Формула сложения скоростей

В релятивистской физике формула сложения скоростей — это уравнение, которое определяет, как объединить скорости объектов таким образом, чтобы это соответствовало требованию, что скорость ни одного объекта не может превышать скорость света . Такие формулы применяются к последовательным преобразованиям Лоренца , поэтому они также связывают различные системы отсчета. Сопутствующее сложение скоростей — это кинематический эффект, известный как прецессия Томаса , в результате чего последовательные неколлинеарные усиления Лоренца становятся эквивалентными композиции поворота системы координат и усиления.

Стандартные приложения формул сложения скоростей включают доплеровское смещение , доплеровскую навигацию , аберрацию света и увлечение света в движущейся воде, наблюдавшееся в эксперименте Физо 1851 года . ^[1]

В обозначении $u$ используется как скорость тела в системе Лоренца $S$ , $v$ как скорость второй системы $S'$ , измеренная в $S$ , и $u'$ как преобразованная скорость тела во второй системе.

История

Скорость света в жидкости меньше скорости света в вакууме и изменяется, если жидкость движется вместе со светом. В 1851 году Физо измерил скорость света в жидкости, движущейся параллельно свету, с помощью интерферометра . Результаты Физо не соответствовали общепринятым в то время теориям. Физо экспериментально правильно определил нулевой член разложения релятивистски правильного закона сложения в терминах $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}V ⁄ c$ , как описано ниже. Результат Физо привел физиков к признанию эмпирической обоснованности довольно неудовлетворительной теории Френеля о том, что жидкость, движущаяся относительно неподвижного эфира, частично увлекает за собой свет, то есть скорость равна $c$ $⁄$ $n$ $+ (1 -$ $1$ $⁄$ $n$ $2$ $)$ $V$ вместо $c$ $⁄$ $n$ $+$ $V$ , где $c$ — скорость света в эфире, $n$ — показатель преломления жидкости, а $V$ — скорость жидкости относительно эфира.

Аберрация света , простейшим объяснением которой является релятивистская формула сложения скоростей, вместе с результатом Физо послужила толчком к развитию таких теорий, как теория эфира Лоренца для электромагнетизма в 1892 году. В 1905 году Альберт Эйнштейн с появлением специальной теории относительности вывел стандартную формулу конфигурации ( $V$ в направлении $x$ ) для сложения релятивистских скоростей. ^[2] Вопросы, связанные с эфиром, постепенно, с годами, были решены в пользу специальной теории относительности.

относительность Галилея

Галилей заметил , что человек на равномерно движущемся корабле имеет впечатление, что он находится в состоянии покоя, и видит тяжелое тело, падающее вертикально вниз. ^[3] Это наблюдение теперь считается первым ясным утверждением принципа механической относительности. Галилей увидел, что с точки зрения человека, стоящего на берегу, движение падения вниз на корабле будет объединено или добавлено к поступательному движению корабля. ^[4] С точки зрения скоростей можно сказать, что скорость падающего тела относительно берега равна скорости этого тела относительно корабля плюс скорость корабля относительно берега.

В общем случае для трех объектов A (например, Галилей на берегу), B (например, корабль), C (например, падающее тело на корабль) вектор скорости C относительно A (скорость падающего объекта, как его видит Галилей) равен сумме скорости C относительно B (скорость падающего объекта относительно корабля) плюс скорость $v$ B относительно A (скорость корабля от берега). Сложение здесь является векторным сложением векторной алгебры, и результирующая скорость обычно представляется в виде $\mathbf {u}$ $\mathbf {u'}$

$\mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {u'} .$

Космос Галилея состоит из абсолютного пространства и времени , а сложение скоростей соответствует композиции преобразований Галилея . Принцип относительности называется относительностью Галилея . Ему подчиняется механика Ньютона .

Специальная теория относительности

Согласно теории специальной теории относительности , система координат корабля имеет другую тактовую частоту и меру расстояния, а также понятие одновременности в направлении движения изменяется, поэтому изменяется закон сложения скоростей. Это изменение незаметно при низких скоростях, но по мере увеличения скорости в направлении к скорости света оно становится важным. Закон сложения также называется законом композиции для скоростей . Для коллинеарных движений скорость объекта, например, пушечного ядра, выпущенного горизонтально в море, измеренная с корабля, движущегося со скоростью , будет измеряться кем-то, стоящим на берегу и наблюдающим за всей сценой в телескоп, как ^[5] Формула композиции может принять алгебраически эквивалентную форму, которую можно легко вывести, используя только принцип постоянства скорости света, ^[6] Космос специальной теории относительности состоит из пространства-времени Минковского , а сложение скоростей соответствует композиции преобразований Лоренца . В специальной теории относительности ньютоновская механика модифицируется в релятивистскую механику . $u'$ $v$ $u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.$ ${cu \over c+u}=\left({cu' \over c+u'}\right)\left({cv \over c+v}\right).$

Стандартная конфигурация

Формулы для усилений в стандартной конфигурации наиболее прямолинейно следуют из взятия дифференциалов обратного усиления Лоренца в стандартной конфигурации. ^[7]^[8] Если штрихованная система координат движется со скоростью с фактором Лоренца в положительном направлении $x$ относительно нештрихованной системы координат, то дифференциалы равны $v$ ${\textstyle \gamma _{_{v}}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

$dx=\gamma _{_{v}}(dx'+vdt'),\quad dy=dy',\quad dz=dz',\quad dt=\gamma _{_{v}}\left(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx'\right).$

Разделим первые три уравнения на четвертое,

${\frac {dx}{dt}}={\frac {\gamma _{_{v}}(dx'+vdt')}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},$

или

$u_{x}={\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx'}{dt'}}+v}{(1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{y}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\frac {dy'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{z}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\frac {dz'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},$

который является

Преобразование скорости ( декартовы компоненты )

$u_{x}={\frac {u_{x}'+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{x}'={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},$ $u_{y}={\frac {u_{y}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{y}'={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},$ $u_{z}={\frac {u_{z}'{\sqrt {1- {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{z}'={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2} }{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},$

в котором выражения для штрихованных скоростей были получены с использованием стандартного рецепта путем замены $v$ на $- v$ и обмена штрихованных и нештрихованных координат. Если координаты выбраны так, что все скорости лежат в (общей) плоскости $x - y$ , то скорости могут быть выражены как (см. полярные координаты ) и можно найти ^[2]^[9] $u_{x}=u\cos \theta,u_{y}=u\sin \theta,\quad u_{x}'=u'\cos \theta ',\quad u_{y}'=u '\sin\theta',$

Преобразование скорости ( Плоские полярные компоненты )

$u={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-\left({\frac {vu'\sin \theta '}{c}}\right)^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}},$ $\tan \theta ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{y}'}{u_{x}'+v}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u'\sin \theta '}{u'\cos \theta '+v}}.$

Подробности для вас

${\begin{aligned}u&={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}={\frac {\sqrt {(u_{x}'+v)^{2}+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}={\frac {\sqrt {u_{x}'^{2}+v^{2}+2u_{x}'v+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}\cos ^{2}\theta '+v^{2}+2vu'\cos \theta '+u'^{2}\sin ^{2}\theta '-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}u'^{2}\sin ^{2}\theta '}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-({\frac {vu'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}}\end{aligned}}$

Приведенное доказательство весьма формально. Существуют и другие, более сложные доказательства, которые могут быть более проясняющими, например, приведенное ниже.

Доказательство с использованием $4$ -векторов и матриц преобразования Лоренца

Поскольку релятивистское преобразование вращает пространство и время друг относительно друга так же, как геометрические вращения в плоскости вращают оси $x$ и $y$ , удобно использовать одни и те же единицы для пространства и времени, в противном случае в релятивистских формулах появляется коэффициент преобразования единиц, равный скорости света . В системе, где длины и время измеряются в одних и тех же единицах, скорость света безразмерна и равна $1.$ Тогда скорость выражается как доля скорости света.

Чтобы найти закон релятивистского преобразования, полезно ввести четыре скорости $V = (V 0, V 1, 0, 0)$ , которая является движением корабля от берега, измеренным от берега, и $U' = (U' 0, U' 1, U' 2, U' 3)$ , которая является движением мухи от корабля, измеренным от корабля. Четырехскорость определяется как четырехвектор с релятивистской длиной, равной $1$ , направленный в будущее и касательный к мировой линии объекта в пространстве-времени. Здесь $V 0$ соответствует временной составляющей, а $V 1$ — $x-$ компоненте скорости корабля, видимой с берега. Удобно взять ось $x$ как направление движения судна от берега, а ось $y$ так, чтобы плоскость $x - y$ была плоскостью, охватываемой движением судна и мухи. Это приводит к тому, что несколько компонент скоростей равны нулю: $V 2 = V 3 = U' 3 = 0$

Обычная скорость — это отношение скорости увеличения пространственных координат к скорости увеличения временной координаты:

${\begin{aligned}\mathbf {v} &=(v_{1},v_{2},v_{3})=(V_{1}/V_{0},0,0),\\\mathbf {u} '&=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})=(U'_{1}/U'_{0},U'_{2}/U'_{0},0)\end{aligned}}$

Поскольку релятивистская длина $V$ равна $1$ , то $V_{0}^{2}-V_{1}^{2}=1,$ $V_{0}=1/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}\ =\gamma ,\quad V_{1}=v_{1}/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}=v_{1}\gamma .$

Матрица преобразования Лоренца, которая преобразует скорости, измеренные в системе отсчета судна, в береговую систему отсчета, является обратной по отношению к преобразованию, описанному на странице преобразования Лоренца , поэтому знаки минус, которые там появляются, здесь должны быть инвертированы:

${\begin{pmatrix}\gamma &v_{1}\gamma &0&0\\v_{1}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Эта матрица поворачивает вектор чистой временной оси $(1, 0, 0, 0)$ в $(V 0, V 1, 0, 0)$ , и все ее столбцы релятивистски ортогональны друг другу, поэтому она определяет преобразование Лоренца.

Если муха движется с четырехскоростью $U'$ в системе отсчета корабля и она усиливается путем умножения на матрицу выше, то новая четырехскорость в береговой системе отсчета равна $U = (U 0, U 1, U 2, U 3)$ , ${\begin{aligned}U_{0}&=V_{0}U'_{0}+V_{1}U'_{1},\\U_{1}&=V_{1}U'_{0}+V_{0}U'_{1},\\U_{2}&=U'_{2},\\U_{3}&=U'_{3}.\end{aligned}}$

Разделив на временную компоненту $U 0$ и заменив компоненты четырехвекторов $U'$ и $V$ на компоненты трехвекторов $u'$ и $v,$ получим релятивистский закон композиции в виде

${\begin{aligned}u_{1}&={v_{1}+u'_{1} \over 1+v_{1}u'_{1}},\\u_{2}&={u'_{2} \over (1+v_{1}u'_{1})}{1 \over V_{0}}={u'_{2} \over 1+v_{1}u'_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}}},\\u_{3}&=0\end{aligned}}$

Форму релятивистского закона композиции можно понимать как эффект нарушения одновременности на расстоянии. Для параллельной компоненты замедление времени уменьшает скорость, сокращение длины увеличивает ее, и эти два эффекта взаимно уничтожаются. Нарушение одновременности означает, что муха меняет слои одновременности как проекцию $u'$ на $v$ . Поскольку этот эффект полностью обусловлен нарезкой времени, тот же множитель умножает перпендикулярную компоненту, но для перпендикулярной компоненты нет сокращения длины, поэтому замедление времени умножается на коэффициент $1$ $⁄$ $V$ $0$ $=$ $\sqrt$ $(1 -$ $v$ $1$ $2$ $)$ .

Общая конфигурация

Начиная с выражения в координатах для $v,$ параллельного оси $x$ , выражения для перпендикулярных и параллельных компонентов можно преобразовать в векторную форму следующим образом, трюк, который также работает для преобразований Лоренца других трехмерных физических величин изначально в заданной стандартной конфигурации. Введем вектор скорости $u$ в нештрихованной системе отсчета и $u'$ в штрихованной системе отсчета и разделим их на компоненты, параллельные (∥) и перпендикулярные (⊥) относительному вектору скорости $v$ (см. скрытый блок ниже), таким образом , затем с помощью обычных декартовых стандартных базисных векторов $e$ $x$ $,$ $e$ $y$ $,$ $e$ $z$ , установим скорость в нештрихованной системе отсчета как , что дает, используя результаты для стандартной конфигурации, где $\cdot$ - скалярное произведение . Поскольку это векторные уравнения, они по-прежнему имеют одинаковую форму для $v$ в любом направлении. Единственное отличие от выражений для координат состоит в том, что приведенные выше выражения относятся к векторам , а не к компонентам. $\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp },\quad \mathbf {u} '=\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {u} '_{\perp },$ $\mathbf {u} _{\parallel }=u_{x}\mathbf {e} _{x},\quad \mathbf {u} _{\perp }=u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z},\quad \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{x},$ $\mathbf {u} _{\parallel }={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},\quad \mathbf {u} _{\perp }={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\mathbf {u} _{\perp }'}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}.$

Получается

$\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',$

где $α v = 1/ γ v$ — обратная величина фактора Лоренца . Порядок операндов в определении выбран так, чтобы совпадать с порядком стандартной конфигурации, из которой выведена формула.

Алгебра

${\begin{aligned}{\frac {\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '-\alpha _{v}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}/c^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right].\end{aligned}}$

Разложение на параллельные и перпендикулярные составляющие по

V

Необходимо найти либо параллельную, либо перпендикулярную составляющую для каждого вектора, поскольку другая составляющая будет исключена путем подстановки полных векторов.

Параллельную составляющую $u'$ можно найти, спроецировав полный вектор в направлении относительного движения , а перпендикулярную составляющую $u'$ $'$ можно найти с помощью геометрических свойств векторного произведения (см. рисунок выше справа), $\mathbf {u} '_{\parallel }={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} ,$ $\mathbf {u} '_{\perp }=-{\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')}{v^{2}}}.$

В каждом случае $v / v$ — единичный вектор в направлении относительного движения.

Выражения для $u ||$ и $u ⊥$ можно найти таким же образом. Подставляя параллельную составляющую в $\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}+{\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}(\mathbf {u} -\mathbf {u} _{\parallel }')}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},$

приводит к уравнению выше. ^[10]

Используя тождество в и , ^[11]^{[nb 1]} $\alpha _{v}$ $\gamma _{v}$

${\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{aligned}}$ и в прямом (v положительном, S → S') направлении ${\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{aligned}}$

где последнее выражение — это стандартная формула векторного анализа $v \times (v \times u) = (v \cdot u) v - (v \cdot v) u$ . Первое выражение распространяется на любое количество пространственных измерений, но векторное произведение определяется только в трех измерениях. Объекты $A, B, C$ , где $B$ имеет скорость $v$ относительно $A$ и $C$ имеет скорость $u$ относительно $A,$ могут быть чем угодно. В частности, это могут быть три кадра или лаборатория, распадающаяся частица и один из продуктов распада распадающейся частицы.

Характеристики

Релятивистское сложение 3-скоростей нелинейно , поэтому в общем случае для действительного числа $λ$ , хотя верно, что $(\lambda \mathbf {v} )\oplus (\lambda \mathbf {u} )\neq \lambda (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),$ $(-\mathbf {v} )\oplus (-\mathbf {u} )=-(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),$

Также, из-за последних членов, в общем случае не является ни коммутативным , ни ассоциативным $\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \neq \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,$ $\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} )\neq (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )\oplus \mathbf {w} .$

Заслуживает особого упоминания, что если $u$ и $v'$ относятся к скоростям парных параллельных систем отсчета (штрихованной параллельной нештрихованной и дважды штрихованной параллельной штрихованной), то, согласно принципу взаимности скоростей Эйнштейна, нештрихованная система движется со скоростью $- u$ относительно штрихованной системы, а штрихованная система движется со скоростью $- v'$ относительно дважды штрихованной системы, следовательно, $(- v' \oplus - u)$ является скоростью нештрихованной системы относительно дважды штрихованной системы, и можно было бы ожидать, что $u \oplus v' = -(- v' \oplus - u)$ при наивном применении принципа взаимности. Это не так, хотя величины равны. Нештрихованная и дважды штрихованная системы отсчета не параллельны, но связаны посредством поворота. Это связано с явлением прецессии Томаса и здесь более подробно не рассматривается.

Нормы даны по формулам ^[12] и $|\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]=|\mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} |^{2}.$ $|\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.$

Доказательство

${\begin{aligned}&\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}\\&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right]^{2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{aligned}}$ Обратная формула найдена с помощью стандартной процедуры замены $v$ на $-v$ и $u$ на $u'$ .

Ясно, что некоммутативность проявляется как дополнительный поворот системы координат при наличии двух бустов, поскольку квадрат нормы одинаков для обоих порядков бустов.

Гамма-факторы для объединенных скоростей вычисляются как $\gamma _{u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _{u}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)$

Подробное доказательство

${\begin{aligned}\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}&=\left[{\frac {c^{3}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2}-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\left[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}$

Обратная формула найдена с помощью стандартной процедуры замены $v$ на $- v$ и $u$ на $u'$ .

Условные обозначения

Обозначения и соглашения для сложения скоростей различаются от автора к автору. Для операции или для задействованных скоростей могут использоваться разные символы, а операнды могут быть переключены для одного и того же выражения, или символы могут быть переключены для одной и той же скорости. Для преобразованной скорости может также использоваться совершенно отдельный символ, а не штрих, используемый здесь. Поскольку сложение скоростей некоммутативно, нельзя переключить операнды или символы, не изменив результат.

Примеры альтернативных обозначений включают в себя:

Нет определенного операнда: Ландау и Лифшиц (2002) (используются единицы, где c = 1) $|\mathbf {v_{rel}} |^{2}={\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2}}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]$
Порядок операндов слева направо: Мокану (1992) $\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]$; Ангар (1988) $\mathbf {u} *\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]$
Порядок операндов справа налево: Сексл и Урбантке (2001) $\mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {w} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]$

Приложения

Некоторые классические применения формул сложения скоростей к доплеровскому сдвигу, к аберрации света и к увлеканию света в движущейся воде, дающие релятивистски допустимые выражения для этих явлений, подробно описаны ниже. Также возможно использовать формулу сложения скоростей, предполагая сохранение импульса (апеллируя к обычной вращательной инвариантности), правильную форму $3$ -векторной части 4-вектора импульса , не прибегая к электромагнетизму или априори неизвестным, релятивистским версиям лагранжева формализма . Это включает в себя экспериментаторское отскакивание релятивистских бильярдных шаров друг от друга. Это не подробно здесь, но см. для справки Lewis & Tolman (1909) Wikisource version (основной источник) и Sard (1970, Section 3.2).

Эксперимент Физо

Когда свет распространяется в среде, его скорость уменьшается в системе покоя среды до $c m = c ⁄ n m$ , где $n m$ — показатель преломления среды $m$ . Скорость света в среде, равномерно движущейся со скоростью $V$ в положительном направлении $x$ , измеренная в лабораторной системе отсчета, напрямую определяется формулами сложения скоростей. Для прямого направления (стандартная конфигурация, индекс падения $m$ на $n$ ) получается, ^[13] ${\begin{aligned}c_{m}&={\frac {V+c_{m}'}{1+{\frac {Vc_{m}'}{c^{2}}}}}={\frac {V+{\frac {c}{n}}}{1+{\frac {Vc}{nc^{2}}}}}={\frac {c}{n}}{\frac {1+{\frac {nV}{c}}}{1+{\frac {V}{nc}}}}\\&={\frac {c}{n}}\left(1+{\frac {nV}{c}}\right){\frac {1}{1+{\frac {V}{nc}}}}=\left({\frac {c}{n}}+V\right)\left(1-{\frac {V}{nc}}+\left({\frac {V}{nc}}\right)^{2}-\cdots \right).\end{aligned}}$

Собрав в явном виде наибольшие вклады, Физо нашел первые три члена. ^[14]^[15] Классический результат — первые два члена. $c_{m}={\frac {c}{n}}+V\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {V}{nc}}+\cdots \right).$

Аберрация света

Другое базовое применение — рассмотрение отклонения света, т. е. изменения его направления, при переходе в новую систему отсчета с параллельными осями, называемое аберрацией света . В этом случае $v' = v = c$ , и подстановка в формулу для $tan θ$ дает $\tan \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}c\sin \theta '}{c\cos \theta '+V}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\cos \theta '+{\frac {V}{c}}}}.$

В этом случае можно также вычислить $sin θ$ и $cos θ$ по стандартным формулам, ^[16] $\sin \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},$

Тригонометрия

${\begin{aligned}{\frac {v_{y}}{v}}&={\frac {\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v_{y}'}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v_{x}'}}{\frac {\sqrt {v'^{2}+V^{2}+2Vv'\cos \theta '-({\frac {Vv'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v'\cos \theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}(1-\cos ^{2}\theta ')}}}={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+2Vc\cos \theta '+V^{2}\cos ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},\end{aligned}}$

$\cos \theta ={\frac {{\frac {V}{c}}+\cos \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},$

тригонометрические манипуляции по сути идентичны в случае $cos$ манипуляциям в случае $sin$ . Рассмотрим разницу,

${\begin{aligned}\sin \theta -\sin \theta '&=\sin \theta '\left({\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}}-1\right)\\&\approx \sin \theta '\left(1-{\frac {V}{c}}\cos \theta '-1\right)=-{\frac {V}{c}}\sin \theta '\cos \theta ',\end{aligned}}$ правильно для порядка $v$ $⁄$ $c$ . Используйте для приближения малых углов тригонометрическую формулу, где $cos$ $⁠$ $\sin \theta '-\sin \theta =2\sin {\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\cos {\frac {1}{2}}(\theta +\theta ')\approx (\theta '-\theta )\cos \theta ',$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2⁠ ( θ + θ ′) ≈ потому что θ ′, грех ⁠1/2⁠ ( θ − θ ′) ≈ ⁠1/2⁠ ( θ − θ ′)$ использовались.

Таким образом, величина угла классической аберрации получается в пределе $V$ $⁄$ $c$ $\to 0$ . $\Delta \theta \equiv \theta '-\theta ={\frac {V}{c}}\sin \theta ',$

Релятивистский доплеровский сдвиг

Здесь компоненты скорости будут использоваться вместо скорости для большей общности и для того, чтобы избежать, возможно, кажущегося случайным введения знаков минус. Знаки минус, встречающиеся здесь, вместо этого будут служить для освещения особенностей, когда рассматриваются скорости, меньшие скорости света.

Для световых волн в вакууме замедление времени вместе с простым геометрическим наблюдением достаточно для вычисления доплеровского сдвига в стандартной конфигурации (коллинеарная относительная скорость излучателя и наблюдателя, а также наблюдаемой световой волны).

Все скорости в дальнейшем параллельны общему положительному направлению $x$ , поэтому индексы у компонентов скорости опускаются. В системе наблюдателей введите геометрическое наблюдение

$\lambda =-sT+VT=(-s+V)T$

как пространственное расстояние или длина волны между двумя импульсами (гребнями волн), где $T$ - время, прошедшее между испусканием двух импульсов. Время, прошедшее между прохождением двух импульсов в одной и той же точке пространства , - это период времени $τ$ , а его обратная величина $ν = 1 ⁄ τ$ - это наблюдаемая (временная) частота . Соответствующие величины в системе отсчета излучателей снабжены штрихами. ^[18]

Для световых волн наблюдаемая частота равна ^[2]^[19]^[20] , где $T$ $=$ $γ$ $V$ $T$ $'$ — стандартная формула замедления времени . $s=s'=-c,$ $\nu ={-s \over \lambda }={-s \over (V-s)T}={c \over (V+c)\gamma _{_{V}}T'}=\nu '{\frac {c{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}{c+V}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.$

Предположим вместо этого, что волна не состоит из световых волн со скоростью $c$ , а вместо этого, для простоты визуализации, из пуль, выпущенных из релятивистского пулемета, со скоростью $s'$ в кадре излучателя. Тогда, в общем, геометрическое наблюдение точно такое же . Но теперь, $s' \neq s$ , и $s$ задается сложением скоростей, $s={\frac {s'+V}{1+{s'V \over c^{2}}}}.$

Расчет в этом случае по сути тот же самый, за исключением того, что здесь его проще выполнить наоборот с $τ = 1 ⁄ ν$ вместо $ν$ . Находим

$\tau ={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right),\quad \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{V \over s'}\right)$

Подробности в выводе

${\begin{aligned}{L \over -s}&={\frac {\left({\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}+V\right)T}{\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}{\frac {-s'-V+V(1+{s'V \over c^{2}})}{-s'-V}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\left(1-{V^{2} \over c^{2}}\right)}{s'+V}}\right)\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\gamma ^{-2}}{s'+V}}\right)\\&={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right).\\\end{aligned}}$

Обратите внимание, что в типичном случае входящее $s'$ отрицательно . Однако формула имеет общую применимость. ^{[nb 2]} Когда $s' = - c$ , формула сводится к формуле, вычисленной непосредственно для световых волн выше,

$\nu =\nu '\gamma _{_{V}}(1-\beta )=\nu '{\frac {1-\beta }{{\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.$

Если излучатель не стреляет пулями в пустое пространство, а излучает волны в среду, то формула по-прежнему применима , но теперь может потребоваться сначала вычислить $s'$ из скорости излучателя относительно среды.

Возвращаясь к случаю излучателя света, в случае, если наблюдатель и излучатель не коллинеарны, результат мало изменяется, ^[2]^[21]^[22] где $θ$ — угол между излучателем света и наблюдателем. Это сводится к предыдущему результату для коллинеарного движения, когда $θ$ $= 0$ , но для поперечного движения, соответствующего $θ$ $=$ $π$ $/2$ , частота смещается на фактор Лоренца . Этого не происходит в классическом оптическом эффекте Доплера. $\nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{\frac {V}{s'}}\cos \theta \right),$

Гиперболическая геометрия

С релятивистской скоростью объекта связана величина, норма которой называется быстротой . Они связаны посредством , где вектор рассматривается как декартовы координаты на 3-мерном подпространстве алгебры Ли группы Лоренца, охватываемом генераторами усиления . Это пространство, называемое пространством быстроты , изоморфно ℝ $3$ как векторному пространству и отображается в открытый единичный шар, , пространство скоростей , посредством приведенного выше соотношения. ^[23] Закон сложения в коллинеарной форме совпадает с законом сложения гиперболических касательных $с$ ${\boldsymbol {\beta }}$ ${\boldsymbol {\zeta }}$ ${\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni {\boldsymbol {\zeta }}={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},$ ${\boldsymbol {\zeta }}$ ${\mathfrak {so}}(3,1)$ $K_{1},K_{2},K_{3}$ $\mathbb {B} ^{3}$ $\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'})={\tanh \zeta _{v}+\tanh \zeta _{u'} \over 1+\tanh \zeta _{v}\tanh \zeta _{u'}}$ ${\frac {v}{c}}=\tanh \zeta _{v}\ ,\quad {\frac {u'}{c}}=\tanh \zeta _{u'}\ ,\quad \,{\frac {u}{c}}=\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'}).$

Элемент линии в пространстве скоростей следует из выражения для релятивистской относительной скорости в любой системе отсчета, ^[24] , где скорость света установлена равной единице, так что и согласуются. В этом выражении и являются скоростями двух объектов в любой данной системе отсчета. Величина является скоростью одного или другого объекта относительно другого объекта, как видно в данной системе отсчета . Выражение является инвариантным по Лоренцу, т.е. не зависит от того, какая система отсчета является данной системой отсчета, но вычисляемая им величина не является . Например, если данная система отсчета является системой отсчета покоя объекта один, то . $\mathbb {B} ^{3}$ $v_{r}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }},$ $v_{i}$ $\beta _{i}$ $\mathbf {v} _{1}$ $\mathbf {v} _{2}$ $v_{r}$ $v_{r}=v_{2}$

Элемент строки находится путем подстановки или эквивалентно , ^[25] $\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+d\mathbf {v}$ ${\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {\beta }}_{1}+d{\boldsymbol {\beta }}$

$dl_{\boldsymbol {\beta }}^{2}={\frac {d{\boldsymbol {\beta }}^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times d{\boldsymbol {\beta }})^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}={\frac {d\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}),$

где $θ$ и $φ —$ обычные сферические угловые координаты, взятые в направлении $z$ . Теперь введите $ζ$ через ${\boldsymbol {\beta }}$

$\zeta =|{\boldsymbol {\zeta }}|=\tanh ^{-1}\beta ,$

и элемент линии на пространстве быстроты становится $\mathbb {R} ^{3}$

$dl_{\boldsymbol {\zeta }}^{2}=d\zeta ^{2}+\sinh ^{2}\zeta (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}).$

Столкновения релятивистских частиц

В экспериментах по рассеянию основной целью является измерение инвариантного сечения рассеяния . Это входит в формулу для рассеяния двух типов частиц в конечное состояние, предположительно имеющее две или более частиц, ^[26] $f$

$dN_{f}=R_{f}\,dV\,dt=\sigma F\,dV\,dt$

или, в большинстве учебников,

$dN_{f}=\sigma n_{1}n_{2}v_{r}\,dV\,dt$

где

$dVdt$ объем пространства-времени. Он инвариантен относительно преобразований Лоренца.
$dN_{f}$ — это общее число реакций, приводящих к конечному состоянию в объеме пространства-времени . Будучи числом, оно инвариантно при рассмотрении того же объема пространства-времени. $f$ $dVdt$
$R_{f}=F\sigma$ это число реакций, приводящих к конечному состоянию в единицу пространства-времени, или скорость реакции . Это инвариант. $f$
$F=n_{1}n_{2}v_{r}$ называется падающим потоком . Он должен быть инвариантным, но не является таковым в наиболее общем случае.
$\sigma$ - сечение рассеяния. Оно должно быть инвариантным.
$n_{1},n_{2}$ являются плотностью частиц в падающих пучках. Они не являются инвариантными, как это ясно из-за сокращения длины .
$v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|$ — относительная скорость двух падающих лучей. Это не может быть инвариантом, поскольку требуется, чтобы это было так. $F=n_{1}n_{2}v_{r}$

Цель состоит в том, чтобы найти правильное выражение для релятивистской относительной скорости и инвариантное выражение для падающего потока. $v_{rel}$

Нерелятивистски, для относительной скорости имеем . Если система, в которой измеряются скорости, является системой покоя типа частицы , требуется, чтобы Задавая скорость света , выражение для немедленно следует из формулы для нормы (вторая формула) в общей конфигурации как ^[27]^[28] $v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|$ $1$ $v_{rel}=v_{r}=|\mathbf {v} _{2}|.$ $c=1$ $v_{rel}$

$v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}.$

Формула сводится в классическом пределе к тому, как и должно быть, и дает правильный результат в системах покоя частиц. Относительная скорость неправильно указана в большинстве, возможно, во всех книгах по физике элементарных частиц и квантовой теории поля. ^[27] Это в основном безвредно, поскольку если один тип частиц неподвижен или относительное движение коллинеарно, то правильный результат получается из неправильных формул. Формула инвариантна, но не явно. Ее можно переписать в терминах четырехскоростей как $v_{r}=|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|$

$v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(u_{1}\cdot u_{2})^{2}-1}}{u_{1}\cdot u_{2}}}.$

Правильное выражение для потока, опубликованное Кристианом Мёллером ^[29] в 1945 году, имеет вид ^[30]

$F=n_{1}n_{2}{\sqrt {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}-(\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2})^{2}}}\equiv n_{1}n_{2}{\bar {v}}.$

Можно отметить, что для коллинеарных скоростей, . Чтобы получить явно лоренц-инвариантное выражение, можно записать с , где — плотность в системе покоя, для потоков отдельных частиц и получить ^[31] $F=n_{1}n_{2}|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|=n_{1}n_{2}v_{r}$ $J_{i}=(n_{i},n_{i}\mathbf {v} _{i})$ $n_{i}=\gamma _{i}n_{i}^{0}$ $n_{i}^{0}$

$F=(J_{1}\cdot J_{2})v_{\text{rel}}.$

В литературе величина и упоминаются как относительная скорость. В некоторых случаях (статистическая физика и литература по темной материи) упоминается как скорость Мёллера , в этом случае означает относительную скорость. Истинная относительная скорость в любом случае равна . ^[31] Расхождение между и имеет значение, хотя в большинстве случаев скорости коллинеарны. На LHC угол пересечения мал, около 300 $мкрад$ , но на старом перекрещивающемся кольце в ЦЕРНе он составлял около 18 ^◦ . ^[32] ${\bar {v}}$ $v_{r}$ ${\bar {v}}$ $v_{r}$ $v_{rel}$ $v_{rel}$ $v_{r}$

Смотрите также

Замечания

^ Эти формулы вытекают из обращения $α v$ для $v 2$ и применения разности двух квадратов для получения
$v2 = c2 (1 - αv2) = c2 (1 - αv) ( 1+ αv)$
так что
$⁠ ( 1 - αv) / т 2 ⁠ = ⁠ 1 / с 2 (1 + α v) ⁠ = ⁠ γ v / с 2 (1 + γ v) ⁠$ .
^ Обратите внимание, что $s'$ отрицательно в том смысле, в котором поставлена задача, т. е. излучатель с положительной скоростью стреляет быстрыми пулями в сторону наблюдателя в невоспламененной системе. Соглашение заключается в том, что $- s > V$ должно давать положительную частоту в соответствии с результатом для предельной скорости, $s = - c$ . Следовательно, знак минус является соглашением, но очень естественным соглашением, вплоть до канонического.
Формула может также давать отрицательные частоты. Тогда интерпретация заключается в том, что пули приближаются с отрицательной оси $x$ . Это может иметь две причины. Эмитент может иметь большую положительную скорость и стрелять медленными пулями. Также может быть так, что эмиттер имеет маленькую отрицательную скорость и стреляет быстрыми пулями. Но если эмиттер имеет большую отрицательную скорость и стреляет медленными пулями, частота снова положительна.
Чтобы некоторые из этих комбинаций имели смысл, необходимо, чтобы излучатель выпускал пули в течение достаточно длительного времени, в пределе, когда ось $x$ в любой момент времени имеет пули, равномерно распределенные по всему полю.

Примечания

↑ Клеппнер и Коленков, 1978, главы 11–14.
^ abcd Эйнштейн 1905, См. раздел 5, «Состав скоростей».
^ Галилей 2001
^ Галилей 1954 Галилей использовал это открытие, чтобы показать, что траектория груза, если смотреть с берега, будет представлять собой параболу.
^ Арфкен, Джордж (2012). Университетская физика. Academic Press. стр. 367. ISBN 978-0-323-14202-1.Выдержка из страницы 367
^ Мермин 2005, стр. 37
^ Ландау и Лифшиц 2002, стр. 13
^ Клеппнер и Коленков 1978, с. 457
^ Джексон 1999, стр. 531
^ Лернер и Тригг 1991, стр. 1053
↑ Фридман 2002, стр. 1–21.
^ Ландау и Лифшиц 2002, стр. 37 Уравнение (12.6) Оно выводится совершенно иначе, если рассматривать инвариантные поперечные сечения.
^ Клеппнер и Коленков 1978, с. 474
^ Физо и 1851E
^ Физо 1860
^ Ландау и Лифшиц 2002, стр. 14
↑ Брэдли 1727–1728
^ Kleppner & Kolenkow 1978, стр. 477 В ссылке скорость приближающегося излучателя принимается положительной . Отсюда и разница знаков.
^ Типлер и Моска 2008, стр. 1328–1329.
^ Мэнсфилд и О'Салливан 2011, стр. 491–492
^ Лернер и Тригг 1991, стр. 259
^ Паркер 1993, стр. 312
^ Джексон 1999, стр. 547
^ Ландау и Лифшиц 2002, Уравнение 12.6
^ Ландау и Лифшиц 2002, Задача стр. 38
^ Каннони 2017, стр. 1
^ ab Cannoni 2017, стр. 4
^ Ландау и Лифшиц 2002
^ Мёллер 1945
^ Каннони 2017, стр. 8
^ ab Cannoni 2017, стр. 13
^ Каннони 2017, стр. 15

Ссылки

Каннони, Мирко (2017). «Лоренц-инвариантная относительная скорость и релятивистские бинарные столкновения». International Journal of Modern Physics A . 32 (2n03): 1730002. arXiv : 1605.00569 . Bibcode :2017IJMPA..3230002C. doi :10.1142/S0217751X17300022. S2CID 119223742 – через World Scientific .
Эйнштейн, А. (1905). «К электродинамике движущихся тел» [Zur Elektrodynamik bewegter Körper] (PDF) . Аннален дер Физик . 10 (322): 891–921. Бибкод : 1905АнП...322..891Е. дои : 10.1002/andp.19053221004 .
Фок, ВА (1964). Теория пространства, времени и гравитации (2-е изд.). Elsevier Science & Technology. ISBN 978-0-08-010061-6– через ScienceDirect .
Френч, AP (1968). Специальная теория относительности . Вводная серия по физике Массачусетского технологического института. WW Norton & Company . ISBN 978-0-393-09793-1.
Фридман, Яаков; Скарр, Цви (2005). Физические применения однородных шаров. Биркхойзер. С. 1–21. ISBN 978-0-8176-3339-4.
Джексон, Дж. Д. (1999) [1962]. "Глава 11". Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-30932-1.(уровень выпускника)
Клеппнер, Д .; Коленков, Р.Дж. (1978) [1973]. Введение в механику. Лондон: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-035048-9.(вводный уровень)
Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Т. 2 (4-е изд.). Баттерворт–Хайнеман . ISBN 0-7506-2768-9.(уровень выпускника)
Лернер, Р. Г .; Тригг, Г. Л. (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). VHC Publishers, Springer. ISBN 978-0-07-025734-4.
Мермин, ND (2005). Время пришло: понимание теории относительности Эйнштейна . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12201-4.
Mocanu, CI (1992). «О парадоксе релятивистского состава скоростей и вращении Томаса». Найдено. Phys. Lett . 5 (5): 443–456. Bibcode :1992FoPhL...5..443M. doi :10.1007/BF00690425. ISSN 0894-9875. S2CID 122472788.
Мёллер, К. (1945). «Общие свойства характеристической матрицы в теории элементарных частиц I» (PDF) . Д. КГЛ Данске Виденск. Сельск. Мат.-физ. Медд . 23 (1).
Паркер, С. П. (1993). Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-051400-3.
Сард, РД (1970). Релятивистская механика – Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Benjamin. ISBN 978-0-8053-8491-8.
Sexl, RU; Urbantke, HK (2001) [1992]. Относительность, группы частиц. Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и частиц. Springer. стр. 38–43. ISBN 978-3-211-83443-5.
Типлер, П.; Моска, Г. (2008). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Freeman. стр. 1328–1329. ISBN 978-1-4292-0265-7.
Унгар, АА (1988). «Вращение Томаса и параметризация группы Лоренца». Foundations of Physics Letters . 1 (1): 57–81. Bibcode : 1988FoPhL...1...57U. doi : 10.1007/BF00661317. ISSN 0894-9875. S2CID 121240925.

Исторический

Брэдли, Джеймс (1727–1728). «Письмо преподобного мистера Джеймса Брэдли Сэвильяна, профессора астрономии в Оксфорде и члена Королевского общества, доктору Эдмонду Галлею, регулирующему астрономию и т. д., с отчетом о новом открытом движении неподвижных звезд». Phil. Trans. R. Soc. (PDF). 35 (399–406): 637–661. Bibcode : 1727RSPT...35..637B. doi : 10.1098/rstl.1727.0064 .
Допплер, К. (1903) [1842], Über das Farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels [О цветном свете двойных звезд и некоторых других звезд небесного ] (на немецком языке), том. 2, Прага: Abhandlungen der Königl. Бём. Gesellschaft der Wissenschaften, стр. 465–482.
Физо, Х. (1851F). «Sur les гипотезы, относящиеся к светящемуся эфиру» [Гипотезы, относящиеся к светящемуся эфиру]. Comptes Rendus (на французском языке). 33 : 349–355.
Физо, А. (1851E). «Гипотезы, относящиеся к светящемуся эфиру» . Философский журнал . 2 : 568–573.
Физо, Х. (1859). «Sur les гипотезы, относящиеся к светящемуся эфиру» [Гипотезы, относящиеся к светящемуся эфиру]. Энн. Хим. Физ. (на французском языке). 57 : 385–404.
Физо, А. (1860). «О влиянии движения тела на скорость, с которой его пересекает свет» . Philosophical Magazine . 19 : 245–260.
Галилей, Г. (2001) [1632]. Диалог о двух главных мировых системах [ Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo ]. Стиллман Дрейк (редактор, переводчик), Стивен Джей Гулд (редактор), Дж. Л. Хейлброн (введение), Альберт Эйнштейн (предисловие). Современная библиотека. ISBN 978-0-375-75766-2.
Галилей, Г. (1954) [1638]. Диалоги о двух новых науках [ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ]. Генри Крю, Альфонсо де Сальвио (переводчики). Digiread.com. ISBN 978-1-4209-3815-9.
Льюис, ГН ; Толман, Р.К. (1909). «Принцип относительности и неньютоновская механика». Phil. Mag . 6. 18 (106): 510–523. doi :10.1080/14786441008636725.Версия Викиресурса

Внешние ссылки

Зоммерфельд, А. (1909). «О составе скоростей в теории относительности» [Über die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie]. Верх. Дтч. Физ. Гес . 21 : 577–582.