Del , или набла — оператор , используемый в математике (особенно в векторном исчислении ) как векторный дифференциальный оператор , обычно обозначаемый символом набла ∇ . Применительно к функции , определенной в одномерной области, он обозначает стандартную производную функции, определенной в исчислении . Применительно к полю (функции, определенной в многомерной области), оно может обозначать любую из трех операций в зависимости от способа его применения: градиент или (локально) крутой наклон скалярного поля (или иногда векторное поле , как в уравнениях Навье–Стокса ); дивергенция векторного поля ; или ротор (вращение) векторного поля.
Del — это очень удобное математическое обозначение для этих трех операций (градиент, дивергенция и ротор), которое упрощает написание и запоминание многих уравнений . Символ del (или набла) можно формально определить как трехмерный векторный оператор, три компонента которого являются соответствующими операторами частных производных . Как векторный оператор, он может действовать на скалярные и векторные поля тремя разными способами, вызывая три различные дифференциальные операции: во-первых, он может действовать на скалярные поля посредством «формального» скалярного умножения — чтобы получить векторное поле, называемое градиентом. ; во-вторых, он может действовать на векторные поля посредством «формального» скалярного произведения , создавая скалярное поле, называемое дивергенцией; и, наконец, он может действовать на векторные поля посредством «формального» векторного произведения , создавая векторное поле, называемое ротором. Эти «формальные» продукты не обязательно коммутируют с другими операторами или продуктами. Эти три применения, подробно описанные ниже, суммируются следующим образом:
Где выражение в круглых скобках представляет собой вектор-строку. В трехмерной декартовой системе координат с координатами и стандартным базисом или единичными векторами осей del записывается как
Как векторный оператор, del естественным образом действует на скалярные поля посредством скалярного умножения и естественным образом действует на векторные поля посредством скалярного произведения и векторного произведения.
Точнее, для любого скалярного поля и любого векторного поля , если определить
тогда, используя приведенное выше определение , можно написать
Векторная производная скалярного поля называется градиентом и ее можно представить как:
Он всегда указывает в направлении наибольшего увеличения и имеет величину , равную максимальной скорости увеличения в этой точке — точно так же, как стандартная производная. В частности, если холм определен как функция высоты над плоскостью , градиент в данном месте будет вектором в плоскости xy (отображаемым как стрелка на карте), указывающим в самом крутом направлении. Величина градиента — это величина этого самого крутого склона.
В частности, это обозначение является мощным, потому что правило произведения градиента очень похоже на случай 1d-производной:
Дивергенция векторного поля представляет собой скалярное поле , которое можно представить как:
Дивергенция — это примерно мера увеличения векторного поля в том направлении, в котором оно указывает; но точнее, это мера тенденции этого поля сходиться к определенной точке или расходиться от нее.
Силу нотации del демонстрирует следующее правило произведения:
Формула векторного произведения немного менее интуитивна, поскольку это произведение не является коммутативным:
Завиток
Ротор векторного поля — это векторная функция, которую можно представить как:
Изгиб в определенной точке пропорционален крутящему моменту на оси, которому подверглась бы крошечная вертушка, если бы она была центрирована в этой точке.
Операцию векторного произведения можно представить как псевдодетерминант :
Силу обозначений снова демонстрирует правило произведения:
Правило для векторного произведения оказывается непростым:
Производная по направлению
Производная скалярного поля по направлению определяется как:
Это дает скорость изменения поля в направлении , масштабированную по величине . В операторной записи элемент в круглых скобках можно рассматривать как единую связную единицу; Гидродинамика широко использует это соглашение, называя его конвективной производной — «движущейся» производной жидкости.
Обратите внимание, что это оператор, который преобразует скаляр в скаляр. Его можно расширить для работы с вектором, работая отдельно с каждым из его компонентов.
лапласиан
Оператор Лапласа — это скалярный оператор, который можно применять как к векторным, так и к скалярным полям; для декартовых систем координат он определяется как:
Хотя обычно представляет собой лапласиан , иногда также представляет собой матрицу Гессе . Первое относится к внутреннему продукту , а второе — к диадному продукту :
.
Таким образом, относится ли это к матрице Лапласа или Гессе, зависит от контекста.
Тензорная производная
Del также можно применить к векторному полю, в результате чего получится тензор . Тензорная производная векторного поля (в трех измерениях) представляет собой 9-членный тензор второго ранга, то есть матрицу 3×3, но ее можно обозначить просто как , где представляет собой двоичное произведение . Эта величина эквивалентна транспонированию матрицы Якоби векторного поля относительно пространства. Тогда дивергенцию векторного поля можно выразить как след этой матрицы.
При небольшом смещении изменение векторного поля определяется выражением:
Когда del работает со скаляром или вектором, возвращается либо скаляр, либо вектор. Из-за разнообразия векторных произведений (скалярных, точечных, перекрестных) одно применение del уже приводит к трем основным производным: градиенту (скалярному произведению), дивергенции (скалярному произведению) и ротору (перекрестному произведению). Повторное применение этих трех видов производных друг к другу дает пять возможных вторых производных для скалярного поля f или векторного поля v ; использование скалярного лапласиана и векторного лапласиана дает еще два:
Они представляют интерес главным образом потому, что не всегда уникальны или независимы друг от друга. Пока функции ведут себя хорошо ( в большинстве случаев), две из них всегда равны нулю:
Два из них всегда равны:
Три оставшиеся векторные производные связаны уравнением:
И один из них даже можно выразить с помощью тензорного произведения, если функции ведут себя хорошо:
Меры предосторожности
Большинство из вышеперечисленных свойств вектора (за исключением тех, которые явно зависят от дифференциальных свойств del — например, правила произведения) основаны только на перестановке символов и обязательно должны выполняться, если символ del заменяется любым другим вектором. Это часть ценности, которую можно получить, представив этот оператор в виде вектора.
Хотя часто можно заменить del вектором и получить векторную идентичность, сделав эти идентичности мнемоническими, обратное не обязательно надежно, поскольку del вообще не коммутирует.
Контрпример, демонстрирующий, что дивергенция ( ) и оператор переноса ( ) не коммутативны:
Контрпример, основанный на дифференциальных свойствах del:
Центральное место в этих различиях занимает тот факт, что del — это не просто вектор; это векторный оператор . В то время как вектор — это объект, имеющий как величину, так и направление, del не имеет ни величины, ни направления, пока не воздействует на функцию.
По этой причине тождества, включающие del, должны быть получены с осторожностью, используя как векторные тождества, так и тождества дифференцирования , такие как правило произведения.