Перекрестное произведение

Математическая операция над векторами в трехмерном пространстве

Векторные произведения относительно правосторонней системы координат

В математике векторное произведение или векторное произведение (иногда направленное произведение площадей , чтобы подчеркнуть его геометрическое значение) является бинарной операцией над двумя векторами в трехмерном ориентированном евклидовом векторном пространстве (названном здесь ), и обозначается символом . При наличии двух линейно независимых векторов a и b векторное произведение, a × b (читается как «a cross b»), является вектором, который перпендикулярен как a , так и b , ^[1] и, таким образом, нормален к плоскости, содержащей их. Он имеет множество приложений в математике, физике , инженерии и компьютерном программировании . Его не следует путать со скалярным произведением (проекционным произведением). ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \times }$

Величина векторного произведения равна площади параллелограмма со сторонами-векторами; в частности, величина произведения двух перпендикулярных векторов равна произведению их длин. Единицы векторного произведения равны произведению единиц каждого вектора. Если два вектора параллельны или антипараллельны ( то есть они линейно зависимы), или если один из них имеет нулевую длину, то их векторное произведение равно нулю. ^[2]

Перекрестное произведение антикоммутативно (то есть a × b = − b × a ) и дистрибутивно относительно сложения, то есть a × ( b + c ) = a × b + a × c . ^[1] Пространство вместе с перекрестным произведением является алгеброй над действительными числами , которая не является ни коммутативной , ни ассоциативной , но является алгеброй Ли с перекрестным произведением, являющимся скобкой Ли . ${\displaystyle E}$

Как и скалярное произведение, оно зависит от метрики евклидова пространства , но в отличие от скалярного произведения, оно также зависит от выбора ориентации ( или « рукости ») пространства (именно поэтому необходимо ориентированное пространство). Результирующий вектор инвариантен относительно вращения базиса. Из-за зависимости от рукости векторное произведение называется псевдовектором .

В связи с векторным произведением внешнее произведение векторов может использоваться в произвольных измерениях (с результатом в виде бивектора или 2-формы ) и не зависит от ориентации пространства.

Произведение можно обобщить различными способами, используя ориентацию и метрическую структуру, как и для традиционного 3-мерного векторного произведения; можно в n измерениях взять произведение n − 1 векторов, чтобы получить вектор, перпендикулярный им всем. Но если произведение ограничено нетривиальными бинарными произведениями с векторными результатами, оно существует только в трех и семи измерениях. ^[3] Однако векторное произведение в семи измерениях имеет нежелательные свойства (например, оно не удовлетворяет тождеству Якоби ), поэтому оно не используется в математической физике для представления таких величин, как многомерное пространство-время . ^[4] (См. § Обобщения ниже для других измерений.)

Определение

Нахождение направления векторного произведения по правилу правой руки

Перекрестное произведение двух векторов a и b определяется только в трехмерном пространстве и обозначается как a × b . В физике и прикладной математике часто используется клиновидная нотация a ∧ b (вместе с названием векторное произведение ), ^{[5] [6] [7]} хотя в чистой математике такая нотация обычно зарезервирована только для внешнего произведения, абстракции векторного произведения на n измерений.

Векторным произведением a × b называется вектор c , перпендикулярный (ортогональный) как a, так и b , с направлением, заданным правилом правой руки ^[1], и величиной, равной площади параллелограмма , который охватывают векторы. ^[2]

Перекрестное произведение определяется формулой ^{[8] [9]}

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin(\theta )\,\mathbf {n} ,}$

где

θ — угол между a и b в плоскости, содержащей их (следовательно, он находится в пределах от 0° до 180°),

‖ a ‖ и ‖ b ‖ — величины векторов a и b ,

n — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей a и b , с направлением, при котором упорядоченный набор ( a , b , n ) имеет положительную ориентацию .

Если векторы a и b параллельны (то есть угол θ между ними равен либо 0°, либо 180°), то по приведенной выше формуле векторное произведение a и b равно нулевому вектору 0 .

Направление

Вектор a × b (вертикальный, фиолетовый) изменяется по мере изменения угла между векторами a (синий) и b (красный). Вектор a всегда ортогонален обоим векторам и имеет нулевую величину, когда векторы параллельны, и максимальную величину ‖ a ‖‖ b ‖, когда они ортогональны.

Направление вектора n зависит от выбранной ориентации пространства. Традиционно оно задается правилом правой руки, где просто указывается указательный палец правой руки в направлении a , а средний палец в направлении b . Тогда вектор n выходит из большого пальца (см. соседнюю картинку). Использование этого правила подразумевает, что векторное произведение антикоммутативно ; то есть b × a = −( a × b ) . Если сначала указать указательный палец в направлении b , а затем указать средний палец в направлении a , большой палец будет вынужден двигаться в противоположном направлении, меняя знак вектора произведения на противоположный.

Поскольку оператор векторного произведения зависит от ориентации пространства, в общем случае векторное произведение двух векторов является не «истинным» вектором, а псевдовектором . Подробнее см. в § Handedness.

Имена и происхождение

Согласно правилу Сарруса , определитель матрицы 3×3 включает в себя умножения между элементами матрицы, обозначенными скрещенными диагоналями.

В 1842 году Уильям Роуэн Гамильтон впервые описал алгебру кватернионов и некоммутативное гамильтоново произведение. В частности, когда выполняется гамильтоново произведение двух векторов (то есть чистых кватернионов с нулевой скалярной частью), оно приводит к кватерниону со скалярной и векторной частью. Скалярная и векторная часть этого гамильтоновского произведения соответствует отрицательному значению скалярного произведения и перекрестного произведения двух векторов.

В 1881 году Джозайя Уиллард Гиббс [ ^10] и независимо Оливер Хевисайд ввели обозначения для скалярного произведения и векторного произведения, используя для их обозначения точку ( a ⋅ b ) и «×» ( a × b ) соответственно. ^[11]

В 1877 году, чтобы подчеркнуть тот факт, что результатом скалярного произведения является скаляр, а результатом векторного произведения — вектор , Уильям Кингдон Клиффорд ввел альтернативные названия для этих двух операций: скалярное произведение и векторное произведение . ^[11] Эти альтернативные названия до сих пор широко используются в литературе.

Как перекрестная нотация ( a × b ), так и название перекрестное произведение , возможно, были вдохновлены тем фактом, что каждый скалярный компонент a × b вычисляется путем умножения несоответствующих компонентов a и b . Наоборот, скалярное произведение a ⋅ b включает умножения между соответствующими компонентами a и b . Как объясняется ниже, перекрестное произведение может быть выражено в виде определителя специальной матрицы 3 × 3. Согласно правилу Сарруса , это включает умножения между элементами матрицы, идентифицированными скрещенными диагоналями.

Вычислительная техника

Координатная нотация

_{Стандартные} базисные векторы ( i , j , k _, также обозначаемые e1 , e2 , e3 ) и _{векторные} компоненты a ( ax _, ay _, az , _{также обозначаемые} a1 , a2 _, a3 )​_​

Если ( i , j , k ) — положительно ориентированный ортонормированный базис, то базисные векторы удовлетворяют следующим равенствам ^[1]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}$

что подразумевает, в силу антикоммутативности векторного произведения, что

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=-\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=-\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=-\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}$

Антикоммутативность векторного произведения (и очевидное отсутствие линейной независимости) также подразумевает, что

${\displaystyle \mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} =\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} =\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} =\mathbf {0} }$( нулевой вектор ).

Эти равенства, вместе с дистрибутивностью и линейностью векторного произведения (хотя ни одно из них не следует легко из определения, данного выше), достаточны для определения векторного произведения любых двух векторов a и b . Каждый вектор можно определить как сумму трех ортогональных компонент, параллельных стандартным базисным векторам:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \end{alignedat}}}$

Их векторное произведение a × b можно разложить с помощью дистрибутивности:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\times (b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\\={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )\\\end{aligned}}}$

Это можно интерпретировать как разложение a × b в сумму девяти более простых перекрестных произведений, включающих векторы, выровненные с i , j , или k . Каждое из этих девяти перекрестных произведений оперирует двумя векторами, с которыми легко работать, поскольку они либо параллельны, либо ортогональны друг другу. Из этого разложения, используя вышеупомянутые равенства и собирая подобные члены, мы получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&\quad \ a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {\color {green}{k}} -a_{1}b_{3}\mathbf {\color {red}{j}} \\&-a_{2}b_{1}\mathbf {\color {green}{k}} +a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {\color {blue}{i}} \\&+a_{3}b_{1}\mathbf {\color {red}{j}} \ -a_{3}b_{2}\mathbf {\color {blue}{i}} \ +a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {\color {blue}{i}} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {\color {red}{j}} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {\color {green}{k}} \\\end{aligned}}}$

это означает, что три скалярных компонента результирующего вектора s = s ₁ i + s ₂ j + s ₃ k = a × b равны

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\s_{2}&=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\s_{3}&=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{aligned}}}$

Используя векторы-столбцы , мы можем представить тот же результат следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{bmatrix}}}$

Матричная запись

Использование правила Сарруса для нахождения векторного произведения a и b

Перекрестное произведение также можно выразить как формальный определитель: ^{[примечание 1] [1]}

${\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}$

Этот определитель можно вычислить с помощью правила Сарруса или расширения кофактора . Используя правило Сарруса, он расширяется до

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &=(a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} )-(a_{3}b_{2}\mathbf {i} +a_{1}b_{3}\mathbf {j} +a_{2}b_{1}\mathbf {k} )\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} .\end{aligned}}}$

что напрямую дает компоненты результирующего вектора.

Использование тензоров Леви-Чивиты

• В любом базисе перекрестное произведение задается тензорной формулой , где — ковариантный тензор Леви-Чивиты (отметим положение индексов). Что соответствует внутренней формуле, приведенной здесь. ${\displaystyle a\times b}$ ${\displaystyle E_{ijk}a^{i}b^{j}}$ ${\displaystyle E_{ijk}}$
• В ортонормальном базисе, имеющем ту же ориентацию, что и пространство , задается псевдотензорной формулой , где — символ Леви-Чивиты (который является псевдотензором). Это формула, используемая в повседневной физике, но она работает только для этого специального выбора базиса. ${\displaystyle a\times b}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$
• В любом ортонормированном базисе задается псевдотензорной формулой , где указывает, имеет ли базис ту же ориентацию, что и пространство, или нет. ${\displaystyle a\times b}$ ${\displaystyle (-1)^{B}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}}$ ${\displaystyle (-1)^{B}=\pm 1}$

Последняя формула позволяет избежать необходимости изменения ориентации пространства при обращении ортонормированного базиса.

Характеристики

Геометрическое значение

Рисунок 1. Площадь параллелограмма как величина векторного произведения

Рисунок 2. Три вектора, определяющие параллелепипед

Величину векторного произведения можно интерпретировать как положительную площадь параллелограмма , имеющего стороны a и b (см. рисунок 1 ): ^[1] $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|.}$$

Действительно, можно также вычислить объем V параллелепипеда, имеющего ребра a , b и c , используя комбинацию векторного произведения и скалярного произведения, называемую скалярным тройным произведением (см. рисунок 2):

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$

Поскольку результат скалярного тройного произведения может быть отрицательным, объем параллелепипеда определяется его абсолютным значением:

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.}$

Поскольку величина векторного произведения равна синусу угла между его аргументами, векторное произведение можно рассматривать как меру перпендикулярности таким же образом, как скалярное произведение является мерой параллельности . Если даны два единичных вектора , их векторное произведение имеет величину 1, если они перпендикулярны, и величину ноль, если они параллельны. Скалярное произведение двух единичных векторов ведет себя прямо противоположным образом: оно равно нулю, когда единичные векторы перпендикулярны, и 1, если единичные векторы параллельны.

Векторы единичных векторов допускают два удобных тождества: скалярное произведение двух векторов единичных дает косинус (который может быть положительным или отрицательным) угла между двумя векторами единичных векторов. Величина перекрестного произведения двух векторов единичных дает синус (который всегда будет положительным).

Алгебраические свойства

Скалярное умножение перекрестного произведения . Слева: Разложение b на компоненты, параллельные и перпендикулярные a . Справа: Масштабирование перпендикулярных компонентов на положительное действительное число r (если отрицательное, b и перекрестное произведение меняются местами).

Дистрибутивность перекрестного произведения по сложению векторов. Слева: Векторы b и c разлагаются на параллельные и перпендикулярные компоненты к a . Справа: Параллельные компоненты исчезают в перекрестном произведении, остаются только перпендикулярные компоненты, показанные в плоскости, перпендикулярной a . ^[12]

Два неэквивалентных тройных перекрестных произведения трех векторов a , b , c . В каждом случае два вектора определяют плоскость, другой находится вне плоскости и может быть разделен на параллельные и перпендикулярные компоненты перекрестному произведению векторов, определяющих плоскость. Эти компоненты могут быть найдены с помощью проекции и отклонения вектора . Тройное произведение находится в плоскости и повернуто, как показано.

Если векторное произведение двух векторов является нулевым вектором (то есть a × b = 0 ), то либо один, либо оба входных вектора являются нулевым вектором ( a = 0 или b = 0 ), либо они параллельны или антипараллельны ( a ∥ b ), так что синус угла между ними равен нулю ( θ = 0° или θ = 180° и sin  θ = 0 ).

Самоперекрестное произведение вектора — это нулевой вектор:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} .}$

Перекрестное произведение антикоммутативно ,

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} ),}$

распределительный по сложению,

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {c} ),}$

и совместимо со скалярным умножением, так что

${\displaystyle (r\,\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\,\mathbf {b} )=r\,(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$

Он не ассоциативен , но удовлетворяет тождеству Якоби :

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .}$

Дистрибутивность, линейность и тождество Якоби показывают, что векторное пространство R ³ вместе с векторным сложением и векторным произведением образует алгебру Ли , алгебру Ли действительной ортогональной группы в 3 измерениях, SO(3) . Векторные произведения не подчиняются закону сокращения ; то есть, a × b = a × c с a ≠ 0 не подразумевает b = c , а только то, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {0} &=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} ).\\\end{aligned}}}$

Это может быть случай, когда b и c сокращаются, но, кроме того, когда a и b − c параллельны; то есть они связаны масштабным коэффициентом t , что приводит к:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {b} +t\,\mathbf {a} ,}$

для некоторого скаляра t .

Если в дополнение к a × b = a × c и a ≠ 0 , как указано выше, имеет место случай, когда a ⋅ b = a ⋅ c , то

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=\mathbf {0} \\\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=0,\end{aligned}}}$

Поскольку b − c не может быть одновременно параллельным (чтобы векторное произведение было равно 0 ) и перпендикулярным (чтобы скалярное произведение было равно 0) точке a , то должно быть так, что b и c сокращаются: b = c .

Из геометрического определения, векторное произведение инвариантно относительно собственных вращений вокруг оси, определяемой как a × b . В формулах:

${\displaystyle (R\mathbf {a} )\times (R\mathbf {b} )=R(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$, где — матрица вращения с . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \det(R)=1}$

В более общем случае векторное произведение подчиняется следующему тождеству при матричных преобразованиях:

${\displaystyle (M\mathbf {a} )\times (M\mathbf {b} )=(\det M)\left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {cof} M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

где — матрица 3 на 3 , — транспонированная обратная матрица , — матрица сомножителей. Легко увидеть, как эта формула сводится к предыдущей, если — матрица поворота. Если — симметричная матрица 3 на 3, примененная к общему векторному произведению , то справедливо следующее соотношение: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \operatorname {cof} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$

${\displaystyle M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {Tr} (M)(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-\mathbf {a} \times M\mathbf {b} +\mathbf {b} \times M\mathbf {a} }$

Перекрестное произведение двух векторов лежит в нулевом пространстве матрицы 2 × 3 , где векторы являются строками:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \in NS\left({\begin{bmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \end{bmatrix}}\right).}$

Для суммы двух перекрестных произведений справедливо следующее тождество:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} .}$

Дифференциация

Правило произведения дифференциального исчисления применимо к любой билинейной операции, а следовательно, и к векторному произведению:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}},}$

где a и b — векторы, зависящие от действительной переменной t .

Тройное расширение продукта

Перекрестное произведение используется в обеих формах тройного произведения. Скалярное тройное произведение трех векторов определяется как

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$

Это знаковый объем параллелепипеда с ребрами a , b и c , и, как таковые, векторы могут использоваться в любом порядке, который является четной перестановкой указанного выше порядка. Следовательно, следующие элементы равны:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),}$

Тройное векторное произведение — это векторное произведение вектора с результатом другого векторного произведения, и оно связано со скалярным произведением следующей формулой:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )-\mathbf {a} (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}$

Мнемоника " BAC минус CAB" используется для запоминания порядка векторов в правом члене. Эта формула используется в физике для упрощения векторных вычислений. Особый случай, касающийся градиентов и полезный в векторном исчислении , это

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} ,\\\end{aligned}}}$

где ∇ ² — векторный оператор Лапласа .

Другие тождества связывают векторное произведение со скалярным тройным произведением:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a} \\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\left(\left(\mathbf {c} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} \right)I-\mathbf {c} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\right)\mathbf {d} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}$

где I — единичная матрица.

Альтернативная формулировка

Векторные и скалярные произведения связаны соотношением:

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$

Правая сторона — определитель Грама a и b , квадрат площади параллелограмма, определяемого векторами. Это условие определяет величину векторного произведения. А именно, поскольку скалярное произведение определяется в терминах угла θ между двумя векторами, как:

${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$

Приведенное выше соотношение можно переписать следующим образом:

${\displaystyle \left\|\mathbf {a\times b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).}$

Применяя тригонометрическое тождество Пифагора, получаем:

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|,}$

что является величиной векторного произведения, выраженной через θ , равной площади параллелограмма, определяемого a и b (см. определение выше).

Сочетание этого требования и свойства, согласно которому векторное произведение должно быть ортогональным к своим составляющим a и b, дает альтернативное определение векторного произведения. ^[13]

Обратное перекрестное произведение

Для перекрестного произведения a × b = c существует несколько векторов b , которые дают одно и то же значение c . В результате невозможно перестроить это уравнение так, чтобы получить единственное решение для b в терминах a и c . Тем не менее, можно найти семейство решений для b , которые являются

${\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {c} \times \mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}+t\mathbf {a} ,}$

где t — произвольная константа.

Это можно вывести с помощью разложения тройного произведения:

${\displaystyle \mathbf {c} \times \mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} }$

Переставьте, чтобы решить для b, чтобы получить

${\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {c} \times \mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}+{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}\mathbf {a} }$

Коэффициент последнего члена можно упростить до произвольной константы t, что даст результат, показанный выше.

тождество Лагранжа

Отношение

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}\equiv \det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{bmatrix}}\equiv \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}$

можно сравнить с другим соотношением, включающим правую часть, а именно с тождеством Лагранжа, выраженным как ^[14]

${\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\equiv \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2},}$

где a и b могут быть n -мерными векторами. Это также показывает, что риманова форма объема для поверхностей — это в точности элемент поверхности из векторного исчисления. В случае, когда n = 3 , объединение этих двух уравнений приводит к выражению для величины векторного произведения в терминах его компонентов: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}&\equiv \sum _{1\leq i<j\leq 3}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\\&\equiv (a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}.\end{aligned}}}$

Тот же результат получается непосредственно с использованием компонентов векторного произведения, найденных из

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \equiv \det {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {i} }}&{\hat {\mathbf {j} }}&{\hat {\mathbf {k} }}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.}$

В R ³ уравнение Лагранжа является частным случаем мультипликативности | vw | = | v || w | нормы в алгебре кватернионов .

Это частный случай другой формулы, также иногда называемой тождеством Лагранжа, которое является трехмерным случаем тождества Бине–Коши : ^{[16] [17]}

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\equiv (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ).}$

Если a = c и b = d , это упрощается до формулы выше.

Бесконечно малые генераторы вращений

Перекрестное произведение удобно описывает бесконечно малые генераторы вращений в R ³ . В частности, если n — единичный вектор в R ³ , а R ( φ ,  n ) обозначает вращение вокруг оси через начало координат, указанное n , с углом φ (измеряется в радианах, против часовой стрелки, если смотреть с кончика n ), то

${\displaystyle \left.{d \over d\phi }\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {x}}}$

для каждого вектора x в R ³ . Следовательно, векторное произведение с n описывает бесконечно малый генератор вращений вокруг n . Эти бесконечно малые генераторы образуют алгебру Ли so (3) группы вращений SO(3) , и мы получаем результат, что алгебра Ли R ³ с векторным произведением изоморфна алгебре Ли so (3).

Альтернативные способы вычисления

Преобразование в умножение матриц

Векторную векторную работу можно также выразить как произведение кососимметричной матрицы и вектора: ^[16] где верхний индекс ^T относится к операции транспонирования , а [ a ] _​​× определяется как: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} &={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\\\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={[\mathbf {b} ]_{\times }}^{\mathrm {\!\!T} }\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}\,0&\,\,b_{3}&\!-b_{2}\\-b_{3}&0&\,\,b_{1}\\\,\,b_{2}&\!-b_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.}$$

Столбцы [ a ] _​​×,i кососимметричной матрицы для вектора a также можно получить, вычислив векторное произведение с единичными векторами . То есть, или , где — оператор внешнего произведения . $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times ,i}=\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,\;i\in \{1,2,3\}}$$ $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\sum _{i=1}^{3}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} \right)\otimes \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,}$$ ${\displaystyle \otimes }$

Кроме того, если a само выражено как векторное произведение: тогда $${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} }$$ $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }.}$$

Доказательство путем подстановки

Оценка векторного произведения дает Следовательно, левая часть равна Теперь, для правой части, И ее транспонирование равно Оценка правой части дает Сравнение показывает, что левая часть равна правой части. $${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} ={\begin{pmatrix}c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}\\c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{1}d_{2}&c_{1}d_{3}\\c_{2}d_{1}&c_{2}d_{2}&c_{2}d_{3}\\c_{3}d_{1}&c_{3}d_{2}&c_{3}d_{3}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{2}d_{1}&c_{3}d_{1}\\c_{1}d_{2}&c_{2}d_{2}&c_{3}d_{2}\\c_{1}d_{3}&c_{2}d_{3}&c_{3}d_{3}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0\end{bmatrix}}}$$

Этот результат можно обобщить на более высокие измерения с помощью геометрической алгебры . В частности, в любом измерении бивекторы можно отождествить с кососимметричными матрицами, поэтому произведение между кососимметричной матрицей и вектором эквивалентно части степени 1 произведения бивектора и вектора. ^[18] В трех измерениях бивекторы являются дуальными векторам, поэтому произведение эквивалентно векторному произведению с бивектором вместо его дуального вектора. В более высоких измерениях произведение все еще можно вычислить, но бивекторы имеют больше степеней свободы и не эквивалентны векторам. ^[18]

С этой записью также часто гораздо проще работать, например, в эпиполярной геометрии .

Из общих свойств векторного произведения немедленно следует, что   и ,   а из того факта, что [ a ] _​​× кососимметричен, следует, что $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0} }$$ $${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0} }$$ $${\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.}$$

Вышеупомянутое расширение тройного произведения (правило bac–cab) можно легко доказать, используя эту запись.

Как упоминалось выше, алгебра Ли R ³ с перекрестным произведением изоморфна алгебре Ли so(3) , элементы которой можно отождествить с кососимметричными матрицами 3×3. Отображение a → [ a ] _​​× обеспечивает изоморфизм между R ³ и so(3) . При этом отображении перекрестное произведение 3-векторов соответствует коммутатору кососимметричных матриц 3×3.

Индексная запись для тензоров

Альтернативно векторное произведение можно определить в терминах тензора Леви-Чивиты E _ijk и скалярного произведения η ^mi , которые полезны при преобразовании векторной записи для тензорных приложений:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}}$

где индексы соответствуют компонентам вектора. Эта характеристика перекрестного произведения часто выражается более компактно с использованием соглашения Эйнштейна о суммировании как ${\displaystyle i,j,k}$

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}}$

в котором повторяющиеся индексы суммируются по значениям от 1 до 3.

В положительно ориентированном ортонормированном базисе η ^mi = δ ^mi ( символ Кронекера ) и ( символ Леви-Чивиты ). В этом случае это представление является другой формой кососимметричного представления векторного произведения: ${\displaystyle E_{ijk}=\varepsilon _{ijk}}$

${\displaystyle [\varepsilon _{ijk}a^{j}]=[\mathbf {a} ]_{\times }.}$

В классической механике : представление векторного произведения с использованием символа Леви-Чивиты может привести к тому, что механические симметрии станут очевидными, когда физические системы изотропны . (Пример: рассмотрим частицу в потенциале закона Гука в трехмерном пространстве, которая может свободно колебаться в трех измерениях; ни одно из этих измерений не является «специальным» ни в каком смысле, поэтому симметрии лежат в представленном векторным произведением угловом моменте, что становится очевидным благодаря вышеупомянутому представлению Леви-Чивиты). ^{[ необходима цитата ]}

Мнемонический

Мнемоника для вычисления векторного произведения в векторной форме

Слово «xyzzy» можно использовать для запоминания определения векторного произведения.

Если

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$

где:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {c} ={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}}$

затем:

${\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}}$

${\displaystyle a_{y}=b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z}}$

${\displaystyle a_{z}=b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x}.}$

Второе и третье уравнения можно получить из первого, просто повернув индексы по вертикали, x → y → z → x . Проблема, конечно, в том, как запомнить первое уравнение, и для этого есть два варианта: либо запомнить соответствующие две диагонали схемы Сарруса (содержащие i ), либо запомнить последовательность xyzzy.

Поскольку первая диагональ в схеме Сарруса — это всего лишь главная диагональ вышеупомянутой матрицы 3×3, первые три буквы слова xyzzy можно очень легко запомнить.

Перекрестная визуализация

Аналогично мнемоническому приему выше, «крест» или X можно визуализировать между двумя векторами в уравнении. Это может быть полезно для запоминания правильной формулы перекрестного произведения.

Если

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$

затем:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$

Если мы хотим получить формулу для , то мы просто отбрасываем и из формулы и выносим следующие два компонента: ${\displaystyle a_{x}}$ ${\displaystyle b_{x}}$ ${\displaystyle c_{x}}$

${\displaystyle a_{x}={\begin{bmatrix}b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$

При выполнении этой операции для следующих двух элементов вниз следует «обернуть» матрицу так, чтобы после компонента z шел компонент x. Для ясности, при выполнении этой операции для следующими двумя компонентами должны быть z и x (именно в таком порядке). В то время как для следующих двух компонентов следует взять x и y. ${\displaystyle a_{y}}$ ${\displaystyle a_{y}}$ ${\displaystyle a_{z}}$

${\displaystyle a_{y}={\begin{bmatrix}b_{z}\\b_{x}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{z}\\c_{x}\end{bmatrix}},\ a_{z}={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\end{bmatrix}}}$

Тогда , если мы визуализируем оператор креста как указывающий от элемента слева к элементу справа, мы можем взять первый элемент слева и просто умножить на элемент, на который указывает крест в правой матрице. Затем мы вычитаем следующий элемент слева, умноженный на элемент, на который также указывает крест здесь. Это приводит к нашей формуле – ${\displaystyle a_{x}}$ ${\displaystyle a_{x}}$

${\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}.}$

Мы можем сделать это таким же образом для и для построения связанных с ними формул. ${\displaystyle a_{y}}$ ${\displaystyle a_{z}}$

Приложения

Перекрестное произведение имеет приложения в различных контекстах. Например, оно используется в вычислительной геометрии, физике и инженерии. Ниже приведен неполный список примеров.

Вычислительная геометрия

Векторные произведения возникают при вычислении расстояния двух скрещивающихся прямых (прямых, не лежащих в одной плоскости) друг от друга в трехмерном пространстве.

Векторные произведения можно использовать для вычисления нормали для треугольника или многоугольника, операция, часто выполняемая в компьютерной графике . Например, вращение многоугольника (по часовой стрелке или против часовой стрелки) вокруг точки внутри многоугольника можно вычислить путем триангуляции многоугольника (подобно спицам колеса) и суммирования углов (между спицами) с использованием векторного произведения для отслеживания знака каждого угла.

В вычислительной геометрии плоскости векторное произведение используется для определения знака острого угла, определяемого тремя точками и . Оно соответствует направлению (вверх или вниз) векторного произведения двух копланарных векторов, определяемых двумя парами точек и . Знак острого угла — это знак выражения ${\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle p_{3}=(x_{3},y_{3})}$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$ ${\displaystyle (p_{1},p_{3})}$

${\displaystyle P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1}),}$

что является длиной векторного произведения двух векторов.

В "правой" системе координат, если результат равен 0, точки коллинеарны ; если он положителен, три точки образуют положительный угол поворота вокруг от до , в противном случае отрицательный угол. С другой точки зрения, знак говорит о том, лежит ли левее или правее прямой ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle p_{3}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p_{3}}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2}.}$

Векторные произведения используются при вычислении объема многогранника , например тетраэдра или параллелепипеда .

Угловой импульс и крутящий момент

Угловой момент L частицы относительно заданной точки определяется как:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,}$

где r — радиус-вектор частицы относительно начала координат, p — импульс частицы.

Аналогично момент M силы F _B, приложенной в точке B вокруг точки A, определяется как:

${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathrm {A} }=\mathbf {r} _{\mathrm {AB} }\times \mathbf {F} _{\mathrm {B} }\,}$

В механике момент силы также называется крутящим моментом и записывается как ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$

Поскольку положение r , линейный импульс p и сила F являются истинными векторами, то и момент импульса L , и момент силы M являются псевдовекторами или аксиальными векторами .

Твёрдое тело

Перекрестное произведение часто появляется в описании жестких движений. Две точки P и Q на твердом теле могут быть связаны соотношением:

${\displaystyle \mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,}$

где - положение точки, - ее скорость, - угловая скорость тела . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Поскольку положение и скорость являются истинными векторами, угловая скорость является псевдовектором или аксиальным вектором . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

сила Лоренца

Для описания силы Лоренца, действующей на движущийся электрический заряд q _{e ,} используется векторное произведение :

${\displaystyle \mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

Поскольку скорость v , сила F и электрическое поле E являются истинными векторами, магнитное поле B является псевдовектором .

Другой

В векторном исчислении векторное произведение используется для определения формулы векторного оператора rot .

Прием переписывания векторного произведения в терминах умножения матриц часто встречается в эпиполярной и многовидовой геометрии, в частности, при выводе ограничений соответствия.

Как внешний продукт

Перекрестное произведение по отношению к внешнему произведению. Красным обозначены ортогональный единичный вектор и «параллельный» единичный бивектор.

Перекрестное произведение может быть определено в терминах внешнего произведения. Его можно обобщить до внешнего произведения в измерениях, отличных от трех. ^[19] Это обобщение допускает естественную геометрическую интерпретацию перекрестного произведения. Во внешней алгебре внешнее произведение двух векторов является бивектором. Бивектор является ориентированным элементом плоскости, во многом таким же образом, как вектор является ориентированным элементом линии. При наличии двух векторов a и b можно рассматривать бивектор a ∧ b как ориентированный параллелограмм, натянутый на a и b . Затем перекрестное произведение получается путем взятия звезды Ходжа бивектора a ∧ b , отображающей 2-векторы в векторы:

${\displaystyle a\times b=\star (a\wedge b).}$

Это можно рассматривать как ориентированный многомерный элемент, «перпендикулярный» бивектору. В d -мерном пространстве звезда Ходжа переводит k -вектор в ( d–k )-вектор; таким образом, только в d = 3 измерениях результатом является элемент размерности один (3–2 = 1), т. е. вектор. Например, в d = 4 измерениях векторное произведение двух векторов имеет размерность 4–2 = 2, что дает бивектор. Таким образом, только в трех измерениях векторное произведение определяет структуру алгебры для умножения векторов.

Руко-ориентированность

Последовательность

Когда законы физики записаны в виде уравнений, можно сделать произвольный выбор системы координат, включая леворукость. Следует быть осторожным, чтобы никогда не записывать уравнение, где две стороны не ведут себя одинаково при всех преобразованиях, которые необходимо учитывать. Например, если одна сторона уравнения является перекрестным произведением двух полярных векторов , необходимо учитывать, что результатом является аксиальный вектор . Поэтому для согласованности другая сторона также должна быть аксиальным вектором. ^{[ необходима цитата ]} В более общем смысле, результатом перекрестного произведения может быть либо полярный вектор, либо аксиальный вектор, в зависимости от типа его операндов (полярные векторы или аксиальные векторы). А именно, полярные векторы и аксиальные векторы взаимосвязаны следующим образом при применении перекрестного произведения:

• полярный вектор × полярный вектор = аксиальный вектор
• аксиальный вектор × аксиальный вектор = аксиальный вектор
• полярный вектор × аксиальный вектор = полярный вектор
• аксиальный вектор × полярный вектор = полярный вектор

или символически

• полярный × полярный = аксиальный
• аксиальный × аксиальный = аксиальный
• полярный × аксиальный = полярный
• аксиальный × полярный = полярный

Поскольку векторное произведение может быть также полярным вектором, оно может не изменить направление при преобразовании зеркального изображения. Это происходит, согласно приведенным выше соотношениям, если один из операндов является полярным вектором, а другой — аксиальным вектором (например, векторное произведение двух полярных векторов). Например, векторное тройное произведение, включающее три полярных вектора, является полярным вектором.

Подход, исключающий ведущую руку, возможен с использованием внешней алгебры.

Парадокс ортонормированного базиса

Пусть ( i , j , k ) — ортонормированный базис. Векторы i , j и k не зависят от ориентации пространства. Их можно определить даже при отсутствии какой-либо ориентации. Поэтому они не могут быть аксиальными векторами. Но если i и j — полярные векторы, то k — аксиальный вектор для i × j = k или j × i = k . Это парадокс.

«Аксиальный» и «полярный» — это физические определители для физических векторов, то есть векторов, которые представляют физические величины, такие как скорость или магнитное поле. Векторы i , j и k — это математические векторы, не являющиеся ни аксиальными, ни полярными. В математике векторное произведение двух векторов — это вектор. Противоречия нет.

Обобщения

Существует несколько способов обобщения векторного произведения на более высокие измерения.

алгебра Ли

Перекрестное произведение можно рассматривать как одно из простейших произведений Ли, и, таким образом, оно обобщается алгебрами Ли , которые аксиоматизируются как бинарные произведения, удовлетворяющие аксиомам полилинейности, косой симметрии и тождества Якоби. Существует много алгебр Ли, и их изучение является важной областью математики, называемой теорией Ли .

Например, алгебра Гейзенберга дает другую структуру алгебры Ли на основе В этом базисе произведение равно ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle \{x,y,z\},}$ ${\displaystyle [x,y]=z,[x,z]=[y,z]=0.}$

Кватернионы

Перекрестное произведение также можно описать в терминах кватернионов . В общем случае, если вектор [ a ₁ , a ₂ , a ₃ ] представлен как кватернион a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k , перекрестное произведение двух векторов можно получить, взяв их произведение как кватернионов и удалив действительную часть результата. Действительная часть будет отрицательным значением скалярного произведения двух векторов.

Октонионы

Перекрестное произведение для 7-мерных векторов может быть получено таким же образом, используя октонионы вместо кватернионов. Несуществование нетривиальных векторнозначных перекрестных произведений двух векторов в других измерениях связано с результатом теоремы Гурвица о том, что единственными нормированными алгебрами с делением являются алгебры с размерностью 1, 2, 4 и 8.

Внешний вид продукта

В общем измерении нет прямого аналога бинарного векторного произведения, который дает конкретно вектор. Однако есть внешнее произведение, которое имеет похожие свойства, за исключением того, что внешнее произведение двух векторов теперь является 2-вектором вместо обычного вектора. Как упоминалось выше, векторное произведение можно интерпретировать как внешнее произведение в трех измерениях, используя оператор звезды Ходжа для отображения 2-векторов в векторы. Двойственное по Ходжу внешнему произведению дает ( n − 2) -вектор, который является естественным обобщением векторного произведения в любом количестве измерений.

Внешнее произведение и скалярное произведение можно объединить (путем суммирования) для получения геометрического произведения в геометрической алгебре.

Внешний продукт

Как упоминалось выше, векторное произведение можно интерпретировать в трех измерениях как двойственное по Ходжу внешнее произведение. В любых конечных n измерениях двойственное по Ходжу внешнее произведение n − 1 векторов является вектором. Таким образом, вместо бинарной операции в произвольных конечных измерениях векторное произведение обобщается как двойственное по Ходжу внешнее произведение некоторых заданных n − 1 векторов. Это обобщение называется внешним произведением . ^[20]

Коммутаторный продукт

Интерпретируя трехмерное векторное пространство алгебры как 2-векторную (а не 1-векторную) подалгебру трехмерной геометрической алгебры, где , , и , векторное произведение в точности соответствует коммутаторному произведению в геометрической алгебре, и оба используют один и тот же символ . Коммутационное произведение определяется для 2-векторов и в геометрической алгебре как: ${\displaystyle \mathbf {i} =\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\times B={\tfrac {1}{2}}(AB-BA),}$

где геометрическое произведение. ^[21] ${\displaystyle AB}$

Коммутационное произведение может быть обобщено на произвольные мульвивекторы в трех измерениях, что приводит к мульвивектору, состоящему только из элементов степеней 1 (1-векторы/истинные векторы) и 2 (2-векторы/псевдовекторы). В то время как коммутаторное произведение двух 1-векторов действительно совпадает с внешним произведением и дает 2-вектор, коммутатор 1-вектора и 2-вектора дает истинный вектор, соответствующий вместо этого левым и правым сокращениям в геометрической алгебре. Коммутационное произведение двух 2-векторов не имеет соответствующего эквивалентного произведения, поэтому коммутаторное произведение определяется в первую очередь для 2-векторов. Более того, коммутаторное тройное произведение трех 2-векторов совпадает с векторным тройным произведением тех же трех псевдовекторов в векторной алгебре. Однако коммутаторное тройное произведение трех 1-векторов в геометрической алгебре представляет собой отрицательное векторное тройное произведение тех же трех истинных векторов в векторной алгебре.

Обобщения на более высокие измерения обеспечиваются тем же самым коммутаторным произведением 2-векторов в более высоких геометрических алгебрах, но 2-векторы больше не являются псевдовекторами. Так же, как коммутаторное произведение/перекрестное произведение 2-векторов в трех измерениях соответствует простейшей алгебре Ли, 2-векторные подалгебры более высоких геометрических алгебр, снабженные коммутаторным произведением, также соответствуют алгебрам Ли. ^[22] Также как и в трех измерениях, коммутаторное произведение может быть далее обобщено на произвольные мультивекторы.

Полилинейная алгебра

В контексте полилинейной алгебры векторное произведение можно рассматривать как (1,2)-тензор ( смешанный тензор , в частности, билинейное отображение ), полученный из трехмерной объемной формы , ^{[примечание 2]} (0,3)-тензора, путем повышения индекса .

В деталях, форма 3-мерного объема определяет произведение , беря определитель матрицы, заданной этими 3 векторами. По двойственности это эквивалентно функции (фиксация любых двух входов дает функцию , оценивая на третьем входе) и при наличии внутреннего произведения (такого как скалярное произведение; в более общем случае, невырожденная билинейная форма), мы имеем изоморфизм и, таким образом, это дает карту, которая является перекрестным произведением: (0,3)-тензор (3 векторных входа, скалярный выход) был преобразован в (1,2)-тензор (2 векторных входа, 1 векторный выход) путем «повышения индекса». ${\displaystyle V\times V\times V\to \mathbf {R} ,}$ ${\displaystyle V\times V\to V^{*},}$ ${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle V\to V^{*},}$ ${\displaystyle V\times V\to V,}$

Переводя вышеприведенную алгебру в геометрию, функция «объем параллелепипеда, определяемого » (где первые два вектора фиксированы, а последний является входным значением), которая определяет функцию , может быть представлена ​​однозначно как скалярное произведение с вектором: этот вектор является векторным произведением. С этой точки зрения векторное произведение определяется скалярным тройным произведением , ${\displaystyle (a,b,-)}$ ${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle a\times b.}$ ${\displaystyle \mathrm {Vol} (a,b,c)=(a\times b)\cdot c.}$

Таким же образом, в более высоких измерениях можно определить обобщенные перекрестные произведения, поднимая индексы n -мерной формы объема, которая является -тензором . Наиболее прямые обобщения перекрестного произведения определяют либо: ${\displaystyle (0,n)}$

• -тензор , который принимает в качестве входных векторов и дает в качестве выходного 1 вектор – -арный векторно-значный продукт, или ${\displaystyle (1,n-1)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (n-1)}$
• -тензор , который принимает на входе 2 вектора и дает на выходе кососимметричный тензор ранга n − 2 – бинарное произведение со значениями тензора ранга n − 2. Можно также определить -тензоры для других k . ${\displaystyle (n-2,2)}$ ${\displaystyle (k,n-k)}$

Все эти произведения являются полилинейными и кососимметричными и могут быть определены через определитель и четность .

-арное произведение можно описать следующим образом: заданные векторы определяют их обобщенное векторное произведение как: ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n},}$ ${\displaystyle v_{n}=v_{1}\times \cdots \times v_{n-1}}$

• перпендикулярно гиперплоскости, определяемой ${\displaystyle v_{i},}$
• величина - это объем параллелоэдра, определяемый с помощью которого можно вычислить как определитель Грама ${\displaystyle v_{i},}$ ${\displaystyle v_{i},}$
• ориентированный так, чтобы он был ориентирован положительно. ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$

Это уникальный полилинейный, чередующийся продукт, который вычисляется как , и т. д. для циклических перестановок индексов. ${\displaystyle e_{1}\times \cdots \times e_{n-1}=e_{n}}$ ${\displaystyle e_{2}\times \cdots \times e_{n}=e_{1},}$

В координатах можно дать формулу для этого -арного аналога векторного произведения в R ⁿ следующим образом: ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle \bigwedge _{i=0}^{n-1}\mathbf {v} _{i}={\begin{vmatrix}v_{1}{}^{1}&\cdots &v_{1}{}^{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n-1}{}^{1}&\cdots &v_{n-1}{}^{n}\\\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{vmatrix}}.}$

Эта формула по структуре идентична формуле определителя для нормального векторного произведения в R ^{3 ,} за исключением того, что строка базисных векторов является последней строкой в ​​определителе, а не первой. Причина этого в том, чтобы гарантировать, что упорядоченные векторы ( v ₁ , ..., v _{n −1} , Λ^{н –1}
_я=0v _i ) имеют положительную ориентацию относительно ( e ₁ , ..., e _n ). Если n нечетно, эта модификация оставляет значение неизменным, поэтому это соглашение согласуется с обычным определением бинарного произведения. Однако в случае, когда n четно, различие должно быть сохранено. Эта -арная форма обладает многими из тех же свойств, что и векторное перекрестное произведение: она является знакопеременной и линейной по своим аргументам, она перпендикулярна каждому аргументу, а ее величина дает гиперобъем области, ограниченной аргументами. И так же, как векторное перекрестное произведение, ее можно определить независимым от координат способом как двойственную по Ходжу к клиновому произведению аргументов. Более того, произведение удовлетворяет тождеству Филиппова, ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle [v_{1},\ldots ,v_{n}]:=\bigwedge _{i=0}^{n}v_{i}}$

${\displaystyle [[x_{1},\ldots ,x_{n}],y_{2},\ldots ,y_{n}]]=\sum _{i=1}^{n}[x_{1},\ldots ,x_{i-1},[x_{i},y_{2},\ldots ,y_{n}],x_{i+1},\ldots ,x_{n}],}$

и, таким образом, он наделяет R ⁿ⁺¹ структурой n-линейной алгебры (см. предложение 1 из ^[23] ).

История

В 1773 году Жозеф-Луи Лагранж использовал компонентную форму как скалярного, так и векторного произведения для изучения тетраэдра в трех измерениях. ^{[24] [примечание 3]}

В 1843 году Уильям Роуэн Гамильтон ввел кватернионное произведение, а вместе с ним и термины вектор и скаляр . Если даны два кватерниона [0, u ] и [0, v ] , где u и v — векторы в R ³ , их кватернионное произведение можно суммировать как [− u ⋅ v , u × v ] . Джеймс Клерк Максвелл использовал кватернионные инструменты Гамильтона для разработки своих знаменитых уравнений электромагнетизма , и по этой и другим причинам кватернионы некоторое время были неотъемлемой частью физического образования.

В 1844 году Герман Грассман опубликовал геометрическую алгебру, не привязанную к размерности два или три. Грассман разработал несколько продуктов, включая векторное произведение, представленное тогда как [uv] . ^[25] ( См. также: внешняя алгебра . )

В 1853 году Огюстен-Луи Коши , современник Грассмана, опубликовал статью об алгебраических ключах, которые использовались для решения уравнений и имели те же свойства умножения, что и векторное произведение. ^{[26] [27]}

В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд , известный как предшественник алгебры Клиффорда, названной в его честь, опубликовал Elements of Dynamic , в которой засвидетельствован термин векторное произведение . В книге это произведение двух векторов определяется как имеющее величину, равную площади параллелограмма , двумя сторонами которого они являются, и направление, перпендикулярное их плоскости. ^[28]

В записях лекций 1881 года Гиббс представил перекрестное произведение как и назвал его косым произведением . ^{[29] [30]} В 1901 году ученик Гиббса Эдвин Бидвелл Уилсон отредактировал и расширил эти заметки лекций в учебнике Векторный анализ . Уилсон сохранил термин косое произведение , но заметил, что альтернативные термины перекрестное произведение ^{[примечание 4]} и векторное произведение встречаются чаще. ^[31] ${\displaystyle u\times v}$

В 1908 году Чезаре Бурали-Форти и Роберто Марколонго ввели обозначение векторного произведения u ∧ v . ^[25] Оно используется во Франции и других регионах до сих пор, поскольку этот символ уже используется для обозначения умножения и декартова произведения . ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle \times }$

Смотрите также

• Декартово произведение – произведение двух множеств
• Геометрическая алгебра: Вращающиеся системы
• Множественные перекрестные произведения – произведения, включающие более трех векторов.
• Умножение векторов
• Четверной продукт
• × (символ)

Примечания

1. Здесь «формальная» означает, что эта запись имеет форму определителя, но не строго следует определению; это мнемоника, используемая для запоминания разложения векторного произведения.
2. Под формой объема понимается функция, которая принимает n векторов и выдает скаляр, объем параллелоэдра , определяемый векторами: Это n -арная полилинейная кососимметричная форма. При наличии базиса, такого как на это задается определителем, но в абстрактном векторном пространстве это добавленная структура. В терминах G -структур форма объема является -структурой. ${\displaystyle V\times \cdots \times V\to \mathbf {R} .}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n},}$ ${\displaystyle SL}$
3. В современной нотации Лагранж определяет , , и . Таким образом, современная соответствует трем переменным в нотации Лагранжа. ${\displaystyle \mathbf {\xi } =\mathbf {y} \times \mathbf {z} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\mathbf {z} \times \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\mathbf {x} \times {\boldsymbol {y}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle (x,x',x'')}$
4. поскольку A × B читается как « A крест B »

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Cross Product". Wolfram MathWorld . Получено 2020-09-06 .
2. "Перекрестное произведение". www.mathsisfun.com . Получено 2020-09-06 .
3. Massey, William S. (декабрь 1983 г.). «Перекрестные произведения векторов в многомерных евклидовых пространствах» (PDF) . The American Mathematical Monthly . 90 (10): 697–701. doi :10.2307/2323537. JSTOR  2323537. S2CID  43318100. Архивировано из оригинала (PDF) 2021-02-26. Если требуется только три основных свойства перекрестного произведения ... оказывается, что перекрестное произведение векторов существует только в 3-мерном и 7-мерном евклидовом пространстве.
4. Арфкен, Джордж Б. Математические методы для физиков (4-е изд.). Elsevier.
5. Джеффрис, Х.; Джеффрис, Б.С. (1999). Методы математической физики . Cambridge University Press. OCLC  41158050.
6. Ачесон, DJ (1990). Элементарная гидродинамика . Oxford University Press. ISBN 0198596790.
7. Хауисон, Сэм (2005). Практическая прикладная математика . Cambridge University Press. ISBN 0521842743.
8. Уилсон 1901, стр. 60–61.
9. Деннис Г. Зилл; Майкл Р. Каллен (2006). "Определение 7.4: Перекрестное произведение двух векторов". Advanced engineering mathematics (3-е изд.). Jones & Bartlett Learning. стр. 324. ISBN 0-7637-4591-X.
10. Эдвин Бидвелл Уилсон (1913). "Глава II. Прямые и косые произведения векторов". Векторный анализ . Основано на лекциях Дж. Уильяма Гиббса. Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета.Скалярное произведение называется «прямым произведением», а перекрестное произведение называется «косым произведением».
11. История векторного анализа Майкла Дж. Кроу, Математика. Калифорнийский университет в Дэвисе.
12. Г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ . Очертания Шаума. МакГроу Хилл. п. 29. ISBN 978-0-07-161545-7.
13. WS Massey (декабрь 1983 г.). «Перекрестные произведения векторов в многомерных евклидовых пространствах». The American Mathematical Monthly . 90 (10). The American Mathematical Monthly, том 90, № 10: 697–701. doi :10.2307/2323537. JSTOR  2323537.
14. Владимир А. Бойченко; Геннадий Алексеевич Леонов; Фолькер Райтманн (2005). Теория размерности обыкновенных дифференциальных уравнений. Vieweg+Teubner Verlag. п. 26. ISBN 3-519-00437-2.
15. Pertti Lounesto (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 94. ISBN 0-521-00551-5.
16. Shuangzhe Liu; Gõtz Trenkler (2008). «Адамард, Хатри-Рао, Кронекер и другие матричные продукты». Int J Information and Systems Sciences . 4 (1). Институт научных вычислений и образования: 160–177.
17. Эрик В. Вайсштейн (2003). "Тождество Бине-Коши". CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). CRC Press. стр. 228. ISBN 1-58488-347-2.
18. Lounesto, Pertti (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры . Кембридж: Cambridge University Press. С. 193. ISBN 978-0-521-00551-7.
19. Греуб, В. (1978). Полилинейная алгебра .
20. Хогбен, Л. , ред. (2007). Справочник по линейной алгебре .^{[ нужна страница ]}
21. Артур, Джон В. (2011). Понимание геометрической алгебры для электромагнитной теории. IEEE Press . стр. 49. ISBN 978-0470941638.
22. Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2003). Геометрическая алгебра для физиков. Cambridge University Press . С. 401–408. ISBN 978-0521715959.
23. Филиппов, В.Т. (1985). «n-алгебры Ли». Сибирск. Мат. Ж . 26 (6): 879–891. дои : 10.1007/BF00969110. S2CID  125051596.
24. Лагранж, Жозеф-Луи (1773). «Аналитические решения некоторых проблем треугольных пирамид». Творения. Том. 3. п. 661.
25. Cajori (1929), стр. 134.
26. Кроу (1994), стр. 83.
27. Коши, Огюстен-Луи (1900). Увр . Том. 12. с. 16.
28. Клиффорд, Уильям Кингдон (1878). «Элементы динамики, часть I». Лондон: MacMillan & Co. стр. 95.
29. Гиббс, Джозайя Уиллард (1884). Элементы векторного анализа: аранжировано для использования студентами-физиками. Нью-Хейвен: Напечатано Tuttle, Morehouse & Taylor.
30. Кроу (1994), стр. 154.
31. Уилсон (1901), стр. 61.

Библиография

• Каджори, Флориан (1929). История математических обозначений, том II. Open Court Publishing . стр. 134. ISBN 978-0-486-67766-8.
• Кроу, Майкл Дж. (1994). История векторного анализа . Довер. ISBN 0-486-67910-1.
• EA Milne (1948) Векторная механика , Глава 2: Векторные произведения, стр. 11–31, Лондон: Methuen Publishing .
• Уилсон, Эдвин Бидвелл (1901). Векторный анализ: учебник для студентов-математиков и физиков, основанный на лекциях Дж. Уилларда Гиббса. Издательство Йельского университета .
• Т. Леви-Чивита; У. Амальди (1949). Lezioni di meccanica razionale (на итальянском языке). Болонья: редактор Заничелли.

Внешние ссылки

• «Перекрестное произведение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Быстрый геометрический вывод и интерпретация перекрестных произведений
• Интерактивный учебник, созданный в Сиракузском университете (требуется Java )
• W. Kahan (2007). Перекрестные произведения и вращения в евклидовом 2- и 3-пространстве. Калифорнийский университет в Беркли (PDF).
• Векторный продукт, Mathcentre (Великобритания), 2009