Теоремы об изменении базы

Соотнесите прямое изображение и обратное протягивание снопов.

В математике теоремы о замене основания связывают прямой и обратный образы пучков . Точнее, они касаются отображения замены основания, заданного следующим естественным преобразованием пучков :

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

где

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\end{array}}}$

является декартовым квадратом топологических пространств и является пучком на X. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Такие теоремы существуют в различных разделах геометрии: для (по сути произвольных) топологических пространств и собственных отображений f , в алгебраической геометрии для (квази)когерентных пучков и собственных или плоских f , аналогично в аналитической геометрии , а также для этальных пучков для собственных или гладких f .

Введение

Простое явление смены базы возникает в коммутативной алгебре , когда A — коммутативное кольцо , а B и A' — две A -алгебры. Пусть . В этой ситуации, если задан B -модуль M , то существует изоморфизм ( A' -модулей): ${\displaystyle B'=B\otimes _{A}A'}$

${\displaystyle (M\otimes _{B}B')_{A'}\cong (M_{A})\otimes _{A}A'.}$

Здесь нижний индекс указывает на забывчивый функтор, т. е. есть M , но рассматриваемый как A -модуль. Действительно, такой изоморфизм получается путем наблюдения ${\displaystyle M_{A}}$

${\displaystyle M\otimes _{B}B'=M\otimes _{B}B\otimes _{A}A'\cong M\otimes _{A}A'.}$

Таким образом, две операции, а именно забывающие функторы и тензорные произведения, коммутируют в смысле указанного выше изоморфизма. Теоремы об изменении базы, обсуждаемые ниже, являются утверждениями подобного рода.

Определение базовой карты изменений

Все представленные ниже теоремы о замене базы утверждают, что (для различных типов пучков и при различных предположениях относительно используемых отображений) следующее отображение замены базы

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

является изоморфизмом, где

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\\\end{array}}}$

являются непрерывными отображениями между топологическими пространствами, которые образуют декартов квадрат и являются пучком на X. ^[1] Здесь обозначает высший прямой образ относительно f , т.е. производный функтор прямого образа (также известный как прямой проталкивающий) функтор . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f_{*}}$

Это отображение существует без каких-либо предположений относительно отображений f и g . Оно строится следующим образом: поскольку является левым сопряженным к , существует естественное отображение (называемое единичным отображением) ${\displaystyle g'^{*}}$ ${\displaystyle g'_{*}}$

${\displaystyle \operatorname {id} \to g'_{*}\circ g'^{*}}$

и так

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}.}$

Спектральная последовательность Гротендика затем дает первую карту и последнюю карту (они являются краевыми картами) в:

${\displaystyle R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}\to R^{r}(f\circ g')_{*}\circ g'^{*}=R^{r}(g\circ f')_{*}\circ g'^{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

Объединяя это с вышеизложенным, получаем

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

Используя сопряженность и , наконец, получаем искомое отображение. ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle g_{*}}$

Приведенный выше вводный пример является частным случаем этого, а именно для аффинных схем и, следовательно, и квазикогерентного пучка, связанного с B -модулем M . ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')}$ ${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B')}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:={\tilde {M}}}$

Концептуально удобно организовать вышеуказанные карты замены базы, которые включают только один высший прямой функтор образа, в одну, которая кодирует все за раз. Фактически, аналогичные рассуждения, как выше, дают карту в производной категории пучков на S': ${\displaystyle R^{r}f_{*}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

где обозначает (общий) производный функтор . ${\displaystyle Rf_{*}}$ ${\displaystyle f_{*}}$

Общая топология

Правильная смена базы

Если X — хаусдорфово топологическое пространство , S — локально компактное хаусдорфово пространство и f универсально замкнуто (т.е. является замкнутым отображением для любого непрерывного отображения ), то отображение замены базы ${\displaystyle X\times _{S}T\to T}$ ${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle g^{*}R^{r}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{r}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

является изоморфизмом. ^[2] Действительно, имеем: для , ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle (R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F}})=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}}),\quad X_{s}=f^{-1}(s)}$

и так для ${\displaystyle s=g(t)}$

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{t}=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}})=H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal {F}})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})_{t}.}$

Чтобы закодировать все отдельные высшие производные функторы в одну сущность, приведенное выше утверждение можно эквивалентно перефразировать, сказав, что отображение изменения базы ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

является квазиизоморфизмом .

Предположения о том, что рассматриваемые пространства являются хаусдорфовыми, были ослаблены Шнюрером и Зёргелем (2016).

Лурье (2009) распространил приведенную выше теорему на неабелевы когомологии пучков , то есть пучки, принимающие значения в симплициальных множествах (в отличие от абелевых групп). ^[3]

Прямое изображение с компактной поддержкой

Если отображение f не замкнуто, отображение замены базы не обязательно должно быть изоморфизмом, как показывает следующий пример (отображения являются стандартными включениями):

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\emptyset &{\stackrel {g'}{\to }}&\mathbb {C} \setminus \{0\}\\f'\downarrow &&\downarrow f\\\{0\}&{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {C} \end{array}}}$

С одной стороны, всегда равно нулю, но если — локальная система на , соответствующая представлению фундаментальной группы ( которое изоморфно Z ), то может быть вычислено как инварианты действия монодромии на стебле (для любого ), которые не обязаны обращаться в нуль. ${\displaystyle f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle x\neq 0}$

Чтобы получить результат замены базы, функтор (или его производный функтор) должен быть заменен прямым образом с компактным носителем . Например, если есть включение открытого подмножества, как в приведенном выше примере, есть расширение на ноль, т. е. его стебли задаются как ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle Rf_{!}}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle (Rf_{!}{\mathcal {F}})_{s}={\begin{cases}{\mathcal {F}}_{s}&s\in X,\\0&s\notin X.\end{cases}}}$

В общем случае существует отображение , которое является квазиизоморфизмом, если f является собственным, но не в общем случае. Теорема о собственной замене базы, упомянутая выше, имеет следующее обобщение: существует квазиизоморфизм ^[4] ${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf'_{!}g'^{*}{\mathcal {F}}.}$

Изменение базы для квазикогерентных пучков

Правильная смена базы

Правильные теоремы о замене базы для квазикогерентных пучков применяются в следующей ситуации: является правильным морфизмом между нётеровыми схемами , и является когерентным пучком , который является плоским над S (т.е. является плоским над ). В этой ситуации справедливы следующие утверждения: ^[5] ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S,f(x)}}$

• «Теорема о полунепрерывности»:
  • Для каждого функция полунепрерывна сверху . ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z} }$
  • Функция локально постоянна, где обозначает эйлерову характеристику . ${\displaystyle s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})}$ ${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})}$
• « Теорема Грауэрта »: если S приведено и связно, то для каждого следующие условия эквивалентны ${\displaystyle p\geq 0}$
  • ${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$является постоянным.
  • ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$локально свободен и естественная карта

${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

является изоморфизмом для всех . ${\displaystyle s\in S}$

Более того, если эти условия выполняются, то естественное отображение

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

является изоморфизмом для всех . ${\displaystyle s\in S}$

• Если для некоторого p , для всех , то естественное отображение ${\displaystyle H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0}$ ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

является изоморфизмом для всех . ${\displaystyle s\in S}$

Поскольку стебель пучка тесно связан с когомологиями слоя точки под f , это утверждение перефразируется так: «когомологии коммутируют с расширением базы». ^[6] ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$

Эти утверждения доказываются с помощью следующего факта, где в дополнение к вышеуказанным предположениям : существует конечный комплекс конечно порожденных проективных A -модулей и естественный изоморфизм функторов ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle 0\to K^{0}\to K^{1}\to \cdots \to K^{n}\to 0}$

${\displaystyle H^{p}(X\times _{S}\operatorname {Spec} -,{\mathcal {F}}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\bullet }\otimes _{A}-),p\geq 0}$

на категории -алгебр. ${\displaystyle A}$

Изменение плоской базы

Карта изменений базы

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

является изоморфизмом для квазикогерентного пучка (на ), при условии, что отображение является плоским (вместе с рядом технических условий: f должен быть разделенным морфизмом конечного типа , задействованные схемы должны быть нётеровыми). ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g:S'\rightarrow S}$

Изменение плоской базы в производной категории

Далеко идущее расширение плоскостного изменения основания возможно при рассмотрении карты изменения основания

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(Lg'^{*}{\mathcal {F}})}$

в производной категории пучков на S', аналогично упомянутому выше. Вот (полный) производный функтор обратного образа -модулей (поскольку включает тензорное произведение, не является точным, когда g не является плоским, и, следовательно, не равно своему производному функтору ). Это отображение является квазиизоморфизмом при условии, что выполняются следующие условия: ^[8] ${\displaystyle Lg^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle g^{*}{\mathcal {G}}={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{g^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}g^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle Lg^{*}}$

• ${\displaystyle S}$является квазикомпактным и квазикомпактным и квазиразделенным, ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является объектом в , ограниченной производной категории -модулей, и его пучки когомологий являются квазикогерентными (например, может быть ограниченным комплексом квазикогерентных пучков) ${\displaystyle D^{b}({\mathcal {O}}_{X}{\text{-mod}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle X}$и независимы от Tor над , что означает, что если и удовлетворяют , то для всех целых чисел , ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s'\in S'}$ ${\displaystyle f(x)=s=g(s')}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}^{{\mathcal {O}}_{S,s}}({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathcal {O}}_{S',s'})=0}$.

• Выполняется одно из следующих условий:
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$имеет конечную плоскую амплитуду относительно , ​​что означает, что он квазиизоморфен в комплексу такому, что является -плоским для всех вне некоторого ограниченного интервала ; эквивалентно, существует интервал такой, что для любого комплекса в , для всех вне ; или ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}')^{i}}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle [m,n]}$ ${\displaystyle [m,n]}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle [m,n]}$
  • ${\displaystyle g}$имеет конечную размерность Tor, что означает, что имеет конечную плоскую амплитуду относительно . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S'}}$ ${\displaystyle g}$

Одним из преимуществ этой формулировки является то, что гипотеза плоскостности была ослаблена. Однако для проведения конкретных вычислений когомологий левой и правой сторон теперь требуется спектральная последовательность Гротендика .

Изменение основы в производной алгебраической геометрии

Производная алгебраическая геометрия предоставляет способ отказаться от предположения о плоскостности, при условии, что обратный путь заменяется обратным путем гомотопии . В простейшем случае, когда X , S и являются аффинными (с обозначениями, как указано выше), обратный путь гомотопии задается производным тензорным произведением ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle S'}$

${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B'\otimes _{B}^{L}A)}$

Тогда, предполагая, что рассматриваемые схемы (или, в более общем смысле, производные схемы) являются квазикомпактными и квазиразделенными, естественное преобразование

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}Lg'^{*}{\mathcal {F}}}$

является квазиизоморфизмом для любого квазикогерентного пучка или, в более общем смысле, комплекса квазикогерентных пучков. ^[9] Вышеупомянутый результат о плоской замене базы на самом деле является частным случаем, поскольку для плоского g гомотопический обратный путь (который локально задается производным тензорным произведением) согласуется с обычным обратным путем (локально задаваемым производным тензорным произведением), и поскольку обратный путь вдоль плоских отображений g и g' автоматически выводится (т. е. ). Вспомогательные предположения, связанные с независимостью от Tor или амплитудой Tor в предыдущей теореме о замене базы, также становятся ненужными. ${\displaystyle Lg^{*}=g^{*}}$

В приведенной выше форме изменение базы было распространено Бен-Цви, Фрэнсисом и Надлером (2010) на ситуацию, когда X , S и S' являются (возможно, производными) стеками , при условии, что отображение f является совершенным отображением (что включает случай, когда f является квазикомпактным, квазиразделенным отображением схем, но также включает более общие стеки, такие как классифицирующий стек BG алгебраической группы в характеристике нуль).

Варианты и применения

Правильная смена базы также имеет место в контексте комплексных многообразий и комплексных аналитических пространств . ^[10] Теорема о формальных функциях является вариантом правильной смены базы, где обратный путь заменяется операцией завершения .

Принцип качелей и теорема о кубе , которые являются основополагающими фактами в теории абелевых многообразий , являются следствием правильной замены основания. ^[11]

Замена базы также имеет место для D-модулей : если X , S , X' и S' — гладкие многообразия (но f и g не обязаны быть плоскими или собственными и т. д.), то существует квазиизоморфизм

${\displaystyle g^{\dagger }\int _{f}{\mathcal {F}}\to \int _{f'}g'^{\dagger }{\mathcal {F}},}$

где и обозначают обратные и прямые функторы образа для D -модулей. ^[12] ${\displaystyle -^{\dagger }}$ ${\displaystyle \int }$

Базовое изменение для этальных шкивов

Для этальных пучков кручения существуют два результата замены базы, называемые правильной и гладкой заменой базы , соответственно: замена базы выполняется, если является правильной . [ ^13] Она также выполняется, если g является гладкой , при условии, что f является квазикомпактной и при условии, что кручение является простым с характеристикой полей вычетов X. [ ^14] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Тесно связан с правильной заменой базы следующий факт (обычно обе теоремы доказываются одновременно): пусть X — многообразие над сепарабельно замкнутым полем и конструктивный пучок на . Тогда конечны в каждом из следующих случаев: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X_{\text{et}}}$ ${\displaystyle H^{r}(X,{\mathcal {F}})}$

• X завершен, или
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$не имеет p -кручения, где p — характеристика k .

При дополнительных предположениях Денингер (1988) распространил теорему о правильной замене базы на некрученые этальные пучки.

Приложения

По близкой аналогии с топологической ситуацией, упомянутой выше, отображение изменения базы для открытого погружения f ,

${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\to f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

обычно не является изоморфизмом. ^[15] Вместо этого расширение нулевым функтором удовлетворяет изоморфизму ${\displaystyle f_{!}}$

${\displaystyle g^{*}f_{!}{\mathcal {F}}\to f'_{!}g^{*}{\mathcal {F}}.}$

Этот факт и соответствующая замена базы предполагают определение функтора прямого образа с компактным носителем для отображения f следующим образом:

${\displaystyle Rf_{!}:=Rp_{*}j_{!}}$

где — компактификация f , т. е. факторизация в открытое погружение, за которой следует собственное отображение. Правильная теорема о замене базы нужна, чтобы показать, что это хорошо определено, т. е. не зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора компактификации. Более того, снова по аналогии со случаем пучков на топологическом пространстве, формула замены базы для vs. верна для несобственных отображений f . ${\displaystyle f=p\circ j}$ ${\displaystyle g_{*}}$ ${\displaystyle Rf_{!}}$

Для структурного отображения схемы над полем k отдельные когомологии , обозначаемые как , называются когомологиями с компактным носителем . Это важный вариант обычных этальных когомологий . ${\displaystyle f:X\to S=\operatorname {Spec} k}$ ${\displaystyle Rf_{!}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})}$

Аналогичные идеи используются также для построения аналога функтора в теории A 1 -гомотопии . ^{[16] [17]} ${\displaystyle Rf_{!}}$

Смотрите также

• Относительная точка зрения Гротендика в алгебраической геометрии
• Изменение базы (значения)
• Поднятие изменения базы автоморфных форм

Дальнейшее чтение

• Esnault, H.; Kerz, M.; Wittenberg, O. (2016), «Изоморфизм ограничений для циклов относительной размерности ноль», Cambridge Journal of Mathematics , 4 (2): 163–196, arXiv : 1503.08187v2 , doi : 10.4310/CJM.2016.v4.n2.a1, S2CID  54896268

Примечания

1. Роли и симметричны, и в некоторых контекстах (особенно плавное изменение базы) более знакомой формулировкой является другая (имеющая дело вместо этого с картой для пучка на ). Для согласованности все результаты в этой статье ниже указаны для одной и той же ситуации, а именно карты ; но читатели должны обязательно проверить это на соответствие своим ожиданиям. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle f^{*}R^{i}g_{*}{\mathcal {G}}\rightarrow R^{i}g'_{*}f'^{*}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle g^{*}R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow R^{i}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$
2. Милн (2012, Теорема 17.3)
3. Лурье (2009, Теорема 7.3.1.16)
4. Иверсен (1986) предполагает, что четыре пространства локально компактны и имеют конечную размерность.
5. Гротендик (1963, Раздел 7.7), Хартшорн (1977, Теорема III.12.11), Вакил (2015, Глава 28 Когомологии и теоремы о замене базы )
6. Хартшорн (1977, стр. 255)
7. Хартшорн (1977, Предложение III.9.3)
8. Бертло, Гротендик и Иллюзи (1971, SGA 6 IV, предложение 3.1.0)
9. Тоен (2012, предложение 1.4)
10. Грауэрт (1960)
11. Мамфорд (2008)
12. Хотта, Такеучи и Танисаки (2008, теорема 1.7.3)
13. Артин, Гротендик и Вердье (1972, Exposé XII), Милн (1980, раздел VI.2)
14. Артин, Гротендик и Вердье (1972, Разоблачение XVI)
15. Милн (2012, Пример 8.5)
16. Аюб, Джозеф (2007), Шесть операций Гротендика и формализм исчезающих циклов в мотивированном мире. I. , Математическое общество Франции, ISBN 978-2-85629-244-0, ЗБЛ  1146.14001
17. Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2019), Triangulated Categories of Mixed Motives , Springer Monographs in Mathematics, arXiv : 0912.2110 , Bibcode :2009arXiv0912.2110C, doi :10.1007/978-3-030-33242-6, ISBN 978-3-030-33241-9, S2CID  115163824

Ссылки

• Артин, Майкл ; Гротендик, Александр; Вердье, Жан-Луи (1972), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Теория топов и этальных когомологий схем - (SGA 4) - том. 3 (PDF) , Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 305, Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. vi+640, doi : 10.1007/BFb0070714, ISBN. 978-3-540-06118-2
• Бен-Цви, Дэвид; Фрэнсис, Джон; Надлер, Дэвид (2010), «Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии», J. Amer. Math. Soc. , 23 (4): 909–966, arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090/S0894-0347-10-00669-7, MR  2669705, S2CID  2202294
• Бертло, Пьер ; Гротендик, Александр ; Иллюзия, Люк (1971), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Теория пересечений и теория Римана-Роха - (SGA 6) (Конспекты лекций по математике 225 ) (на французском языке), Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , xii+700, doi : 10.1007/BFb0066283, ISBN. 978-3-540-05647-8
• Денингер, Кристофер (1988), «Правильная теорема о замене базы для некрученых пучков в этальных когомологиях», Журнал чистой и прикладной алгебры , 50 (3): 231–235, doi : 10.1016/0022-4049(88)90102-8
• Габбер, «Теоремы конечности для этальных когомологий превосходных схем»
• Грауэрт, Ганс (1960), «Теорема аналитической теории и комплексной структуры модулей» (PDF) , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 5 : 5–64, doi : 10.1007/BF02684746, S2CID  122593346, Zbl  01 00.08001
• Гротендик, А. (1963), "Элементы алгебраической геометрии. III. Когомологический этюд des faisceaux coherents. II", Publ. Математика. IHÉS , заархивировано из оригинала 5 января 2017 г. , получено 4 января 2017 г.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157, OCLC  13348052
• Хотта, Рёши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тосиюки (2008),D -модули, извращенные пучки и теория представлений , Биркхойзер
• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN 978-3-540-16389-3, МР  0842190
• Лурье, Якоб (2009), Теория высшего топоса , Annals of Mathematics Studies, т. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , doi :10.1515/9781400830558, ISBN 978-0-691-14049-0, г-н  2522659
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7
• Милн, Джеймс С. (2012), Лекции по этальным когомологиям (PDF)
• Мамфорд, Дэвид (2008) [1970], Абелевы многообразия , Институт фундаментальных исследований в области математики им. Тата, т. 5, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-81-85931-86-9, MR  0282985, OCLC  138290
• Toën, Bertrand (2012), Правильные локальные морфизмы полного пересечения сохраняют совершенные комплексы , arXiv : 1210.2827 , Bibcode : 2012arXiv1210.2827T
• Шнюрер, ОМ; Зёргель, В. (2016), "Правильная смена базы для разделенных локально правильных отображений", Rend. Semin. Mat. Univ. Padova , 135 : 223–250, arXiv : 1404.7630v2 , doi : 10.4171/RSMUP/135-13, S2CID  118024164
• Вакил, Рави (2015), Основы алгебраической геометрии (PDF)

Внешние ссылки

• Раздаточный материал Брайана Конрада
• Проблема с полунепрерывностью