Классический электромагнетизм и специальная теория относительности

Связь между теорией относительности и доквантовым электромагнетизмом

Специальная теория относительности играет важную роль в современной теории классического электромагнетизма . Она дает формулы того, как электромагнитные объекты, в частности электрические и магнитные поля , изменяются при преобразовании Лоренца из одной инерциальной системы отсчета в другую. Она проливает свет на связь между электричеством и магнетизмом, показывая, что система отсчета определяет, следует ли наблюдение электрическим или магнитным законам. Она мотивирует компактную и удобную запись законов электромагнетизма, а именно «явно ковариантную» тензорную форму.

Уравнения Максвелла , когда они были впервые сформулированы в полной форме в 1865 году, оказались совместимыми со специальной теорией относительности. ^[1] Более того, кажущиеся совпадения, при которых один и тот же эффект наблюдался из-за различных физических явлений двумя различными наблюдателями, как было показано специальной теорией относительности, ни в коей мере не являются совпадением. Фактически, половина первой статьи Эйнштейна 1905 года по специальной теории относительности, « Об электродинамике движущихся тел », объясняет, как преобразовать уравнения Максвелла.

Преобразование полей между инерциальными системами отсчета

Поля E и B

Лоренцево усиление электрического заряда.

Вверху: заряд находится в состоянии покоя в системе F , поэтому этот наблюдатель видит статическое электрическое поле. Наблюдатель в другой системе F ′ движется со скоростью v относительно F и видит, что заряд движется со скоростью − v с измененным электрическим полем E из-за сокращения длины и магнитным полем B из-за движения заряда.

Внизу: аналогичная установка с покоящимся зарядом в кадре F ′ .

Это уравнение рассматривает две инерциальные системы отсчета . Штрихованная система отсчета движется относительно нештрихованной со скоростью v . Поля, определенные в штрихованной системе отсчета, обозначены штрихами, а поля, определенные в нештрихованной системе отсчета, не обозначены штрихами. Компоненты поля, параллельные скорости v, обозначены как E _∥ и B _∥, а компоненты поля, перпендикулярные v , обозначены как E _⟂ и B _⟂ . В этих двух системах отсчета, движущихся с относительной скоростью v , поля E и поля B связаны соотношением: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E_{\parallel }} '&=\mathbf {E_{\parallel }} \\\mathbf {B_{\parallel }} '&=\mathbf {B_{\parallel }} \\\mathbf {E_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\\mathbf {B_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \gamma \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

называется фактором Лоренца , а c — скорость света в свободном пространстве . Фактор Лоренца ( γ ) одинаков в обеих системах . Обратные преобразования одинаковы, за исключением замены v → − v .

Эквивалентное альтернативное выражение: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} '&=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {B} '&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}}$

где — единичный вектор скорости . При предыдущих обозначениях фактически имеем и . ${\displaystyle \textstyle \mathbf {\hat {v}} ={\frac {\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} \Vert }}}$ ${\displaystyle (\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {E} _{\parallel }}$ ${\displaystyle (\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {B} _{\parallel }}$

Компонент за компонентом, для относительного движения вдоль оси x v = ( v , 0, 0) это выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}E'_{x}&=E_{x}&\qquad B'_{x}&=B_{x}\\E'_{y}&=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)&B'_{y}&=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\E'_{z}&=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)&B'_{z}&=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right).\\\end{aligned}}}$

Если одно из полей равно нулю в одной системе отсчета, это не обязательно означает, что оно равно нулю во всех других системах отсчета. Это можно увидеть, например, сделав нештрихованное электрическое поле нулевым при преобразовании в штрихованное электрическое поле. В этом случае, в зависимости от ориентации магнитного поля, штрихованная система может увидеть электрическое поле, даже если в нештрихованной системе его нет.

Это не означает, что на двух кадрах видны два совершенно разных набора событий, а означает, что одна и та же последовательность событий описывается двумя разными способами (см. § Задача о движущемся магните и проводнике ниже).

Если частица заряда q движется со скоростью u относительно системы S , то сила Лоренца в системе S равна:

${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B} }$

В системе S ′ сила Лоренца равна:

${\displaystyle \mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'} }$

Вывод преобразования силы Лоренца для частного случая u = 0 приведен здесь. ^[4] Более общий вывод можно увидеть здесь. ^[5]

Преобразования в этой форме можно сделать более компактными, введя электромагнитный тензор (определенный ниже), который является ковариантным тензором .

Поля D и H

Для электрического смещения D и напряженности магнитного поля H , используя материальные соотношения и результат для c ² :

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \,,\quad c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,,}$

дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} '&=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H} '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}}$

Аналогично для E и B , D и H образуют тензор электромагнитного смещения .

φи поля А

Альтернативное более простое преобразование электромагнитного поля использует электромагнитные потенциалы – электрический потенциал φ и магнитный потенциал A : ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi '&=\gamma \left(\varphi -vA_{\parallel }\right)\\A_{\parallel }'&=\gamma \left(A_{\parallel }-{\frac {v\varphi }{c^{2}}}\right)\\A_{\bot }'&=A_{\bot }\end{aligned}}}$

где A _∥ — компонент A , параллельный направлению относительной скорости между кадрами v , а A _⟂ — перпендикулярный компонент. Они прозрачно напоминают характерную форму других преобразований Лоренца (таких как время-положение и энергия-импульс), в то время как преобразования E и B выше немного сложнее. Компоненты можно собрать вместе как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} '&=\mathbf {A} -{\frac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\varphi '&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}}$

ρи поля J

Аналогично для плотности заряда ρ и плотности тока J , ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\parallel }'&=\gamma \left(J_{\parallel }-v\rho \right)\\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {v}{c^{2}}}J_{\parallel }\right)\\J_{\bot }'&=J_{\bot }\end{aligned}}}$

Собираем компоненты вместе:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} '&=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Нерелятивистские приближения

Для скоростей v ≪ c релятивистский фактор γ ≈ 1, что дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} '&\approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\\mathbf {B} '&\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \\\mathbf {J} '&\approx \mathbf {J} -\rho \mathbf {v} \\\rho '&\approx \rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} \end{aligned}}}$

так что нет необходимости различать пространственные и временные координаты в уравнениях Максвелла .

Связь между электричеством и магнетизмом

Одну часть силы между движущимися зарядами мы называем магнитной силой. Это на самом деле один из аспектов электрического эффекта.

—  Ричард Фейнман ^[7]

Вывод магнетизма из электрических законов

Выбранная система отсчета определяет, рассматривается ли электромагнитное явление как электрический или магнитный эффект или как комбинация того и другого. Обычно авторы выводят магнетизм из электростатики, когда учитываются специальная теория относительности и инвариантность заряда . Фейнмановские лекции по физике (т. 2, гл. 13–6) используют этот метод для вывода магнитной силы, действующей на заряд, движущийся параллельно проводу с током. См. также Haskell ^[8] и Landau. ^[9]

Если же заряд движется перпендикулярно проводу с током, электростатику нельзя использовать для выведения магнитной силы. В этом случае ее можно вывести, рассматривая релятивистское сжатие электрического поля из-за движения зарядов в проводе. ^[10]

Поля смешиваются в разных кадрах

Вышеуказанные правила преобразования показывают, что электрическое поле в одной системе отсчета вносит вклад в магнитное поле в другой системе отсчета, и наоборот. ^[11] Это часто описывается, говоря, что электрическое поле и магнитное поле являются двумя взаимосвязанными аспектами одного объекта, называемого электромагнитным полем . Действительно, все электромагнитное поле может быть представлено в виде одного тензора ранга 2, называемого электромагнитным тензором ; см. ниже.

Проблема движущегося магнита и проводника

Известным примером смешения электрических и магнитных явлений в различных системах отсчета является так называемая «задача движущегося магнита и проводника», приведенная Эйнштейном в его статье 1905 года по специальной теории относительности.

Если проводник движется с постоянной скоростью через поле неподвижного магнита, вихревые токи будут создаваться из-за магнитной силы, действующей на электроны в проводнике. С другой стороны, в системе покоя проводника магнит будет двигаться, а проводник — неподвижен. Классическая электромагнитная теория предсказывает, что будут создаваться точно такие же микроскопические вихревые токи, но они будут создаваться из-за электрической силы. ^[12]

Ковариантная формулировка в вакууме

Законы и математические объекты в классическом электромагнетизме могут быть записаны в форме, которая явно ковариантна . Здесь это делается только для вакуума (или для микроскопических уравнений Максвелла, не используя макроскопические описания материалов, такие как электрическая проницаемость ), и используются единицы СИ .

В этом разделе используются обозначения Эйнштейна , включая соглашение Эйнштейна о суммировании . См. также исчисление Риччи для краткого обзора обозначений индексов тензоров , а также повышение и понижение индексов для определения надстрочных и подстрочных индексов и того, как переключаться между ними. Метрический тензор Минковского η здесь имеет метрическую сигнатуру (+ − − −) .

Тензор поля и 4-ток

Вышеуказанные релятивистские преобразования предполагают, что электрические и магнитные поля связаны вместе в математическом объекте с 6 компонентами: антисимметричный тензор второго ранга или бивектор . Это называется тензором электромагнитного поля , обычно записываемым как F ^μν . В матричной форме: ^[13]

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

где c — скорость света ; в натуральных единицах c = 1 .

Существует еще один способ объединения электрических и магнитных полей в антисимметричный тензор, заменив E / c → B и B → − E / c , чтобы получить его дуальный по Ходжу тензор G ^μν .

${\displaystyle G^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{pmatrix}}}$

В контексте специальной теории относительности оба эти преобразования осуществляются согласно преобразованиям Лоренца согласно

${\displaystyle F^{\alpha '\beta '}=\Lambda ^{\alpha '}{}_{\mu }\Lambda ^{\beta '}{}_{\nu }F^{\mu \nu }}$,

где Λ ^{α ′} _ν — тензор преобразования Лоренца для перехода от одной системы отсчета к другой. Один и тот же тензор используется дважды при суммировании.

Источники полей — плотность заряда и тока — также объединяются в четырехвектор

${\displaystyle J^{\alpha }=\left(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$

называемый четырехтоковым .

Уравнения Максвелла в тензорной форме

Используя эти тензоры, уравнения Максвелла сводятся к следующему: ^[13]

Уравнения Максвелла (ковариантная формулировка)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}&=\mu _{0}J^{\beta }\\[3pt]{\frac {\partial G^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}&=0\end{aligned}}}$

где частные производные могут быть записаны различными способами, см. 4-градиент . Первое уравнение, перечисленное выше, соответствует как закону Гаусса (для β = 0 ), так и закону Ампера-Максвелла (для β = 1, 2, 3 ). Второе уравнение соответствует двум оставшимся уравнениям, закону Гаусса для магнетизма (для β = 0 ) и закону Фарадея (для β = 1, 2, 3 ).

Эти тензорные уравнения явно ковариантны , то есть их можно рассматривать как ковариантные по индексным позициям. Эта краткая форма уравнений Максвелла иллюстрирует идею, разделяемую некоторыми физиками, а именно, что законы физики принимают более простую форму, когда записаны с использованием тензоров .

Понижая индексы F ^αβ , получаем F _αβ :

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\eta _{\alpha \lambda }\eta _{\beta \mu }F^{\lambda \mu }}$

второе уравнение можно записать через F _αβ как:

${\displaystyle \varepsilon ^{\delta \alpha \beta \gamma }{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}={\dfrac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}}+{\dfrac {\partial F_{\gamma \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}=0}$

где ε ^δαβγ — контравариантный символ Леви-Чивиты . Обратите внимание на циклическую перестановку индексов в этом уравнении: α → β → γ → α от каждого члена к следующему.

Другим ковариантным электромагнитным объектом является тензор электромагнитной энергии-импульса , ковариантный тензор ранга 2, который включает вектор Пойнтинга , тензор напряжений Максвелла и плотность электромагнитной энергии.

4-потенциал

Тензор электромагнитного поля можно также записать ^[14]

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}\,,}$

где

${\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\varphi }{c}},A_{x},A_{y},A_{z}\right)\,,}$

является четырехпотенциальным и

${\displaystyle x_{\alpha }=(ct,-x,-y,-z)}$

является четырехпозиционным .

Используя 4-потенциал в калибровке Лоренца, можно найти альтернативную явно ковариантную формулировку в одном уравнении (обобщение уравнения Бернхарда Римана Арнольдом Зоммерфельдом , известное как уравнение Римана–Зоммерфельда ^[15] или ковариантная форма уравнений Максвелла ^[16] ):

Уравнения Максвелла (ковариантная формулировка калибровки Лоренца )

${\displaystyle \Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }}$

где — оператор Даламбера , или четырехлапласиан. ${\displaystyle \Box }$

Смотрите также

• Математическое описание электромагнитного поля
• Релятивистский электромагнетизм

Ссылки

1. Haskell. "Остаются вопросы об обработке ускоряющихся зарядов – Специальная теория относительности и уравнения Максвелла". Архивировано из оригинала 2008-01-01.
2. Тай Л. Чоу (2006). "10.21". Электромагнитная теория . Садбери, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. стр. 402–403 и далее. ISBN 0-7637-3827-1.
3. Дэниел, Герберт (1997), «4.5.1», Physik: Elektrodynamic, relativistische Physik, Уолтер де Грюйтер, стр. 360–361, ISBN 3-11-015777-2, Выдержка из страниц 360-361
4. "Законы силы и уравнения Максвелла". MathPages .
5. "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2009-02-26 . Получено 2008-11-06 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
6. G. Woan (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.
7. "1: Электромагнетизм". Фейнмановские лекции по физике|Фейнмановские лекции. Том II.
8. "Новая страница 2". Архивировано из оригинала 2008-01-01 . Получено 2008-04-10 .
9. Л. Д. Ландау; Е. М. Лифшиц (1980). Классическая теория полей. Курс теоретической физики . Т. 2 (Четвертое изд.). Oxford UK: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.
10. Перселл, Э. М.; Морин, Д. Дж. (2013). Электричество и магнетизм (четвертое издание). Cambridge University Press. стр. 265–267. ISBN 978-1-107-01402-2.Выдержка из страницы 265
11. Тай Л. Чоу (2006). Электромагнитная теория. Садбери, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. стр. 395. ISBN 0-7637-3827-1.
12. Дэвид Дж. Гриффитс (1999). Введение в электродинамику (Третье изд.). Prentice Hall. С. 478–479. ISBN 0-13-805326-X.
13. Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Prentice Hall. стр. 557. ISBN 0-13-805326-X.
14. DJ Griffiths (1999). Введение в электродинамику. Saddle River NJ: Pearson/Addison-Wesley. стр. 541. ISBN 0-13-805326-X.
15. Карвер А. Мид (2002-08-07). Коллективная электродинамика: квантовые основы электромагнетизма. MIT Press. стр. 37–38. ISBN 978-0-262-63260-7.
16. Фредерик В. Хартеманн (2002). Электродинамика сильных полей. CRC Press. стр. 102. ISBN 978-0-8493-2378-2.