Прикладная математика — это применение математических методов в различных областях, таких как физика , инженерия , медицина , биология , финансы , бизнес , компьютерные науки и промышленность . Таким образом, прикладная математика — это сочетание математической науки и специальных знаний. Термин «прикладная математика» также описывает профессиональную специальность , в которой математики работают над практическими проблемами, формулируя и изучая математические модели .
В прошлом практические приложения мотивировали развитие математических теорий, которые затем стали предметом изучения в чистой математике , где абстрактные концепции изучаются ради них самих. Деятельность прикладной математики, таким образом, тесно связана с исследованиями в чистой математике.
Исторически прикладная математика состояла в основном из прикладного анализа , в частности, дифференциальных уравнений ; теории приближений (в широком смысле, включая представления , асимптотические методы, вариационные методы и численный анализ ); и прикладной вероятности . Эти области математики были напрямую связаны с развитием ньютоновской физики , и фактически различие между математиками и физиками не было четко проведено до середины 19 века. Эта история оставила педагогическое наследие в Соединенных Штатах: до начала 20 века такие предметы, как классическая механика, часто преподавались на кафедрах прикладной математики в американских университетах, а не на физических кафедрах, а механика жидкости все еще может преподаваться на кафедрах прикладной математики. [1] Кафедры инженерии и компьютерных наук традиционно использовали прикладную математику.
Со временем прикладная математика развивалась вместе с развитием науки и техники. С наступлением современности применение математики в таких областях, как наука, экономика, техника и т. д., стало более глубоким и своевременным. Развитие компьютеров и других технологий позволило более подробно изучать и применять математические концепции в различных областях.
Сегодня прикладная математика продолжает играть решающую роль в общественном и технологическом прогрессе. Она направляет развитие новых технологий, экономический прогресс и решает проблемы в различных научных областях и отраслях. История прикладной математики постоянно демонстрирует важность математики в человеческом прогрессе.
Сегодня термин «прикладная математика» используется в более широком смысле. Он включает в себя классические области, отмеченные выше, а также другие области, которые становятся все более важными в приложениях. Даже такие области, как теория чисел , которые являются частью чистой математики , теперь важны в приложениях (например, криптография ), хотя они, как правило, не считаются частью области прикладной математики как таковой .
Нет единого мнения о том, что такое различные ветви прикладной математики. Такие классификации затрудняются тем, как математика и наука меняются со временем, а также тем, как университеты организуют кафедры, курсы и степени.
Многие математики различают «прикладную математику», которая занимается математическими методами, и «приложения математики» в науке и технике. Биолог, использующий модель популяции и применяющий известную математику, не занимался бы прикладной математикой, а скорее использовал бы ее; однако математические биологи поставили проблемы, которые стимулировали рост чистой математики. Такие математики, как Пуанкаре и Арнольд, отрицают существование «прикладной математики» и утверждают, что существуют только «приложения математики». Аналогичным образом, нематематики смешивают прикладную математику и приложения математики. Использование и развитие математики для решения промышленных задач также называется «промышленной математикой». [2]
Успех современных численных математических методов и программного обеспечения привел к появлению вычислительной математики , вычислительной науки и вычислительной инженерии , которые используют высокопроизводительные вычисления для моделирования явлений и решения проблем в науке и технике. Их часто считают междисциплинарными.
Иногда термин «прикладная математика» используется для различения традиционной прикладной математики, которая развивалась вместе с физикой, и многочисленных областей математики, которые сегодня применимы к реальным проблемам, хотя единого мнения относительно точного определения нет. [3]
Математики часто различают «прикладную математику», с одной стороны, и «приложения математики» или «применимую математику» как внутри, так и за пределами науки и техники, с другой стороны. [3] Некоторые математики подчеркивают термин «применимая математика», чтобы отделить или разграничить традиционные прикладные области от новых приложений, возникающих из областей, которые ранее рассматривались как чистая математика. [4] Например, с этой точки зрения, эколог или географ, использующий модели населения и применяющий известную математику, будет заниматься не прикладной, а скорее прикладной математикой. Даже такие области, как теория чисел, которые являются частью чистой математики, теперь важны в приложениях (например, криптография ), хотя они, как правило, не считаются частью области прикладной математики как таковой . Такие описания могут привести к тому, что прикладная математика будет рассматриваться как набор математических методов, таких как действительный анализ , линейная алгебра , математическое моделирование , оптимизация , комбинаторика , вероятность и статистика , которые полезны в областях за пределами традиционной математики и не являются специфическими для математической физики .
Другие авторы предпочитают описывать прикладную математику как союз «новых» математических приложений с традиционными областями прикладной математики. [4] [5] [6] С этой точки зрения термины прикладная математика и прикладная математика, таким образом, являются взаимозаменяемыми.
Исторически математика была наиболее важна в естественных науках и инженерии . Однако после Второй мировой войны области за пределами физических наук породили создание новых областей математики, таких как теория игр и теория социального выбора , которые выросли из экономических соображений. Кроме того, использование и развитие математических методов распространилось на другие области, что привело к созданию новых областей, таких как математические финансы и наука о данных .
Появление компьютера открыло новые возможности для применения: изучение и использование самой новой компьютерной технологии ( компьютерной науки ) для изучения проблем, возникающих в других областях науки (вычислительной науки), а также математики вычислений (например, теоретической информатики , компьютерной алгебры , [7] [8] [9] [10] численного анализа [11] [12] [13] [14] ). Статистика , вероятно, является наиболее распространенной математической наукой, используемой в социальных науках .
Академические учреждения не последовательны в том, как они группируют и маркируют курсы, программы и степени по прикладной математике. В некоторых школах есть один математический факультет, в то время как в других есть отдельные факультеты прикладной математики и (чистой) математики. Очень часто в школах с программами магистратуры факультеты статистики разделены, но многие учреждения, предлагающие только бакалавриат, включают статистику в математический факультет.
Многие программы прикладной математики (в отличие от факультетов) в основном состоят из перекрестных курсов и совместно назначенных преподавателей в факультетах, представляющих приложения. Некоторые программы докторантуры по прикладной математике требуют мало или вообще не требуют курсовой работы вне математики, в то время как другие требуют существенной курсовой работы в определенной области приложения. В некотором отношении это различие отражает различие между «применением математики» и «прикладной математикой».
Некоторые университеты в Великобритании . имеют кафедры прикладной математики и теоретической физики , [15] [16] [17] но сейчас гораздо реже встречаются отдельные кафедры чистой и прикладной математики. Заметным исключением из этого является кафедра прикладной математики и теоретической физики в Кембриджском университете , где находится Лукасовский профессор математики , среди прошлых владельцев которого были Исаак Ньютон , Чарльз Бэббидж , Джеймс Лайтхилл , Поль Дирак и Стивен Хокинг .
Школы с отдельными кафедрами прикладной математики варьируются от Университета Брауна , в котором есть большое Отделение прикладной математики, предлагающее степени вплоть до докторантуры , до Университета Санта-Клары , который предлагает только степень магистра прикладной математики. [20] Исследовательские университеты, разделяющие свои кафедры математики на чистые и прикладные секции, включают MIT . Студенты в этой программе также изучают другие навыки (компьютерные науки, инженерия, физика, чистая математика и т. д.), чтобы дополнить свои навыки прикладной математики.
Прикладная математика связана со следующими математическими науками:
С приложениями прикладной геометрии совместно с прикладной химией.
Научные вычисления включают прикладную математику (особенно численный анализ [11] [12] [13] [14] [21] ), вычислительную науку (особенно высокопроизводительные вычисления [22] [23] ) и математическое моделирование в научной дисциплине.
Информатика опирается на логику , алгебру , дискретную математику, такую как теория графов , [24] [25] и комбинаторику .
Исследование операций [26] и наука управления часто преподаются на факультетах инженерии, бизнеса и государственной политики.
Прикладная математика имеет существенное совпадение с дисциплиной статистики. Статистики-теоретики изучают и совершенствуют статистические процедуры с помощью математики, а статистические исследования часто поднимают математические вопросы. Статистическая теория опирается на теорию вероятности и принятия решений и широко использует научные вычисления, анализ и оптимизацию ; для разработки экспериментов статистики используют алгебру и комбинаторное проектирование . Прикладные математики и статистики часто работают на кафедре математических наук (особенно в колледжах и небольших университетах).
Актуарная наука применяет вероятность, статистику и экономическую теорию для оценки риска в страховании, финансах и других отраслях и профессиях. [27]
Математическая экономика — это применение математических методов для представления теорий и анализа проблем в экономике. [28] [29] [30] Прикладные методы обычно относятся к нетривиальным математическим приемам или подходам. Математическая экономика основана на статистике, вероятности, математическом программировании (а также других вычислительных методах ), исследовании операций, теории игр и некоторых методах математического анализа. В этом отношении она напоминает (но отличается от) финансовую математику , другую часть прикладной математики. [31]
Согласно Классификации предметов математики (MSC), математическая экономика относится к Прикладной математике/прочим дисциплинам категории 91:
с классификациями MSC2010 для « Теории игр » под кодами 91Axx. Архивировано 02.04.2015 на Wayback Machine и для «Математической экономики» под кодами 91Bxx. Архивировано 02.04.2015 на Wayback Machine .
Граница между прикладной математикой и конкретными областями применения часто размыта. Многие университеты преподают математические и статистические курсы вне соответствующих факультетов, на факультетах и в таких областях, как бизнес , инженерия , физика , химия , психология , биология , компьютерные науки , научные вычисления , теория информации и математическая физика .
Медиа, связанные с прикладной математикой на Wikimedia Commons