История теории групп , математической области, изучающей группы в их различных формах, развивалась в различных параллельных потоках. Существует три исторических корня теории групп : теория алгебраических уравнений , теория чисел и геометрия . [1] [2] [3] Жозеф Луи Лагранж , Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа были ранними исследователями в области теории групп.
Самое раннее исследование групп как таковых, вероятно, восходит к работам Лагранжа конца XVIII века. Однако эта работа была несколько изолированной, и публикации 1846 года Огюстена Луи Коши и Галуа чаще называют началом теории групп. Теория не развивалась в вакууме, и поэтому здесь развиваются три важных направления ее предыстории.
Одним из основополагающих корней теории групп был поиск решений полиномиальных уравнений степени выше 4.
Ранний источник встречается в задаче формирования уравнения степени m, имеющего в качестве корней m корней данного уравнения степени . Для простых случаев задача восходит к Иоганну ван Ваверену Худде (1659). [4] Николас Сондерсон (1740) заметил, что определение квадратичных множителей биквадратного выражения обязательно приводит к уравнению секстики, [5] а Томас Ле Сёр (1703–1770) (1748) [6] [7] и Эдвард Уоринг (1762–1782) еще больше развили эту идею. Уоринг доказал фундаментальную теорему о симметричных многочленах и специально рассмотрел связь между корнями уравнения четвертой степени и его резольвентой кубической. [8] [3] [9]
Целью Лагранжа (1770, 1771) было понять, почему уравнения третьей и четвертой степени допускают формулы для решений, а ключевым объектом была группа перестановок корней. На этом была построена теория подстановок. [10] Он обнаружил, что корни всех резольвент Лагранжа ( résolvantes, réduites ), которые он исследовал, являются рациональными функциями корней соответствующих уравнений. Чтобы изучить свойства этих функций, он изобрел Calcul des Combinaisons . [11] Современная работа Александра-Теофиля Вандермонда (1770) разработала теорию симметричных функций и решений циклотомических многочленов . [3] [12] Леопольд Кронекер был процитирован, сказав, что новый бум в алгебре начался с первой статьи Вандермонда. [13] [14] Аналогично Коши отдал должное Лагранжу и Вандермонду за изучение симметричных функций и перестановок переменных. [15] [14] [ нужен лучший источник ]
Паоло Руффини (1799) попытался доказать невозможность решения уравнений пятой степени и более высоких уравнений. [16] Руффини был первым человеком, который исследовал идеи в теории групп перестановок , такие как порядок элемента группы, сопряженность и разложение цикла элементов групп перестановок. Руффини различал то, что сейчас называется нетранзитивными и транзитивными , а также импримитивными и примитивными группами, и (1801) использовал группу уравнения под названием l'assieme delle permutazioni . Он также опубликовал письмо Пьетро Аббати к себе, в котором идея группы занимает видное место. [17] [3] Однако он никогда не формализовал концепцию группы или даже группы перестановок.
Эварист Галуа почитается как первый математик, связавший теорию групп и теорию поля с теорией, которая сейчас называется теорией Галуа . [3] Галуа также внес вклад в теорию модулярных уравнений и в теорию эллиптических функций . [18] [19] Его первая публикация по теории групп была сделана в возрасте восемнадцати лет (1829), но его вклад привлек мало внимания до посмертной публикации его сборника статей в 1846 году (Liouville, Vol. XI). Он впервые рассмотрел то, что сейчас называется свойством замкнутости группы перестановок, которое он выразил как
если в такой группе имеются замены S и T, то имеется замена ST.
Галуа обнаружил, что если — n корней уравнения, то всегда существует группа перестановок r, такая, что
Говоря современным языком, разрешимость группы Галуа, присоединенной к уравнению, определяет разрешимость уравнения с радикалами.
Галуа был первым, кто использовал слова группа ( groupe на французском) и примитивный в их современном значении. Он не использовал примитивную группу , а назвал уравнение примитивным, уравнением, группа Галуа которого примитивна . Он открыл понятие нормальных подгрупп и обнаружил, что разрешимая примитивная группа может быть отождествлена с подгруппой аффинной группы аффинного пространства над конечным полем простого порядка. [20]
Группы, подобные группам Галуа, (сегодня) называются группами перестановок . Теория групп перестановок получила дальнейшее далеко идущее развитие в руках Огюстена Коши и Камиля Жордана , как за счет введения новых понятий, так и, в первую очередь, большого количества результатов о специальных классах групп перестановок и даже некоторых общих теорем. Среди прочего, Жордан определил понятие изоморфизма , хотя и ограниченное контекстом групп перестановок. Также именно Жордан ввел термин группа в широкое употребление.
Абстрактное понятие (конечной) группы впервые появилось в статье Артура Кэли 1854 года «О теории групп, как зависящих от символического уравнения» . [ 21] [22] Кэли предположил, что любая конечная группа изоморфна подгруппе группы перестановок, результат, известный сегодня как теорема Кэли . В последующие годы Кэли систематически исследовал бесконечные группы и алгебраические свойства матриц , такие как ассоциативность умножения, существование обратных и характеристические многочлены .
Во-вторых, систематическое использование групп в геометрии, в основном под видом групп симметрии , было инициировано программой Феликса Клейна в Эрлангене в 1872 году . [23] [24] Изучение того, что сейчас называется группами Ли , началось систематически в 1884 году с Софуса Ли , за которым последовали работы Вильгельма Киллинга , Эдуарда Штуди , Иссая Шура , Людвига Маурера и Эли Картана . Теория прерывных ( дискретных) групп была создана Клейном, Ли, Анри Пуанкаре и Шарлем Эмилем Пикаром в связи, в частности, с модулярными формами и монодромией .
Третьим корнем теории групп была теория чисел . Леонард Эйлер рассматривал алгебраические операции над числами по модулю целого числа — модулярную арифметику — в своем обобщении малой теоремы Ферма . Эти исследования были значительно продвинуты Карлом Фридрихом Гауссом , который рассмотрел структуру мультипликативных групп вычетов по модулю n и установил многие свойства циклических и более общих абелевых групп , которые возникают таким образом. В своих исследованиях композиции бинарных квадратичных форм Гаусс явно сформулировал ассоциативный закон для композиции форм. В 1870 году Леопольд Кронекер дал определение абелевой группы в контексте групп идеальных классов числового поля, обобщив работу Гаусса. [25] Попытки Эрнста Куммера доказать Великую теорему Ферма привели к работе, в которой были введены группы, описывающие факторизацию на простые числа . [26] В 1882 году Генрих М. Вебер осознал связь между группами перестановок и абелевыми группами и дал определение, которое включало свойство двустороннего сокращения , но опускало существование обратного элемента , что было достаточным в его контексте (конечные группы). [27]
Теория групп как все более независимый предмет была популяризирована Серре , который посвятил раздел IV своей алгебры теории; Камиллом Жорданом , чья «Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» (1870) является классикой; и Эженом Нетто (1882), чья «Теория подстановок и ее приложения к алгебре» была переведена на английский язык Коулом (1892). Другими теоретиками групп 19-го века были Жозеф Луи Франсуа Бертран , Шарль Эрмит , Фердинанд Георг Фробениус , Леопольд Кронекер и Эмиль Матье ; [3] а также Уильям Бернсайд , Леонард Юджин Диксон , Отто Гёльдер , Э. Х. Мур , Людвиг Силов и Генрих Мартин Вебер .
Схождение трех вышеупомянутых источников в единую теорию началось с «Трактата» Жордана и Вальтера фон Дейка (1882), который впервые определил группу в полном современном смысле. Учебники Вебера и Бернсайда помогли создать теорию групп как дисциплину. [28] Формулировка абстрактной группы не применялась к большой части теории групп 19-го века, и альтернативный формализм был дан в терминах алгебр Ли .
Группы в период 1870-1900 годов были описаны как непрерывные группы Ли, разрывные группы, конечные группы подстановок корней (постепенно называемые перестановками) и конечные группы линейных подстановок (обычно конечных полей). В период 1880-1920 годов группы, описываемые представлениями, обрели собственную жизнь благодаря работам Кэли, Вальтера фон Дейка , Макса Дена , Якоба Нильсена , Отто Шрайера и продолжились в период 1920-1940 годов с работами Г. С. М. Коксетера , Вильгельма Магнуса и других, чтобы сформировать область комбинаторной теории групп .
Конечные группы в период 1870-1900 годов увидели такие яркие моменты, как теоремы Силова , классификация Гёльдера групп порядка без квадратов и ранние начинания теории характеров Фробениуса. Уже к 1860 году группы автоморфизмов конечных проективных плоскостей были изучены (Матье), а в 1870-х годах групповое видение геометрии Клейном было реализовано в его программе Эрлангена . Группы автоморфизмов проективных пространств более высокой размерности были изучены Жорданом в его Traité и включали композиционные ряды для большинства так называемых классических групп , хотя он избегал непростых полей и опускал унитарные группы . Исследование было продолжено Муром и Бернсайдом, а в 1901 году Леонард Диксон превратил его в полноценный учебник. Джордан подчеркнул роль простых групп , а Гёльдер разработал критерии непростоты, пока не смог классифицировать простые группы порядка меньше 200. Исследование было продолжено Фрэнком Нельсоном Коулом (до 660) и Бернсайдом (до 1092), и, наконец, в раннем «проекте тысячелетия» до 2001 года Миллером и Лингом в 1900 году.
Непрерывные группы в период 1870-1900 гг. развивались стремительно. Были опубликованы основополагающие работы Киллинга и Ли, теорема Гильберта в теории инвариантов 1882 г. и т. д.
В период 1900–1940 годов бесконечные «разрывные» (теперь называемые дискретными группами ) группы обрели собственную жизнь. Знаменитая проблема Бернсайда положила начало изучению произвольных подгрупп конечномерных линейных групп над произвольными полями и, действительно, произвольными группами. Фундаментальные группы и группы отражений способствовали разработкам Дж. А. Тодда и Коксетера, таким как алгоритм Тодда–Коксетера в комбинаторной теории групп. Алгебраические группы , определяемые как решения полиномиальных уравнений (а не действующие на них, как в предыдущем столетии), в значительной степени выиграли от непрерывной теории Ли. Бернард Нойман и Ханна Нойман провели свое исследование многообразий групп , групп, определяемых уравнениями теории групп, а не полиномиальными уравнениями.
Непрерывные группы также имели взрывной рост в период 1900-1940 годов. Топологические группы начали изучаться как таковые. Было много великих достижений в области непрерывных групп: классификация Картаном полупростых алгебр Ли, теория Германа Вейля представлений компактных групп, работа Альфреда Хаара в локально компактном случае.
Конечные группы в 1900-1940 годах значительно выросли. Этот период стал свидетелем рождения теории характеров Фробениусом, Бернсайдом и Шуром, которая помогла ответить на многие вопросы 19 века в группах перестановок и открыла путь к совершенно новым методам в абстрактных конечных группах. В этот период появились работы Филипа Холла : по обобщению теоремы Силова на произвольные множества простых чисел, что произвело революцию в изучении конечных разрешимых групп, и по структуре коммутатора степеней p-групп , включая идеи регулярных p-групп и изоклинизма групп , что произвело революцию в изучении p-групп и стало первым крупным результатом в этой области со времен Силова. В этот период Ганс Цассенхауз получил знаменитую теорему Шура-Цассенхауза о существовании дополнений к обобщению Холла подгрупп Силова, а также его прогресс в группах Фробениуса и почти классификацию групп Цассенхауза .
Впоследствии глубина, широта и влияние теории групп росли. Область начала разветвляться на такие области, как алгебраические группы , расширения групп и теория представлений . [29] Начиная с 1950-х годов, в результате огромных совместных усилий, теоретики групп преуспели в классификации всех конечных простых групп в 1982 году. Завершение и упрощение доказательства классификации являются областями активных исследований. [30]
Анатолий Мальцев также внес важный вклад в теорию групп в это время; его ранние работы были в области логики в 1930-х годах, но в 1940-х годах он доказал важные свойства вложения полугрупп в группы, изучал проблему изоморфизма групповых колец, установил соответствие Мальчева для полициклических групп и в 1960-х годах вернулся к логике, доказав, что различные теории в рамках изучения групп неразрешимы. Ранее Альфред Тарский доказал неразрешимость элементарной теории групп . [31]
Период 1960–1980 годов был периодом бурного развития многих направлений теории групп.
В конечных группах было много независимых вех. Одна из них — открытие 22 новых спорадических групп и завершение первого поколения классификации конечных простых групп . Одна из них — влиятельная идея подгруппы Картера и последующее создание теории формаций и теории классов групп. Одна из них — замечательные расширения теории Клиффорда Грином на неразложимые модули групповых алгебр. В эту эпоху область вычислительной теории групп стала признанной областью исследований, отчасти благодаря ее огромному успеху во время классификации первого поколения.
В дискретных группах геометрические методы Жака Титса и доступность сюръективности отображения Сержа Ланга позволили совершить революцию в алгебраических группах. Проблема Бернсайда достигла огромного прогресса, с лучшими контрпримерами, построенными в 1960-х и начале 1980-х годов, но последние штрихи «для всех, кроме конечного числа» не были завершены до 1990-х годов. Работа над проблемой Бернсайда повысила интерес к алгебрам Ли в показателе p , и методы Мишеля Лазара начали оказывать более широкое влияние, особенно в изучении p -групп.
Непрерывные группы значительно расширились, и p -адические аналитические вопросы стали важными. За это время было сделано много предположений, включая предположения о коклассах.
Последние двадцать лет XX века ознаменовались успехами более чем ста лет исследований в области теории групп.
В конечных группах результаты постклассификации включали теорему О'Нана–Скотта , классификацию Ашбахера, классификацию кратно транзитивных конечных групп, определение максимальных подгрупп простых групп и соответствующие классификации примитивных групп . В конечной геометрии и комбинаторике теперь можно было решить многие проблемы. Модульная теория представлений вступила в новую эру, поскольку методы классификации были аксиоматизированы, включая системы слияния, теорию пар Луиса Пуига и нильпотентные блоки. Теория конечных разрешимых групп также была преобразована влиятельной книгой Клауса Дёрка и Тревора Хоукса, которая представила теорию проекторов и инжекторов более широкой аудитории.
В дискретных группах несколько областей геометрии объединились, чтобы создать захватывающие новые области. Работа над теорией узлов , орбифолдами , гиперболическими многообразиями и группами, действующими на деревьях ( теория Басса–Серра ), значительно оживила изучение гиперболических групп , автоматических групп . Такие вопросы, как гипотеза геометризации Уильяма Терстона 1982 года , вдохновили на создание совершенно новых методов в геометрической теории групп и низкоразмерной топологии , а также были вовлечены в решение одной из проблем премии тысячелетия — гипотезы Пуанкаре .
Непрерывные группы увидели решение проблемы прослушивания формы барабана в 1992 году с использованием групп симметрии оператора Лапласа . Непрерывные методы были применены ко многим аспектам теории групп с использованием функциональных пространств и квантовых групп . Многие проблемы 18-го и 19-го веков теперь пересматриваются в этой более общей постановке, и на многие вопросы в теории представлений групп получены ответы.
Теория групп продолжает оставаться интенсивно изучаемым предметом. Ее важность для современной математики в целом можно увидеть из премии Абеля 2008 года , присужденной Джону Григгсу Томпсону и Жаку Титсу за их вклад в теорию групп.
Mit Vandermonde's im Jahre 1770 der Pariser Akademie vorgelegten Abhand-ung über die Auflösung derGleichungen Beginnt – so Hat sich jüngst Herr Kronecker in einer Vorlesung geäussert – der neue Aufschwung der Algebra [С трактатом Вандермонда о решении уравнений, представленным Парижской академии в 1770 г. 1770 год – как недавно сказал в лекции Кронекер – начинается новый бум в алгебре]
Коши совершенно ясно утверждает, что Вандермонд имел приоритет над Лагранжем в этой замечательной идее, которая в конечном итоге привела к изучению теории групп.
