) и Джорджем Полиа .

Теорема Полиа

Позволять

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

— степенной ряд, то существуют ε _k ∈ {−1, 1} такие, что

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\varepsilon _{k}\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

имеет круг сходимости f вокруг z ₀ в качестве естественной границы.

Доказательство этой теоремы использует теорему Адамара о зазоре.

Смотрите также

• звезда Миттаг-Леффлера
• Голоморфное функциональное исчисление
• Числовое аналитическое продолжение

Ссылки

1. Kruskal, MD (1960-09-01). "Максимальное расширение метрики Шварцшильда". Physical Review . 119 (5): 1743–1745. Bibcode : 1960PhRv..119.1743K. doi : 10.1103/PhysRev.119.1743.
2. См. пример, приведенный на странице MathWorld для естественной границы.

• Ларс Альфорс (1979). Комплексный анализ (3-е изд.). McGraw-Hill. стр. 172, 284.
• Людвиг Бибербах (1955). Аналитическое Форцецунг . Спрингер-Верлаг.
• P. Dienes (1957). Ряд Тейлора: введение в теорию функций комплексного переменного . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc.

Внешние ссылки

• «Аналитическое продолжение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Аналитическое продолжение в MathPages
• Вайсштейн, Эрик В. «Аналитическое продолжение». MathWorld .