Периметр

Тропа, окружающая территорию

Периметр — это расстояние вокруг двумерной фигуры, мера расстояния вокруг чего-либо; длина границы.

Периметр — это замкнутый контур , который охватывает, окружает или очерчивает либо двумерную фигуру , либо одномерную длину . Периметр круга или эллипса называется его окружностью .

Расчет периметра имеет несколько практических применений. Расчетный периметр — это длина забора, необходимого для окружения двора или сада. Периметр колеса/круга (его окружность) описывает, как далеко он проедет за один оборот . Аналогично, количество веревки, намотанной на катушку, связано с периметром катушки; если бы длина веревки была точной, она была бы равна периметру.

Формулы

кардиоида (рисунок с ) ${\displaystyle \gamma :[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}}$
${\displaystyle a=1}$
${\displaystyle x(t)=2a\cos(t)(1+\cos(t))}$
${\displaystyle y(t)=2a\sin(t)(1+\cos(t))}$
${\displaystyle L=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t=16a}$

Периметр — это расстояние вокруг фигуры. Периметры для более общих фигур можно вычислить, как любой путь , с , где — длина пути, а — бесконечно малый элемент линии. Оба эти элемента должны быть заменены алгебраическими формами для практического вычисления. Если периметр задан как замкнутая кусочно-гладкая плоская кривая с ${\textstyle \int _{0}^{L}\mathrm {d} s}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}$

то его длину можно вычислить следующим образом: ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t}$

Обобщенное понятие периметра, включающее гиперповерхности, ограничивающие объемы в -мерных евклидовых пространствах , описывается теорией множеств Каччиопполи . ${\displaystyle n}$

Полигоны

Периметр прямоугольника.

Многоугольники имеют основополагающее значение для определения периметров не только потому, что они являются простейшими формами, но и потому, что периметры многих форм вычисляются путем их аппроксимации последовательностями многоугольников, стремящихся к этим формам. Первым математиком, который, как известно, использовал этот тип рассуждений, был Архимед , который аппроксимировал периметр круга, окружив его правильными многоугольниками . ^[1]

Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон (рёбер) . В частности, периметр прямоугольника ширины и длины равен ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle 2w+2\ell .}$

Равносторонний многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину (например, ромб — это 4-сторонний равносторонний многоугольник). Чтобы вычислить периметр равностороннего многоугольника, нужно умножить общую длину сторон на количество сторон.

Правильный многоугольник можно охарактеризовать числом его сторон и его описанным радиусом , то есть постоянным расстоянием между его центром и каждой из его вершин . Длину его сторон можно вычислить с помощью тригонометрии . Если R — радиус правильного многоугольника, а n — число его сторон, то его периметр равен

${\displaystyle 2nR\sin \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right).}$

Разделитель треугольника — это чевиан (отрезок от вершины до противоположной стороны), который делит периметр на две равные длины, эта общая длина называется полупериметром треугольника . Все три разделителя треугольника пересекаются в точке Нагеля треугольника.

Скалывающая часть треугольника — это отрезок от середины стороны треугольника до противоположной стороны таким образом, что периметр делится на две равные части. Все три скалывающие части треугольника пересекаются в центре Шпикера треугольника .

Длина окружности

Если диаметр круга равен 1, то его длина окружности равна π .

Периметр круга , часто называемый окружностью, пропорционален его диаметру и радиусу . То есть, существует постоянное число pi , π ( греч. p для периметра), такое, что если P — периметр круга, а D — его диаметр, то,

${\displaystyle P=\pi \cdot {D}.\!}$

В терминах радиуса r окружности эта формула принимает вид:

${\displaystyle P=2\pi \cdot r.}$

Для вычисления периметра круга достаточно знать его радиус или диаметр и число π . Проблема в том, что число π не является рациональным (его нельзя выразить как частное двух целых чисел ), и не является алгебраическим (оно не является корнем полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами). Поэтому получение точного приближения числа π важно при вычислении. Вычисление цифр числа π актуально во многих областях, таких как математический анализ , алгоритмика и компьютерные науки .

Восприятие периметра

Периметр и площадь — две основные меры геометрических фигур. Распространенной ошибкой является их путаница, а также убеждение, что чем больше одна из них, тем больше должна быть и другая. Действительно, распространенным наблюдением является то, что увеличение (или уменьшение) фигуры приводит к увеличению (или уменьшению) ее площади, а также ее периметра. Например, если поле изображено на карте масштабом 1/10 000, фактический периметр поля можно вычислить, умножив периметр рисунка на 10 000. Реальная площадь составляет 10 000 ² раза больше площади фигуры на карте. Тем не менее, нет никакой связи между площадью и периметром обычной фигуры. Например, периметр прямоугольника шириной 0,001 и длиной 1000 немного больше 2000, в то время как периметр прямоугольника шириной 0,5 и длиной 2 равен 5. Обе площади равны 1.

Прокл (V в.) сообщал, что греческие крестьяне «справедливо» разделяли поля, полагаясь на их периметры. ^[2] Однако урожайность поля пропорциональна его площади, а не периметру, поэтому многие наивные крестьяне могли получить поля с длинными периметрами, но маленькими площадями (и, соответственно, с небольшим урожаем).

Если убрать часть фигуры, ее площадь уменьшится, но периметр может остаться прежним. Выпуклую оболочку фигуры можно представить как форму, образованную натянутой на нее резинкой. ^[3] На анимированной картинке слева все фигуры имеют одинаковую выпуклую оболочку; большой, первый шестиугольник .

Изопериметрия

Изопериметрическая задача заключается в определении фигуры с наибольшей площадью среди фигур с заданным периметром. Решение интуитивно понятно: это круг . В частности, это можно использовать для объяснения того, почему капли жира на поверхности бульона имеют круглую форму.

Эта задача может показаться простой, но ее математическое доказательство требует некоторых сложных теорем. Изопериметрическая задача иногда упрощается путем ограничения типа используемых фигур. В частности, чтобы найти четырехугольник , или треугольник, или другую конкретную фигуру с наибольшей площадью среди фигур той же формы, имеющих заданный периметр. Решением четырехугольной изопериметрической задачи является квадрат , а решением задачи треугольника является равносторонний треугольник . В общем случае многоугольник с n сторонами, имеющий наибольшую площадь и заданный периметр, является правильным многоугольником , который ближе к кругу, чем любой неправильный многоугольник с тем же числом сторон.

Этимология

Слово происходит от греческого περίμετρος периметрос , от περί пери «вокруг» и μέτρον метрон «мера».

Смотрите также

• Длина дуги
• Область
• Парадокс береговой линии
• Обхват (геометрия)
• Теорема Пифагора
• Площадь поверхности
• Объем
• Смоченный периметр

Ссылки

1. Варберг, Дейл Э.; Перселл, Эдвин Дж.; Ригдон, Стивен Э. (2007). Исчисление (9-е изд.). Пирсон Прентис Холл . п. 215–216. ISBN 978-0131469686.
2. Хит, Т. (1981). История греческой математики . Том 2. Dover Publications . стр. 206. ISBN 0-486-24074-6.
3. де Берг, М.; ван Кревельд, М .; Овермарс, Марк ; Шварцкопф, О. (2008). Вычислительная геометрия: алгоритмы и приложения (3-е изд.). Springer. стр. 3.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Периметр». MathWorld .