Цепная дробь (непростая)

${\displaystyle b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}}$

Бесконечная цепная дробь определяется последовательностями , для , при этом . ${\displaystyle \{a_{i}\},\{b_{i}\}}$ ${\displaystyle i=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle a_{0}=0}$

Цепная дробь — это математическое выражение , которое можно записать в виде дроби со знаменателем , представляющим собой сумму, содержащую другую простую или цепную дробь. В зависимости от того, заканчивается ли эта итерация простой дробью или нет, цепная дробь является конечной или бесконечной .

Разные области математики имеют различную терминологию и обозначения для цепной дроби. В теории чисел стандартное безоговорочное использование термина цепная дробь относится к особому случаю, когда все числители равны 1, и рассматривается в статье цепная дробь . В настоящей статье рассматривается случай, когда числители и знаменатели являются последовательностями констант или функций. С точки зрения теории чисел они называются обобщенными цепными дробями. Однако с точки зрения комплексного анализа или численного анализа они являются просто стандартными, и в настоящей статье они будут просто называться «цепной дробью». ${\displaystyle \{a_{i}\},\{b_{i}\}}$

Формулировка

Цепная дробь — это выражение вида

${\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

где a _n ( n > 0 ) — частичные числители , b _n — частичные знаменатели , а старший член b ₀ называется целой частью цепной дроби.

Последовательные подходящие дроби цепной дроби образуются путем применения основных рекуррентных формул :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\frac {A_{0}}{B_{0}}}=b_{0},\\[4px]x_{1}&={\frac {A_{1}}{B_{1}}}={\frac {b_{1}b_{0}+a_{1}}{b_{1}}},\\[4px]x_{2}&={\frac {A_{2}}{B_{2}}}={\frac {b_{2}(b_{1}b_{0}+a_{1})+a_{2}b_{0}}{b_{2}b_{1}+a_{2}}},\ \dots \end{aligned}}}$

где A _n — числитель, а B _n — знаменатель, называемые континуантами , ^{[1] [2]} n-го сходящегося члена. Они задаются трехчленным рекуррентным соотношением ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&=b_{n}A_{n-1}+a_{n}A_{n-2},\\B_{n}&=b_{n}B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}$

с начальными значениями

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&=1,&A_{0}&=b_{0},\\B_{-1}&=0,&B_{0}&=1.\end{aligned}}}$

Если последовательность сходящихся дробей { x _n } стремится к пределу , непрерывная дробь сходится и имеет определенное значение. Если последовательность сходящихся дробей никогда не приближается к пределу, непрерывная дробь расходящаяся. Она может расходиться колебанием (например, нечетные и четные сходящиеся дроби могут приближаться к двум разным пределам), или она может производить бесконечное число нулевых знаменателей B _n .

История

История непрерывных дробей начинается с алгоритма Евклида ^[4] , процедуры нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел m и n . Этот алгоритм ввел идею деления для извлечения нового остатка, а затем многократного деления на новый остаток.

Прошло почти две тысячи лет, прежде чем Бомбелли (1579) разработал метод аппроксимации корней квадратных уравнений с помощью цепных дробей в середине шестнадцатого века. Теперь темпы развития ускорились. Всего 24 года спустя, в 1613 году, Пьетро Катальди ввел первую формальную запись для обобщенной цепной дроби. ^[5] Катальди представил цепную дробь как

${\displaystyle {a_{0}\cdot }\,\&\,{\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}\,\&\,{\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}\,\&\,{\frac {n_{3}}{d_{3}}}}$

с точками, указывающими, куда идет следующая дробь, а каждый & представляет собой современный знак плюс.

В конце семнадцатого века Джон Уоллис ввел в математическую литературу термин «непрерывная дробь». ^[6] Новые методы математического анализа ( исчисление Ньютона и Лейбница ) недавно появились на сцене, и поколение современников Уоллиса ввело новую фразу в употребление.

В 1748 году Эйлер опубликовал теорему, показывающую, что определенный вид цепной дроби эквивалентен определенному очень общему бесконечному ряду . ^[7] Формула цепной дроби Эйлера до сих пор является основой многих современных доказательств сходимости цепных дробей .

В 1761 году Иоганн Генрих Ламберт дал первое доказательство того, что число π иррационально , используя следующую цепную дробь для tan x : ^[8]

${\displaystyle \tan(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {-x^{2}}{3+{\cfrac {-x^{2}}{5+{\cfrac {-x^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}}$

Цепные дроби также могут применяться к задачам теории чисел и особенно полезны при изучении диофантовых уравнений . В конце восемнадцатого века Лагранж использовал цепные дроби для построения общего решения уравнения Пелля , тем самым ответив на вопрос, который интересовал математиков более тысячи лет. ^[9] Открытие Лагранжа подразумевает, что каноническое разложение в цепную дробь квадратного корня любого неквадратного целого числа является периодическим и что, если период имеет длину p > 1 , он содержит палиндромную строку длины p − 1 .

В 1813 году Гаусс вывел из комплекснозначных гипергеометрических функций то, что сейчас называется непрерывными дробями Гаусса . ^[10] Их можно использовать для выражения многих элементарных функций и некоторых более сложных функций (таких как функции Бесселя ) в виде непрерывных дробей, которые быстро сходятся почти всюду в комплексной плоскости.

Обозначение

Выражение длинной непрерывной дроби, показанное во введении, легко интерпретируется незнакомым читателем. Однако оно занимает много места и может быть сложным для набора. Поэтому математики придумали несколько альтернативных обозначений. Один удобный способ выразить обобщенную непрерывную дробь помещает каждую вложенную дробь на одной строке, указывая вложенность свисающими знаками плюс в знаменателях:

${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}+}}\,{\frac {a_{2}}{b_{2}+}}\,{\frac {a_{3}}{b_{3}+\cdots }}}$

Иногда знаки «плюс» набираются так, чтобы они располагались вертикально в знаменателях, но не под дробными чертами:

${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}}}{{} \atop +}{\frac {a_{2}}{b_{2}}}{{} \atop +}{\frac {a_{3}}{b_{3}}}{{} \atop \!{}+\cdots }}$

Прингсхейм записал обобщенную цепную дробь следующим образом:

${\displaystyle x=b_{0}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {a_{1}}{\,b_{1}\,}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {a_{2}}{\,b_{2}\,}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+{{} \atop {{\big |}\!}}\!{\frac {a_{3}}{\,b_{3}\,}}\!{{\!{\big |}} \atop {}}+\cdots }$

Карл Фридрих Гаусс использовал более знакомое бесконечное произведение Π, когда придумал следующую запись:

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,}$

Здесь « К » означает Kettenbruch , немецкое слово, означающее «непрерывная дробь». Это, вероятно, самый компактный и удобный способ выражения непрерывных дробей; однако он не так широко используется английскими наборщиками.

Некоторые элементарные соображения

Вот некоторые элементарные результаты, имеющие принципиальное значение для дальнейшего развития аналитической теории цепных дробей.

Частичные числители и знаменатели

Если один из частичных числителей a _{n + 1} равен нулю, то бесконечная цепная дробь

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

на самом деле это просто конечная цепная дробь с n дробными членами, и, следовательно, рациональная функция от a ₁ до a _n и от b ₀ до b _{n + 1} . Такой объект не представляет большого интереса с точки зрения, принятой в математическом анализе, поэтому обычно предполагается, что все a _i ≠ 0 . Нет необходимости накладывать это ограничение на частичные знаменатели b _i .

Формула детерминанта

Когда n-й подходящий член цепной дроби

${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

выражается как простая дробь x _n = ⁠А _н/Б _н⁠ мы можем использовать формулу определителя

связать числители и знаменатели последовательных сходящихся дробей x _n и x _{n − 1} друг с другом. Доказательство этого можно легко увидеть с помощью индукции .

Преобразование эквивалентности

Если { c _i } = { c ₁ , c ₂ , c ₃ , ...} — любая бесконечная последовательность ненулевых комплексных чисел, то мы можем доказать по индукции, что

${\displaystyle b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}=b_{0}+{\cfrac {c_{1}a_{1}}{c_{1}b_{1}+{\cfrac {c_{1}c_{2}a_{2}}{c_{2}b_{2}+{\cfrac {c_{2}c_{3}a_{3}}{c_{3}b_{3}+{\cfrac {c_{3}c_{4}a_{4}}{c_{4}b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

где равенство понимается как эквивалентность, то есть последовательные подходящие дроби цепной дроби слева в точности совпадают с подходящими дробями дроби справа.

Преобразование эквивалентности является совершенно общим, но два частных случая заслуживают особого упоминания. Во-первых, если ни один из a _i не равен нулю, последовательность { c _i } может быть выбрана так, чтобы сделать каждый частичный числитель a 1:

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {1}{c_{i}b_{i}}}\,}$

где с ₁ = ⁠1/а ₁⁠ , с ₂ = ⁠а ₁/а ₂⁠ , с ₃ = ⁠а ₂/а ₁ а ₃⁠ , и в общем случае c _{n + 1} = ⁠1/а _{н + 1} с _н⁠ .

Во-вторых, если ни один из частичных знаменателей b _i не равен нулю, мы можем использовать аналогичную процедуру для выбора другой последовательности { d _i }, чтобы сделать каждый частичный знаменатель a равным 1:

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {d_{i}a_{i}}{1}}\,}$

где d ₁ = ⁠1/б ₁⁠ и в противном случае d _{n + 1} = ⁠1/б _н б _{н + 1}⁠ .

Эти два особых случая преобразования эквивалентности чрезвычайно полезны при анализе общей проблемы сходимости .

Понятия конвергенции

Как уже упоминалось во введении, цепная дробь

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

сходится, если последовательность сходящихся дробей { x _n } стремится к конечному пределу. Это понятие сходимости очень естественно, но иногда оно слишком ограничительно. Поэтому полезно ввести понятие общей сходимости цепной дроби. Грубо говоря, это состоит в замене части дроби на w _n , вместо 0, для вычисления сходящихся дробей. Полученные таким образом сходящиеся дроби называются модифицированными сходящимися дробями . Мы говорим, что цепная дробь сходится в общем случае , если существует последовательность такая, что последовательность модифицированных сходящихся дробей сходится для всех достаточно отличных от . Тогда последовательность называется исключительной последовательностью для цепной дроби. Строгое определение см. в главе 2 работы Lorentzen & Waadeland (1992). ${\displaystyle \operatorname {K} _{i=n}^{\infty }{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}}$ ${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$ ${\displaystyle \{w_{n}\}}$ ${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$ ${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$

Существует также понятие абсолютной сходимости для цепных дробей, которое основано на понятии абсолютной сходимости ряда: цепная дробь называется абсолютно сходящейся, когда ряд

${\displaystyle f=\sum _{n}\left(f_{n}-f_{n-1}\right),}$

где — подходящие дроби цепной дроби, сходится абсолютно . ^[11] Теорема Слешинского–Принсхейма дает достаточное условие абсолютной сходимости. ${\displaystyle f_{n}=\operatorname {K} _{i=1}^{n}{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}}$

Наконец, непрерывная дробь одной или нескольких комплексных переменных равномерно сходится в открытой окрестности Ω , когда ее подходящие дроби сходятся равномерно на Ω ; то есть, когда для каждого ε > 0 существует M такое, что для всех n > M , для всех , ${\displaystyle z\in \Omega }$

${\displaystyle |f(z)-f_{n}(z)|<\varepsilon .}$

Чётные и нечётные подходящие дроби

Иногда необходимо разделить непрерывную дробь на четную и нечетную части. Например, если непрерывная дробь расходится из-за колебания между двумя различными предельными точками p и q , то последовательность { x ₀ , x ₂ , x ₄ , ...} должна сходиться к одной из них, а { x ₁ , x ₃ , x ₅ , ...} должна сходиться к другой. В такой ситуации может быть удобно выразить исходную непрерывную дробь как две различные непрерывные дроби, одна из которых сходится к p , а другая — к q .

Формулы для четных и нечетных частей цепной дроби можно записать наиболее компактно, если дробь уже преобразована так, что все ее частичные знаменатели равны единице. В частности, если

${\displaystyle x={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{1}}\,}$

— цепная дробь, тогда четная часть x _четная и нечетная часть x _{нечетная} определяются как

${\displaystyle x_{\text{even}}={\cfrac {a_{1}}{1+a_{2}-{\cfrac {a_{2}a_{3}}{1+a_{3}+a_{4}-{\cfrac {a_{4}a_{5}}{1+a_{5}+a_{6}-{\cfrac {a_{6}a_{7}}{1+a_{7}+a_{8}-\ddots }}}}}}}}\,}$

и

${\displaystyle x_{\text{odd}}=a_{1}-{\cfrac {a_{1}a_{2}}{1+a_{2}+a_{3}-{\cfrac {a_{3}a_{4}}{1+a_{4}+a_{5}-{\cfrac {a_{5}a_{6}}{1+a_{6}+a_{7}-{\cfrac {a_{7}a_{8}}{1+a_{8}+a_{9}-\ddots }}}}}}}}\,}$

соответственно. Точнее, если последовательные подходящие дроби непрерывной дроби x равны { x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...} , то последовательные подходящие дроби четного x _{, как} записано выше, равны { x ₂ , x ₄ , x ₆ , ...} , а последовательные подходящие дроби _{нечетного} x равны { x ₁ , x ₃ , x ₅ , ...} . ^[12]

Условия иррациональности

Если a ₁ , a ₂ ,... и b ₁ , b ₂ ,... — положительные целые числа, причем a _k ≤ b _k для всех достаточно больших k , то

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

сходится к иррациональному пределу. ^[13]

Фундаментальные рекуррентные формулы

Частные числители и знаменатели последовательных дробей связаны фундаментальными рекуррентными формулами :

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&=1&B_{-1}&=0\\A_{0}&=b_{0}&B_{0}&=1\\A_{n+1}&=b_{n+1}A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}&B_{n+1}&=b_{n+1}B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}\,\end{aligned}}}$

Последовательные подходящие дроби непрерывной дроби затем задаются как

${\displaystyle x_{n}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}.\,}$

Эти рекуррентные соотношения принадлежат Джону Валлису (1616–1703) и Леонарду Эйлеру (1707–1783). ^[14] Эти рекуррентные соотношения являются просто другой записью соотношений, полученных Пьетро Антонио Катальди (1548–1626).

В качестве примера рассмотрим правильную цепную дробь в канонической форме , представляющую золотое сечение φ :

${\displaystyle x=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots \,}}}}}}}}}$

Применяя основные рекуррентные формулы, мы находим, что последовательные числители A _n равны {1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}, а последовательные знаменатели B _n равны {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...} , числа Фибоначчи . Поскольку все частичные числители в этом примере равны единице, формула определителя гарантирует нам, что абсолютное значение разности между последовательными сходящимися дробями довольно быстро приближается к нулю.

Дробно-линейные преобразования

Дробно-линейное преобразование (ДЛП) — это комплексная функция вида

${\displaystyle w=f(z)={\frac {a+bz}{c+dz}},\,}$

где z — комплексная переменная, а a , b , c , d — произвольные комплексные константы, такие, что c + dz ≠ 0. Дополнительное ограничение, что ad ≠ bc, обычно накладывается, чтобы исключить случаи, в которых w = f ( z ) — константа. Дробно-линейное преобразование, также известное как преобразование Мёбиуса , обладает многими интересными свойствами. Четыре из них имеют первостепенное значение для разработки аналитической теории непрерывных дробей.

• Если d ≠ 0, то LFT имеет одну или две неподвижные точки . Это можно увидеть, рассмотрев уравнение

${\displaystyle f(z)=z\Rightarrow dz^{2}+cz=a+bz\,}$

что, очевидно, является квадратным уравнением относительно z . Корни этого уравнения являются неподвижными точками f ( z ) . Если дискриминант ( c − b ) ² + 4 ad равен нулю, LFT фиксирует одну точку; в противном случае он имеет две неподвижные точки.

• Если ad ≠ bc, то LFT является обратимым конформным отображением расширенной комплексной плоскости на себя. Другими словами, это LFT имеет обратную функцию

${\displaystyle z=g(w)={\frac {-a+cw}{b-dw}}\,}$

так что f ( g ( z )) = g ( f ( z )) = z для каждой точки z в расширенной комплексной плоскости, и как f, так и g сохраняют углы и формы в исчезающе малых масштабах. Из формы z = g ( w ) мы видим, что g также является LFT.

• Композиция двух различных LFT, для которых ad ≠ bc , сама является LFT, для которой ad ≠ bc . Другими словами, множество всех LFT, для которых ad ≠ bc, замкнуто относительно композиции функций. Совокупность всех таких LFT вместе с "групповой операцией" композиции функций известна как группа автоморфизмов расширенной комплексной плоскости.
• Если b = 0, LFT сводится к

${\displaystyle w=f(z)={\frac {a}{c+dz}},\,}$

которая является очень простой мероморфной функцией z с одним простым полюсом (в точке − ⁠с/г⁠ ) ​​и остаток, равный ⁠а/г⁠ . (См. также серию Лорана .)

Цепная дробь как композиция НФП

Рассмотрим последовательность простых дробно-линейных преобразований

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{0}(z)&=b_{0}+z,\\[4px]\tau _{1}(z)&={\frac {a_{1}}{b_{1}+z}},\\[4px]\tau _{2}(z)&={\frac {a_{2}}{b_{2}+z}},\\[4px]\tau _{3}(z)&={\frac {a_{3}}{b_{3}+z}},\\&\;\vdots \end{aligned}}}$

Здесь мы используем τ для представления каждого простого LFT, и мы принимаем традиционную круговую нотацию для композиции функций. Мы также вводим новый символ Τ _n для представления композиции n + 1 преобразований τ _i ; то есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)=\tau _{0}{\big (}\tau _{1}(z){\big )},\\{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)=\tau _{0}{\Big (}\tau _{1}{\big (}\tau _{2}(z){\big )}{\Big )},\,\end{aligned}}}$

и т. д. Прямой подстановкой из первого набора выражений во второй мы видим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+z}}\\[4px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+z}}}}\,\end{aligned}}}$

и, в общем,

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}\circ \cdots \circ \tau _{n}(z)=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

где последний частичный знаменатель в конечной цепной дроби K понимается как b _n + z . И, поскольку b _n + 0 = b _n , изображение точки z = 0 при итеративном LFT Τ _n действительно является значением конечной цепной дроби с n частичными числителями:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,}$

Геометрическая интерпретация

Определение конечной цепной дроби как образа точки при итеративном линейном функциональном преобразовании Τ _n ( z ) приводит к интуитивно привлекательной геометрической интерпретации бесконечных цепных дробей.

Отношения

${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )\,}$

можно понять, переписав Τ _n ( z ) и Τ _{n + 1} ( z ) в терминах фундаментальных рекуррентных формул:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {(b_{n}+z)A_{n-1}+a_{n}A_{n-2}}{(b_{n}+z)B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}};\\[6px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {(b_{n+1}+z)A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}}{(b_{n+1}+z)B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {zA_{n}+A_{n+1}}{zB_{n}+B_{n+1}}}.\,\end{aligned}}}$

В первом из этих уравнений отношение стремится к ⁠А _н/Б _н⁠ когда z стремится к нулю. Во втором случае отношение стремится к ⁠А _н/Б _н⁠ когда z стремится к бесконечности. Это приводит нас к нашей первой геометрической интерпретации. Если непрерывная дробь сходится, то последовательные сходящиеся дроби ⁠А _н/Б _н⁠ в конечном итоге произвольно близко друг к другу . Поскольку дробно-линейное преобразование Τ _n ( z ) является непрерывным отображением , должна существовать окрестность z = 0 , которая отображается в произвольно малую окрестность Τ _n (0) = ⁠А _н/Б _н⁠ . Аналогично должна существовать окрестность бесконечно удаленной точки, которая отображается в произвольно малую окрестность Τ _n (∞) = ⁠А _{н − 1}/Б _{н − 1}⁠ . Таким образом, если цепная дробь сходится, преобразование Τ _n ( z ) отображает как очень малые z , так и очень большие z в произвольно малую окрестность x , значение цепной дроби, по мере того как n становится все больше и больше.

Для промежуточных значений z , поскольку последовательные конвергенции становятся ближе друг к другу, мы должны иметь

${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}\approx {\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}=k\,}$

где k — константа, введенная для удобства. Но тогда, подставляя в выражение для Τ _n ( z ), получаем

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {z{\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}+1}{z{\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}+1}}\right)\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {zk+1}{zk+1}}\right)={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\,}$

так что даже промежуточные значения z (за исключением случая, когда z ≈ − k ⁻¹ ) отображаются в произвольно малую окрестность x , значение непрерывной дроби, по мере того, как n становится все больше и больше. Интуитивно это почти как если бы сходящаяся непрерывная дробь отображала всю расширенную комплексную плоскость в одну точку. ^[15]

Обратите внимание, что последовательность { Τ _n } лежит в группе автоморфизмов расширенной комплексной плоскости, поскольку каждое Τ _n является дробно-линейным преобразованием, для которого ab ≠ cd . И каждый член этой группы автоморфизмов отображает расширенную комплексную плоскость в себя: ни один из Τ _n не может отобразить плоскость в одну точку. Однако в пределе последовательность { Τ _n } определяет бесконечную непрерывную дробь, которая (если она сходится) представляет одну точку в комплексной плоскости.

Когда бесконечная непрерывная дробь сходится, соответствующая последовательность { Τ _n } LFT "фокусирует" плоскость в направлении x , значения непрерывной дроби. На каждом этапе процесса все большая и большая область плоскости отображается в окрестности x , а все меньшая и меньшая область плоскости, которая остается, растягивается все тоньше, чтобы покрыть все за пределами этой окрестности. ^[16]

Для расходящихся цепных дробей можно выделить три случая:

1. Две последовательности { Τ _{2 n − 1} } и { Τ _{2 n} } сами по себе могут определять две сходящиеся непрерывные дроби, которые имеют два различных значения, x _{нечетное} и x _четное . В этом случае непрерывная дробь, определяемая последовательностью { Τ _n }, расходится из-за колебания между двумя различными предельными точками. И на самом деле эту идею можно обобщить: последовательности { Τ _n } могут быть построены, которые колеблются между тремя, четырьмя или даже любым числом предельных точек. Интересные примеры этого случая возникают, когда последовательность { Τ _n } составляет подгруппу конечного порядка в группе автоморфизмов над расширенной комплексной плоскостью.
2. Последовательность { Τ _n } может производить бесконечное число нулевых знаменателей B _i , одновременно производя подпоследовательность конечных сходящихся дробей. Эти конечные сходящиеся дроби могут не повторяться или не попадать в узнаваемую колебательную модель. Или они могут сходиться к конечному пределу или даже колебаться среди нескольких конечных пределов. Независимо от того, как ведут себя конечные сходящиеся дроби, непрерывная дробь, определяемая последовательностью { Τ _n }, расходится из-за колебания с точкой в ​​бесконечности в этом случае. ^[17]
3. Последовательность { Τ _n } может производить не более конечного числа нулевых знаменателей B _i , в то время как подпоследовательность конечных сходящихся дробей дико танцует вокруг плоскости по схеме, которая никогда не повторяется и никогда не приближается ни к какому конечному пределу.

Интересные примеры случаев 1 и 3 можно построить, изучая простую цепную дробь.

${\displaystyle x=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+\ddots }}}}}}}}\,}$

где z — любое действительное число, такое что z < − ⁠1/4⁠ . ^[18]

Формула непрерывной дроби Эйлера

Эйлер доказал следующее тождество: ^[7]

${\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\frac {a_{0}}{1-}}{\frac {a_{1}}{1+a_{1}-}}{\frac {a_{2}}{1+a_{2}-}}\cdots {\frac {a_{n}}{1+a_{n}}}.\,}$

Из этого можно вывести много других результатов, таких как

${\displaystyle {\frac {1}{u_{1}}}+{\frac {1}{u_{2}}}+{\frac {1}{u_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{u_{n}}}={\frac {1}{u_{1}-}}{\frac {u_{1}^{2}}{u_{1}+u_{2}-}}{\frac {u_{2}^{2}}{u_{2}+u_{3}-}}\cdots {\frac {u_{n-1}^{2}}{u_{n-1}+u_{n}}},\,}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}+{\frac {x}{a_{0}a_{1}}}+{\frac {x^{2}}{a_{0}a_{1}a_{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{a_{0}a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}={\frac {1}{a_{0}-}}{\frac {a_{0}x}{a_{1}+x-}}{\frac {a_{1}x}{a_{2}+x-}}\cdots {\frac {a_{n-1}x}{a_{n}+x}}.\,}$

Формула Эйлера, связывающая цепные дроби и ряды, является мотивировкой фундаментальных неравенств ^{[ необходима ссылка или пояснение ]} , а также основой элементарных подходов к проблеме сходимости .

Примеры

Трансцендентные функции и числа

Вот две цепные дроби, которые можно построить с помощью тождества Эйлера .

${\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}$

Вот дополнительные обобщенные цепные дроби:

${\displaystyle \arctan {\cfrac {x}{y}}={\cfrac {xy}{1y^{2}+{\cfrac {(1xy)^{2}}{3y^{2}-1x^{2}+{\cfrac {(3xy)^{2}}{5y^{2}-3x^{2}+{\cfrac {(5xy)^{2}}{7y^{2}-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {x}{1y+{\cfrac {(1x)^{2}}{3y+{\cfrac {(2x)^{2}}{5y+{\cfrac {(3x)^{2}}{7y+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}\quad \Rightarrow \quad e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \log \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}}$

Последнее основано на алгоритме, разработанном Алексеем Николаевичем Хованским в 1970-х годах. ^[19]

Пример: натуральный логарифм числа 2 (= [0; 1, 2, 3, 1, 5, ⁠2/3⁠ , 7, ⁠1/2⁠ , 9, ⁠2/5⁠ ,..., 2k − 1, ⁠2/к⁠ ,...] ≈ 0,693147...): ^[20]

${\displaystyle \log 2=\log(1+1)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$

π

Вот три наиболее известные обобщенные непрерывные дроби числа π , первая и третья из которых выводятся из соответствующих им формул арктангенса , приведенных выше, путем подстановки x = y = 1 и умножения на 4. Формула Лейбница для числа π :

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+-\cdots }$

сходится слишком медленно, требуя примерно 3 × 10 ⁿ членов для достижения n правильных десятичных знаков. Ряд, полученный Нилакантой Сомаяджи :

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots }}}}}}=3-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(n+1)(2n+1)}}=3+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 7}}-+\cdots }$

гораздо более очевидное выражение, но все еще сходится довольно медленно, требуя около 50 членов для пяти десятичных знаков и около 120 для шести. Оба сходятся сублинейно к π . С другой стороны:

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}=4-1+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{34}}+{\frac {16}{3145}}-{\frac {4}{4551}}+{\frac {1}{6601}}-{\frac {1}{38341}}+-\cdots }$

сходится линейно к π , добавляя по крайней мере три цифры точности на четыре члена, что немного быстрее, чем формула арксинуса для π :

${\displaystyle \pi =6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!}$

который добавляет не менее трех десятичных цифр на пять членов. ^[21]

• Примечание: скорость сходимости этой непрерывной дроби μ стремится к 3 − √ 8 ≈ 0,1715729 , следовательно ⁠1/μ⁠ стремится к 3 + √ 8 ≈ 5,828427 , чей десятичный логарифм равен 0,7655... ≈ ⁠13/17⁠ > ⁠3/4⁠ . То же самое ⁠1/μ⁠ = 3 + √ 8 ( квадрат серебряного отношения ) также наблюдается в развернутых общих непрерывных дробях как натурального логарифма 2 , так и корня n- й степени из 2 (который работает для любого целого числа n > 1 ), если вычисляется с использованием 2 = 1 + 1. Для свернутых общих непрерывных дробей обоих выражений скорость сходимости μ = (3 − √ 8 ) ² = 17 − √ 288 ≈ 0,02943725 , следовательно ⁠1/μ⁠ = (3 + √ 8 ) ² = 17 + √ 288 ≈ 33,97056 , чей десятичный логарифм равен 1,531... ≈ ⁠26/17⁠ > ⁠3/2⁠ , таким образом добавляя по крайней мере три цифры на два члена. Это происходит потому, что свернутый GCF сворачивает каждую пару дробей из развернутого GCF в одну дробь, тем самым удваивая скорость сходимости. Ссылка Мэнни Сардина далее объясняет "свернутые" непрерывные дроби.
• Примечание: использование непрерывной дроби для arctan ⁠х/у⁠ приведенный выше пример с самой известной формулой типа Мачина дает еще более быстрое, хотя и по-прежнему линейное, сходящееся выражение:

${\displaystyle \pi =16\tan ^{-1}{\cfrac {1}{5}}\,-\,4\tan ^{-1}{\cfrac {1}{239}}={\cfrac {16}{u+{\cfrac {1^{2}}{3u+{\cfrac {2^{2}}{5u+{\cfrac {3^{2}}{7u+\ddots }}}}}}}}\,-\,{\cfrac {4}{v+{\cfrac {1^{2}}{3v+{\cfrac {2^{2}}{5v+{\cfrac {3^{2}}{7v+\ddots }}}}}}}}.}$

при u = 5 и v = 239 .

Корни из положительных чисел

Корень n-й степени любого положительного числа z ^m можно выразить, переписав z = x ⁿ + y , что даст

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}={\sqrt[{n}]{\left(x^{n}+y\right)^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {my}{nx^{n-m}+{\cfrac {(n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(n+m)y}{3nx^{n-m}+{\cfrac {(2n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(2n+m)y}{5nx^{n-m}+{\cfrac {(3n-m)y}{2x^{m}+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

которую можно упростить, сложив каждую пару дробей в одну дробь,

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {2x^{m}\cdot my}{n(2x^{n}+y)-my-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{3n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{5n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{7n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(4^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{9n(2x^{n}+y)-\ddots }}}}}}}}}}.}$

Квадратный корень из z представляет собой особый случай при m = 1 и n = 2 :

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {3y}{6x+{\cfrac {3y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {1\cdot 3y^{2}}{6(2x^{2}+y)-{\cfrac {3\cdot 5y^{2}}{10(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}}$

что можно упростить, заметив, что ⁠5/10⁠ = ⁠3/6⁠ = ⁠1/2⁠ :

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}.}$

Квадратный корень также можно выразить периодической непрерывной дробью , но приведённая выше форма сходится быстрее при правильных x и y .

Пример 1

Кубический корень из двух (2 ^1/3 или ³ √ 2 ≈ 1,259921...) можно вычислить двумя способами:

Во-первых, «стандартная запись» x = 1 , y = 1 и 2 z − y = 3 :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {4}{9+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {7}{15+{\cfrac {8}{2+{\cfrac {10}{21+{\cfrac {11}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{9-1-{\cfrac {2\cdot 4}{27-{\cfrac {5\cdot 7}{45-{\cfrac {8\cdot 10}{63-{\cfrac {11\cdot 13}{81-\ddots }}}}}}}}}}.}$

Во-вторых, быстрая сходимость при x = 5 , y = 3 и 2 z − y = 253 :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {0.5}{50+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {4}{150+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {7}{250+{\cfrac {8}{5+{\cfrac {10}{350+{\cfrac {11}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {2.5\cdot 1}{253-1-{\cfrac {2\cdot 4}{759-{\cfrac {5\cdot 7}{1265-{\cfrac {8\cdot 10}{1771-\ddots }}}}}}}}.}$

Пример 2

Отношение Погсона (100 ^1/5 или ⁵ √ 100 ≈ 2,511886...), где x = 5 , y = 75 и 2 z − y = 6325 :

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{100}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {3}{250+{\cfrac {12}{5+{\cfrac {18}{750+{\cfrac {27}{5+{\cfrac {33}{1250+{\cfrac {42}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {5\cdot 3}{1265-3-{\cfrac {12\cdot 18}{3795-{\cfrac {27\cdot 33}{6325-{\cfrac {42\cdot 48}{8855-\ddots }}}}}}}}.}$

Пример 3

Корень двенадцатой степени из двух (2 ^1/12 или ¹² √ 2 ≈ 1,059463...), используя «стандартную запись»:

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=1+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {11}{2+{\cfrac {13}{36+{\cfrac {23}{2+{\cfrac {25}{60+{\cfrac {35}{2+{\cfrac {37}{84+{\cfrac {47}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{36-1-{\cfrac {11\cdot 13}{108-{\cfrac {23\cdot 25}{180-{\cfrac {35\cdot 37}{252-{\cfrac {47\cdot 49}{324-\ddots }}}}}}}}}}.}$

Пример 4

Чистая квинта равномерно темперированного строя (2 ^7/12 или ¹² √ 2 ⁷ ≈ 1,498307...), где m = 7 :

Со «стандартной записью»:

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}=1+{\cfrac {7}{12+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {19}{36+{\cfrac {17}{2+{\cfrac {31}{60+{\cfrac {29}{2+{\cfrac {43}{84+{\cfrac {41}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 7}{36-7-{\cfrac {5\cdot 19}{108-{\cfrac {17\cdot 31}{180-{\cfrac {29\cdot 43}{252-{\cfrac {41\cdot 55}{324-\ddots }}}}}}}}}}.}$

Быстрая сходимость при x = 3 , y = −7153 и 2 z − y = 2 ¹⁹ + 3 ¹² :

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {1}{2}}{\sqrt[{12}]{3^{12}-7153}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {0.5\cdot 7153}{4\cdot 3^{12}-{\cfrac {11\cdot 7153}{6-{\cfrac {13\cdot 7153}{12\cdot 3^{12}-{\cfrac {23\cdot 7153}{6-{\cfrac {25\cdot 7153}{20\cdot 3^{12}-{\cfrac {35\cdot 7153}{6-{\cfrac {37\cdot 7153}{28\cdot 3^{12}-{\cfrac {47\cdot 7153}{6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {3\cdot 7153}{12(2^{19}+3^{12})+7153-{\cfrac {11\cdot 13\cdot 7153^{2}}{36(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {23\cdot 25\cdot 7153^{2}}{60(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {35\cdot 37\cdot 7153^{2}}{84(2^{19}+3^{12})-\ddots }}}}}}}}.}$

Более подробную информацию об этой методике можно найти в статье Общий метод извлечения корней с использованием (сложенных) непрерывных дробей .

Более высокие измерения

Другое значение обобщенной цепной дроби — это обобщение на более высокие измерения. Например, существует тесная связь между простой цепной дробью в канонической форме для иррационального действительного числа α и тем, как точки решетки в двух измерениях лежат по обе стороны от прямой y = αx . Обобщая эту идею, можно спросить о чем-то, связанном с точками решетки в трех или более измерениях. Одна из причин изучения этой области — количественно оценить идею математического совпадения ; например, для мономов в нескольких действительных числах возьмите логарифмическую форму и подумайте, насколько малой она может быть. Другая причина — найти возможное решение проблемы Эрмита .

Было предпринято множество попыток построить обобщенную теорию. Известные усилия в этом направлении были предприняты Феликсом Клейном ( многогранник Клейна ), Жоржем Пуату и Жоржем Секерешом .

Смотрите также

• непрерывная дробь Гаусса
• Паде стол
• Решение квадратных уравнений с цепными дробями
• Проблема сходимости
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Алгоритм Ленца

Примечания

1. Кьюсик и Флэхайв 1989.
2. Кристалл 1999.
3. Джонс и Трон 1980, стр. 20.
4. Евклид (2008) — Алгоритм Евклида генерирует цепную дробь как побочный продукт.
5. Катальди 1613.
6. Уоллис 1699.
7. Эйлер 1748, Глава 18.
8. Хавил 2012, стр. 104–105.
9. Брахмагупта (598–670) был первым математиком, который провел систематическое исследование уравнения Пелла.
10. Гаусс 1813.
11. Лоренцен и Вааделанд 1992.
12. Оскар Перрон выводит еще более общие формулы расширения и сокращения для цепных дробей. См. Perron (1977a), Perron (1977b).
13. Энджелл 2021.
14. Порубский 2008.
15. Эта интуитивная интерпретация не является строгой, поскольку бесконечная цепная дробь не является отображением: она является пределом последовательности отображений. Это построение бесконечной цепной дроби примерно аналогично построению иррационального числа как предела последовательности Коши рациональных чисел.
16. Из-за подобных аналогий теорию конформного отображения иногда называют «геометрией резинового листа».
17. Один из подходов к проблеме сходимости состоит в построении положительно определенных цепных дробей, для которых знаменатели B _i никогда не равны нулю.
18. Эта периодическая дробь периода один более подробно обсуждается в статье проблема сходимости .
19. Альтернативный способ вычисления log(x)
20. Борвейн, Крэндалл и Фи 2004, стр. 278, 280.
21. Бекманн 1971.

Ссылки

• Энджелл, Дэвид (2010). «Семейство непрерывных дробей» (PDF) . Журнал теории чисел . 130 (4). Elsevier: 904–911. doi :10.1016/j.jnt.2009.12.003.

• Энджелл, Дэвид (2021). Иррациональность и трансцендентность в теории чисел . Chapman and Hall/CRC. ISBN 9780367628376.

• Бекманн, Петр (1971). История Пи . St. Martin's Press, Inc. стр. 131–133, 140–143. ISBN 0-88029-418-3.

• Бомбелли, Рафаэль (1579). Алгебра.

• Борвейн, Джонатан Майкл ; Крэндалл, Ричард Э .; Фи, Грег (2004). «О дроби Рамануджана AGM, I: случай вещественных параметров». Экспериментальная математика . 13 (3): 275–285. doi :10.1080/10586458.2004.10504540. S2CID  17758274.

• Катальди, Пьетро Антонио (1613). Trattato del modo brevissimo di trovar la radice Quadra delli numeri [ Трактат о быстром способе нахождения квадратных корней чисел ].

• Кристал, Джордж (1999). Алгебра, элементарный учебник для старших классов средних школ и колледжей: Ч. 1. Американское математическое общество. С. 500. ISBN 0-8218-1649-7.

• Cusick, Thomas W.; Flahive, Mary E. (1989). Спектры Маркова и Лагранжа . Американское математическое общество. стр. 89. ISBN 0-8218-1531-8.

• Евклид (2008) [300 г. до н. э.]. «Элементы». Институт математики Клэя.

• Эйлер, Леонард (1748). "E101 – Introductio in analysin infinitorum, том 1". Архив Эйлера . Получено 2 мая 2022 г.

• Гаусс, Карл Фридрих (1813). Disquisitiones Generales Circa seriem infinitam .

• Хавил, Джулиан (2012). Иррациональности: История о числах, на которые нельзя рассчитывать . Princeton University Press. стр. 280. ISBN 978-0691143422. JSTOR  j.ctt7smdw.

• Джонс, Уильям Б.; Трон, У. Дж. (1980). Цепные дроби. Аналитическая теория и приложения . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 11. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13510-8. Збл  0445.30003.(Охватывает как аналитическую теорию, так и историю.)

• Лоренцен, Лиза ; Вааделанд, Хаакон (1992). Непрерывные дроби с приложениями . Рединг, Массачусетс: Северная Голландия. ISBN 978-0-444-89265-2.(Охватывает в основном аналитическую теорию и некоторую часть арифметической теории.)

• Перрон, Оскар (1977a) [1954]. Die Lehre von den Kettenbrüchen . Том. Группа I: Elementare Kettenbrüche (3-е изд.). Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 9783519020219.

• Перрон, Оскар (1977b) [1954]. Die Lehre von den Kettenbrüchen . Том. Группа II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche (3-е изд.). Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 9783519020226.

• Порубский, Штефан (2008). "Основные определения непрерывных дробей". Интерактивный информационный портал по алгоритмической математике . Прага, Чешская Республика: Институт компьютерных наук Чешской академии наук . Получено 2 мая 2022 г.

• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Раздел 5.2. Оценка непрерывных дробей". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивировано из оригинала 2021-05-06 . Получено 2011-08-08 .

• Сардина, Мэнни (2007). «Общий метод извлечения корней с использованием (сложенных) непрерывных дробей» (PDF) . Суррей (Великобритания).

• Секерес, Джордж (1970). «Многомерные цепные дроби». Энн. унив. наук. Будапешт. Секта Этвёша. Математика . 13 : 113–140.

• Фон Кох, Хельге (1895). «Sur un theorème de Stieltjes et sur les fonctions définies par des дробей продолжается». Бюллетень математического общества Франции . 23 : 33–40. дои : 10.24033/bsmf.508 . ЖФМ  26.0233.01.

• Уолл, Хьюберт Стэнли (1967). Аналитическая теория непрерывных дробей (переиздание). Chelsea Pub Co. ISBN 0-8284-0207-8.(Данное переиздание издания Д. Ван Ностранда 1948 года охватывает как историю, так и аналитическую теорию.)

• Уоллис, Джон (1699). Opera mathematica [ Математические труды ].

Внешние ссылки

• Первые двадцать страниц книги Стивена Р. Финча «Математические константы» , Cambridge University Press , 2003, ISBN 0-521-81805-2 , содержат обобщенные цепные дроби для √ 2 и золотое сечение. 
• Последовательность OEIS A133593 («точная» непрерывная дробь для числа Пи)