Четырехградиентный

Четырехвекторный аналог операции градиента

В дифференциальной геометрии четырехградиент (или 4-градиент ) — это четырехвекторный аналог градиента из векторного исчисления . ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$ ${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {\nabla }}}}$

В специальной теории относительности и квантовой механике четырехградиент используется для определения свойств и отношений между различными физическими четырехвекторами и тензорами .

Обозначение

В данной статье используется метрическая сигнатура (+ − − −) .

СТО и ОТО — это аббревиатуры специальной теории относительности и общей теории относительности соответственно.

${\displaystyle c}$указывает скорость света в вакууме.

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$— это плоская метрика пространства-времени СТО.

В физике существуют альтернативные способы записи четырехвекторных выражений:

• Можно использовать стиль четырех векторов: , который обычно более компактен и может использовать векторную нотацию , (например, внутренний продукт «точка»), всегда используя жирный верхний регистр для представления четырех векторов и жирный нижний регистр для представления трехмерных векторов, например . Большинство правил трехмерных векторов имеют аналоги в четырехмерной математике. ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$
• Можно использовать стиль исчисления Риччи: , который использует обозначение индекса тензора и полезен для более сложных выражений, особенно тех, которые включают тензоры с более чем одним индексом, например . ${\displaystyle A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

Индекс латинского тензора имеет диапазон {1, 2, 3} и представляет собой 3-мерный вектор, например . ${\displaystyle A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}}$

Индекс греческого тензора лежит в диапазоне {0, 1, 2, 3} и представляет собой 4-вектор, например . ${\displaystyle A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A} }$

В физике SR обычно используется краткая смесь, например , , где представляет временную составляющую, а представляет пространственную 3-компоненту. ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ ${\displaystyle a^{0}}$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

Тензоры в SR обычно являются 4D -тензорами с верхними и нижними индексами, где 4D обозначает 4 измерения = количество значений, которые может принимать каждый индекс. ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Свертка тензора, используемая в метрике Минковского , может быть выполнена в любую сторону (см. обозначения Эйнштейна ): ^{[1] : 56, 151–152, 158–161} $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$$

Определение

4-градиентные ковариантные компоненты, компактно записанные в четырехвекторной нотации и исчислении Риччи, имеют вид: ^{[2] [3] : 16} $${\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }}$$

Запятая в последней части выше подразумевает частичную дифференциацию относительно 4-й позиции . ${\displaystyle {}_{,\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$

Контравариантные компоненты: ^{[2] [3] : 16} $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}$$

Альтернативными символами являются и D (хотя также могут обозначать оператор Даламбера ). ${\displaystyle \partial _{\alpha }}$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }}$

В ОТО необходимо использовать более общий метрический тензор и ковариантную производную тензора (не путать с векторным 3-градиентом ). ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }={}_{;\mu }}$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

Ковариантная производная включает в себя 4-градиентные эффекты плюс кривизну пространства-времени через символы Кристоффеля. ${\displaystyle \nabla _{\nu }}$ ${\displaystyle \partial _{\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

Принцип сильной эквивалентности можно сформулировать следующим образом: ^{[4] : 184}

"Любой физический закон, который может быть выражен в тензорной нотации в СТО, имеет точно такую ​​же форму в локально инерциальной системе отсчета искривленного пространства-времени". 4-градиентные запятые (,) в СТО просто заменяются на ковариантные производные точки с запятой (;) в ОТО, причем связь между ними осуществляется с помощью символов Кристоффеля . В релятивистской физике это известно как "правило запятой к точке с запятой".

Так, например, если в SR, то и в GR. ${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$ ${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0}$

На (1,0)-тензоре или 4-векторе это будет: ^{[4] : 136–139} $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\beta }V^{\alpha }&=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\\[0.1ex]V^{\alpha }{}_{;\beta }&=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\end{aligned}}}$$

На (2,0)-тензоре это будет выглядеть так: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }&=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\\T^{\mu \nu }{}_{;\nu }&=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\end{aligned}}}$$

Использование

4-градиент используется в специальной теории относительности (СТО) несколькими способами :

Все формулы в этой статье верны для координат Минковского плоского пространства-времени СТО, но их необходимо модифицировать для более общих координат искривленного пространства общей теории относительности (ОТО).

Как 4-дивергенция и источник законов сохранения

Дивергенция — это векторный оператор , который производит знаковое скалярное поле, дающее количество источника векторного поля в каждой точке. Обратите внимание, что в этой метрической сигнатуре [+,−,−,−] 4-градиент имеет отрицательную пространственную компоненту. Он отменяется при взятии 4D скалярного произведения, поскольку метрика Минковского — диагональ [+1,−1,−1,−1].

4-дивергенция 4-позиции дает размерность пространства -времени : ${\displaystyle X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {X} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }X^{\nu }=\partial _{\nu }X^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (ct,{\vec {x}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(ct)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {x}}=(\partial _{t}t)+(\partial _{x}x+\partial _{y}y+\partial _{z}z)=(1)+(3)=4}$$

4-дивергенция 4-плотности тока дает закон сохранения – сохранение заряда : ^{[1] : 103–107} $${\displaystyle J^{\mu }=\left(\rho c,{\vec {\mathbf {j} }}\right)=\rho _{o}U^{\mu }=\rho _{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {\mathbf {u} }}\right)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }=\partial _{\nu }J^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (\rho c,{\vec {j}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(\rho c)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$$

Это означает, что скорость изменения плотности заряда во времени должна быть равна отрицательной пространственной дивергенции плотности тока . ${\displaystyle \partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}}$

Другими словами, заряд внутри ящика не может просто произвольно меняться, он должен входить и выходить из ящика через ток. Это уравнение непрерывности .

4-дивергенция 4-числового потока (4-пыль) используется в законе сохранения частиц: ^{[4] : 90–110} ${\displaystyle N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }N^{\nu }=\partial _{\nu }N^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left(nc\right)+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=\partial _{t}n+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=0}$$

Это закон сохранения плотности числа частиц, обычно напоминающий плотность числа барионов.

4-дивергенция электромагнитного 4-потенциала используется в условии калибровки Лоренца : ^{[1] : 105–107} ${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\partial _{\nu }A^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left({\frac {\phi }{c}},{\vec {a}}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left({\frac {\phi }{c}}\right)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}={\frac {\partial _{t}\phi }{c^{2}}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}=0}$$

Это эквивалент закона сохранения для ЭМ 4-потенциала.

4-дивергенция поперечного бесследового 4D (2,0)-тензора, представляющего гравитационное излучение в пределе слабого поля (т.е. свободно распространяющееся вдали от источника). ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

Поперечное условие эквивалентно уравнению сохранения для свободно распространяющихся гравитационных волн. $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

4-дивергенция тензора энергии-импульса как сохраняющегося тока Нётер , связанного с пространственно-временными трансляциями , дает четыре закона сохранения в СТО: ^{[4] : 101–106} ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

Закон сохранения энергии (временное направление) и закон сохранения импульса (3 отдельных пространственных направления). $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0^{\mu }=(0,0,0,0)}$$

Часто это записывается как: где подразумевается, что одиночный ноль на самом деле является 4-векторным нулем . $${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0}$$ ${\displaystyle 0^{\mu }=(0,0,0,0)}$

Когда сохранение тензора энергии-напряжения ( ) ${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0^{\mu }}$ для идеальной жидкости сочетается с сохранением плотности числа частиц ( ), оба из которых используют 4-градиент, можно вывести релятивистские уравнения Эйлера , которые в механике жидкости и астрофизике являются обобщением уравнений Эйлера , учитывающих эффекты специальной теории относительности . Эти уравнения сводятся к классическим уравнениям Эйлера, если скорость жидкости в 3-пространстве намного меньше скорости света, давление намного меньше плотности энергии , а последняя определяется плотностью массы покоя. ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =0}$

В плоском пространстве-времени и при использовании декартовых координат, если объединить это с симметрией тензора энергии-импульса, можно показать, что момент импульса ( релятивистский момент импульса ) также сохраняется: где этот ноль на самом деле является нулем (2,0)-тензора. $${\displaystyle \partial _{\nu }\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)=\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)_{,\nu }=0^{\alpha \mu }}$$

Как матрица Якоби для метрического тензора SR Минковского

Матрица Якоби — это матрица всех частных производных первого порядка векторнозначной функции .

4-градиент , действующий на 4-позицию, дает метрику пространства SR Минковского : ^{[3] : 16} ${\displaystyle \partial ^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\nu }}$ ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=\partial ^{\mu }[X^{\nu }]=X^{\nu _{,}\mu }&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\left[\left(ct,{\vec {x}}\right)\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)[(ct,x,y,z)],\\[3pt]&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}ct&{\frac {\partial _{t}}{c}}x&{\frac {\partial _{t}}{c}}y&{\frac {\partial _{t}}{c}}z\\-\partial _{x}ct&-\partial _{x}x&-\partial _{x}y&-\partial _{x}z\\-\partial _{y}ct&-\partial _{y}x&-\partial _{y}y&-\partial _{y}z\\-\partial _{z}ct&-\partial _{z}x&-\partial _{z}y&-\partial _{z}z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]=\eta ^{\mu \nu }.\end{aligned}}}$$

Для метрики Минковского компоненты ( не суммируются), причем все недиагональные компоненты равны нулю. ${\displaystyle \left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]}$ ${\displaystyle \mu }$

Для декартовой метрики Минковского это дает . ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$

В общем случае, , где — 4D дельта Кронекера . ${\displaystyle \eta _{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }=\operatorname {diag} [1,1,1,1]}$ ${\displaystyle \delta _{\mu }^{\nu }}$

Как способ определения преобразований Лоренца

Преобразование Лоренца записывается в тензорной форме как ^{[4] : ​​69} и поскольку являются просто константами, то $${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda _{\nu }^{~\mu '}X^{\nu }}$$ ${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu '}}$ $${\displaystyle {\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

Таким образом, по определению 4-градиента $${\displaystyle \partial _{\nu }\left[X^{\mu '}\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial X^{\nu }}}\right)\left[X^{\mu '}\right]={\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

Эта идентичность является фундаментальной. Компоненты 4-градиента преобразуются в соответствии с инверсией компонентов 4-векторов. Таким образом, 4-градиент является «архетипической» одной-формой.

Как часть общей производной по собственному времени

Скалярное произведение 4-скорости на 4-градиент дает полную производную по собственному времени : ^{[1] : 58–59} ${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}&=U^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)\cdot \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(\partial _{t}+{\frac {dx}{dt}}\partial _{x}+{\frac {dy}{dt}}\partial _{y}+{\frac {dz}{dt}}\partial _{z}\right)=\gamma {\frac {d}{dt}}={\frac {d}{d\tau }}\\{\frac {d}{d\tau }}&={\frac {dX^{\mu }}{dX^{\mu }}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d}{dX^{\mu }}}=U^{\mu }\partial _{\mu }=\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}\end{aligned}}}$$

Тот факт, что является скалярным инвариантом Лоренца, показывает, что полная производная по собственному времени также является скалярным инвариантом Лоренца. ${\displaystyle \mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

Так, например, 4-скорость является производной 4-позиции по собственному времени: или ${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$ $${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {X} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=U^{\alpha }\cdot \eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\eta _{\alpha \nu }\eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\delta _{\alpha }^{\mu }=U^{\mu }=\mathbf {U} }$$ $${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\left(ct,{\vec {x}}\right)=\gamma \left({\frac {d}{dt}}ct,{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right)=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\mathbf {U} }$$

Другой пример: 4-ускорение является производной по собственному времени от 4-скорости : ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle U^{\mu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} &=(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {U} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {U} ]=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }\partial ^{\mu }\left[U^{\nu }\right]\\&=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }{\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma {\vec {u}}\\-{\vec {\nabla }}\gamma c&-{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}=U^{\alpha }{\begin{bmatrix}\ {\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&0\\0&{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c,{\vec {u}}\cdot \nabla \gamma {\vec {u}}\right)=\gamma \left(c\partial _{t}\gamma ,{\frac {d}{dt}}\left[\gamma {\vec {u}}\right]\right)=\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)=\mathbf {A} \end{aligned}}}$$

или $${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =\gamma {\frac {d}{dt}}(\gamma c,\gamma {\vec {u}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}[\gamma c],{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A} }$$

Как способ определения электромагнитного тензора Фарадея и вывода уравнений Максвелла

Электромагнитный тензор Фарадея — это математический объект, описывающий электромагнитное поле в пространстве-времени физической системы. ^{[1] : 101–128  [5] : 314  [3] : 17–18  [6] : 29–30  [7] : 4} ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$

Применяя 4-градиент для создания антисимметричного тензора, получаем: где: $${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$$

• Электромагнитный 4-потенциал , не путать с 4-ускорением ${\displaystyle A^{\mu }=\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)}$
• Электрический скалярный потенциал равен ${\displaystyle \phi }$
• Магнитный 3 - мерный векторный потенциал равен ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

Применяя снова 4-градиент и определяя 4-плотность тока как, можно вывести тензорную форму уравнений Максвелла : где вторая строка представляет собой версию тождества Бьянки ( тождества Якоби ). ${\displaystyle J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)}$ $${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{o}J^{\beta }}$$ $${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0_{\alpha \beta \gamma }}$$

Как способ определения 4-волнового вектора

Волновой вектор — это вектор , который помогает описать волну . Как и любой вектор, он имеет величину и направление , оба из которых важны: его величина — это либо волновое число , либо угловое волновое число волны (обратно пропорционально длине волны ), а его направление — это обычно направление распространения волны.

4-волновой вектор — это 4-градиент отрицательной фазы (или отрицательный 4-градиент фазы) волны в пространстве Минковского: ^{[6] : 387} ${\displaystyle K^{\mu }}$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)={\boldsymbol {\partial }}[-\Phi ]=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$$

Это математически эквивалентно определению фазы волны ( или , точнее, плоской волны ): $${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}=-\Phi }$$

где 4-позиционный , — временная угловая частота, — пространственный 3-мерный волновой вектор, — инвариантная фаза скаляра Лоренца. ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \partial [\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} ]=\partial \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right],-\nabla \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t],-\nabla \left[-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {K} }$$при условии, что плоская волна и не являются явными функциями или . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {x} }}}$

Явную форму плоской волны SR можно записать как: ^{[7] : 9} ${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )}$

$${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )=A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}=A_{n}e^{i(\Phi _{n})}}$$где — амплитуда (возможно, комплексная ). ${\displaystyle A_{n}}$

Обычная волна будет представлять собой суперпозицию нескольких плоских волн: ${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )}$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )=\sum _{n}[\Psi _{n}(\mathbf {X} )]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}\right]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{i(\Phi _{n})}\right]}$$

Снова используем 4-градиент, или что является 4-градиентной версией комплекснозначных плоских волн $${\displaystyle \partial [\Psi (\mathbf {X} )]=\partial \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} [\Psi (\mathbf {X} )]}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$$

Как оператор Даламбера

В специальной теории относительности, электромагнетизме и волновой теории оператор Даламбера, также называемый даламберианом или волновым оператором, является оператором Лапласа пространства Минковского. Оператор назван в честь французского математика и физика Жана Лерона Д'Аламбера.

Квадрат — это 4- лапласиан , который называется оператором Даламбера : ^{[5] : 300  [3] : 17‒18  [6] : 41  [7] : 4} ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\mu }\cdot \partial ^{\nu }=\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\right)^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}.}$$

Поскольку даламбертиан представляет собой скалярное произведение двух 4-векторов, он является инвариантным относительно Лоренца скаляром.

Иногда, по аналогии с 3-мерной нотацией, символы и используются для 4-градиента и даламбериана соответственно. Однако чаще символ зарезервирован для даламбериана. ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Box ^{2}}$ ${\displaystyle \Box }$

Ниже приведены некоторые примеры 4-градиента, используемого в Даламбериане:

В релятивистском квантовом волновом уравнении Клейна–Гордона для частиц со спином 0 (например, бозон Хиггса ): $${\displaystyle \left[({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =\left[\left({\frac {\partial _{t}^{2}}{c^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

В волновом уравнении для электромагнитного поля (с использованием калибровки Лоренца ): ${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0}$

• В вакууме: $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mathbf {0} =0^{\alpha }}$$
• При 4-токовом источнике, не включая эффекты спина: $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mu _{0}\mathbf {J} =\mu _{0}J^{\alpha }}$$
• С квантово-электродинамическим источником, включая эффекты спина: $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\alpha }\psi }$$

где:

• Электромагнитный 4-потенциал — это электромагнитный векторный потенциал. ${\displaystyle \mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)}$
• 4-плотность тока — это плотность электромагнитного тока ${\displaystyle \mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)}$
• Матрицы Гамма Дирака обеспечивают эффекты спина ${\displaystyle \gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$

В волновом уравнении гравитационной волны (используя аналогичную калибровку Лоренца ) ^{[6] : 274–322,} где — поперечный бесследовый 2-тензор, представляющий гравитационное излучение в пределе слабого поля (т.е. свободно распространяющееся вдали от источника). ${\displaystyle \left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0}$ $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$ ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

Дополнительные условия : ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

• Чисто пространственно: $${\displaystyle \mathbf {U} \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT}^{0\nu }=0}$$
• Бесследно: $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT\nu }^{\nu }=0}$$
• Поперечный: $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

В 4-мерной версии функции Грина : где 4D- дельта-функция равна: $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})G\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]=\delta ^{(4)}\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]}$$ $${\displaystyle \delta ^{(4)}[\mathbf {X} ]={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}\mathbf {K} e^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}}$$

Как компонент 4D-теоремы Гаусса / Теоремы Стокса / Теоремы о расходимости

В векторном исчислении теорема о расходимости , также известная как теорема Гаусса или теорема Остроградского, является результатом, который связывает поток (то есть поток ) векторного поля через поверхность с поведением векторного поля внутри поверхности. Точнее, теорема о расходимости утверждает, что внешний поток векторного поля через замкнутую поверхность равен объемному интегралу расходимости по области внутри поверхности. Интуитивно она утверждает, что сумма всех источников за вычетом суммы всех стоков дает чистый поток из области . В векторном исчислении и, в более общем смысле, дифференциальной геометрии теорема Стокса (также называемая обобщенной теоремой Стокса) является утверждением об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях, которое одновременно упрощает и обобщает несколько теорем из векторного исчисления.

$${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left(\partial _{\mu }V^{\mu }\right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(V^{\mu }N_{\mu }\right)}$$или где $${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} \right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} \right)}$$

• ${\displaystyle \mathbf {V} =V^{\mu }}$представляет собой 4-векторное поле, определенное в ${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }}$это 4-дивергенция ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }}$является компонентом продольного направления ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle \Omega }$представляет собой 4D односвязную область пространства-времени Минковского
• ${\displaystyle \partial \Omega =S}$является его трехмерной границей с его собственным трехмерным элементом объема ${\displaystyle dS}$
• ${\displaystyle \mathbf {N} =N^{\mu }}$является нормалью, направленной наружу
• ${\displaystyle d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)}$это 4D дифференциальный элемент объема

Как компонент уравнения SR Гамильтона–Якоби в релятивистской аналитической механике

Уравнение Гамильтона–Якоби (УГЯ) — это формулировка классической механики, эквивалентная другим формулировкам, таким как законы движения Ньютона , механика Лагранжа и гамильтонова механика . Уравнение Гамильтона–Якоби особенно полезно для определения сохраняющихся величин для механических систем, что может быть возможным даже тогда, когда сама механическая задача не может быть решена полностью. УГЯ также является единственной формулировкой механики, в которой движение частицы может быть представлено как волна. В этом смысле УГЯ выполнило давнюю цель теоретической физики (начиная, по крайней мере, с Иоганна Бернулли в 18 веке) — найти аналогию между распространением света и движением частицы.

Обобщенный релятивистский импульс частицы можно записать как ^{[1] : 93–96} где и ${\displaystyle \mathbf {P_{T}} }$ $${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\mathbf {P} +q\mathbf {A} }$$ ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$

Это по сути 4-общий импульс системы; тестовая частица в поле, использующая правило минимальной связи . Есть собственный импульс частицы , плюс импульс из-за взаимодействия с 4-векторным потенциалом ЭМ через заряд частицы . ${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle q}$

Релятивистское уравнение Гамильтона–Якоби получается путем приравнивания полного импульса отрицательному 4-градиенту действия . ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =-{\boldsymbol {\partial }}[S]=\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=\left({\frac {H}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[S]=-\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)[S]}$$

Временной компонент дает: ${\displaystyle E_{T}=H=-\partial _{t}[S]}$

Пространственные компоненты дают: ${\displaystyle {\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\boldsymbol {\nabla }}}[S]}$

где — гамильтониан. ${\displaystyle H}$

На самом деле это связано с тем, что 4-волновой вектор равен отрицательному 4-градиенту фазы сверху. ${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$

Чтобы получить HJE, сначала следует использовать скалярное инвариантное правило Лоренца для 4-импульса: $${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$$

Но из правила минимальной связи : $${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} }$$

Так: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)\cdot \left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\\\Rightarrow \left(-{\boldsymbol {\partial }}[S]-q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\end{aligned}}}$$

Разбивка на временные и пространственные компоненты: $${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left(-{\frac {\partial _{t}[S]}{c}}-{\frac {q\phi }{c}}\right)^{2}-({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}&=(m_{0}c)^{2}\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(-\partial _{t}[S]-q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\partial _{t}[S]+q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\end{aligned}}}$$

где окончательное — релятивистское уравнение Гамильтона–Якоби .

Как компонент соотношений Шредингера в квантовой механике

4-градиент связан с квантовой механикой .

Связь между 4-импульсом и 4-градиентом дает квантово-механические соотношения Шредингера . ^{[7] : 3–5} ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$ $${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar {\boldsymbol {\partial }}=i\hbar \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$

Временной компонент дает: ${\displaystyle E=i\hbar \partial _{t}}$

Пространственные компоненты дают: ${\displaystyle {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$

На самом деле это можно разделить на два отдельных этапа.

Первый: ^{[1] : 82–84}

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$$что является полной 4-векторной версией:

Соотношение Планка–Эйнштейна (временная составляющая) ${\displaystyle E=\hbar \omega }$

(Пространственные компоненты) соотношение материальных волн де Бройля ${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

Второй: ^{[5] : 300}

$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=i{\boldsymbol {\partial }}=i\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$что является просто 4-градиентной версией волнового уравнения для комплекснозначных плоских волн

Временной компонент дает: ${\displaystyle \omega =i\partial _{t}}$

Пространственные компоненты дают: ${\displaystyle {\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}}$

Как компонент ковариантной формы квантового коммутационного соотношения

В квантовой механике (физике) каноническое коммутационное соотношение является фундаментальным соотношением между канонически сопряженными величинами (величинами, которые по определению связаны таким образом, что одна из них является преобразованием Фурье другой).

• Согласно: ^{[7] : 4} $${\displaystyle \left[P^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \left[\partial ^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \partial ^{\mu }\left[X^{\nu }\right]=i\hbar \eta ^{\mu \nu }}$$
• Принимая пространственные компоненты, $${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}}$$
• С , ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$ $${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=-i\hbar \delta ^{jk}}$$
• С , ${\displaystyle [a,b]=-[b,a]}$ $${\displaystyle \left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}}$$
• А переименование индексов дает обычные правила квантовой коммутации: $${\displaystyle \left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}}$$

Как компонент волновых уравнений и вероятностных токов в релятивистской квантовой механике

4-градиент является компонентом нескольких релятивистских волновых уравнений: ^{[5] : 300–309  [3] : 25, 30–31, 55–69}

В релятивистском квантовом волновом уравнении Клейна–Гордона для частиц со спином 0 (например, бозон Хиггса ): ^{[7] : 5} $${\displaystyle \left[\left(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

В релятивистском квантовом волновом уравнении Дирака для частиц со спином 1/2 (например, электронов ): ^{[7] : 130} $${\displaystyle \left[i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right]\psi =0}$$

где — гамма-матрицы Дирака , а — релятивистская волновая функция . ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi }$является скаляром Лоренца для уравнения Клейна–Гордона и спинором для уравнения Дирака.

Приятно, что сами гамма-матрицы отсылают к фундаментальному аспекту SR, метрике Минковского: ^{[7] : 130} $${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$$

Сохранение 4-вероятностной плотности тока следует из уравнения непрерывности: ^{[7] : 6} $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial _{t}\rho +{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\cdot {\vec {\mathbf {j} }}=0}$$

Плотность тока 4-вероятности имеет релятивистски ковариантное выражение: ^{[7] : 6} $${\displaystyle J_{\text{prob}}^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

Плотность тока 4-заряда равна заряду ( q ), умноженному на плотность тока 4-вероятности: ^{[7] : 8} $${\displaystyle J_{\text{charge}}^{\mu }={\frac {i\hbar q}{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

Как ключевой компонент в выводе квантовой механики и релятивистских квантовых волновых уравнений из специальной теории относительности

Релятивистские волновые уравнения используют 4-векторы для обеспечения ковариантности. ^{[3] [7]}

Начнем со стандартных SR 4-векторов: ^[1]

• 4-позиционный ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$
• 4-скоростной ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$
• 4-импульс ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$
• 4-волновой вектор ${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$
• 4-градиентный ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)}$

Обратите внимание на следующие простые соотношения из предыдущих разделов, где каждый 4-вектор связан с другим скаляром Лоренца :

• 4-скорость , где собственное время ${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} }$ ${\displaystyle \tau }$
• 4-импульс , где масса покоя ${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} }$ ${\displaystyle m_{0}}$
• 4-волновой вектор , который является 4-векторной версией соотношения Планка–Эйнштейна и волнового соотношения материи де Бройля ${\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {1}{\hbar }}\mathbf {P} }$
• 4-градиентный , который является 4-градиентной версией комплекснозначных плоских волн ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$

Теперь просто применим стандартное правило скалярного произведения Лоренца к каждому из них: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} &=c^{2}\\\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} &=(m_{0}c)^{2}\\\mathbf {K} \cdot \mathbf {K} &=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\\{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {-im_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

Последнее уравнение (с 4-градиентным скалярным произведением) является фундаментальным квантовым соотношением.

Применительно к скалярному полю Лоренца получается уравнение Клейна–Гордона, самое основное из квантовых релятивистских волновых уравнений : ^{[7] : 5–8} ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \left[{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

Уравнение Шредингера является предельным случаем для малых скоростей ( | v | ≪ c ) уравнения Клейна–Гордона . ^{[7] : 7–8}

Если квантовое соотношение применить к 4-векторному полю вместо скалярного поля Лоренца , то получим уравнение Прока : ^{[7] : 361} ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \left[{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\mu }=0^{\mu }}$$

Если масса покоя равна нулю (частицы, подобные свету), то это дает свободное уравнение Максвелла : $${\displaystyle [{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}]A^{\mu }=0^{\mu }}$$

Более сложные формы и взаимодействия можно получить, используя правило минимальной связи :

Как компонент ковариантной производной RQM (внутренние пространства частиц)

В современной физике элементарных частиц можно определить калибровочно-ковариантную производную , которая использует дополнительные поля RQM (внутренние пространства частиц), о существовании которых теперь известно.

Версия, известная из классической ЭМ (в натуральных единицах), такова: ^{[3] : 39} $${\displaystyle D^{\mu }=\partial ^{\mu }-igA^{\mu }}$$

Полная ковариантная производная для фундаментальных взаимодействий Стандартной модели , о которой мы в настоящее время знаем (в натуральных единицах ), составляет: ^{[3] : 35–53}

$${\displaystyle D^{\mu }=\partial ^{\mu }-ig_{1}{\frac {1}{2}}YB^{\mu }-ig_{2}{\frac {1}{2}}\tau _{i}\cdot W_{i}^{\mu }-ig_{3}{\frac {1}{2}}\lambda _{a}\cdot G_{a}^{\mu }}$$или $${\displaystyle \mathbf {D} ={\boldsymbol {\partial }}-ig_{1}{\frac {1}{2}}Y\mathbf {B} -ig_{2}{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\tau }}_{i}\cdot \mathbf {W} _{i}-ig_{3}{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\lambda }}_{a}\cdot \mathbf {G} _{a}}$$

где скалярные произведения сумм ( ) здесь относятся к внутренним пространствам, а не к тензорным индексам: ${\displaystyle \cdot }$

• ${\displaystyle B^{\mu }}$соответствует инвариантности U(1) = (1) калибровочный бозон электромагнитной силы
• ${\displaystyle W_{i}^{\mu }}$соответствует инвариантности SU(2) = (3) калибровочные бозоны слабой силы ( i = 1, …, 3)
• ${\displaystyle G_{a}^{\mu }}$соответствует инвариантности SU(3) = (8) калибровочные бозоны цветной силы ( a = 1, …, 8)

Константы связи — это произвольные числа, которые должны быть обнаружены из эксперимента. Стоит подчеркнуть, что для неабелевых преобразований, как только они зафиксированы для одного представления, они известны для всех представлений. ${\displaystyle (g_{1},g_{2},g_{3})}$ ${\displaystyle g_{i}}$

Эти внутренние пространства частиц были обнаружены эмпирическим путем. ^{[3] : 47}

Вывод

В трех измерениях оператор градиента отображает скалярное поле в векторное поле таким образом, что линейный интеграл между любыми двумя точками векторного поля равен разности скалярного поля в этих двух точках. Исходя из этого, может показаться неверным , что естественное расширение градиента до 4 измерений должно быть: что неверно . $${\displaystyle \partial ^{\alpha }{\overset {?}{=}}\left({\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right),}$$

Однако линейный интеграл включает применение скалярного произведения векторов, и когда это распространяется на 4-мерное пространство-время, вводится смена знака либо в пространственные координаты, либо во временную координату в зависимости от используемого соглашения. Это связано с неевклидовой природой пространства-времени. В этой статье мы ставим отрицательный знак на пространственные координаты (положительное по времени метрическое соглашение ). Множитель (1/ c ) должен сохранить правильную размерность единицы , [длина] ⁻¹ , для всех компонентов 4-вектора, а (−1) должен сохранить ковариант Лоренца 4-градиента . Добавление этих двух поправок к приведенному выше выражению дает правильное определение 4-градиента: ^{[1] : 55–56  [3] : 16} ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$ $${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$

Смотрите также

• Четырехвекторный
• Четырехпозиционный
• Четырехскоростной
• Четырех-ускорение
• Четырех-импульс
• Четырех-силовой
• Четырехпоточный
• Четырехпотенциальный
• Четырехчастотный
• Четырехволновой вектор
• Четырехспиновый
• исчисление Риччи
• Индексная нотация
• Тензор
• Антисимметричный тензор
• Обозначение Эйнштейна
• Повышение и понижение индексов
• Обозначение абстрактного индекса
• Ковариантность и контравариантность векторов

Ссылки

Примечание о ссылках

Что касается использования скаляров, 4-векторов и тензоров в физике, разные авторы используют немного разные обозначения для одних и тех же уравнений. Например, некоторые используют для инвариантной массы покоя, другие используют для инвариантной массы покоя и используют для релятивистской массы. Многие авторы устанавливают множители и и равными безразмерной единице. Другие показывают некоторые или все константы. Некоторые авторы используют для скорости, другие используют . Некоторые используют в качестве 4-волнового вектора (чтобы выбрать произвольный пример). Другие используют или или или или или и т. д. Некоторые записывают 4-волновой вектор как , некоторые как или или или или или . Некоторые следят за тем, чтобы размерные единицы совпадали по всему 4-вектору, другие — нет. Некоторые ссылаются на временную составляющую в названии 4-вектора, другие ссылаются на пространственную составляющую в названии 4-вектора. Некоторые смешивают их на протяжении всей книги, иногда используя одно, а позже — другое. Некоторые используют метрику (+ − − −) , другие используют метрику (− + + +) . Некоторые не используют 4-векторы, а делают все как в старом стиле E и 3-пространственном векторе p . Дело в том, что все это просто стили обозначений, некоторые из которых более ясны и лаконичны, чем другие. Физика та же самая, если использовать единый стиль на протяжении всего вывода. ^{[7] : 2–4} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle k^{\mu }}$ ${\displaystyle k_{\mu }}$ ${\displaystyle K^{\nu }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {k} ,{\frac {\omega }{c}}\right)}$ ${\displaystyle \left(k^{0},\mathbf {k} \right)}$ ${\displaystyle \left(k^{0},k^{1},k^{2},k^{3}\right)}$ ${\displaystyle \left(k^{1},k^{2},k^{3},k^{4}\right)}$ ${\displaystyle \left(k_{t},k_{x},k_{y},k_{z}\right)}$ ${\displaystyle \left(k^{1},k^{2},k^{3},ik^{4}\right)}$

1. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Oxford Science Publications. ISBN 0-19-853952-5.
2. Кембриджский справочник по физическим формулам, Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 
3. Кейн, Гордон (1994). Современная физика элементарных частиц: фундаментальные частицы и силы (обновленное издание). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-62460-5.
4. Шульц, Бернард Ф. (1985). Первый курс общей теории относительности (1-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-27703-5.
5. Садбери, Энтони (1986). Квантовая механика и частицы природы: Очерк для математиков (1-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-27765-5.
6. Кэрролл, Шон М. (2004). Введение в общую теорию относительности: пространство-время и геометрия (1-е изд.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-8053-8732-3.
7. Грейнер, Вальтер (2000). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения (3-е изд.). Springer. ISBN 3-540-67457-8.

Дальнейшее чтение

• С. Хильдебрандт, «Анализ II» (Calculus II), ISBN 3-540-43970-6 , 2003 
• LC Evans, "Уравнения с частными производными", AMSociety, Grad.Studies Vol.19, 1988
• Дж. Д. Джексон, «Классическая электродинамика», Глава 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X