Квантовый эффект Холла

Электромагнитный эффект в физике

Квантовый эффект Холла (или целочисленный квантовый эффект Холла ) представляет собой квантованную версию эффекта Холла , который наблюдается в двумерных электронных системах, подверженных воздействию низких температур и сильных магнитных полей , в которых сопротивление Холла R _xy демонстрирует скачки, принимающие квантованные значения.

${\displaystyle R_{xy}={\frac {V_{\text{Hall}}}{I_{\text{channel}}}}={\frac {h}{e^{2}\nu }},}$

где V _Hall — напряжение Холла , I _channel — ток канала , e — элементарный заряд , а h — постоянная Планка . Делитель ν может принимать как целые числа ( ν = 1, 2, 3,... ), так и дробные ( ν = ⁠1/3⁠ , ⁠2/5⁠ , ⁠3/7⁠ , ⁠2/3⁠ , ⁠3/5⁠ , ⁠1/5⁠ , ⁠2/9⁠ , ⁠3/13⁠ , ⁠5/2⁠ , ⁠12/5⁠ ,... ) значений. Здесь ν приблизительно, но не точно, равен фактору заполнения уровней Ландау . Квантовый эффект Холла называется целочисленным или дробным квантовым эффектом Холла в зависимости от того, является ли ν целым числом или дробью соответственно.

Яркой особенностью целочисленного квантового эффекта Холла является сохранение квантования (т. е. плато Холла) при изменении электронной плотности. Поскольку электронная плотность остается постоянной, когда уровень Ферми находится в чистой спектральной щели, эта ситуация соответствует ситуации, когда уровень Ферми представляет собой энергию с конечной плотностью состояний, хотя эти состояния локализованы (см. локализацию Андерсона ). ^[1]

Дробный квантовый эффект Холла более сложен и до сих пор считается открытой исследовательской проблемой. ^[2] Его существование в основном зависит от электрон-электронных взаимодействий. В 1988 году было высказано предположение о существовании квантового эффекта Холла без уровней Ландау . ^[3] Этот квантовый эффект Холла называется квантовым аномальным эффектом Холла (QAH). Существует также новая концепция квантового спинового эффекта Холла , который является аналогом квантового эффекта Холла, где вместо зарядовых токов текут спиновые токи. ^[4]

Приложения

Стандарты электрического сопротивления

Квантование проводимости Холла ( ) имеет важное свойство быть чрезвычайно точным. ^[5] Фактические измерения проводимости Холла оказались целыми или дробными кратными ⁠ ${\displaystyle G_{xy}=1/R_{xy}}$е ²/час⁠ лучше, чем одна часть на миллиард. ^[6] Это позволило определить новый практический стандарт для электрического сопротивления , основанный на кванте сопротивления, заданном константой фон Клитцинга R _K . Он назван в честь Клауса фон Клитцинга , первооткрывателя точного квантования. Квантовый эффект Холла также обеспечивает чрезвычайно точное независимое определение постоянной тонкой структуры , величины, имеющей фундаментальное значение в квантовой электродинамике .

В 1990 году было принято фиксированное условное значение R _K-90 =Значение 25 812 .807 Ω было определено для использования в калибровках сопротивления по всему миру. ^[7] 16 ноября 2018 года 26-е заседание Генеральной конференции по мерам и весам приняло решение зафиксировать точные значения h (постоянной Планка) и e (элементарного заряда), ^[8] заменив общепринятое значение 1990 года точным постоянным значением (внутренним стандартом) R _K = ⁠час/е ²⁠ =25 812 .807 45 ... Ом . ^[9]

Статус исследования

Дробный квантовый эффект Холла считается частью точного квантования . ^[10] Точное квантование в полной общности не полностью изучено, но оно было объяснено как очень тонкое проявление комбинации принципа калибровочной инвариантности вместе с другой симметрией (см. Аномалии ). Целочисленный квантовый эффект Холла вместо этого считается решенной исследовательской проблемой ^{[11] [12]} и понимается в рамках формулы TKNN и лагранжианов Черна–Саймонса .

Дробный квантовый эффект Холла по-прежнему считается открытой исследовательской проблемой. ^[2] Дробный квантовый эффект Холла можно также понимать как целочисленный квантовый эффект Холла, хотя и не электронов, а композитов заряда-потока, известных как композитные фермионы . ^[13] Существуют также другие модели для объяснения дробного квантового эффекта Холла. ^[14] В настоящее время он считается открытой исследовательской проблемой, поскольку не существует единого, подтвержденного и согласованного списка дробных квантовых чисел, а также единой согласованной модели для объяснения их всех, хотя такие заявления имеются в области композитных фермионов и неабелевых лагранжианов Черна–Саймонса .

История

В 1957 году Карл Фрош и Линкольн Дерик смогли изготовить первые полевые транзисторы на основе диоксида кремния в Bell Labs, первые транзисторы, в которых сток и исток были смежными на поверхности. ^[15] Впоследствии группа продемонстрировала работающий МОП-транзистор в Bell Labs в 1960 году. ^{[16] [17]} Это позволило физикам изучить поведение электронов в почти идеальном двумерном газе . ^[18]

В МОП-транзисторе электроны проводимости перемещаются в тонком поверхностном слое, а напряжение « затвора » контролирует количество носителей заряда в этом слое. Это позволяет исследователям изучать квантовые эффекты , эксплуатируя МОП-транзисторы высокой чистоты при температурах жидкого гелия . ^[18]

Целочисленное квантование проводимости Холла было первоначально предсказано исследователями Токийского университета Цунейей Андо, Юкио Мацумото и Ясутадой Уэмурой в 1975 году на основе приблизительного расчета, который они сами не считали верным. ^[19] В 1978 году исследователи Университета Гакусюин Дзюнъити Вакабаяси и Синдзи Кавадзи впоследствии наблюдали эффект в экспериментах, проведенных на инверсионном слое МОП-транзисторов. ^[20]

В 1980 году Клаус фон Клитцинг , работая в лаборатории сильных магнитных полей в Гренобле с образцами МОП-транзисторов на основе кремния , разработанными Михаэлем Пеппером и Герхардом Дорда, сделал неожиданное открытие, что сопротивление Холла было точно квантовано. ^{[21] [18]} За это открытие фон Клитцинг был удостоен Нобелевской премии по физике 1985 года . Связь между точным квантованием и калибровочной инвариантностью была впоследствии предложена Робертом Лафлином , который связал квантованную проводимость с квантованным переносом заряда в зарядовом насосе Таулеса. ^{[12] [22]} Большинство экспериментов с целочисленным квантовым эффектом Холла в настоящее время проводятся на гетероструктурах арсенида галлия , хотя могут использоваться и многие другие полупроводниковые материалы. В 2007 году был зарегистрирован целочисленный квантовый эффект Холла в графене при температурах, достигающих комнатной температуры, ^[23] и в оксиде магния- цинка ZnO–Mg _x Zn _{1− x} O. ^[24]

Целочисленный квантовый эффект Холла

Анимированный график, показывающий заполнение уровней Ландау при изменении B и соответствующее положение на графике коэффициента Холла и магнитного поля|Только для иллюстрации. Уровни размываются с ростом поля. Между уровнями виден квантовый эффект Холла. DOS — плотность состояний.

Уровни Ландау

В двух измерениях, когда классические электроны подвергаются воздействию магнитного поля, они следуют по круговым циклотронным орбитам. Когда система рассматривается квантово-механически, эти орбиты квантуются. Для определения значений уровней энергии необходимо решить уравнение Шредингера.

Поскольку система подвергается воздействию магнитного поля, его необходимо ввести как электромагнитный векторный потенциал в уравнении Шредингера . Рассматриваемая система представляет собой электронный газ, который может свободно перемещаться в направлениях x и y, но жестко ограничен в направлении z. Затем в направлении z прикладывается магнитное поле, и согласно калибровке Ландау электромагнитный векторный потенциал равен , а скалярный потенциал равен . Таким образом, уравнение Шредингера для частицы с зарядом и эффективной массой в этой системе имеет вид: ${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$ ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m^{*}}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{2m^{*}}}\left[\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right]^{2}+V(z)\right\}\psi (x,y,z)=\varepsilon \psi (x,y,z)}$

где — канонический импульс, который заменяется оператором и представляет собой полную энергию. ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle -i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Чтобы решить это уравнение, можно разделить его на два уравнения, поскольку магнитное поле влияет только на движение вдоль осей x и y. Тогда полная энергия становится суммой двух вкладов . Соответствующие уравнения по оси z: ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{z}+\varepsilon _{xy}}$

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}+V(z)\right]u(z)=\varepsilon _{z}u(z)}$

Для упрощения решение рассматривается как бесконечная яма. Таким образом, решения для направления z представляют собой энергии , а волновые функции являются синусоидальными. Для направлений и решение уравнения Шредингера может быть выбрано как произведение плоской волны в направлении с некоторой неизвестной функцией , то есть . Это происходит потому, что векторный потенциал не зависит от , и оператор импульса, следовательно, коммутирует с гамильтонианом. Подставляя этот анзац в уравнение Шредингера, получаем одномерное уравнение гармонического осциллятора с центром в . ${\displaystyle V(z)}$ ${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$ ${\displaystyle n_{z}=1,2,3...}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi _{xy}=u(x)e^{ik_{y}y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ ${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\frac {1}{2}}m^{*}\omega _{\rm {c}}^{2}(x-l_{B}^{2}k_{y})^{2}\right]u(x)=\varepsilon _{xy}u(x)}$

где определяется как циклотронная частота и магнитная длина. Энергии: ${\textstyle \omega _{\rm {c}}={\frac {eB}{m^{*}}}}$ ${\textstyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)}$, ${\displaystyle n_{x}=1,2,3...}$

А волновые функции для движения в плоскости задаются произведением плоской волны в и полиномов Эрмита, ослабленных гауссовой функцией в , которые являются волновыми функциями гармонического осциллятора. ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Из выражения для уровней Ландау можно заметить, что энергия зависит только от , а не от . Состояния с одинаковыми, но разными являются вырожденными. ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}}$

Плотность состояний

При нулевом поле плотность состояний на единицу поверхности для двумерного электронного газа с учетом вырождения из-за спина не зависит от энергии

${\displaystyle n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$.

При включении поля плотность состояний схлопывается от константы до гребня Дирака , ряда функций Дирака, соответствующих разделенным уровням Ландау . Однако при конечной температуре уровни Ландау приобретают ширину , равную времени между событиями рассеяния. Обычно предполагается, что точная форма уровней Ландау представляет собой гауссов или лоренцев профиль. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \Delta \varepsilon _{xy}=\hbar \omega _{\rm {c}}}$ ${\textstyle \Gamma ={\frac {\hbar }{\tau _{i}}}}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$

Другая особенность заключается в том, что волновые функции образуют параллельные полосы в -направлении, равномерно распределенные вдоль -оси, вдоль линий . Поскольку нет ничего особенного в любом направлении в -плоскости, если бы векторный потенциал был выбран по-другому, то должна была бы обнаружиться круговая симметрия. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle xy}$

Учитывая выборку измерений и применяя периодические граничные условия в направлении, являющемся целым числом, получаем, что каждый параболический потенциал помещается в значение . ${\displaystyle L_{x}\times L_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle k={\frac {2\pi }{L_{y}}}j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x_{k}=l_{B}^{2}k}$

Параболические потенциалы вдоль оси с центром в точке с 1-й волновой функцией, соответствующей ограничению бесконечной ямы в направлении. В направлении бегущие плоские волны. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$

Число состояний для каждого уровня Ландау можно рассчитать из соотношения между полным магнитным потоком, проходящим через образец, и магнитным потоком, соответствующим состоянию. ${\displaystyle k}$

${\displaystyle N_{B}={\frac {\phi }{\phi _{0}}}={\frac {BA}{BL_{y}\Delta x_{k}}}={\frac {A}{2\pi l_{B}^{2}}}{\begin{array}{lcr}&l_{B}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {AeB}{2\pi \hbar }}{\begin{array}{lcr}&\omega _{\rm {c}}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}A}{2\pi \hbar }}}$

Таким образом, плотность состояний на единицу поверхности равна

${\displaystyle n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}}$.

Обратите внимание на зависимость плотности состояний от магнитного поля. Чем больше магнитное поле, тем больше состояний на каждом уровне Ландау. Как следствие, в системе больше ограничения, так как занято меньше энергетических уровней.

Перепишем последнее выражение, так как ясно, что каждый уровень Ландау содержит столько же состояний, сколько в 2DEG в . ${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$ ${\displaystyle \Delta \varepsilon =\hbar \omega _{\rm {c}}}$

Учитывая тот факт, что электроны являются фермионами , для каждого состояния, доступного на уровнях Ландау, это соответствует двум электронам, по одному электрону с каждым значением спина . Однако, если приложено большое магнитное поле, энергии разделяются на два уровня из-за магнитного момента, связанного с выравниванием спина с магнитным полем. Разница в энергиях является фактором , который зависит от материала ( для свободных электронов) и магнетона Бора . Знак берется, когда спин параллелен полю и когда он антипараллелен. Этот факт, называемый спиновым расщеплением, подразумевает, что плотность состояний для каждого уровня уменьшается вдвое. Обратите внимание, что пропорционально магнитному полю, поэтому, чем больше магнитное поле, тем более значимым является расщепление. ${\textstyle s=\pm {\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle \Delta E=\pm {\frac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=2}$ ${\displaystyle \mu _{\rm {B}}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \Delta E}$

Плотность состояний в магнитном поле без учета спинового расщепления. (a) Состояния в каждом диапазоне сжимаются в -функциональную функцию уровня Ландау. (b) Уровни Ландау имеют ненулевую ширину в более реалистичной картине и перекрываются, если . (c) Уровни становятся различимыми, когда . ${\displaystyle \hbar \omega _{\rm {c}}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{\rm {c}}<\Gamma }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{\rm {c}}>\Gamma }$

Чтобы получить число занятых уровней Ландау, определяют так называемый фактор заполнения как отношение плотности состояний в 2DEG к плотности состояний на уровнях Ландау. ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nu ={\frac {n_{\rm {2D}}}{n_{B}}}={\frac {hn_{\rm {2D}}}{eB}}}$

В общем случае фактор заполнения не является целым числом. Он оказывается целым числом, когда имеется точное число заполненных уровней Ландау. Вместо этого он становится нецелым числом, когда верхний уровень не полностью занят. В реальных экспериментах изменяют магнитное поле и фиксируют плотность электронов (а не энергию Ферми!) или изменяют плотность электронов и фиксируют магнитное поле. Оба случая соответствуют непрерывному изменению фактора заполнения, и нельзя ожидать, что он будет целым числом. Поскольку , при увеличении магнитного поля уровни Ландау перемещаются вверх по энергии, а число состояний на каждом уровне растет, поэтому меньше электронов занимают верхний уровень, пока он не станет пустым. Если магнитное поле продолжает увеличиваться, в конечном итоге все электроны окажутся на самом нижнем уровне Ландау ( ), и это называется магнитным квантовым пределом. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle n_{B}\propto B}$ ${\displaystyle \nu <1}$

Заполнение уровней Ландау в магнитном поле без учета спинового расщепления, показывающее, как уровень Ферми перемещается для поддержания постоянной плотности электронов. Поля находятся в соотношении и дают и . ${\displaystyle 2:3:4}$ ${\displaystyle \nu =4,{\frac {8}{3}}}$ ${\displaystyle 2}$

Продольное удельное сопротивление

Можно связать фактор заполнения с сопротивлением и, следовательно, с проводимостью системы. Когда является целым числом, энергия Ферми лежит между уровнями Ландау, где нет состояний, доступных для носителей, поэтому проводимость становится равной нулю (считается, что магнитное поле достаточно велико, чтобы не было перекрытия между уровнями Ландау, в противном случае было бы мало электронов, и проводимость была бы приблизительно ). Следовательно, удельное сопротивление также становится равным нулю (при очень высоких магнитных полях доказано, что продольная проводимость и удельное сопротивление пропорциональны). ^[25] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle 0}$

С проводимостью можно найти ${\displaystyle \sigma =\rho ^{-1}}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\det \rho }}{\begin{pmatrix}\rho _{yy}&-\rho _{xy}\\-\rho _{yx}&\rho _{xx}\end{pmatrix}}\;.}$

Если продольное сопротивление равно нулю, а поперечное конечно, то . Таким образом, и продольная проводимость, и удельное сопротивление становятся равными нулю. ${\displaystyle \det \rho \neq 0}$

Вместо этого, когда является полуцелым числом, энергия Ферми находится на пике распределения плотности некоторого Уровня Ландау. Это означает, что проводимость будет иметь максимум. ${\displaystyle \nu }$

Это распределение минимумов и максимумов соответствует ¨квантовым осцилляциям¨, называемым осцилляциями Шубникова–де Гааза , которые становятся более значимыми по мере увеличения магнитного поля. Очевидно, что высота пиков больше по мере увеличения магнитного поля, поскольку плотность состояний увеличивается с полем, поэтому больше носителей, которые вносят вклад в сопротивление. Интересно отметить, что если магнитное поле очень мало, продольное сопротивление является константой, что означает, что достигается классический результат.

Продольное и поперечное (холловское) сопротивление, и , двумерного электронного газа как функция магнитного поля. Обе вертикальные оси были разделены квантовой единицей проводимости (единицы вводят в заблуждение). Фактор заполнения отображается для последних 4 плато. ${\displaystyle \rho _{xx}}$ ${\displaystyle \rho _{xy}}$ ${\displaystyle e^{2}/h}$ ${\displaystyle \nu }$

Поперечное сопротивление

Из классического соотношения поперечного сопротивления и подстановки находим квантование поперечного сопротивления и проводимости: ${\textstyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{\rm {2D}}}}}$ ${\textstyle n_{\rm {2D}}=\nu {\frac {eB}{h}}}$

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {h}{\nu e^{2}}}\Rightarrow \sigma =\nu {\frac {e^{2}}{h}}}$

Тогда можно сделать вывод, что поперечное сопротивление является кратным обратному значению так называемого кванта проводимости , если фактор заполнения является целым числом. Однако в экспериментах плато наблюдаются для целых плато значений заполнения , что указывает на то, что на самом деле существуют электронные состояния между уровнями Ландау. Эти состояния локализованы, например, в примесях материала, где они заперты на орбитах, поэтому они не могут вносить вклад в проводимость. Вот почему сопротивление остается постоянным между уровнями Ландау. Опять же, если магнитное поле уменьшается, мы получаем классический результат, в котором сопротивление пропорционально магнитному полю. ${\displaystyle e^{2}/h}$ ${\displaystyle \nu }$

Фотонный квантовый эффект Холла

Квантовый эффект Холла, помимо того, что наблюдается в двумерных электронных системах , может наблюдаться в фотонах. Фотоны не обладают собственным электрическим зарядом , но посредством манипуляции дискретными оптическими резонаторами и фазами связи или фазами на месте можно создать искусственное магнитное поле . ^{[26] [27] [28] [29] [30]} Этот процесс можно выразить через метафору фотонов, отскакивающих между несколькими зеркалами. Пропуская свет через несколько зеркал, фотоны направляются и получают дополнительную фазу, пропорциональную их угловому моменту . Это создает эффект, как будто они находятся в магнитном поле .

Топологическая классификация

Бабочка Хофштадтера

Целые числа, которые появляются в эффекте Холла, являются примерами топологических квантовых чисел . Они известны в математике как первые числа Черна и тесно связаны с фазой Берри . Яркой моделью, представляющей большой интерес в этом контексте, является модель Азбеля–Харпера–Хофштадтера, квантовая фазовая диаграмма которой представляет собой бабочку Хофштадтера , показанную на рисунке. Вертикальная ось представляет собой напряженность магнитного поля , а горизонтальная ось — химический потенциал , который фиксирует электронную плотность. Цвета представляют целые проводимости Холла. Теплые цвета представляют положительные целые числа, а холодные цвета — отрицательные целые числа. Обратите внимание, однако, что плотность состояний в этих областях квантованной проводимости Холла равна нулю; следовательно, они не могут создавать плато, наблюдаемые в экспериментах. Фазовая диаграмма является фрактальной и имеет структуру во всех масштабах. На рисунке наблюдается очевидное самоподобие . При наличии беспорядка, который является источником плато, наблюдаемых в экспериментах, эта диаграмма сильно отличается, и фрактальная структура в основном размывается. Кроме того, эксперименты контролируют фактор заполнения, а не энергию Ферми. Если эту диаграмму построить как функцию фактора заполнения, все особенности будут полностью размыты, следовательно, она имеет очень мало общего с фактической физикой Холла.

Что касается физических механизмов, то примеси и/или особые состояния (например, краевые токи) важны как для «целочисленных», так и для «дробных» эффектов. Кроме того, кулоновское взаимодействие также существенно в дробном квантовом эффекте Холла . Наблюдаемое сильное сходство между целочисленными и дробными квантовыми эффектами Холла объясняется тенденцией электронов образовывать связанные состояния с четным числом квантов магнитного потока, называемых составными фермионами .

Интерпретация константы фон Клитцинга с точки зрения атома Бора

Значение постоянной фон Клитцинга можно получить уже на уровне отдельного атома в рамках модели Бора , рассматривая ее как эффект Холла отдельного электрона. В то время как при циклотронном движении по круговой орбите центробежная сила уравновешивается силой Лоренца, ответственной за поперечное индуцированное напряжение и эффект Холла, можно рассматривать разность потенциалов Кулона в атоме Бора как индуцированное напряжение Холла отдельного атома, а периодическое движение электрона по окружности как ток Холла. Определение тока Холла отдельного атома как скорости, с которой заряд отдельного электрона совершает кеплеровские обороты с угловой частотой ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle I={\frac {\omega e}{2\pi }},}$

и индуцированное напряжение Холла как разность кулоновского потенциала ядра водорода в точке электронной орбиты и на бесконечности:

${\displaystyle U=V_{\text{C}}(\infty )-V_{\text{C}}(r)=0-V_{\text{C}}(r)={\frac {e}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

Получаем квантование определенного сопротивления Холла орбиты Бора в шагах постоянной фон Клитцинга как

${\displaystyle R_{\text{Bohr}}(n)={\frac {U}{I}}=n{\frac {h}{e^{2}}}}$

которая для атома Бора является линейной, но не обратной по целому числу n .

Релятивистские аналоги

Релятивистские примеры целочисленного квантового эффекта Холла и квантового спинового эффекта Холла возникают в контексте решеточной калибровочной теории . ^{[31] [32]}

Смотрите также

• Квантовые переходы Холла
• Дробный квантовый эффект Холла
• Квантовый аномальный эффект Холла
• Квантовые клеточные автоматы
• Композитные фермионы
• Квантовая проводимость
• эффект Холла
• Датчик Холла
• Графен
• Квантовый спиновый эффект Холла
• Кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, помещенными в магнитное поле

Ссылки

1. Редакционная статья (29.07.2020). «Квантовый эффект Холла продолжает раскрывать свои секреты математикам и физикам». Nature . 583 (7818): 659. Bibcode :2020Natur.583..659.. doi : 10.1038/d41586-020-02230-7 . PMID  32728252.
2. Hansson, TH (апрель 2017 г.). "Квантовая холловская физика: иерархии и методы конформной теории поля". Reviews of Modern Physics . 89 (25005): 025005. arXiv : 1601.01697 . Bibcode : 2017RvMP...89b5005H. doi : 10.1103/RevModPhys.89.025005. S2CID  118614055.
3. FDM Haldane (1988). «Модель квантового эффекта Холла без уровней Ландау: реализация „аномалии четности“ в конденсированном состоянии». Physical Review Letters . 61 (18): 2015–2018. Bibcode :1988PhRvL..61.2015H. doi : 10.1103/PhysRevLett.61.2015 . PMID  10038961.
4. Ezawa, Zyun F. (2013). Квантовые эффекты Холла: последние теоретические и экспериментальные разработки (3-е изд.). World Scientific. ISBN 978-981-4360-75-3.
5. фон Клитцинг, Клаус (2005-09-15). «Развитие квантового эффекта Холла». Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 363 (1834): 2203–2219. Bibcode : 2005RSPTA.363.2203V. doi : 10.1098/rsta.2005.1640. ISSN  1364-503X. PMID  16147506.
6. Janssen, TJBM; Williams, JM; Fletcher, NE; Goebel, R; Tzalenchuk, A; Yakimova, R; Lara-Avila, S; Kubatkin, S; Fal'ko, VI (2012-06-01). "Сравнение точности квантового эффекта Холла в графене и арсениде галлия". Metrologia . 49 (3): 294–306. doi :10.1088/0026-1394/49/3/294. ISSN  0026-1394.
7. "2022 CODATA Value: Conventional value of von Klitzing Constant". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 2024-05-18 .
8. "26th CGPM Resolutions" (PDF) . BIPM . Архивировано из оригинала (PDF) 2018-11-19 . Получено 2018-11-19 .
9. "2022 CODATA Value: константа фон Клитцинга". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 2024-05-18 .
10. Франц, Марсель (2010). «В похвалу точному квантованию». Science . 329 (5992): 639–640. doi :10.1126/science.1194123. PMID  20689008. S2CID  206528413.
11. "Лекция Холдейна о вручении Нобелевской премии" (PDF) .
12. RB Laughlin (1981). «Квантованная холловская проводимость в двух измерениях». Phys. Rev. B. 23 ( 10): 5632–5633. Bibcode :1981PhRvB..23.5632L. doi :10.1103/PhysRevB.23.5632.
13. Jainendra, Jain (19 апреля 2012 г.). Композитные фермионы . Cambridge University Press. ISBN 978-1107404250.
14. Тонг, Дэвид. «Квантовый эффект Холла».
15. Frosch, CJ; Derick, L (1957). «Защита поверхности и селективная маскировка во время диффузии в кремнии». Журнал электрохимического общества . 104 (9): 547. doi :10.1149/1.2428650.
16. KAHNG, D. (1961). «Устройство на основе поверхности кремния-диоксида кремния». Технический меморандум Bell Laboratories : 583–596. doi :10.1142/9789814503464_0076. ISBN 978-981-02-0209-5.
17. Лойек, Бо (2007). История полупроводниковой инженерии . Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. стр. 321. ISBN 978-3-540-34258-8.
18. Линдли, Дэвид (15 мая 2015 г.). «В фокусе: вехи — случайное открытие приводит к стандарту калибровки». Физика . 8 : 46. doi :10.1103/physics.8.46.
19. Цунея Андо; Юкио Мацумото; Ясутада Уэмура (1975). «Теория эффекта Холла в двумерной электронной системе». J. Phys. Soc. Jpn . 39 (2): 279–288. Bibcode : 1975JPSJ...39..279A. doi : 10.1143/JPSJ.39.279.
20. Jun-ichi Wakabayashi; Shinji Kawaji (1978). "Эффект Холла в инверсионных слоях кремниевых МОП-структур под сильными магнитными полями". J. Phys. Soc. Jpn . 44 (6): 1839. Bibcode : 1978JPSJ...44.1839W. doi : 10.1143/JPSJ.44.1839.
21. K. v. Klitzing; G. Dorda; M. Pepper (1980). «Новый метод высокоточного определения постоянной тонкой структуры на основе квантованного сопротивления Холла». Phys. Rev. Lett . 45 (6): 494–497. Bibcode :1980PhRvL..45..494K. doi : 10.1103/PhysRevLett.45.494 .
22. DJ Thouless (1983). «Квантование переноса частиц». Phys. Rev. B. 27 ( 10): 6083–6087. Bibcode :1983PhRvB..27.6083T. doi :10.1103/PhysRevB.27.6083.
23. KS Novoselov; Z. Jiang; Y. Zhang; SV Morozov; HL Stormer; U. Zeitler; JC Maan; GS Boebinger; P. Kim; AK Geim (2007). "Комнатнотемпературный квантовый эффект Холла в графене". Science . 315 (5817): 1379. arXiv : cond-mat/0702408 . Bibcode :2007Sci...315.1379N. doi :10.1126/science.1137201. PMID  17303717. S2CID  46256393.
24. Tsukazaki, A.; Ohtomo, A.; Kita, T.; Ohno, Y.; Ohno, H.; Kawasaki, M. (2007). «Квантовый эффект Холла в полярных оксидных гетероструктурах». Science . 315 (5817): 1388–91. Bibcode :2007Sci...315.1388T. doi : 10.1126/science.1137430 . PMID  17255474. S2CID  10674643.
25. Дэвис Дж. Х. Физика низкой размерности . 6.4 Однородное магнитное поле; 6.5 Магнитное поле в узком канале, 6.6 Квантовый эффект Холла. ISBN 9780511819070.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
26. Рагу, С.; Холдейн, ФДМ (2008-09-23). ​​"Аналоги краевых состояний квантового эффекта Холла в фотонных кристаллах". Physical Review A. 78 ( 3): 033834. arXiv : cond-mat/0602501 . Bibcode : 2008PhRvA..78c3834R. doi : 10.1103/PhysRevA.78.033834. ISSN  1050-2947. S2CID  119098087.
27. Фан, Кэцзе; Ю, Цзунфу; Фань, Шаньхуэй (ноябрь 2012 г.). «Реализация эффективного магнитного поля для фотонов путем управления фазой динамической модуляции». Nature Photonics . 6 (11): 782–787. Bibcode :2012NaPho...6..782F. doi :10.1038/nphoton.2012.236. ISSN  1749-4885. S2CID  33927607.
28. Шайн, Натан; Рё, Альберт; Громов, Андрей; Соммер, Ариэль; Саймон, Джонатан (июнь 2016 г.). «Синтетические уровни Ландау для фотонов». Природа . 534 (7609): 671–675. arXiv : 1511.07381 . Бибкод : 2016Natur.534..671S. дои : 10.1038/nature17943. ISSN  0028-0836. PMID  27281214. S2CID  4468395.
29. Минков, Момчил; Савона, Винченцо (2016-02-20). "Квантовый эффект Холла Холдейна для света в динамически модулированном массиве резонаторов". Optica . 3 (2): 200. arXiv : 1507.04541 . Bibcode :2016Optic...3..200M. doi : 10.1364/OPTICA.3.000200 . ISSN  2334-2536. S2CID  1645962.
30. Датт, Авик; Линь, Цянь; Юань, Луки; Минков, Момчил; Сяо, Мэн; Фань, Шаньхуэй (2020-01-03). «Одиночная фотонная полость с двумя независимыми физическими синтетическими измерениями». Science . 367 (6473): 59–64. arXiv : 1909.04828 . Bibcode :2020Sci...367...59D. doi :10.1126/science.aaz3071. ISSN  0036-8075. PMID  31780626. S2CID  202558675.
31. DB Kaplan (1992). "Метод моделирования киральных фермионов на решетке". Physics Letters . B288 (3–4): 342–347. arXiv : hep-lat/9206013 . Bibcode :1992PhLB..288..342K. doi :10.1016/0370-2693(92)91112-M. S2CID  14161004.
32. MFL Golterman; K. Jansen; DB Kaplan (1993). "Токи Черна–Саймонса и киральные фермионы на решетке". Physics Letters . B301 (2–3): 219–223. arXiv : hep-lat/9209003 . Bibcode :1993PhLB..301..219G. doi :10.1016/0370-2693(93)90692-B. S2CID  9265777.

Дальнейшее чтение

• DR Yennie (1987). «Интегральный квантовый эффект Холла для неспециалистов». Rev. Mod. Phys . 59 (3): 781–824. Bibcode : 1987RvMP...59..781Y. doi : 10.1103/RevModPhys.59.781.
• D. Hsieh; D. Qian; L. Wray; Y. Xia; YS Hor; RJ Cava; MZ Hasan (2008). «Топологический дираковский изолятор в квантовой спиновой холловской фазе». Nature . 452 (7190): 970–974. arXiv : 0902.1356 . Bibcode :2008Natur.452..970H. doi :10.1038/nature06843. PMID  18432240. S2CID  4402113.
• 25 лет квантовому эффекту Холла , К. фон Клитцинг, Семинар Пуанкаре (Париж-2004). Постскриптум. PDF.
• Пресс-релиз Magnet Lab Квантовый эффект Холла, наблюдаемый при комнатной температуре
• Avron, Joseph E.; Osadchy, Daniel; Seiler, Ruedi (2003). "Топологический взгляд на квантовый эффект Холла". Physics Today . 56 (8): 38. Bibcode : 2003PhT....56h..38A. doi : 10.1063/1.1611351 .
• Зюн Ф. Эзава: Квантовые эффекты Холла — полевой теоретический подход и смежные темы. World Scientific, Сингапур 2008, ISBN 978-981-270-032-2 
• Санкар Д. Сарма, Арон Пинчук : Перспективы квантовых эффектов Холла. Wiley-VCH, Вайнхайм 2004, ISBN 978-0-471-11216-7 
• A. Baumgartner; T. Ihn; K. Ensslin; K. Maranowski; A. Gossard (2007). "Квантовый эффект Холла в экспериментах со сканирующим затвором". Phys. Rev. B. 76 ( 8): 085316. Bibcode : 2007PhRvB..76h5316B. doi : 10.1103/PhysRevB.76.085316.
• Э.И. Рашба и В.Б. Тимофеев, Квантовый эффект Холла, Сов. Физика и техника полупроводников, т. 20, стр. 617–647 (1986).