stringtranslate.com

Домен (математический анализ)

В математическом анализе домен или область — это непустое , связное и открытое множество в топологическом пространстве . В частности, это любое непустое связное открытое подмножество действительного координатного пространства R n или комплексного координатного пространства C n . Связное открытое подмножество координатного пространства часто используется для области определения функции . [a]

Основная идея связного подмножества пространства восходит к 19 веку, но точные определения немного различаются от поколения к поколению, от автора к автору и от издания к изданию, поскольку концепции развивались, а термины переводились между немецкими, французскими и английскими работами. На английском языке некоторые авторы используют термин domain , [1] некоторые используют термин region , [2] некоторые используют оба термина взаимозаменяемо, [3] а некоторые определяют эти два термина немного по-разному; [4] некоторые избегают двусмысленности, придерживаясь фразы, такой как non-empty connected open subset . [5]

Конвенции

Одним из распространенных соглашений является определение домена как связного открытого множества, а региона — как объединения домена без каких-либо, с некоторыми или всеми его предельными точками . [6] Замкнутый регион или замкнутый домен — это объединение домена и всех его предельных точек.

Различные степени гладкости границы области требуются для выполнения различных свойств функций, определенных на области, таких как интегральные теоремы ( теорема Грина , теорема Стокса ), свойства пространств Соболева , а также для определения мер на границе и пространств следов (обобщенных функций, определенных на границе). Обычно рассматриваемыми типами областей являются области с непрерывной границей, липшицева граница , граница C 1 и т. д.

Ограниченная область — это область, которая ограничена , т. е. содержится в некотором шаре. Ограниченная область определяется аналогично. Внешняя область или внешний домен — это область, дополнение которой ограничено; иногда на ее границу накладываются условия гладкости.

В комплексном анализе комплексная область (или просто область ) — это любое связное открытое подмножество комплексной плоскости C. Например, вся комплексная плоскость является областью, как и открытый единичный круг , открытая верхняя полуплоскость и т. д. Часто комплексная область служит областью определения для голоморфной функции . При изучении нескольких комплексных переменных определение области расширяется, чтобы включить любое связное открытое подмножество C n .

В евклидовых пространствах одно- , двух- и трехмерные области представляют собой кривые , поверхности и тела , протяженность которых называется соответственно длиной , площадью и объемом .

Исторические заметки

Определение . Открытое множество называется связным, если его нельзя выразить как сумму двух открытых множеств. Открытое связное множество называется доменом.

Немецкий : Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann. Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet.

—  Константин Каратеодори , (Каратеодори 1918, стр. 222)

Согласно Гансу Хану , [7] понятие домена как открытого связного множества было введено Константином Каратеодори в его знаменитой книге (Carathéodory 1918). В этом определении Каратеодори рассматривает, очевидно, непустые непересекающиеся множества. Хан также замечает, что слово « Gebiet » (« Домен ») ранее иногда использовалось как синоним открытого множества . [8] Грубое понятие старше. В 19-м и начале 20-го века термины домен и регион часто использовались неформально (иногда взаимозаменяемо) без явного определения. [9]

Однако термин «область» иногда использовался для обозначения тесно связанных, но немного отличающихся концепций. Например, в своих влиятельных монографиях по эллиптическим уравнениям с частными производными Карло Миранда использует термин «область» для обозначения открытого связного множества, [10] [11] и оставляет термин «область» для обозначения внутренне связанного, [12] совершенного множества , каждая точка которого является точкой накопления внутренних точек, [10] следуя своему бывшему учителю Мауро Пиконе : [13] согласно этому соглашению, если множество A является областью, то его замыкание A является областью. [10]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Однако функции могут быть определены на множествах, которые не являются топологическими пространствами.
  1. ^ Например (Свешников и Тихонов 1978, §1.3, стр. 21–22).
  2. ^ Например, (Churchill 1948, §1.9 стр. 16–17); (Ahlfors 1953, §2.2 стр. 58); (Rudin 1974, §10.1 стр. 213) резервирует термин область для области определения функции; (Carathéodory 1964, стр. 97) использует термин область для связного открытого множества и термин континуум для связного замкнутого множества.
  3. ^ Например (Townsend 1915, §10, стр. 20); (Carrier, Krook & Pearson 1966, §2.2 стр. 32).
  4. ^ Например (Черчилль 1960, §1.9 стр. 17), который не требует, чтобы регион был связан или открыт.
  5. ^ Например, (Dieudonné 1960, §3.19 стр. 64–67) обычно использует фразу открытое связное множество , но позже определяет односвязную область (§9.7 стр. 215); Тао, Теренс (2016). «246A, Примечания 2: комплексное интегрирование»., также (Бремерманн, 1956) назвал регион открытым множеством, а домен — конкатенированным открытым множеством.
  6. ^ Например (Fuchs & Shabat 1964, §6 стр. 22–23); (Kreyszig 1972, §11.1 стр. 469); (Kwok 2002, §1.4, стр. 23.)
  7. ↑ См. (Хан 1921, стр. 85, сноска 1).
  8. ^ Хан (1921, стр. 61, сноска 3), комментируя только что данное определение открытого множества («offene Menge»), точно утверждает: « Vorher war, für diese Punktmengen die Bezeichnung «Gebiet» in Gebrauch, die wir (§ 5, С. 85) anders verwenden werden » (Вольный английский перевод:-) Раньше термин «Gebiet» изредка употреблялся для таких наборов точек, и он будет использоваться нами в (§ 5, с. 85) с. другой смысл » .
  9. ^ Например, (Forsyth 1893) неформально использует термин region (например, §16, стр. 21) наряду с неформальным выражением part z -plane и определяет область определения точки a для функции f как наибольшую r -окрестность a, в которой f является голоморфной ( §32, стр. 52). Первое издание влиятельного учебника (Whittaker 1902) неформально и, по-видимому, взаимозаменяемо использует термины domain и region . Во втором издании (Whittaker & Watson 1915, §3.21, стр. 44) определяют открытую область как внутреннюю часть простой замкнутой кривой , а закрытую область или domain как открытую область вместе с ее граничной кривой. (Goursat 1905, §262, стр. 10) определяет région [регион] или aire [площадь] как связанную часть плоскости. (Таунсенд 1915, §10, стр. 20) определяет область или домен как связную часть комплексной плоскости, состоящую только из внутренних точек.
  10. ^ abc См. (Миранда 1955, стр. 1, 1970, стр. 2).
  11. ^ Точнее, в первом издании своей монографии Миранда (1955, стр. 1) использует итальянский термин « campo », означающий буквально «поле», аналогично его значению в сельском хозяйстве : во втором издании книги Зане К. Моттелер уместно переводит этот термин как «регион».
  12. ^ Внутренне связное множество — это множество, внутренняя часть которого связна.
  13. ↑ См. (Пикон 1923, стр. 66).

Ссылки