Полутон

Полутон , также называемый малой секундой , полутоном или полутоном , ^[3] — наименьший музыкальный интервал, обычно используемый в западной тональной музыке, ^[4] и считающийся наиболее диссонирующим ^{[5] , когда звучит гармонично. Он определяется}как интервал между двумя соседними нотами в 12-тоновой гамме (или половина целого шага ), визуально видимый на клавиатуре как расстояние между двумя соседними клавишами. Например, C соседствует с C ♯ ; интервал между ними составляет полутон. ^[6]

В 12-нотной приблизительно равнораздельной гамме любой интервал можно определить с помощью соответствующего количества полутонов (например, целый тон или большая секунда имеет ширину 2 полутона, большая терция — 4 полутона, а чистая квинта — 7 полутонов).

В теории музыки проводится различие ^[7] между диатоническим полутоном , или малой секундой (интервал, охватывающий две различные позиции нотного стана , например, от C до D ♭ ), и хроматическим полутоном или увеличенным унисоном (интервал между двумя нотами в одной и той же позиции нотного стана, например, от C до C ♯ ). Они энгармонически эквивалентны тогда и только тогда, когда используется двенадцатитоновая равномерная темперация ; например, они не являются одним и тем же в среднетоновой темперации , где диатонический полутон отличается от хроматического полутона и больше его (увеличенный унисон), или в пифагорейской настройке , где диатонический полутон меньше. Подробнее об этой терминологии см. Интервал (музыка) § Номер .

В двенадцатитоновой равномерной темперации все полутоны равны по размеру (100 центов). В других системах настройки «полутон» относится к семейству интервалов, которые могут различаться как по размеру, так и по названию. В пифагорейской настройке семь полутонов из двенадцати являются диатоническими, с соотношением 256:243 или 90,2 цента (пифагорейская лимма), а остальные пять — хроматическими, с соотношением 2187:2048 или 113,7 цента (пифагорейская апотома); они отличаются пифагорейской коммой с соотношением 531441:524288 или 23,5 цента. В четверть-комме, означающей один , семь из них являются диатоническими и шириной 117,1 цента, в то время как остальные пять — хроматическими и шириной 76,0 цента; они отличаются меньшим диезисом в соотношении 128:125 или 41,1 цента. 12-тоновые гаммы, настроенные только на интонацию, обычно определяют три или четыре вида полутонов. Например, асимметричная настройка с пятью пределами дает хроматические полутоны с соотношениями 25:24 (70,7 цента) и 135:128 (92,2 цента), а также диатонические полутоны с соотношениями 16:15 (111,7 цента) и 27:25 (133,2 цента). Более подробную информацию см. ниже.

Состояние, при котором есть полутоны, называется гемитония; при котором нет полутонов — ангемитония . Музыкальная гамма или аккорд, содержащий полутоны, называется гемитония; без полутонов — ангемитония.

Малая секунда

Малая секунда встречается в мажорной гамме , между третьей и четвертой ступенями ( ми (E) и фа (F) в до мажоре), и между седьмой и восьмой ступенями ( ти (B) и до (C) в до мажоре). Ее также называют диатоническим полутоном , потому что она встречается между ступенями в диатонической гамме . Малая секунда сокращенно обозначается m2 (или −2 ). Ее обращение — большая септаккордовая нота ( M7 или Ma7 ).

Послушайте малую секунду в равномерной темперации ^ⓘ . Здесьсредней Cследует D ♭ , которая на 100центоввыше C, а затем обе тональности вместе.

Мелодически этот интервал используется очень часто и имеет особое значение в каденциях . В совершенных и обманчивых каденциях он появляется как разрешение вводного тона в тонику . В плагальной каденции он появляется как падение субдоминанты в медианту . Он также встречается во многих формах несовершенной каденции , где тоника падает на вводной тон.

Гармонически интервал обычно встречается как некая форма диссонанса или неаккордовый тон , который не является частью функциональной гармонии . Он также может появляться в обращениях мажорного септаккорда и во многих аккордах с добавленным тоном .

Этюд «Неправильная нота» Фредерика Шопена

Этюд соч. 25, № 5

Марта Гольдштейн играет на Эрарде (1851)
Вступительные такты

Проблемы с воспроизведением этого файла? Смотрите справку по медиа .

В необычных ситуациях малая секунда может добавить музыке много характера. Например, Étude Op. 25, № 5 Фредерика Шопена открывается мелодией, сопровождаемой линией, в которой играют мимолетные малые секунды. Они используются для юмористического и причудливого эффекта, который контрастирует с его более лирической средней частью. Этот эксцентричный диссонанс принес произведению его прозвище: étude «неправильная нота». Такое использование малой секунды появляется во многих других произведениях романтического периода , таких как «Балет невылупившихся птенцов » Модеста Мусоргского . Совсем недавно музыка к фильму « Челюсти» является примером малой секунды.

В других темпераментах

В чистом интонировании малая секунда 16:15 возникает в гамме до мажор между си и до и ми и фа, и является «самым резким диссонансом, обнаруженным в [мажорной] гамме ». ^[8] Играйте си и до ^ⓘ

Усиленный унисон

Увеличенный унисон на C

Увеличенный унисон , интервал, полученный путем увеличения или расширения на полтона совершенного унисона, ^[9] не встречается между диатоническими шагами гаммы, а вместо этого между шагом гаммы и хроматическим изменением того же шага. Его также называют хроматическим полутоном . Увеличенный унисон сокращенно обозначается как A1 или aug 1. Его обращение — уменьшенная октава ( d8 или dim 8 ). Увеличенный унисон также является обращением увеличенной октавы , потому что интервал уменьшенного унисона не существует. ^[10] Это происходит потому, что унисон всегда становится больше, когда одна нота интервала изменяется с помощью случайной. ^[11]^[12]

Мелодически увеличенный унисон очень часто встречается при переходе к хроматическому аккорду, такому как вторичная доминанта , уменьшенный септаккорд или увеличенный секстаккорд . Его использование также часто является следствием мелодии, продолжающейся в полутонах, независимо от гармонической основы, например , D , D♯ , E , F , F♯ . (Ограничение нотации только малыми секундами непрактично, так как тот же пример имел бы быстро увеличивающееся количество знаков альтерации , записанных энгармонически как D , E ♭ , F ♭ , G, А).

Гармонически увеличенные унисоны довольно редки в тональном репертуаре. В примере справа Лист написал E ♭ против E ♮ в басу. Здесь E ♭ предпочтительнее D ♯ , чтобы сделать функцию тона ясной как часть доминантсептаккорда F , а увеличенный унисон является результатом наложения этой гармонии на педальную точку E.

Помимо такого рода использования, в современных произведениях часто встречаются гармонические увеличенные унисоны, включающие кластеры тонов , например, «Эвриали » для фортепиано соло Янниса Ксенакиса .

История

Полутон появился в музыкальной теории греческой античности как часть диатонического или хроматического тетрахорда , и с тех пор он всегда имел место в диатонических гаммах западной музыки. Различные модальные гаммы средневековой музыкальной теории были основаны на этой диатонической схеме тонов и полутонов.

Хотя позже это стало неотъемлемой частью музыкальной каденции , в ранней полифонии XI века это было не так. Гвидо Ареццо предложил вместо этого в своем Micrologus другие альтернативы: либо переход на целый тон от большой секунды к унисону, либо окресус, в котором две ноты в большой терции движутся противоположным движением к унисону, причем каждая из них движется на целый тон.

«Еще в XIII веке полутон воспринимался как проблемный интервал, который нелегко было понять, как иррациональный [ sic ] остаток между чистой квартой и дитоном ». В мелодическом полутоне не «воспринималась тенденция нижнего тона к верхнему или верхнего к нижнему. Второй тон не считался «целью» первого. Вместо этого полутон избегали в клаузулах, потому что ему не хватало ясности как интервалу». ^[13] $\left({\begin{matrix}{\frac {4}{3}}\end{matrix}}/{{\begin{matrix}({\frac {9}{8}})\end{matrix}}^{2}}={\begin{matrix}{\frac {256}{243}}\end{matrix}}\right)$

Однако, начиная с 13-го века каденции начинают требовать движения в одном голосе на полтона, а в другом — на целый тон в противоположном движении. ^[13] Эти каденции станут основополагающей частью музыкального языка, вплоть до того, что обычное случайное сопровождение малой секунды в каденции часто опускалось в письменной партитуре (практика, известная как musica ficta ). К 16-му веку полутон стал более универсальным интервалом, иногда даже появляясь как увеличенный унисон в очень хроматических пассажах. Семантически , в 16-м веке повторяющийся мелодический полутон стал ассоциироваться с плачем, см.: passus duriusculus , lament bass и pianto .

К эпохе барокко (1600–1750) тональная гармоническая структура была полностью сформирована, и различные музыкальные функции полутона были строго поняты. Позже в этот период принятие темперации для инструментальной настройки и более частое использование энгармонических эквивалентностей увеличили легкость, с которой можно было применять полутон. Его функция оставалась схожей на протяжении всего классического периода, и хотя он использовался чаще, поскольку язык тональности стал более хроматичным в романтический период, музыкальная функция полутона не изменилась.

Однако в 20 веке такие композиторы, как Арнольд Шёнберг , Бела Барток и Игорь Стравинский , искали альтернативы или расширения тональной гармонии и нашли другие применения полутону. Часто полутон использовался гармонически как едкий диссонанс, не имеющий разрешения. Некоторые композиторы даже использовали большие коллекции гармонических полутонов ( тоновые кластеры ) в качестве источника какофонии в своей музыке (например, ранние фортепианные произведения Генри Коуэлла ). К настоящему времени энгармоническая эквивалентность стала обычным свойством равномерной темперации , и инструментальное использование полутона не было вообще проблематичным для исполнителя. Композитор был волен писать полутоны там, где он хотел.

Полутона в разных настройках

Точный размер полутона зависит от используемой системы настройки . Среднетоновые темперации имеют два различных типа полутонов, но в исключительном случае равномерной темперации есть только один. Неравномерно распределенные хорошо темперации содержат много различных полутонов. Пифагорейская настройка , похожая на среднетоновую, имеет два, но в других системах просто интонации есть гораздо больше возможностей.

темперамент

В системах мезонита есть два разных полутона. Это происходит из-за разрыва в круге квинт , который происходит в системе настройки: диатонические полутоны происходят из цепочки из пяти квинт, которая не пересекает разрыв, а хроматические полутоны происходят из той, которая пересекает.

Хроматический полутон обычно меньше диатонического. В общем четверть-комма-между-тоном , настроенном как цикл темперированных квинт от E ♭ до G ♯ , хроматический и диатонический полутон имеют ширину 76,0 и 117,1 центов соответственно.

Расширенные среднетоновые темперации с более чем 12 нотами по-прежнему сохраняют те же два полутоновых размера, но у музыканта появляется больше гибкости в выборе между использованием увеличенного унисона или малой секунды. Равномерная темперация с 31 тоном является самой гибкой из них, она создает непрерывный круг из 31 квинты, позволяя выбирать полутон для любой высоты звука.

Равномерный темперамент

12-тоновая равномерная темперация — это форма настройки среднетонового строя, в которой диатонические и хроматические полутоны абсолютно одинаковы, поскольку ее круг квинт не имеет разрыва. Каждый полутон равен одной двенадцатой октавы. Это соотношение составляет 2 ^1/12 (приблизительно 1,05946), или 100 центов, и на 11,7 центов уже, чем соотношение 16:15 (его наиболее распространенная форма в просто интонации , обсуждается ниже).

Все диатонические интервалы можно выразить как эквивалентное количество полутонов. Например, большая секста равна девяти полутонам.

Существует множество приближений, рациональных или иных, к равномерно темперированному полутону. Вот несколько из них:

$18/17\приблизительно 99,0{\text{ центов,}}$
предложенный Винченцо Галилеем и использовавшийся мастерами эпохи Возрождения ,

${\sqrt[{4}]{\frac {2}{3-{\sqrt {2}}}}}\approx 100.4{\text{ центов,}}$
предложенный Марином Мерсенном как конструктивная и более точная альтернатива,

$(139/138)^{8}\approx 99.9995{\text{ центов,}}$
использовал Хулиан Каррильо как часть шестнадцатитоновой системы.

Дополнительные примеры см. в разделах «Пифагорейская и Юстицкая системы настройки» ниже.

Хороший темперамент

Существует множество форм темперации , но их общая черта заключается в том, что их полутоны имеют неравномерный размер. Каждый полутон в темперации имеет свой собственный интервал (обычно близкий к равномерно темперированной версии в 100 центов), и нет четкого различия между диатоническим и хроматическим полутоном в настройке. Темперация была построена так, чтобы можно было предположить энгармоническую эквивалентность между всеми этими полутонами, и были ли они написаны как малая секунда или увеличенный унисон, не влияло на другой звук. Вместо этого в этих системах каждая тональность имела немного иную звуковую окраску или характер, выходящие за рамки ограничений обычной нотации.

Пифагорейская настройка

Как и среднетоновая темперация, пифагорейская настройка представляет собой разорванный круг квинт . Это создает два отдельных полутона, но поскольку пифагорейская настройка также является формой 3-предельной просто интонации , эти полутоны рациональны. Кроме того, в отличие от большинства среднетоновых темпераций, хроматический полутон больше диатонического.

Пифагорейский диатонический полутон имеет соотношение 256/243 ( игра ^ⓘ ), и часто называется пифагорейской лиммой . Его также иногда называют пифагорейским минорным полутоном . Он составляет около 90,2 центов.

{\frac {256}{243}}={\frac {2^{8}}{3^{5}}}\approx 90,2{\text{ цента}}

Его можно рассматривать как разницу между тремя октавами и пятью квинтами , и он функционирует как диатонический полутон в пифагорейской настройке .

Пифагорейский хроматический полутон имеет соотношение 2187/2048 ( play ^ⓘ ). Это около 113,7 центов . Его также можно назвать пифагорейским апотомом ^[14]^[15]^[16] или пифагорейским большим полутоном . ( См. Пифагорейский интервал .)

{\frac {2187}{2048}}={\frac {3^{7}}{2^{11}}}\approx 113,7{\text{ центов}}

Его можно рассматривать как разницу между четырьмя чистыми октавами и семью чистыми квинтами , и он функционирует как хроматический полутон в пифагорейской настройке .

Пифагорейская лимма и пифагорейская апотома являются энгармоническими эквивалентами (хроматическими полутонами) и отстоят друг от друга всего на одну пифагорейскую запятую , в отличие от диатонических и хроматических полутонов в среднетоновой темперации и 5-ти тоновой интонации .

Только 5-ти предельная интонация

Малая секунда в чистой интонации обычно соответствует соотношению высоты тона 16:15 ( игра ^ⓘ ) или 1,0666... (приблизительно 111,7 центов ), называемому чистым диатоническим полутоном . ^[17] Это практически чистый полутон, так как это интервал, который встречается дважды в диатонической гамме между:

большая терция (5:4) и чистая кварта (4:3) и

\ \left(\ {\tfrac {4}{3}}\div {\tfrac {5}{4}}={\tfrac {16}{15}}\ \right)\ ,

большая септаккорда (15:8) и чистая октава (2:1)

\ \left(\ {\tfrac {2}{1}}\div {\tfrac {15}{8}}={\tfrac {16}{15}}\ \right)~.

Малая секунда 16:15 возникает в гамме до мажор между си и до и ми и фа и является «самым резким диссонансом, обнаруженным в гамме» ^{[8] .}

«Увеличенный унисон» (диез) в просто интонации — это другой, меньший полутон с соотношением частот 25:24 ( play ^ⓘ ) или 1,0416... (приблизительно 70,7 центов). Это интервал между большой терцией (5:4) и малой терцией (6:5). Фактически, это интервал между малой и большой терцией, секстой и септимой (но не обязательно большой и малой секундой). Композитор Бен Джонстон использовал диез ( ♯ ), чтобы указать, что нота повышена на 70,7 центов, или бемоль ( ♭ ), чтобы указать, что нота понижена на 70,7 центов. ^[18] (Это стандартная практика для просто интонации, но не для всех других микронастроек.)

Два других вида полутонов производятся 5-предельной настройкой. Хроматическая гамма определяет 12 полутонов как 12 интервалов между 13 соседними нотами, охватывающих полную октаву (например, от C ₄ до C ₅ ). 12 полутонов, производимых широко используемой версией 5-предельной настройки, имеют четыре различных размера и могут быть классифицированы следующим образом:

Только хроматический полутон: хроматический полутон , или меньший , или минорный хроматический полутон между гармонически связанными бемолями и диезами, например, между E ♭ и E (6:5 и 5:4):; $S_{1}={\tfrac {5}{4}}\div {\tfrac {6}{5}}={\tfrac {25}{24}}\approx 70,7\ {\hbox{центов}}$
Больший хроматический полутон: или большой хроматический полутон , или большая лимма , или большая цветность , ^[18] например, между C и острым C ♯ (C ♯, поднятым синтонической запятой ) (1:1 и 135:128):; $S_{2}={\tfrac {25}{24}}\times {\tfrac {81}{80}}={\tfrac {135}{128}}\approx 92,2\ {\hbox{центов}}$
Только диатонический полутон: или меньше , или минорный диатонический полутон , например, между E и F (от 5:4 до 4:3):; $S_{3}={\tfrac {4}{3}}\div {\tfrac {5}{4}}={\tfrac {16}{15}}\approx 111,7\ {\hbox{центы}}$
Больший диатонический полутон: или больший или мажорный диатонический полутон , например, между A и B ♭ (от 5:3 до 9:5), или C и хроматической D ♭ (27:25), или F ♯ и G (25:18 и 3:2):; $S_{4}={\tfrac {9}{5}}\div {\tfrac {5}{3}}={\tfrac {27}{25}}\approx 133,2\ {\hbox{центы}}$

Наиболее часто встречающиеся полутоны — простые ( $S$ ₃ , 16:15 и $S$ ₁ , 25:24): S ₃ встречается в 6 коротких интервалах из 12, $S$ ₁ — 3 раза, $S$ _{2 —} дважды, а $S$ _{4 —} только в одном интервале (если диатоническая D ♭ заменяет хроматическую D ♭ и диезы не используются).

Меньшие хроматические и диатонические полутоны отличаются от больших синтонической коммой (81:80 или 21,5 цента). Меньшие и большие хроматические полутоны отличаются от соответствующих диатонических полутонов тем же диезом 128:125, что и указанные выше полутоны. Наконец, в то время как внутренние полутоны отличаются диасхизмой ( 2048:2025 или 19,6 цента), внешние отличаются большим диезом (648:625 или 62,6 цента).

Расширенные только интонации

В настройке 7 limit есть септимальный диатонический полутон 15:14 ( play ^ⓘ ), доступный между 5 limit мажорным септимом (15:8) и 7 limit минорным септимом / гармоническим септимом (7:4). Также есть меньший септимальный хроматический полутон 21:20 ( play ^ⓘ ) между септимальным минорным септимом и квинтой (21:8) и октавой и большой терцией (5:2). Оба используются реже, чем их соседи 5 limit, хотя первый часто применялся теоретиком Коуэллом , в то время как Партч использовал последний как часть своей 43-тоновой шкалы .

При настройке 11 limit существует довольно распространенная недесятичная нейтральная секунда (12:11) ( play ^ⓘ ), но она лежит на границе между малой и большой секундой (150,6 центов). В простом интонировании существует бесконечно много возможностей для интервалов, которые попадают в диапазон полутона (например, упомянутые выше пифагорейские полутоны), но большинство из них непрактичны.

В настройке предела 13 есть трехзначная дробь ⁠2/3⁠ тон (13:12 или 138,57 центов) и тридецимальная ⁠1/3⁠ тон (27:26 или 65,34 цента).

В 17-м лимите только интонация мажорный диатонический полутон составляет 15:14 или 119,4 цента ( Play ^ⓘ ), а минорный диатонический полутон составляет 17:16 или 105,0 цента, ^[19] а септендецимальная лимма составляет 18:17 или 98,95 цента.

Хотя названия диатонический и хроматический часто используются для этих интервалов, их музыкальная функция не та же самая, что и у полутонов среднего тона. Например, 15:14 обычно записывается как увеличенный унисон, функционируя как хроматический аналог диатонического 16:15 . Эти различия сильно зависят от музыкального контекста, и просто интонация не особенно хорошо подходит для хроматического использования (более распространена функция диатонического полутона).

Другие равные темпераменты

19-тоновая равномерная темперация различает хроматические и диатонические полутоны; в этой настройке хроматический полутон является одной ступенью гаммы ( сыграйте 63,2 цента ^ⓘ ), а диатонический полутон - двумя ( сыграйте 126,3 цента ^ⓘ ). 31-тоновая равномерная темперация также различает эти два интервала, которые становятся 2 и 3 ступенями гаммы соответственно. 53-ET имеет еще более близкое соответствие двум полутонам с 3 и 5 ступенями своей гаммы, в то время как 72-ET использует 4 ( сыграйте 66,7 цента ^ⓘ ) и 7 ( сыграйте 116,7 цента ^ⓘ ) ступеней своей гаммы.

В целом, поскольку меньший полутон можно рассматривать как разницу между малой терцией и большой терцией, а больший — как разницу между большой терцией и чистой квартой, системы настройки, которые точно соответствуют этим точным интервалам (6/5, 5/4 и 4/3), также будут различать два типа полутонов и точно соответствовать их точным интервалам (25/24 и 16/15).

Смотрите также

Ссылки

^ abcdefg Даффин, Росс В. (2008). Как равномерный темперамент разрушил гармонию: (и почему вам следует беспокоиться) (Впервые опубликовано в мягкой обложке Norton. ред.). Нью-Йорк: WW Norton. стр. 163. ISBN 978-0-393-33420-3. Получено 28 июня 2017 г. .
^ Халуска, Ян (2003). Математическая теория тоновых систем , стр. xxiv. ISBN 0-8247-4714-3 . Обертон полутон.
^ Полутон , полутон , полутон , полутон и полутон по-разному используются в источниках.[1][2][3][4][5]
Аарон Копленд , Леонард Бернстайн и другие используют «полутон».[6] [7][8][9]
Один источник говорит, что этот шаг «в основном американский»,[10] а полутон «в основном североамериканский».[11]
^ Миллер, Майкл. Полное руководство идиота по теории музыки, 2-е изд. [Индианаполис, Индиана]: Alpha, 2005. ISBN 1-59257-437-8 . стр. 19.
^ Кэпстик, Джон Уолтон (1913). Звук: элементарный учебник для школ и колледжей. Издательство Кембриджского университета.
^ "musictheory.net". www.musictheory.net . Получено 2024-01-04 .
^ Уоррам, Барбара (2010). Elementary Rudiments of Music (2-е изд.). Миссиссога, Онтарио: Frederick Harris Music. стр. 17. ISBN 978-1-55440-283-0.
^ ab Paul, Oscar (1885). Руководство по гармонии для использования в музыкальных школах и семинариях, а также для самостоятельного обучения , стр. 165. Теодор Бейкер , перевод Г. Ширмера.
^ Benward & Saker (2003). Музыка: в теории и практике, т. I , стр. 54. ISBN 978-0-07-294262-0 . Конкретный пример A1 не приведен, но описан общий пример совершенных интервалов.
^ Костка и Пейн (2003). Тональная гармония , стр. 21. ISBN 0-07-285260-7 . «Нет такого понятия, как ослабленный унисон».
^ Дэй и Пилхофер (2007). Теория музыки для чайников , стр. 113. ISBN 0-7645-7838-3 . «Не существует такого понятия, как уменьшенный унисон, потому что как бы вы ни меняли унисоны знаками альтерации, вы добавляете полтона к общему интервалу».
^ Surmani, Andrew ; Karen Farnum Surmani; Morton Manus (2009). Основы музыкальной теории Альфреда: полный курс самостоятельного обучения для всех музыкантов . Alfred Music Publishing. стр. 135. ISBN 978-0-7390-3635-8. Поскольку понижение любой из нот совершенного унисона фактически увеличит его размер, совершенный унисон не может быть уменьшен, а может быть только увеличен.
^ ab Dahlhaus, Carl , перевод. Gjerdingen, Robert O. Studies in the Origin of Harmonic Tonality . Princeton University Press: Princeton, 1990. ISBN 0-691-09135-8 .
^ Рашед, Рошди (ред.) (1996). Энциклопедия истории арабской науки, том 2 , стр. 588, 608. Routledge. ISBN 0-415-12411-5 .
^ Герман фон Гельмгольц (1885). Об ощущениях тона как физиологической основе теории музыки , стр. 454.
^ Бенсон, Дэйв (2006). Музыка: Математическое предложение , стр. 369. ISBN 0-521-85387-7 .
^ " [название не указано] ". Труды Лондонского королевского общества . 30. Великобритания: Королевское общество: 531. 1880. оцифровано 26 февраля 2008 г.; Гарвардский университет
^ ab Fonville, J. (Лето 1991). " Расширенная правильная интонация Бена Джонстона – руководство для интерпретаторов". Perspectives of New Music . 29 (2): 106–137. doi :10.2307/833435. JSTOR 833435. ... the ⁠25/24⁠ отношение - это диезное ( ♯ ) отношение ... оно повышает ноту примерно на 70,6 центов. ^{(стр. 109)}
^ Праут, Э. (2004). Гармония . University Press of the Pacific. стр. 325. ISBN 1-4102-1920-8.

Дальнейшее чтение

Гроут, Дональд Джей и Клод В. Палиска . История западной музыки, 6-е изд . Нью-Йорк: Нортон, 2001. ISBN 0-393-97527-4 .
Хоппин, Ричард Х. Средневековая музыка . Нью-Йорк: WW Norton, 1978. ISBN 0-393-09090-6 .