Криволинейные координаты

Система координат, направления которой меняются в пространстве

Криволинейные (вверху), аффинные (справа) и декартовы (слева) координаты в двумерном пространстве

В геометрии криволинейные координаты — это система координат для евклидова пространства , в которой координатные линии могут быть искривлены. Эти координаты могут быть получены из набора декартовых координат с помощью преобразования, которое локально обратимо (отображение один к одному) в каждой точке. Это означает, что можно преобразовать точку, заданную в декартовой системе координат, в ее криволинейные координаты и обратно. Название криволинейные координаты , придуманное французским математиком Ламе , происходит от того факта, что координатные поверхности криволинейных систем искривлены.

Известными примерами криволинейных систем координат в трехмерном евклидовом пространстве ( R ³ ) являются цилиндрические и сферические координаты. Декартова координатная поверхность в этом пространстве является координатной плоскостью ; например, z = 0 определяет плоскость x - y . В том же пространстве координатная поверхность r = 1 в сферических координатах является поверхностью единичной сферы , которая является искривленной. Формализм криволинейных координат обеспечивает единое и общее описание стандартных систем координат.

Криволинейные координаты часто используются для определения местоположения или распределения физических величин, которые могут быть, например, скалярами , векторами или тензорами . Математические выражения, включающие эти величины в векторном исчислении и тензорном анализе (такие как градиент , дивергенция , ротор и лапласиан ), могут быть преобразованы из одной системы координат в другую в соответствии с правилами преобразования для скаляров, векторов и тензоров. Такие выражения затем становятся действительными для любой криволинейной системы координат.

Криволинейная система координат может быть проще в использовании, чем декартова система координат для некоторых приложений. Движение частиц под действием центральных сил обычно проще решить в сферических координатах , чем в декартовых координатах; это справедливо для многих физических задач со сферической симметрией , определенной в R ³ . Уравнения с граничными условиями , которые следуют координатным поверхностям для конкретной криволинейной системы координат, могут быть проще решить в этой системе. Хотя можно описать движение частицы в прямоугольном ящике с помощью декартовых координат, проще описать движение в сфере с помощью сферических координат. Сферические координаты являются наиболее распространенными криволинейными системами координат и используются в науках о Земле , картографии , квантовой механике , теории относительности и инженерии .

Ортогональные криволинейные координаты в 3-х измерениях

Координаты, базис и векторы

Рис. 1 - Координатные поверхности, координатные линии и координатные оси общих криволинейных координат.

Рис. 2 - Координатные поверхности, координатные линии и координатные оси сферических координат. Поверхности: r - сферы, θ - конусы, Φ - полуплоскости; Линии: r - прямые лучи, θ - вертикальные полуокружности, Φ - горизонтальные окружности; Оси: r - прямые лучи, θ - касательные к вертикальным полуокружностям, Φ - касательные к горизонтальным окружностям

^На данный момент рассмотрим трехмерное пространство . Точка P в трехмерном пространстве (или ее вектор положения r ) может быть определена с помощью декартовых координат ( _x , y , z ) [эквивалентно записанных как ( ^x1 , x2 , x3 ) ] , как , где e _x , ey _, e ^z — стандартные базисные векторы . ${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}}$

Его также можно определить по его криволинейным координатам ( q ¹ , q ² , q ³ ), если эта тройка чисел однозначно определяет одну точку. Соотношение между координатами тогда задается обратимыми функциями преобразования:

${\displaystyle x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})}$

${\displaystyle q^{1}=g^{1}(x,y,z),\,q^{2}=g^{2}(x,y,z),\,q^{3}=g^{3}(x,y,z)}$

Поверхности q ¹ = константа, q ² = константа, q ³ = константа называются координатными поверхностями ; а пространственные кривые, образованные их пересечением попарно, называются координатными кривыми . Координатные оси определяются касательными к координатным кривым в пересечении трех поверхностей. Они не являются в общем случае фиксированными направлениями в пространстве, что имеет место для простых декартовых координат, и, таким образом, для криволинейных координат, как правило, не существует естественной глобальной основы.

В декартовой системе стандартные базисные векторы могут быть получены из производной местоположения точки P относительно локальной координаты

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}};\;\mathbf {e} _{y}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}};\;\mathbf {e} _{z}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial z}}.}$

Применение тех же производных к криволинейной системе локально в точке P определяет естественные базисные векторы:

${\displaystyle \mathbf {h} _{1}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}};\;\mathbf {h} _{2}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}};\;\mathbf {h} _{3}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}.}$

Такой базис, векторы которого изменяют свое направление и/или величину от точки к точке, называется локальным базисом . Все базисы, связанные с криволинейными координатами, обязательно являются локальными. Базисные векторы, которые одинаковы во всех точках, являются глобальными базисами и могут быть связаны только с линейными или аффинными системами координат .

В данной статье e зарезервировано для стандартного базиса (декартова), а h или b — для криволинейного базиса.

Они могут не иметь единичной длины и не быть ортогональными. В случае, если они ортогональны во всех точках, где производные хорошо определены, мы определяем коэффициенты Ламе(по Габриэлю Ламе )

${\displaystyle h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf {h} _{3}|}$

и криволинейные ортонормированные базисные векторы по

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\dfrac {\mathbf {h} _{1}}{h_{1}}};\;\mathbf {b} _{2}={\dfrac {\mathbf {h} _{2}}{h_{2}}};\;\mathbf {b} _{3}={\dfrac {\mathbf {h} _{3}}{h_{3}}}.}$

Эти базисные векторы могут зависеть от положения P ; поэтому необходимо, чтобы они не предполагались постоянными в области. (Технически они образуют базис для касательного расслоения в P и, таким образом, являются локальными по отношению к P. ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

В общем случае криволинейные координаты допускают, чтобы естественные базисные векторы h _i не все были взаимно перпендикулярны друг другу и не обязательно имели единичную длину: они могут иметь произвольную величину и направление. Использование ортогонального базиса упрощает векторные манипуляции по сравнению с неортогональными. Однако некоторые области физики и техники , в частности механика жидкости и механика сплошной среды , требуют неортогональных базисов для описания деформаций и переноса жидкости с целью учета сложных направленных зависимостей физических величин. Обсуждение общего случая приводится далее на этой странице.

Векторные исчисления

Дифференциальные элементы

В ортогональных криволинейных координатах, поскольку полное дифференциальное изменение r равно

${\displaystyle d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^{1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}}$

поэтому масштабные факторы ${\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|}$

В неортогональных координатах длина является положительным квадратным корнем из (с соглашением Эйнштейна о суммировании ). Шесть независимых скалярных произведений g _ij = h _i . h _j естественных базисных векторов обобщают три масштабных множителя, определенных выше для ортогональных координат. Девять g _ij являются компонентами метрического тензора , который имеет только три ненулевых компонента в ортогональных координатах: g ₁₁ = h ₁ h ₁ , g ₂₂ = h ₂ h ₂ , g ₃₃ = h ₃ h ₃ . ${\displaystyle d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}}$ ${\displaystyle d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}}$

Ковариантные и контравариантные базисы

Вектор v ( красный ), представленный • векторным базисом ( желтый , слева: e ₁ , e ₂ , e ₃ ), касательными векторами к координатным кривым ( черный ) и • ковекторным базисом или кобазисом ( синий , справа: e ¹ , e ² , e ³ ), нормальными векторами к координатным поверхностям ( серый ) в общих (не обязательно ортогональных ) криволинейных координатах ( q ¹ , q ² , q ³ ). Базис и кобазис не совпадают, если только система координат не является ортогональной. ^[1]

Пространственные градиенты, расстояния, производные по времени и масштабные коэффициенты взаимосвязаны в системе координат двумя группами базисных векторов:

1. базисные векторы, которые локально касаются соответствующей им координатной линии пути: являются контравариантными векторами (обозначаются пониженными индексами), и $${\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}$$
2. базисные векторы, которые локально нормальны к изоповерхности, созданной другими координатами: являются ковариантными векторами (обозначаются приподнятыми индексами), ∇ является оператором del . $${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}}$$

Обратите внимание, что из-за соглашения Эйнштейна о суммировании положение индексов векторов противоположно положению координат.

Следовательно, общая криволинейная система координат имеет два набора базисных векторов для каждой точки: { b ₁ , b ₂ , b ₃ } — контравариантный базис, а { b ¹ , b ² , b ³ } — ковариантный (иначе говоря, обратный) базис. Ковариантные и контравариантные типы базисных векторов имеют одинаковое направление для ортогональных криволинейных систем координат, но, как обычно, имеют инвертированные единицы по отношению друг к другу.

Обратите внимание на следующее важное равенство: где обозначает обобщенную дельту Кронекера . $${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}}$$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

Доказательство

В декартовой системе координат мы можем записать скалярное произведение как: ${\displaystyle (\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})}$

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=\left({\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}\right)\cdot \left({\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}\right)={\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}}$

Рассмотрим бесконечно малое перемещение . Пусть dq ₁ , dq ₂ и dq ₃ обозначают соответствующие бесконечно малые изменения криволинейных координат q ₁ , q ₂ и q ₃ соответственно. ${\displaystyle d\mathbf {r} =dx\cdot \mathbf {e} _{x}+dy\cdot \mathbf {e} _{y}+dz\cdot \mathbf {e} _{z}}$

По правилу цепочки dq ₁ можно выразить как:

${\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}dy+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}dz={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}\left({\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}\left({\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)}$

Если смещение d r таково, что dq ₂ = dq ₃ = 0, т.е. радиус-вектор r перемещается на бесконечно малую величину вдоль координатных осей q ₂ =const и q ₃ =const, то:

${\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}}$

Разделив на dq ₁ и взяв предел dq ₁ → 0:

${\displaystyle 1={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}}$

или эквивалентно:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}\cdot \mathbf {b} ^{1}=1}$

Теперь, если смещение d r таково, что dq ₁ = dq ₃ =0, т.е. радиус-вектор r перемещается на бесконечно малую величину вдоль координатных осей q ₁ =const и q ₃ =const, то:

${\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}}$

Разделив на dq ₂ и взяв предел dq ₂ → 0:

${\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}}$

или эквивалентно:

${\displaystyle \mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} ^{1}=0}$

И так далее для других скалярных произведений.

Альтернативное доказательство:

${\displaystyle \delta _{j}^{i}dq^{j}=dq^{i}=\nabla q^{i}\cdot d\mathbf {r} =\mathbf {b} ^{i}\cdot {\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}dq^{j}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}dq^{j}}$

и подразумевается правило суммирования Эйнштейна .

Вектор v может быть определен в терминах любого базиса, т.е.

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b} _{3}=v_{1}\mathbf {b} ^{1}+v_{2}\mathbf {b} ^{2}+v_{3}\mathbf {b} ^{3}}$

Используя соглашение Эйнштейна о суммировании, базисные векторы соотносятся с компонентами следующим образом ^{[2] : 30–32}

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\delta _{k}^{i}=v^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\delta _{i}^{k}=v_{i}}$

и

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}}$

где g — метрический тензор (см. ниже).

Вектор может быть задан с помощью ковариантных координат (опущенные индексы, обозначаемые v _k ) или контравариантных координат (поднятые индексы, обозначаемые v ^k ). Из приведенных выше векторных сумм видно, что контравариантные координаты связаны с ковариантными базисными векторами, а ковариантные координаты связаны с контравариантными базисными векторами.

Ключевой особенностью представления векторов и тензоров в терминах индексированных компонентов и базисных векторов является инвариантность в том смысле, что векторные компоненты, которые преобразуются ковариантным образом (или контравариантным образом), сочетаются с базисными векторами, которые преобразуются контравариантным образом (или ковариантным образом).

Интеграция

Построение ковариантного базиса в одном измерении

Рис. 3 – Преобразование локального ковариантного базиса в случае общих криволинейных координат

Рассмотрим одномерную кривую, показанную на рис. 3. В точке P , взятой в качестве начала координат , x является одной из декартовых координат, а q ¹ является одной из криволинейных координат. Локальный (неединичный) базисный вектор — это b ₁ (обозначенный выше как h ₁ , при этом b зарезервировано для единичных векторов), и он построен на оси q ¹ , которая является касательной к этой координатной линии в точке P . Ось q ¹ и, таким образом, вектор b ₁ образуют угол с декартовой осью x и декартовым базисным вектором e ₁ . ${\displaystyle \alpha }$

Из треугольника PAB видно, что

${\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}\quad \Rightarrow \quad |\mathbf {e} _{1}|=|\mathbf {b} _{1}|\cos \alpha }$

где | e ₁ |, | b ₁ | — величины двух базисных векторов, т. е. скалярных отрезков PB и PA . PA также является проекцией b ₁ на ось x .

Однако данный метод преобразования базисных векторов с использованием направляющих косинусов неприменим к криволинейным координатам по следующим причинам:

1. При увеличении расстояния от P угол между кривой q ¹ и декартовой осью x все больше отклоняется от . ${\displaystyle \alpha }$
2. На расстоянии PB истинный угол — это угол, который образует касательная в точке C с осью x , и этот последний угол явно отличается от . ${\displaystyle \alpha }$

Углы, которые образуют линия q ^{1 и эта ось с осью} x , становятся ближе по величине по мере приближения к точке P и становятся точно равными в точке P.

Пусть точка E расположена очень близко к P , настолько близко, что расстояние PE бесконечно мало. Тогда PE, измеренное по оси q ^1, почти совпадает с PE, измеренным по линии q ^1. В то же время отношение PD/PE ( где PD — проекция PE на ось x ) становится почти в точности равным . ${\displaystyle \cos \alpha }$

Пусть бесконечно малые отрезки PD и PE обозначены соответственно как dx и d q ¹ . Тогда

${\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}}$.

Таким образом, направляющие косинусы можно заменить в преобразованиях более точными соотношениями между бесконечно малыми координатными отрезками. Из этого следует, что компонент (проекция) b ₁ на ось x равен

${\displaystyle p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}}\cos \alpha =|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {dx}{dq^{1}}}\quad \Rightarrow \quad {\cfrac {p^{1}}{|\mathbf {b} _{1}|}}={\cfrac {dx}{dq^{1}}}}$.

Если q ⁱ = q ⁱ ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) и x _i = x _i ( q ¹ , q ² , q ³ ) — гладкие (непрерывно дифференцируемые) функции, то коэффициенты преобразования можно записать как и . То есть эти коэффициенты являются частными производными координат, принадлежащих одной системе, по координатам, принадлежащим другой системе. ${\displaystyle {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}}}$ ${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}}$

Построение ковариантного базиса в трех измерениях

Проделав то же самое для координат в двух других измерениях, b ₁ можно выразить как:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}}$

Аналогичные уравнения справедливы для b ₂ и b ₃ , так что стандартный базис { e ₁ , e ₂ , e ₃ } преобразуется в локальный (упорядоченный и нормализованный ) базис { b ₁ , b ₂ , b ₃ } с помощью следующей системы уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$

Аналогичным образом можно получить обратное преобразование из локального базиса в стандартный базис:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}}$

Якобиан преобразования

Приведенные выше системы линейных уравнений можно записать в матричной форме, используя правило суммирования Эйнштейна:

${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}}$.

Эта матрица коэффициентов линейной системы является матрицей Якоби (и ее обратной) преобразования. Это уравнения, которые можно использовать для преобразования декартова базиса в криволинейный базис и наоборот.

В трех измерениях развернутые формы этих матриц имеют вид

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}}$

В обратном преобразовании (вторая система уравнений) неизвестными являются криволинейные базисные векторы. Для любого конкретного местоположения может существовать только один и только один набор базисных векторов (иначе базис не будет хорошо определен в этой точке). Это условие выполняется тогда и только тогда, когда система уравнений имеет единственное решение. В линейной алгебре линейная система уравнений имеет единственное решение (нетривиальное) только в том случае, если определитель ее системной матрицы отличен от нуля:

${\displaystyle \det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0}$

что показывает обоснование вышеуказанного требования относительно обратного определителя Якоби.

Обобщение кнразмеры

Формализм распространяется на любое конечное измерение следующим образом.

Рассмотрим действительное евклидово n -мерное пространство, то есть R ⁿ = R × R × ... × R ( n раз), где R — множество действительных чисел , а × обозначает декартово произведение , которое является векторным пространством .

Координаты этого пространства можно обозначить как: x = ( x ₁ , x ₂ ,..., x n ₎ . Поскольку это вектор (элемент векторного пространства), его можно записать как:

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

где e ¹ = (1,0,0...,0), e ² = (0,1,0...,0), e ³ = (0,0,1...,0),..., e ⁿ = (0,0,0...,1) — стандартный базисный набор векторов для пространства R ⁿ , а i = 1, 2,... n — индекс, маркирующий компоненты. Каждый вектор имеет ровно один компонент в каждом измерении (или «оси»), и они взаимно ортогональны ( перпендикулярны ) и нормализованы (имеют единичную величину ).

В более общем смысле, мы можем определить базисные векторы b _i так, чтобы они зависели от q = ( q ₁ , q ₂ ,..., q _n ), т.е. они изменяются от точки к точке: b _i = b _i ( q ). В этом случае, чтобы определить ту же точку x в терминах этого альтернативного базиса: координаты относительно этого базиса v _i также обязательно зависят от x , то есть v _i = v _i ( x ). Тогда вектор v в этом пространстве относительно этих альтернативных координат и базисных векторов может быть разложен как линейная комбинация в этом базисе (что просто означает умножение каждого базисного вектора e _i на число v _i – скалярное умножение ):

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )}$

Векторная сумма, описывающая v в новом базисе, состоит из других векторов, хотя сама сумма остается прежней.

Преобразование координат

С более общей и абстрактной точки зрения криволинейная система координат — это просто фрагмент координат на дифференцируемом многообразии E ⁿ (n-мерное евклидово пространство ), который диффеоморфен декартовому фрагменту координат на многообразии. ^[3] Два диффеоморфных фрагмента координат на дифференциальном многообразии не обязательно должны перекрываться дифференцируемо. При таком простом определении криволинейной системы координат все результаты, которые следуют ниже, являются просто приложениями стандартных теорем в дифференциальной топологии .

Функции преобразования таковы, что между точками в «старых» и «новых» координатах существует однозначное соответствие, то есть эти функции являются биекциями и удовлетворяют следующим требованиям в своих областях определения :

1. Это гладкие функции : q ⁱ = q ⁱ ( x )
2. Обратный определитель Якоби

   ${\displaystyle J^{-1}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0}$

   не равен нулю; это означает, что преобразование обратимо : x _i ( q ) согласно теореме об обратной функции . Условие, что определитель Якоби не равен нулю, отражает тот факт, что три поверхности из разных семейств пересекаются в одной и только одной точке и, таким образом, определяют положение этой точки единственным образом. ^[4]

Векторная и тензорная алгебра в трехмерных криволинейных координатах

Элементарная векторная и тензорная алгебра в криволинейных координатах используется в некоторой старой научной литературе по механике и физике и может быть незаменима для понимания работ начала и середины 1900-х годов, например, текста Грина и Зерны. ^[5] Некоторые полезные соотношения в алгебре векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах приведены в этом разделе. Обозначения и содержание в основном взяты из Огдена, ^[6] Нагди, ^[7] Симмондса, ^[2] Грина и Зерны, ^[5] Басара и Вайхерта, ^[8] и Чиарлета. ^[9]

Тензоры в криволинейных координатах

Тензор второго порядка можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}{}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}{}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

где обозначает тензорное произведение . Компоненты S ^ij называются контравариантными компонентами, S ⁱ _{j —} смешанными правоковариантными компонентами, S _i ^{j —} смешанными левоковариантными компонентами, а S _ij — ковариантными компонентами тензора второго порядка. Компоненты тензора второго порядка связаны соотношением ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$

${\displaystyle S^{ij}=g^{ik}S_{k}{}^{j}=g^{jk}S^{i}{}_{k}=g^{ik}g^{j\ell }S_{k\ell }}$

Метрический тензор в ортогональных криволинейных координатах

В каждой точке можно построить небольшой линейный элемент d x , поэтому квадрат длины линейного элемента является скалярным произведением d x • d x и называется метрикой пространства , определяемой по формуле:

${\displaystyle d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}}$.

Следующая часть приведенного выше уравнения

${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}}$

— симметричный тензор, называемый фундаментальным (или метрическим) тензором евклидова пространства в криволинейных координатах.

Индексы могут быть повышены и понижены по метрике:

${\displaystyle v^{i}=g^{ik}v_{k}}$

Связь с коэффициентами Ламе

Определение масштабных коэффициентов h _i по формуле

${\displaystyle h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|}$

дает связь между метрическим тензором и коэффициентами Ламе, и

${\displaystyle g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki}h_{kj}}$

где h _ij — коэффициенты Ламе. Для ортогонального базиса также имеем:

${\displaystyle g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J}$

Пример: полярные координаты

Если мы рассмотрим полярные координаты для R ² ,

${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}$

(r, θ) — криволинейные координаты, а определитель Якоби преобразования ( r ,θ) → ( r cos θ, r sin θ) равен r .

Ортогональные базисные векторы b _r = (cos θ , sin θ), b _θ = (−r sin θ, r cos θ). Масштабные множители h _r = 1 и h _θ = r . Основной тензор g ₁₁ =1, g ₂₂ = r ² , g ₁₂ = g ₂₁ =0.

Переменный тензор

В ортонормированном правом базисе знакопеременный тензор третьего порядка определяется как

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}}$

В общем криволинейном базисе тот же тензор может быть выражен как

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}}$

Можно также показать, что

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\varepsilon _{ijk}}$

символы Кристоффеля

Символы Кристоффеля первого рода ${\displaystyle \Gamma _{kij}}$

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} ^{k}\Gamma _{kij}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i,j}=\Gamma _{kij}}$

где запятая обозначает частную производную (см. исчисление Риччи ). Чтобы выразить Γ _kij через g _ij ,

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end{aligned}}}$

С

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}}$

использование их для перестановки приведенных выше соотношений дает

${\displaystyle \Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]}$

Символы Кристоффеля второго рода ${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ji}}$

${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{k}\Gamma ^{k}{}_{ij}}$

Это подразумевает, что

${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}\quad }$с . ${\displaystyle \quad {\cfrac {\partial }{\partial q^{j}}}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{k})=0}$

Другие соотношения, которые следуют далее, следующие:

${\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

Векторные операции

1. Скалярное произведение :

   Скалярное произведение двух векторов в криволинейных координатах равно ^{[2] : 32}

   ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}}$

2. Перекрестное произведение :

   Перекрестное произведение двух векторов определяется по формуле ^{[2] : 32–34}

   ${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{u}_{j}{v}_{k}\mathbf {e} _{i}}$

   где — символ перестановки , а — декартов базисный вектор. В криволинейных координатах эквивалентное выражение имеет вид ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

   ${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}$

   где — знакопеременный тензор третьего порядка. ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}}$

Векторные и тензорные исчисления в трехмерных криволинейных координатах

Необходимо внести корректировки в расчет линейного , поверхностного и объемного интегралов . Для простоты нижеследующее ограничивается тремя измерениями и ортогональными криволинейными координатами. Однако те же аргументы применимы и для n -мерных пространств. Когда система координат не ортогональна, в выражениях есть некоторые дополнительные члены.

Симмондс ^[2] в своей книге по тензорному анализу цитирует Альберта Эйнштейна , говорящего ^[10]

Магия этой теории вряд ли не сможет не покорить любого, кто по-настоящему ее понял; она представляет собой подлинный триумф метода абсолютного дифференциального исчисления, основанного Гауссом, Риманом, Риччи и Леви-Чивитой.

Векторные и тензорные исчисления в общих криволинейных координатах используются в тензорном анализе на четырехмерных криволинейных многообразиях в общей теории относительности ^[11] , в механике искривленных оболочек ^[9] , при исследовании свойств инвариантности уравнений Максвелла , что представляет интерес в метаматериалах ^{[12] [13]} и во многих других областях.

В этом разделе приведены некоторые полезные соотношения в исчислении векторов и тензоров второго порядка в криволинейных координатах. Обозначения и содержание в основном взяты из Ogden, ^[14] Simmonds, ^[2] Green и Zerna, ^[5] Basar и Weichert, ^[8] и Ciarlet. ^[9]

Пусть φ = φ( x ) — хорошо определенное скалярное поле, v = v ( x ) — хорошо определенное векторное поле, а λ ₁ , λ ₂ ... — параметры координат.

Геометрические элементы

1. Касательный вектор : Если x ( λ ) параметризует кривую C в декартовых координатах, то

   ${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }={\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda }=\left(h_{ki}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)\mathbf {b} _{k}}$

   является касательным вектором к C в криволинейных координатах (используя правило цепочки ). Используя определение коэффициентов Ламе и метрику g _ij = 0 при i ≠ j , величина равна:

   ${\displaystyle \left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|={\sqrt {h_{ki}h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {g_{ij}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {h_{i}^{2}\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)^{2}}}}$

2. Элемент касательной плоскости : Если x ( λ ₁ , λ ₂ ) параметризует поверхность S в декартовых координатах, то следующее векторное произведение касательных векторов является нормальным вектором к S с величиной бесконечно малого элемента плоскости в криволинейных координатах. Используя приведенный выше результат,

   ${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}=\left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\times \left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)={\mathcal {E}}_{kmp}\left(h_{ki}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\left(h_{mj}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)\mathbf {b} _{p}}$

   где - символ перестановки . В детерминантной форме: ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

   ${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\h_{1i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{2i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{3i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}\\h_{1j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{2j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{3j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}\end{vmatrix}}}$

Интеграция

Дифференциация

Выражения для градиента, дивергенции и лапласиана можно напрямую распространить на n -мерное пространство, однако ротор определен только в трехмерном пространстве.

Вектор поля b _i касается координатной кривой q ⁱ и образует естественный базис в каждой точке кривой. Этот базис, как обсуждалось в начале статьи, также называется ковариантным криволинейным базисом. Мы также можем определить обратный базис или контравариантный криволинейный базис, b ⁱ . Все алгебраические соотношения между базисными векторами, как обсуждалось в разделе о тензорной алгебре, применяются к естественному базису и его обратному в каждой точке x .

Фиктивные силы в общих криволинейных координатах

По определению, если частица без действующих на нее сил имеет свое положение, выраженное в инерциальной системе координат ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ,  t ), то там она не будет иметь ускорения (d ² x _j /d t ²  = 0). ^[15] В этом контексте система координат может не быть «инерциальной» либо из-за непрямолинейной оси времени, либо из-за непрямолинейных осей пространства (или из-за того и другого). Другими словами, базисные векторы координат могут изменяться во времени в фиксированных положениях, или они могут изменяться с положением в фиксированные моменты времени, или из-за того и другого. Когда уравнения движения выражаются в терминах любой неинерциальной системы координат (в этом смысле), появляются дополнительные члены, называемые символами Кристоффеля. Строго говоря, эти члены представляют собой компоненты абсолютного ускорения (в классической механике), но мы также можем продолжать рассматривать d ² x _j /d t ² как ускорение (как если бы координаты были инерциальными) и трактовать дополнительные члены так, как если бы они были силами, в этом случае они называются фиктивными силами. ^[16] Компонент любой такой фиктивной силы, нормальный к траектории частицы и в плоскости кривизны траектории, тогда называется центробежной силой . ^[17]

Этот более общий контекст проясняет соответствие между понятиями центробежной силы во вращающихся системах координат и в стационарных криволинейных системах координат. (Оба эти понятия часто встречаются в литературе. ^{[18] [19] [20]} ) Для простого примера рассмотрим частицу массой m , движущуюся по окружности радиусом r с угловой скоростью w относительно системы полярных координат, вращающейся с угловой скоростью W . Радиальное уравнение движения имеет вид mr ” =  F _r  +  mr ( w  +  W ) ² . Таким образом, центробежная сила равна mr , умноженному на квадрат абсолютной скорости вращения A  =  w  +  W частицы. Если мы выберем систему координат, вращающуюся со скоростью частицы, то W  =  A и w  = 0, в этом случае центробежная сила равна mrA ² , тогда как если мы выберем стационарную систему координат, то мы будем иметь W  = 0 и w  =  A , в этом случае центробежная сила снова будет равна mrA ² . Причина этого равенства результатов в том, что в обоих случаях базисные векторы в месте нахождения частицы изменяются со временем совершенно одинаково. Следовательно, это на самом деле просто два разных способа описания одного и того же, одно описание в терминах вращающихся координат, а другое в терминах стационарных криволинейных координат, оба из которых являются неинерциальными согласно более абстрактному значению этого термина.

При описании общего движения реальные силы, действующие на частицу, часто относят к мгновенной соприкасающейся окружности, касательной к траектории движения, и эта окружность в общем случае не имеет центра в фиксированном месте, и поэтому разложение на центробежную и кориолисову составляющие постоянно меняется. Это справедливо независимо от того, описывается ли движение в терминах неподвижных или вращающихся координат.

Смотрите также

• Ковариация и контравариация
• Введение в математику общей теории относительности
• Особые случаи:
  • Ортогональные координаты
  • Наклонные координаты
• Тензоры в криволинейных координатах
• Формулы Френе-Серре
• Ковариантная производная
• Производная тензора (механика сплошной среды)
• Криволинейная перспектива
• Del в цилиндрических и сферических координатах

Ссылки

1. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
2. Simmonds, JG (1994). Краткое изложение тензорного анализа . Springer. ISBN 0-387-90639-8.
3. Boothby, WM (2002). Введение в дифференциальные многообразия и риманову геометрию (пересмотренное издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Academic Press.
4. Макконнелл, А. Дж. (1957). Применение тензорного анализа . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. Гл. 9, с. 1. ISBN 0-486-60373-3.
5. Грин, AE; Зерна, W. (1968). Теоретическая упругость . Oxford University Press. ISBN 0-19-853486-8.
6. Огден, РВ (2000). Нелинейные упругие деформации . Довер.
7. Нагди, П. М. (1972). «Теория оболочек и пластин». В S. Flügge (ред.). Справочник по физике . Т. VIa/2. С. 425–640.
8. Basar, Y.; Weichert, D. (2000). Численная механика сплошных сред твердых тел: фундаментальные концепции и перспективы . Springer.
9. Ciarlet, PG (2000). Теория оболочек . Том 1. Elsevier Science.
10. Эйнштейн, А. (1915). «Вклад в общую теорию относительности». В Laczos, C. (ред.). Десятилетие Эйнштейна . стр. 213. ISBN 0-521-38105-3.
11. Мизнер, CW; Торн, KS; Уилер, JA (1973). Гравитация . WH Freeman and Co. ISBN 0-7167-0344-0.
12. Гринлиф, А.; Лассас, М.; Ульманн, Г. (2003). «Анизотропные проводимости, которые невозможно обнаружить с помощью ЭИТ». Физиологические измерения . 24 (2): 413–419. doi :10.1088/0967-3334/24/2/353. PMID  12812426.
13. Леонхардт, У.; Филбин, Т.Г. (2006). «Общая теория относительности в электротехнике». New Journal of Physics . 8 (10): 247. arXiv : cond-mat/0607418 . doi :10.1088/1367-2630/8/10/247.
14. Огден
15. Фридман, Майкл (1989). Основы теорий пространства–времени . Princeton University Press. ISBN 0-691-07239-6.
16. Stommel, Henry M.; Moore, Dennis W. (1989). Введение в силу Кориолиса . Columbia University Press. ISBN 0-231-06636-8.
17. Бир; Джонстон (1972). Статика и динамика (2-е изд.). McGraw–Hill. стр. 485. ISBN 0-07-736650-6.
18. Хильдебранд, Фрэнсис Б. (1992). Методы прикладной математики. Довер. стр. 156. ISBN 0-13-579201-0.
19. Маккуорри, Дональд Аллан (2000). Статистическая механика . Университетские научные книги. ISBN 0-06-044366-9.
20. Вебер, Ганс-Юрген; Арфкен, Джордж Браун (2004). Essential Mathematical Methods for Physicists . Academic Press. стр. 843. ISBN 0-12-059877-9.

Дальнейшее чтение

• Шпигель, MR (1959). Векторный анализ . Нью-Йорк: Серия набросков Шаума. ISBN 0-07-084378-3.
• Арфкен, Джордж (1995). Математические методы для физиков . Academic Press. ISBN 0-12-059877-9.

Внешние ссылки

• Planetmath.org Вывод единичных векторов в криволинейных координатах
• Страница MathWorld о криволинейных координатах
• Электронная книга профессора Р. Брэннона по криволинейным координатам
• Викиверситет:Введение в теорию упругости/тензоры#Расхождение тензорного поля – Викиверситет , Введение в теорию упругости/тензоры.