Интегральная формула Коши

Предоставляет интегральные формулы для всех производных голоморфной функции.

В математике интегральная формула Коши , названная в честь Огюстена-Луи Коши , является центральным утверждением в комплексном анализе . Она выражает тот факт, что голоморфная функция, определенная на диске, полностью определяется своими значениями на границе диска, и она дает интегральные формулы для всех производных голоморфной функции. Формула Коши показывает, что в комплексном анализе «дифференциация эквивалентна интегрированию»: комплексное дифференцирование, как и интегрирование, хорошо ведет себя в равномерных пределах — результат, который не выполняется в реальном анализе .

Теорема

Пусть U — открытое подмножество комплексной плоскости C , и предположим, что замкнутый диск D , определенный как , полностью содержится в U. Пусть f  : U → C — голоморфная функция , а γ — окружность , ориентированная против часовой стрелки и образующая границу D. Тогда для любого a внутри D , $${\displaystyle D={\bigl \{}z:|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}}$$ $${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz.\,}$$

Доказательство этого утверждения использует интегральную теорему Коши и, подобно этой теореме, требует только, чтобы f была комплексно дифференцируемой . Поскольку ее можно разложить в степенной ряд по переменной, то следует, что голоморфные функции являются аналитическими , т. е. их можно разложить в сходящиеся степенные ряды. В частности, f на самом деле бесконечно дифференцируема, причем ${\displaystyle 1/(z-a)}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}}}$$ $${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{\left(z-a\right)^{n+1}}}\,dz.}$$

Эту формулу иногда называют формулой дифференцирования Коши .

Сформулированную выше теорему можно обобщить. Окружность γ можно заменить любой замкнутой спрямляемой кривой в U , которая имеет число оборотов один вокруг a . Более того, как и для интегральной теоремы Коши, достаточно потребовать, чтобы f была голоморфной в открытой области, охватываемой путем , и непрерывной на его замыкании .

Обратите внимание, что не каждая непрерывная функция на границе может быть использована для создания функции внутри границы, которая соответствует заданной граничной функции. Например, если мы положим функцию f ( z ) = ⁠1/з⁠ , определенный для | z | = 1 , в интегральную формулу Коши, мы получаем ноль для всех точек внутри круга. Фактически, задание только действительной части на границе голоморфной функции достаточно, чтобы определить функцию с точностью до мнимой константы — на границе есть только одна мнимая часть, которая соответствует заданной действительной части, с точностью до прибавления константы. Мы можем использовать комбинацию преобразования Мёбиуса и формулы обращения Стилтьеса , чтобы построить голоморфную функцию из действительной части на границе. Например, функция f ( z ) = i − iz имеет действительную часть Re f ( z ) = Im z . На единичной окружности это можно записать ⁠⁠я/з⁠ − из/2⁠ . Используя преобразование Мёбиуса и формулу Стилтьеса, строим функцию внутри круга. ⁠я/з⁠ член не вносит никакого вклада, и мы находим функцию − iz . Она имеет правильную действительную часть на границе, а также дает нам соответствующую мнимую часть, но с погрешностью в константе, а именно i .

Эскиз доказательства

Используя интегральную теорему Коши , можно показать, что интеграл по C (или замкнутой спрямляемой кривой) равен тому же интегралу, взятому по произвольно малой окружности вокруг a . Поскольку f ( z ) непрерывна, мы можем выбрать достаточно малую окружность, на которой f ( z ) будет произвольно близка к f ( a ) . С другой стороны, интеграл по любой окружности C с центром в a . Это можно вычислить напрямую с помощью параметризации ( интегрирование подстановкой ) z ( t ) = a + εe ^{it ,} где 0 ≤ t ≤ 2π, а ε — радиус окружности. $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z-a}}\,dz=2\pi i,}$$

Позволяя ε → 0, получаем искомую оценку $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz-f(a)\right|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}\,dz\right|\\[1ex]&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)}{\varepsilon e^{it}}}\cdot \varepsilon e^{it}i\right)\,dt\right|\\[1ex]&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)\right|}{\varepsilon }}\,\varepsilon \,dt\\[1ex]&\leq \max _{|z-a|=\varepsilon }\left|f(z)-f(a)\right|~~{\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}}~~0.\end{aligned}}}$$

Пример

Поверхность действительной части функции g ( z ) = ⁠з ²/z ² + 2 z + 2⁠ и его особенности, контуры которых описаны в тексте.

Пусть и пусть C — контур, описываемый уравнением | z | = 2 (окружность радиуса 2). $${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}},}$$

Чтобы найти интеграл g ( z ) по контуру C , нам нужно знать особенности g ( z ) . Заметим, что мы можем переписать g следующим образом: где z ₁ = − 1 + i и z ₂ = − 1 − i . $${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}$$

Таким образом, g имеет полюса в z ₁ и z ₂ . Модули этих точек меньше 2 и, таким образом, лежат внутри контура. Этот интеграл можно разбить на два меньших интеграла по теореме Коши–Гурса ; то есть, мы можем выразить интеграл по контуру как сумму интеграла по z ₁ и z ₂ , где контур представляет собой маленькую окружность вокруг каждого полюса. Назовем эти контуры C ₁ вокруг z ₁ и C ₂ вокруг z ₂ .

Теперь каждый из этих меньших интегралов можно оценить с помощью интегральной формулы Коши, но сначала их нужно переписать, чтобы применить теорему. Для интеграла вокруг C ₁ определим f ₁ как f ₁ ( z ) = ( z − z ₁ ) g ( z ) . Это аналитическое выражение (поскольку контур не содержит другой сингулярности). Мы можем упростить f ₁ до: и теперь $${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}$$ $${\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.}$$

Поскольку интегральная формула Коши гласит: мы можем вычислить интеграл следующим образом: $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),}$$ $${\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.}$$

Аналогично поступаем с другим контуром: оцениваем $${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},}$$ $${\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.}$$

Тогда интеграл по исходному контуру C представляет собой сумму этих двух интегралов: $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}$$

Элементарный трюк с использованием разложения дробей : $${\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i}$$

Последствия

Интегральная формула имеет широкое применение. Во-первых, она подразумевает, что функция, которая голоморфна в открытом множестве, на самом деле бесконечно дифференцируема там. Более того, это аналитическая функция , что означает, что ее можно представить в виде степенного ряда . Доказательство этого использует теорему о доминируемой сходимости и геометрический ряд, примененный к

$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.}$$

Формула также используется для доказательства теоремы о вычетах , которая является результатом для мероморфных функций , и связанного с ней результата, принципа аргумента . Из теоремы Мореры известно , что равномерный предел голоморфных функций голоморфен. Это также можно вывести из интегральной формулы Коши: действительно, формула также верна в пределе, и подынтегральное выражение, а следовательно, и интеграл, можно разложить в степенной ряд. Кроме того, формулы Коши для производных более высокого порядка показывают, что все эти производные также сходятся равномерно.

Аналогом интегральной формулы Коши в вещественном анализе является интегральная формула Пуассона для гармонических функций ; многие результаты для голоморфных функций переносятся в эту установку. Однако такие результаты недействительны для более общих классов дифференцируемых или вещественных аналитических функций. Например, существование первой производной вещественной функции не обязательно подразумевает существование производных более высокого порядка, или, в частности, аналитичность функции. Аналогично, равномерный предел последовательности (вещественных) дифференцируемых функций может не быть дифференцируемым или может быть дифференцируемым, но с производной, которая не является пределом производных членов последовательности.

Другим следствием является то, что если ^{f ( z ) = Σ an z n} _{голоморфна} по | z | < _R и 0 < r < R , то коэффициенты an удовлетворяют оценке Коши [ 1 ^] $${\displaystyle |a_{n}|\leq r^{-n}\sup _{|z|=r}|f(z)|.}$$

Из оценки Коши можно легко вывести, что каждая ограниченная целая функция должна быть постоянной (что является теоремой Лиувилля ).

Эту формулу можно также использовать для вывода теоремы Гаусса о среднем значении , которая гласит ^[2] $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })\,d\theta .}$$

Другими словами, среднее значение f по окружности с центром в точке z и радиусом r равно f ( z ) . Это можно вычислить напрямую через параметризацию окружности.

Обобщения

Гладкие функции

Версия интегральной формулы Коши — это формула Коши– Помпейю , ^[3] и она справедлива также для гладких функций , поскольку основана на теореме Стокса . Пусть D — диск в C и предположим, что f — комплекснозначная функция C 1 на замыкании D . Тогда [ ^{4] [5] [6]} $${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)\,dz}{z-\zeta }}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.}$$

Эту формулу представления можно использовать для решения неоднородных уравнений Коши–Римана в D. Действительно, если φ — функция в D , то частное решение f уравнения — голоморфная функция вне носителя μ . Более того, если в открытом множестве D для некоторого φ ∈ C ^k ( D ) (где k  ≥ 1 ) , то f ( ζ , ζ ) также находится в C ^k ( D ) и удовлетворяет уравнению $${\displaystyle d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\varphi \,dz\wedge d{\bar {z}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}}).}$$

Первый вывод, вкратце, заключается в том, что свертка μ ∗ k ( z ) меры с компактным носителем с ядром Коши является голоморфной функцией вне носителя μ . Здесь pv обозначает главное значение . Второй вывод утверждает, что ядро ​​Коши является фундаментальным решением уравнений Коши–Римана. Отметим, что для гладких комплекснозначных функций f с компактным носителем на C обобщенная интегральная формула Коши упрощается до и является переформулировкой того факта, что, рассматриваемая как распределение , (π z ) ⁻¹ является фундаментальным решением оператора Коши–Римана ⁠ $${\displaystyle k(z)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{z}}}$$ $${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\iint {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }},}$$ ∂/∂ z̄⁠ . ^[7]

Обобщенная интегральная формула Коши может быть выведена для любой ограниченной открытой области X с границей C ¹ ∂ X из этого результата и формулы для распределительной производной характеристической функции χ _X области X : где распределение в правой части обозначает контурное интегрирование вдоль ∂ X. ^[8 ] $${\displaystyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz,}$$

Доказательство

Для расчета: ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {D}}(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),\varphi \right\rangle &=-\int _{X}{\frac {\partial \varphi }{\partial {\bar {z}}}}\mathrm {~d} (x,y)\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{X}\left(\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi \right)\mathrm {d} (x,y).\end{aligned}}}$

затем пройдите в направлении против часовой стрелки. Зафиксируйте точку и пусть обозначает длину дуги на , измеренную против часовой стрелки. Тогда, если есть длина является параметризацией . Производная есть единичная касательная к и есть единичная внешняя нормаль на . Мы выстроены для использования теоремы о расходимости : поместите так, чтобы и мы получаем ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle p\in \partial X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \partial X,[0,\ell ]\ni s\mapsto (x(s),y(s))}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle \tau =\left(x'(s),y'(s)\right)}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle \nu :=\left(-y'(s),x'(s)\right)}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle V=(\varphi ,\mathrm {i} \varphi )\in {\mathcal {D}}(X)^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {div} V=\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\int _{X}\left(\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi \right)\mathrm {d} (x,y)&=-{\frac {1}{2}}\int _{\partial X}V\cdot \nu \mathrm {d} S\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\left(\varphi \nu _{1}+\mathrm {i} \varphi \nu _{2}\right)\mathrm {d} s\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\varphi (x(s),y(s))\left(y'(s)-\mathrm {i} x'(s)\right)\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\mathrm {i} \varphi (x(s),y(s))\left(x'(s)+\mathrm {i} y'(s)\right)\mathrm {d} s\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}\int _{\partial X}\varphi \mathrm {d} z\end{aligned}}}$

Таким образом, мы доказали . ${\displaystyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz}$

Теперь мы можем вывести обобщенную интегральную формулу Коши:

Доказательство

Так как и поскольку это распределение локально имеет вид «распределение умноженное на функцию C ^∞ », то мы можем применить правило Лейбница для вычисления его производных: ${\displaystyle u={\frac {\chi _{X}}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\in \mathrm {L} _{\text{loc}}^{1}(X)}$ ${\displaystyle z_{0}\in X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right)\chi _{X}+{\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right)}$

Используя это, (π z ) ⁻¹ является фундаментальным решением оператора Коши–Римана ⁠∂/∂ z̄⁠ , получаем: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right)=\delta _{z_{0}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}=\delta _{z_{0}}+{\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right)}$

Подача заявления на : ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {\chi _{X}}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right),\phi \right\rangle &=\phi \left(z_{0}\right)+\left\langle {\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),\phi \right\rangle \\&=\phi \left(z_{0}\right)+\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),{\frac {\phi }{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right\rangle \\&=\phi \left(z_{0}\right)+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\int _{\partial X}{\frac {\phi (z)}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\mathrm {d} z\end{aligned}}}$

где используется в последней строке. ${\displaystyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz}$

Переставляя, получаем

${\displaystyle \phi (z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial X}{\frac {\phi (z)\,dz}{z-z_{0}}}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{X}{\frac {\partial \phi }{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-z_{0}}}.}$

по желанию.

Несколько переменных

В нескольких комплексных переменных интегральная формула Коши может быть обобщена на полидиски . ^[9] Пусть D — полидиск, заданный как декартово произведение n открытых дисков D ₁ , ..., D _n : $${\displaystyle D=\prod _{i=1}^{n}D_{i}.}$$

Предположим, что f — голоморфная функция в D, непрерывная на замыкании D. Тогда ζ = ( ζ ₁ ,..., ζ _n ) ∈ D . $${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{\left(2\pi i\right)^{n}}}\int \cdots \iint _{\partial D_{1}\times \cdots \times \partial D_{n}}{\frac {f(z_{1},\ldots ,z_{n})}{(z_{1}-\zeta _{1})\cdots (z_{n}-\zeta _{n})}}\,dz_{1}\cdots dz_{n}}$$

В реальных алгебрах

Интегральная формула Коши обобщается на вещественные векторные пространства двух или более измерений. Понимание этого свойства приходит из геометрической алгебры , где рассматриваются объекты за пределами скаляров и векторов (такие как плоские бивекторы и объемные тривекторы ), и надлежащего обобщения теоремы Стокса .

Геометрическое исчисление определяет оператор производной ∇ = ê _i ∂ _i под его геометрическим произведением — то есть для k -векторного поля ψ ( r ) производная ∇ ψ обычно содержит члены степени k + 1 и k − 1 . Например, векторное поле ( k = 1 ) обычно имеет в своей производной скалярную часть, дивергенцию ( k = 0 ), и бивекторную часть, ротор ( k = 2 ). Этот конкретный оператор производной имеет функцию Грина : где S _n — площадь поверхности единичного n -шара в пространстве (то есть S ₂ = 2π , окружность круга с радиусом 1, и S ₃ = 4π , площадь поверхности сферы с радиусом 1). По определению функции Грина, $${\displaystyle G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)={\frac {1}{S_{n}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}}$$ $${\displaystyle \nabla G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)=\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right).}$$

Именно это полезное свойство можно использовать в сочетании с обобщенной теоремой Стокса: где для n -мерного векторного пространства d S является ( n − 1) -вектором, а d V является n -вектором. Функция f ( r ) может, в принципе, состоять из любой комбинации поливекторов. Доказательство интегральной теоремы Коши для пространств более высокой размерности основано на использовании обобщенной теоремы Стокса о величине G ( r , r ′) f ( r ′) и использовании правила произведения: $${\displaystyle \oint _{\partial V}d\mathbf {S} \;f(\mathbf {r} )=\int _{V}d\mathbf {V} \;\nabla f(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left(\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)+G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\nabla 'f\left(\mathbf {r} '\right)\right)\;d\mathbf {V} }$$

Когда ∇ f = 0 , f ( r ) называется моногенной функцией , обобщением голоморфных функций на многомерные пространства — действительно, можно показать, что условие Коши–Римана — это просто двумерное выражение моногенного условия. Когда это условие выполняется, второй член в правом интеграле исчезает, оставляя только , где i _n — единичный n -вектор этой алгебры , псевдоскаляр . Результатом является $${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)=-\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)f\left(\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {V} =-i_{n}f(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle f(\mathbf {r} )=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{S_{n}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)}$$

Таким образом, как и в случае двумерного (комплексного анализа), значение аналитической (моногенной) функции в точке можно найти с помощью интеграла по поверхности, окружающей точку, причем это справедливо не только для скалярных функций, но и для векторных и общих многовекторных функций.

Смотрите также

• Уравнения Коши–Римана
• Методы контурной интеграции
• Теорема Нахбина
• Теорема Мореры
• Теорема Миттаг-Леффлера
• Функция Грина обобщает эту идею на нелинейную установку.
• Интегральная формула Шварца
• Формула Парсеваля–Гуцмера
• Формула Бохнера–Мартинелли
• Формула Хельффера–Шёстранда

Примечания

1. Титчмарш 1939, стр. 84
2. «Теорема Гаусса о среднем значении». Сайт Wolfram Alpha .
3. Помпея 1905
4. "§2. Комплексные 2-формы: формула Коши-Помпея" (PDF) .
5. Хёрмандер 1966, Теорема 1.2.1
6. «Теорема 4.1.1 (Коши – Помпейю)» (PDF) .
7. Хёрмандер 1983, стр. 63, 81
8. Хёрмандер 1983, стр. 62–63.
9. Хёрмандер 1966, Теорема 2.2.1

Ссылки

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ (3-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
• Помпейу, Д. (1905). «Последовательность функций комплексов переменных» (PDF) . Анналы факультета наук Тулузы . Серия 2. 7 (3): 265–315.
• Титчмарш, EC (1939). Теория функций (2-е изд.). Oxford University Press .
• Хермандер, Ларс (1966). Введение в комплексный анализ нескольких переменных . Ван Ностранд.
• Хермандер, Ларс (1983). Анализ линейных частных дифференциальных операторов I. Springer. ISBN 3-540-12104-8.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2003). Геометрическая алгебра для физиков . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71595-9.

Внешние ссылки

• «Интеграл Коши», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Интегральная формула Коши". MathWorld .