Набор главных идеалов кольца
В коммутативной алгебре простой спектр (или просто спектр ) коммутативного кольца R представляет собой множество всех простых идеалов кольца R и обычно обозначается ; в алгебраической геометрии это одновременно топологическое пространство , снабженное пучком колец .
Топология Зариского
Для любого идеала I из R определите множество простых идеалов , содержащих I. Мы можем создать топологию , определив совокупность замкнутых множеств как
Эта топология называется топологией Зарисского .
Базис топологии Зариского можно построить следующим образом . Для f ∈ R определим D f как множество простых идеалов R , не содержащих f . Тогда каждое D f является открытым подмножеством и является базисом топологии Зарисского.
— компактное пространство , но почти никогда не Хаусдорф : на самом деле максимальные идеалы в R — это именно замкнутые точки в этой топологии. По тем же соображениям, вообще говоря, не является пространством T 1 . Однако всегда является пространством Колмогорова (удовлетворяет аксиоме T 0 ); это также спектральное пространство .
Пучки и схемы
Для пространства с топологией Зариского структурный пучок определяется на выделенных открытых подмножествах путем задания локализации R степенями f . Можно показать, что это определяет B-пучок и, следовательно, определяет пучок . Более подробно, выделенные открытые подмножества являются базисом топологии Зариского, поэтому для произвольного открытого множества U , записанного как объединение , мы полагаем где обозначает обратный предел относительно естественных гомоморфизмов колец. Можно проверить, что этот предпучок является пучком, так же как и пространство с кольцом . Любое кольцевое пространство, изоморфное одной из этих форм, называется аффинной схемой . Общие схемы получаются склейкой аффинных схем.
Аналогично, для модуля M над кольцом R мы можем определить пучок на . На выделенные открытые подмножества устанавливаются с помощью локализации модуля . Как и выше, эта конструкция распространяется на предпучок на всех открытых подмножествах и удовлетворяет аксиоме склейки . Пучок такого вида называется квазикогерентным .
Если P — точка в , то есть простой идеал, то слой структурного пучка в P равен локализации R в идеале P , и это локальное кольцо . Следовательно, — локально окольцованное пространство .
Если R — область целостности с полем частных K , то мы можем описать кольцо более конкретно следующим образом. Мы говорим, что элемент f в K является регулярным в точке P в X , если его можно представить в виде дроби f = a / b , где b не входит в P. Обратите внимание, что это согласуется с понятием регулярной функции в алгебраической геометрии. Используя это определение, мы можем точно описать множество элементов K , которые регулярны в каждой точке P в U .
Функториальная перспектива
Полезно воспользоваться языком теории категорий и заметить, что это функтор . Каждый гомоморфизм колец индуцирует непрерывное отображение (поскольку прообраз любого простого идеала в является простым идеалом в ). Таким образом, его можно рассматривать как контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию топологических пространств . Более того, для любого простого числа гомоморфизм сводится к гомоморфизмам
местных колец. Тем самым даже определяется контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию локально окольцованных пространств . Фактически это универсальный такой функтор, и, следовательно, его можно использовать для определения функтора с точностью до естественного изоморфизма . [ нужна цитата ]
Функтор дает контравариантную эквивалентность между категорией коммутативных колец и категорией аффинных схем ; каждую из этих категорий часто считают категорией, противоположной другой.
Мотивация из алгебраической геометрии
Следуя примеру, в алгебраической геометрии изучаются алгебраические множества , т. е . подмножества Kn (где K — алгебраически замкнутое поле ), которые определяются как общие нули набора полиномов от n переменных. Если A — такое алгебраическое множество , рассматривается коммутативное кольцо R всех полиномиальных функций A → K. Максимальные идеалы R соответствуют точкам A (поскольку K алгебраически замкнуто), а простые идеалы R соответствуют подмногообразиям A ( алгебраическое множество называется неприводимым или многообразием , если его нельзя записать в виде объединения два собственных алгебраических подмножества).
Таким образом, спектр R состоит из точек A вместе с элементами всех подмногообразий A . Точки A замкнуты в спектре, а элементы, соответствующие подмногообразиям, имеют замыкание, состоящее из всех их точек и подмногообразий. Если рассматривать только точки A , т. е. максимальные идеалы в R , то определенная выше топология Зарисского совпадает с топологией Зариского, определенной на алгебраических множествах (которая имеет именно алгебраические подмножества как замкнутые множества). В частности, максимальные идеалы в R , т. е. вместе с топологией Зарисского, гомеоморфны A также с топологией Зарисского.
Таким образом, топологическое пространство можно рассматривать как «обогащение» топологического пространства A (топологией Зариского): для каждого подмногообразия A введена одна дополнительная незамкнутая точка, и эта точка «следит» за соответствующим подмногообразием. . Эту точку можно рассматривать как общую точку подмногообразия. Более того, пучок на и пучок полиномиальных функций на A по существу тождественны. Изучая спектры колец полиномов вместо алгебраических множеств с топологией Зариского, можно обобщить понятия алгебраической геометрии на неалгебраически замкнутые поля и за их пределами, придя в конечном итоге к языку схем .
Примеры
- Спектр целых чисел: Аффинная схема является последним объектом в категории аффинных схем, поскольку является исходным объектом в категории коммутативных колец.
- Теоретико-схемный аналог : Аффинная схема . С точки зрения функтора точек точку можно отождествить с морфизмом оценки . Это фундаментальное наблюдение позволяет нам придать смысл другим аффинным схемам.
- Крест: топологически выглядит как поперечное пересечение двух комплексных плоскостей в точке, хотя обычно это изображается как , поскольку единственными четко определенными морфизмами to являются оценочные морфизмы, связанные с точками .
- Простой спектр булевого кольца (например, кольца степенных множеств ) представляет собой компактное вполне несвязное хаусдорфово пространство (т. е. пространство Стоуна ).
- ( М. Хохстер ) Топологическое пространство гомеоморфно простому спектру коммутативного кольца (т. е. спектральному пространству ) тогда и только тогда, когда оно компактно, квазиотделимо и трезво .
Неаффинные примеры
Вот несколько примеров схем, которые не являются аффинными схемами. Они построены путем склеивания аффинных схем.
- Проективное пространство над полем . Это можно легко обобщить на любое базовое кольцо, см. Конструкцию Проя (фактически, мы можем определить проективное пространство для любой базовой схемы). Проективное пространство for не является аффинным, как глобальная часть is .
- Аффинная плоскость без начала координат. Внутри выделяются открытые аффинные подсхемы . Их объединение представляет собой аффинную плоскость с вынесенным началом. Глобальные разделы представляют собой пары полиномов на , которые ограничиваются одним и тем же полиномом на , который, как можно показать , является глобальным разделом . не является аффинным, как в .
Незарисские топологии на простом спектре
Некоторые авторы (особенно М. Хохстер) рассматривают топологии простых спектров, отличные от топологии Зарисского.
Во-первых, существует понятие конструктивной топологии : для данного кольца A подмножества формы удовлетворяют аксиомам для замкнутых множеств в топологическом пространстве. Эта топология называется конструктивной топологией.
В Хохстере (1969) Хохстер рассматривает то, что он называет топологией заплаток на простом спектре. [11] По определению, патч-топология — это наименьшая топология, в которой множества форм и замкнуты.
Глобальная или относительная спецификация
Существует относительная версия функтора, называемая глобальным или относительным . Если схема, то относительная обозначается или . Если понятно из контекста, то относительная Spec может обозначаться или . Для схемы и квазикогерентного пучка -алгебр существуют схема и морфизм такие, что для каждого открытого аффина существует изоморфизм , и такие, что для открытых аффинов включение индуцируется отображением ограничения . То есть, поскольку гомоморфизмы колец индуцируют противоположные отображения спектров, карты ограничения пучка алгебр индуцируют карты включения спектров, составляющих Spec пучка .
Глобальная спецификация имеет универсальное свойство, аналогичное универсальному свойству обычной спецификации. Точнее, так же, как Spec и функтор глобального сечения являются контравариантными правыми сопряженными между категорией коммутативных колец и схем, глобальный Spec и функтор прямого образа для структурного отображения являются контравариантными правыми сопряженными между категорией коммутативных -алгебр и схем над . [ сомнительно – обсудить ] В формулах
где – морфизм схем.
Пример относительной спецификации
Относительная спецификация — правильный инструмент для параметризации семейства прямых через начало над . Рассмотрим пучок алгебр и пусть — пучок идеалов. Тогда относительная спецификация параметризует искомое семейство. Фактически, волокно над — это линия, проходящая через начало координат, содержащая точку. Предполагая, что волокно можно вычислить, глядя на композицию обратных диаграмм.
где состав нижних стрелок
дает линию, содержащую точку и начало координат. Этот пример можно обобщить, чтобы параметризовать семейство линий через начало координат over , разрешив и
Перспектива теории представлений
С точки зрения теории представлений , простой идеал I соответствует модулю R / I , а спектр кольца соответствует неприводимым циклическим представлениям R , тогда как более общие подмногообразия соответствуют возможно приводимым представлениям, которые не обязательно должны быть циклическими. Напомним, что абстрактно теория представлений группы — это изучение модулей над ее групповой алгеброй .
Связь с теорией представлений становится более ясной, если рассматривать кольцо многочленов или , без базиса. векторное пространство. Тогда идеал I или, что то же самое, модуль является циклическим представлением R (циклическое значение, порожденное одним элементом как R -модулем; это обобщает одномерные представления).
В случае, если поле алгебраически замкнуто (скажем, комплексные числа), каждый максимальный идеал соответствует точке в n -пространстве по Nullstellensatz (максимальный идеал, порожденный , соответствует точке ). Эти представления затем параметризуются дуальным пространством, ковектор задается путем отправки каждого в соответствующий . Таким образом, представление ( K -линейных карт ) задается набором из n чисел или, что то же самое, ковектором.
Таким образом, точки в n- пространстве, рассматриваемые как максимальная спецификация, соответствуют в точности одномерным представлениям R , в то время как конечные множества точек соответствуют конечномерным представлениям (которые приводимы, геометрически соответствуют объединению, а алгебраически соответствуют не быть главным идеалом). Тогда немаксимальные идеалы соответствуют бесконечномерным представлениям.
Перспектива функционального анализа
Термин «спектр» происходит от использования в теории операторов . Учитывая линейный оператор T в конечномерном векторном пространстве V , можно рассматривать векторное пространство с оператором как модуль над кольцом многочленов от одной переменной R = K [ T ], как в структурной теореме для конечно порожденных модулей над область главного идеала . Тогда спектр K [ T ] (как кольца) равен спектру T (как оператора).
Кроме того, геометрическая структура спектра кольца (т. е. алгебраическая структура модуля) отражает поведение спектра оператора, такое как алгебраическая кратность и геометрическая кратность. Например, для единичной матрицы 2×2 имеется соответствующий модуль:
нулевая матрица 2×2 имеет модуль
показывая геометрическую кратность 2 для нулевого собственного значения , в то время как нетривиальная нильпотентная матрица 2 × 2 имеет модуль
показывающий алгебраическую кратность 2, но геометрическую кратность 1.
Более детально:
- собственные значения (с геометрической кратностью) оператора соответствуют (приведенным) точкам многообразия с кратностью;
- первичное разложение модуля соответствует нередуцированным точкам многообразия;
- приведенному многообразию соответствует диагонализуемый (полупростой) оператор;
- циклический модуль (один генератор) соответствует оператору, имеющему циклический вектор (вектор, орбита которого под T охватывает пространство);
- последний инвариантный множитель модуля равен минимальному многочлену оператора, а произведение инвариантных множителей равно характеристическому многочлену .
Обобщения
Спектр можно обобщить с колец на C*-алгебры в теории операторов , что дает понятие спектра C*-алгебры . Примечательно, что для хаусдорфова пространства алгебра скаляров (ограниченные непрерывные функции в пространстве, аналогичные регулярным функциям) является коммутативной C*-алгеброй, причем пространство восстанавливается как топологическое пространство из алгебры скаляров, действительно, функториально так; это содержание теоремы Банаха–Стоуна . Действительно, любая коммутативная С*-алгебра может быть реализована таким образом как алгебра скаляров хаусдорфова пространства, давая то же соответствие, что и между кольцом и его спектром. Обобщение на некоммутативные C*-алгебры дает некоммутативную топологию .
Смотрите также
Цитаты
- ^ Брэндал (1979)
- ^ см. https://www.math.ias.edu/~lurie/261ynotes/lecture14.pdf.
Рекомендации
- Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-40751-8.
- Архангельский, А.В. ; Понтрягин Л.С. , ред. (1990). Общая топология I. Энциклопедия математических наук. Том. 17. дои : 10.1007/978-3-642-61265-7. ISBN 978-3-642-64767-3.
- Брандал, Вилли (1979). Коммутативные кольца, конечно порожденные модули которых распадаются . Конспект лекций по математике. Том. 723. дои : 10.1007/BFb0069021. ISBN 978-3-540-09507-1.
- Кокс, Дэвид ; О'Ши, Донал; Литтл, Джон (1997), Идеалы, разновидности и алгоритмы , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94680-1
- Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (2000), Геометрия схем , Тексты для выпускников по математике, том. 197, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-98637-1, МР 1730819
- Фонтана, Марко; Лопер, К. Алан (2008). «Патч-топология и топология ультрафильтра на простом спектре коммутативного кольца». Связь в алгебре . 36 (8): 2917–2922. arXiv : 0707.1525 . дои : 10.1080/00927870802110326. S2CID 17045655.
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, МР 0463157
- Хохстер, М. (1969). «Первичная идеальная структура в коммутативных кольцах». Труды Американского математического общества . 142 : 43–60. дои : 10.1090/S0002-9947-1969-0251026-X . JSTOR 1995344.
- Кок, Иоахим (2007). «Замечания о спектрах, носителях и двойственности Хохстера» (PDF) . S2CID 54501563.
- Шарп, Родни Ю. (2001). Шаги в коммутативной алгебре (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-511-62368-4.
- Таризаде, Абольфазл (2019). «Плоская топология и ее двойственные аспекты». Связь в алгебре . 47 : 195–205. arXiv : 1503.04299 . дои : 10.1080/00927872.2018.1469637. S2CID 119574163.
- Вакил, Рави (н. д.). «Основы алгебраической геометрии». math.stanford.edu .
дальнейшее чтение
- https://mathoverflow.net/questions/441029/intrinsic-topology-on-the-zariski-spectrum
Внешние ссылки
- Кевин Р. Кумбс: Спектр кольца
- Авторы проекта Stacks. «27.3 Относительный спектр посредством склейки».