Евклидова плоскость

Геометрическая модель плоской проекции физической вселенной

Двумерная декартова система координат

В математике евклидова плоскость — это евклидово пространство размерности два , обозначаемое или . Это геометрическое пространство , в котором для определения положения каждой точки требуются два действительных числа . Это аффинное пространство , которое включает в себя, в частности, концепцию параллельных прямых . Оно также имеет метрические свойства, индуцированные расстоянием , что позволяет определять окружности и измерение углов . ${\displaystyle {\textbf {E}}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$

Евклидова плоскость с выбранной декартовой системой координат называется декартовой плоскостью . Множество упорядоченных пар действительных чисел ( действительная координатная плоскость ), снабженное скалярным произведением , часто называют или евклидовой плоскостью, или стандартной евклидовой плоскостью , поскольку каждая евклидова плоскость изоморфна ей. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

История

Книги I–IV и VI « Начал» Евклида посвящены двумерной геометрии, в них развиваются такие понятия, как подобие фигур, теорема Пифагора (предложение 47), равенство углов и площадей , параллельность, сумма углов треугольника и три случая, когда треугольники «равны» (имеют одинаковую площадь), а также многие другие темы.

Позже плоскость была описана в так называемой декартовой системе координат , системе координат , которая определяет каждую точку на плоскости уникальным образом с помощью пары числовых координат , которые являются знаковыми расстояниями от точки до двух фиксированных перпендикулярных направленных линий, измеренными в одной и той же единице длины . Каждая опорная линия называется координатной осью или просто осью системы, а точка, где они встречаются, является ее началом , обычно в упорядоченной паре (0, 0). Координаты также могут быть определены как положения перпендикулярных проекций точки на две оси, выраженные в виде знаковых расстояний от начала.

Идея этой системы была развита в 1637 году в трудах Декарта и независимо от него Пьера де Ферма , хотя Ферма также работал в трех измерениях и не опубликовал свое открытие. ^[1] Оба автора использовали одну ось ( абсциссу ) в своих работах, при этом длины ординат измерялись вдоль линий, не обязательно перпендикулярных этой оси. ^[2] Концепция использования пары фиксированных осей была введена позже, после того как «Геометрия » Декарта была переведена на латынь в 1649 году Франсом ван Схоотеном и его учениками. Эти комментаторы ввели несколько концепций, пытаясь прояснить идеи, содержащиеся в работе Декарта. ^[3]

Позже плоскость стали рассматривать как поле , где любые две точки можно умножать и, за исключением 0, делить. Это было известно как комплексная плоскость . Комплексную плоскость иногда называют плоскостью Аргана, потому что она используется в диаграммах Аргана. Они названы в честь Жана-Робера Аргана (1768–1822), хотя впервые были описаны датско-норвежским землемером и математиком Каспаром Весселем (1745–1818). [ ^4] Диаграммы Аргана часто используются для построения графиков положений полюсов и нулей функции на комплексной плоскости.

В геометрии

Системы координат

В математике аналитическая геометрия (также называемая декартовой геометрией) описывает каждую точку в двумерном пространстве с помощью двух координат. Даны две перпендикулярные оси координат , которые пересекаются в начале координат . Обычно они обозначаются как x и y . Относительно этих осей положение любой точки в двумерном пространстве задается упорядоченной парой действительных чисел, каждое число задает расстояние этой точки от начала координат , измеренное вдоль данной оси, которое равно расстоянию этой точки от другой оси.

Другой широко используемой системой координат является полярная система координат , которая определяет точку с точки зрения ее расстояния от начала координат и ее угла относительно правого опорного луча.

• 
  Декартова система координат
• 
  Полярная система координат

Встраивание в трехмерное пространство

Уравнение плоскости в нормальной форме

В евклидовой геометрии плоскость — это плоская двумерная поверхность , которая простирается бесконечно. Евклидовы плоскости часто возникают как подпространства трехмерного пространства . Типичным примером является одна из стен комнаты, бесконечно протяженная и предполагаемая бесконечно тонкой . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

В то время как для описания точек на плоскости достаточно пары действительных чисел , связь с точками вне плоскости требует особого рассмотрения для их встраивания в окружающее пространство . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Многогранники

В двух измерениях существует бесконечно много многогранников: многоугольников. Первые несколько правильных показаны ниже:

Выпуклый

Символ Шлефли представляет собой правильный n -угольник . ${\displaystyle \{n\}}$

Вырожденный (сферический)

Правильный одноугольник (или шестиугольник) {1} и правильный двуугольник {2} можно считать вырожденными правильными многоугольниками, которые существуют невырожденно в неевклидовых пространствах, таких как 2-сфера , 2-тор или прямой круговой цилиндр .

Невыпуклый

Существует бесконечно много невыпуклых правильных многогранников в двух измерениях, символы Шлефли которых состоят из рациональных чисел {n/m}. Они называются звездчатыми многоугольниками и имеют те же самые расположения вершин, что и выпуклые правильные многоугольники.

В общем случае для любого натурального числа n существуют n-конечные невыпуклые правильные многоугольные звезды с символами Шлефли { n / m } для всех m, таких что m < n /2 (строго говоря { n / m } = { n /( n − m )}), а m и n взаимно просты .

Круг

Гиперсфера в 2 измерениях представляет собой окружность , иногда называемую 1-сферой ( S ¹ ), поскольку она является одномерным многообразием . В евклидовой плоскости она имеет длину 2π r , а площадь ее внутренней части равна

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

где радиус. ${\displaystyle r}$

Другие формы

Существует бесконечное множество других криволинейных фигур в двух измерениях, включая, в частности, конические сечения : эллипс , параболу и гиперболу .

В линейной алгебре

Другой математический способ рассмотрения двумерного пространства можно найти в линейной алгебре , где идея независимости имеет решающее значение. Плоскость имеет два измерения, поскольку длина прямоугольника не зависит от его ширины. На техническом языке линейной алгебры плоскость является двумерной, поскольку каждая точка на плоскости может быть описана линейной комбинацией двух независимых векторов .

Скалярное произведение, угол и длина

Скалярное произведение двух векторов A = [ A ₁ , A ₂ ] и B = [ B ₁ , B ₂ ] определяется как: ^[5]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}}$

Вектор можно изобразить в виде стрелки. Его величина — это его длина, а его направление — это направление, на которое указывает стрелка. Величина вектора A обозначается как . С этой точки зрения скалярное произведение двух евклидовых векторов A и B определяется как ^[6] ${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

где θ — угол между A и B.

Скалярное произведение вектора А на самого себя равно

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},}$

что дает

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},}$

формула для евклидовой длины вектора.

В исчислении

Градиент

В прямоугольной системе координат градиент задается выражением

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} \,.}$

Линейные интегралы и двойные интегралы

Для некоторого скалярного поля f  : U ⊆ R ² → R , линейный интеграл вдоль кусочно-гладкой кривой C ⊂ U определяется как

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt,}$

где r : [a, b] → C — произвольная биективная параметризация кривой C, такая, что r ( a ) и r ( b ) задают конечные точки C и . ${\displaystyle a<b}$

Для векторного поля F  : U ⊆ R ² → R ² криволинейный интеграл вдоль кусочно-гладкой кривой C ⊂ U в направлении r определяется как

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

где · — скалярное произведение , а r : [a, b] → C — биективная параметризация кривой C, такая, что r ( a ) и r ( b ) задают конечные точки C .

Двойной интеграл относится к интегралу в области D в R ² функции и обычно записывается как : ${\displaystyle f(x,y),}$

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy.}$

Основная теорема о линейных интегралах

Основная теорема о линейных интегралах гласит, что линейный интеграл через градиентное поле можно вычислить, вычислив исходное скалярное поле в конечных точках кривой.

Пусть . Тогда ${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ,}$

где p , q — конечные точки кривой γ.

Теорема Грина

Пусть C — положительно ориентированная , кусочно-гладкая , простая замкнутая кривая на плоскости , а D — область, ограниченная C. Если L и M — функции ( x , y ), определенные на открытой области, содержащей D , и имеющие там непрерывные частные производные , то ^{[7] [8]}

${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

где путь интегрирования вдоль C — против часовой стрелки .

В топологии

В топологии плоскость характеризуется как единственное стягиваемое 2-многообразие .

Его размерность характеризуется тем, что удаление точки из плоскости оставляет пространство, которое связно, но не просто связно .

В теории графов

В теории графов планарный граф — это граф , который может быть вложен в плоскость, т. е. его можно нарисовать на плоскости таким образом, что его ребра пересекаются только в своих конечных точках. Другими словами, его можно нарисовать таким образом, что никакие ребра не пересекаются друг с другом. ^[9] Такой рисунок называется планарным графом или планарным вложением графа . Плоский граф можно определить как планарный граф с отображением из каждого узла в точку на плоскости и из каждого ребра в плоскую кривую на этой плоскости, таким образом, что крайние точки каждой кривой являются точками, отображенными из ее конечных узлов, и все кривые не пересекаются, за исключением своих крайних точек.

Смотрите также

• Геометрическое пространство
• Планиметрика

Ссылки

1. «Аналитическая геометрия». Encyclopaedia Britannica (Электронная энциклопедия). 2008.
2. Кац, Виктор Дж. (2009) [1993]. История математики (3-е изд.). Бостон: Addison-Wesley. стр. 484. ISBN 978-0-321-38700-4.
3. Бертон 2011, стр. 374
4. Мемуары Весселя были представлены Датской академии в 1797 году; статья Аргана была опубликована в 1806 году. (Уиттакер и Уотсон, 1927, стр. 9)
5. С. Липшуц; М. Липсон (2009). Линейная алгебра (Очерки Шаума) (4-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-154352-1.
6. MR Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Векторный анализ (Schaum's Outlines) (2-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
7. Математические методы для физики и техники, К.Ф. Райли, М.П. Хобсон, С.Дж. Бенс, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 
8. Векторный анализ (2-е издание), М. Р. Шпигель, С. Липшуц, Д. Спеллман, Очерки Шаума, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 
9. Трудо, Ричард Дж. (1993). Введение в теорию графов (Исправленное, дополненное переиздание. ред.). Нью-Йорк: Dover Pub. стр. 64. ISBN 978-0-486-67870-2. Получено 8 августа 2012 г. Таким образом, планарный граф, нарисованный на плоской поверхности, либо не имеет пересечений ребер, либо может быть перерисован без них.

Цитируемые работы

• Бертон, Дэвид М. (2011), История математики / Введение (7-е изд.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-338315-6