Внутренний автоморфизм

Автоморфизм группы, кольца или алгебры, заданный действием сопряжения одного из ее элементов.

В абстрактной алгебре внутренний автоморфизм — это автоморфизм группы , кольца или алгебры, заданный действием сопряжения фиксированного элемента, называемого сопряженным элементом . Их можно реализовать с помощью простых операций внутри самой группы, отсюда и прилагательное «внутренний». Эти внутренние автоморфизмы образуют подгруппу группы автоморфизмов, а фактор группы автоморфизмов по этой подгруппе определяется как внешняя группа автоморфизмов .

Определение

Если G — группа, а g — элемент G (альтернативно, если G — кольцо, а g — единица ), то функция

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{g}\colon G&\to G\\\varphi _{g}(x)&:=g^{-1}xg\end{aligned}}}$

называется (правым) сопряжением по g (см. также класс сопряжения ). Эта функция является эндоморфизмом G : для всех ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in G,}$

${\displaystyle \varphi _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=g^{-1}x_{1}\left(gg^{-1}\right)x_{2}g=\left(g^{-1}x_{1}g\right)\left(g^{-1}x_{2}g\right)=\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}),}$

где второе равенство задается вставкой тождества между и Кроме того, оно имеет левую и правую инверсию , а именно Таким образом, является биективным и, следовательно, является изоморфизмом G с самим собой, т. е. автоморфизмом. Внутренний автоморфизм — это любой автоморфизм, возникающий в результате сопряжения. ^[1] ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}.}$ ${\displaystyle \varphi _{g^{-1}}.}$ ${\displaystyle \varphi _{g}}$

При обсуждении правильного сопряжения это выражение часто обозначается экспоненциально. Это обозначение используется , потому что композиция спряжений удовлетворяет тождеству: для всех Это показывает, что правильное сопряжение дает правильное действие G на себя. ${\displaystyle g^{-1}xg}$ ${\displaystyle x^{g}.}$ ${\displaystyle \left(x^{g_{1}}\right)^{g_{2}}=x^{g_{1}g_{2}}}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G.}$

Группы внутренних и внешних автоморфизмов

Композиция двух внутренних автоморфизмов снова является внутренним автоморфизмом , и с помощью этой операции совокупность всех внутренних автоморфизмов G представляет собой группу, группа внутренних автоморфизмов G обозначается Inn( G ) .

Inn( G ) — нормальная подгруппа полной группы автоморфизмов Aut ( G ) группы G. Внешняя группа автоморфизмов Out ( G ) является факторгруппой

${\displaystyle \operatorname {Out} (G)=\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G).}$

Группа внешних автоморфизмов в некотором смысле измеряет, сколько автоморфизмов группы G не являются внутренними. Каждый невнутренний автоморфизм дает нетривиальный элемент Out( G ) , но разные невнутренние автоморфизмы могут давать один и тот же элемент Out( G ) .

Сказать, что сопряжение x с a оставляет x неизменным, эквивалентно утверждению, что a и x коммутируют:

${\displaystyle a^{-1}xa=x\iff xa=ax.}$

Поэтому существование и количество внутренних автоморфизмов, не являющихся тождественным отображением, является своего рода мерой несоблюдения коммутативного закона в группе (или кольце).

Автоморфизм группы G является внутренним тогда и только тогда, когда он распространяется на любую группу, содержащую G . ^[2]

Связывая элемент a ∈ G с внутренним автоморфизмом f ( x ) = x ^a в Inn( G ) , как указано выше, можно получить изоморфизм между факторгруппой G /Z( G ) (где Z( G ) — центр G ) и группа внутренних автоморфизмов:

${\displaystyle G\,/\,\mathrm {Z} (G)\cong \operatorname {Inn} (G).}$

Это является следствием первой теоремы об изоморфизме , поскольку Z( G ) — это именно набор тех элементов G , которые задают тождественное отображение как соответствующий внутренний автоморфизм (сопряжение ничего не меняет).

Невнутренние автоморфизмы конечныхп-группы

Результат Вольфганга Гашютца гласит, что если G — конечная неабелева p- группа , то G имеет автоморфизм p -степенного порядка, который не является внутренним.

Вопрос о том, имеет ли каждая неабелева p -группа G автоморфизм порядка p , остается открытым . Последний вопрос имеет положительный ответ, если G имеет одно из следующих условий:

1. G нильпотент класса 2
2. G — регулярная p -группа
3. G /Z( G ) — мощная p -группа
4. Централизатор в G , C _G , центра Z подгруппы Фраттини Φ группы G , C G _∘ Z ∘ Φ ( G ) , не равен Φ( G )

Типы групп

Группа внутренних автоморфизмов группы G Inn( G ) тривиальна (т. е. состоит только из единичного элемента ) тогда и только тогда , когда G абелева .

Группа Inn( G ) циклична только тогда , когда она тривиальна.

На противоположном конце спектра внутренние автоморфизмы могут исчерпать всю группу автоморфизмов; Группа, все автоморфизмы которой внутренние и центр тривиален, называется полной . Это относится ко всем симметричным группам на n элементах, когда n не равно 2 или 6. Когда n = 6 , симметричная группа имеет уникальный нетривиальный класс невнутренних автоморфизмов, а когда n = 2 , симметричная группа группа, несмотря на отсутствие невнутренних автоморфизмов, является абелевой, что дает нетривиальный центр, что лишает ее полноты.

Если группа внутренних автоморфизмов совершенной группы G проста, то G называется квазипростой .

Случай алгебры Ли

Автоморфизм алгебры Ли 𝔊 называется внутренним автоморфизмом, если он имеет вид Ad _g , где Ad — присоединенное отображение , а g — элемент группы Ли , алгеброй Ли которой является 𝔊 . Понятие внутреннего автоморфизма алгебр Ли совместимо с понятием групп в том смысле, что внутренний автоморфизм группы Ли индуцирует единственный внутренний автоморфизм соответствующей алгебры Ли.

Расширение

Если G — группа единиц кольца A , то внутренний автоморфизм на G может быть расширен до отображения на проективной прямой над A с помощью группы единиц кольца матриц M ₂ ( A ) . В частности, таким образом можно расширить внутренние автоморфизмы классических групп .

Рекомендации

1. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 45. ИСБН 978-0-4714-5234-8. ОСЛК  248917264.
2. Шупп, Пол Э. (1987), «Характеристика внутренних автоморфизмов» (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society , 101 (2), Американское математическое общество: 226–228, doi : 10.2307/2045986 , JSTOR  2045986, МР  0902532

дальнейшее чтение

• Абдоллахи, А. (2010), «Мощные p -группы имеют невнутренние автоморфизмы порядка p и некоторые когомологии», J. Algebra , 323 (3): 779–789, arXiv : 0901.3182 , doi : 10.1016/j.jalgebra .2009.10.013, МР  2574864
• Абдоллахи, А. (2007), «Конечные p -группы класса 2 имеют невнутренние автоморфизмы порядка p », J. Algebra , 312 (2): 876–879, arXiv : math/0608581 , doi :10.1016/j.jalgebra .2006.08.036, МР  2333188
• Дьяконеску, М.; Зильберберг, Г. (2002), «Невнутренние автоморфизмы порядка p конечных p -групп», J. Algebra , 250 : 283–287, doi : 10.1006/jabr.2001.9093 , MR  1898386
• Гашюц, В. (1966), «Nichtabelsche p -Gruppen besitzen äussere p -Automorphismen», J. Algebra , 4 : 1–2, doi : 10.1016/0021-8693(66)90045-7 , MR  0193144
• Либек, Х. (1965), «Внешние автоморфизмы в нильпотентных p -группах класса 2 », J. London Math. Соц. , 40 : 268–275, doi :10.1112/jlms/s1-40.1.268, MR  0173708
• Ремесленников, В.Н. (2001) [1994], «Внутренний автоморфизм», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Внутренний автоморфизм». Математический мир .